О периодических траекториях динамических систем

Оглавление.
Введение. 3
Глава I. Динамические биллиарды. 13
§1. Динамический биллиард, отображение последования. 13
§2. Биллиард в поле тяжести. 16
§3. Круговой биллиард. 21
§4. Биллиард в магнитном поле. 23
§5. Условия устойчивости двузвенных траекторий биллиарда в однородном магнитном поле. 31
Глава II. Неконсервативные динамические системы. 45
§1. Рождение изолированных периодических решений. 45
§2. Устойчивость периодических решений. 48
§3. Растепление сепаратрис и долгопериодическис решения. 51 §4. Математический маятник с трением и периодическим возмущением. 53
§5. Замкнутые траектории биллиарда
с неупругими отражениями. 54
Литература. 60
2
Введение.
Динамические системы - обширная область современной математики с сильно развитыми методами исследования и областью приложений. Большое количество работ по качественной теории посвяшсно обсуждению различных режимов движения, свойственных динамическим системам, и, в частности, их периодическим траекториям - часто встречающимся в задачах видом движения, периодического во времени [3, 24].
Популярной моделью динамической системы, проявляющей свойства, характерные для многих задач, является биллиард - задача о движении материальной точки внутри плоской области с отражением от границы. Впервые она обсуждалась в работах Биркго-фа (см., например, [11]). При этом область движения точки предполагается выпуклой, движение между соударениями с границей происходит по инерции, а отражение точки от кривой считается абсолютно упругим.
Биркгоф сформулировал два основных подхода к задаче о нахождении периодических траекторий биллиарда (см. [11], Гл. 6, §5-9). Вначале существование некоторых траекторий было установлено им при помощи наглядных геометрических рассуждений об экстремальности периметра многоугольников, соответствующих периодическим траекториям, вписанных в граничную кривую биллиарда.
Это - вариационные методы, которые широко применяются для доказательства существования периодических траекторий уравнений динамики. Если речь идет о консервативных системах, то фиксируют значение полной энергии и рассматривают функционал
3
действие (но Мопертюи-Якоби) на пространстве замкнутых кривых. При определенных условиях точки экстремума этого функционала отвечают периодическим траекториям с заданным выше значением полной энергии. Особенно просто существование таких траекторий доказывается в случае, когда конфигурационное пространство неодносвязно (имеются нестлгиваемые в точку замкнутые кривые). Этот случай рассмотрен в классических работах Адамара, Уиттекера и др. авторов (см. [11,43], а также [3,14,17]). В работах В.В. Козлова и С.В. Болотина [G, 8. 18] эти методы распространены на случай, когда область возможности движения имеет непустую границу.
Односвнзный случай - более сложный. Впервые он рассматривался Пуанкаре [39] в задаче о наличии замкнутых геодезических на выпуклой поверхности рода нуль.
В случае сильно сплющенной поверхности задача о существовании замкнутых геодезических эквивалентна задаче о существовании периодических траекторий биллиарда с выпуклой границей. Биркгофом [11] было дано строгое доказательство существования бесконечного количества пар периодических траекторий биллиарда. Доказательство было основано на построении отображения в себя двумерной поверхности, соответствующей положению материальной точки на границе биллиарда, и использовании геометрической теоремы Иуанкаре-Биркгофа. Периодическим траекториям биллиарда соответствовали неподвижные точки этого отображения. Эта идея содержится уже в классической работе Пуанкаре [38]. Полное вариационное доказательство теоремы Биркгофа о существовании пар периодических траекторий биллиарда дается в
4
работе Д.В. Трещева [41].
Свойства орбитальной устойчивости периодических траекторий биллиарда Биркгофа изучались многими авторами при помощи подхода, связанного с построением отображения последования (или, как его часто называют, отображения Пуанкаре). Условия устойчивости двузвенной траектории в линейном приближении имеются, например, в [22]. Они получены В.М. Бабичем и B.C. Бул-дыревым в связи с задачей о распространении волн в лучевом приближении [4]. При помощи техники, развитой в [28], в работе A.A. Маркеева [48] проводится анализ нелинейных резонансных эффектов в задаче об устойчивости двузвенной траектории.
В работе [20] поиск двузвенных траекторий выпуклого биллиарда и анализ их устойчивости проводится на основании исследования длины хорды, соединяющей точки граничной кривой и перпендикулярной кривой в одном из концов. Оказывается, что если каустика границы биллиарда целиком лежит внутри биллиарда, и все стационарные точки функции длины невырождены (и тогда каждая из них соответствует периодической траектории биллиарда), то имеется четное число двузвенных траекторий, причем половина из них имеет гиперболический тип и, следовательно, неустойчивы, а другая половина имеет эллиптический тип.
Естественными обобщениями задачи, рассмотренной Биркго-фом, представляются гак называемые динамические биллиарды. Как утверждается в [10], этот термин впервые появляется в работах В.В. Белецкого и других авторов [9, 45] и применяется для обозначения класса задач о движении материальной точки в силовом поле, причем происходит упругое отражение точки от поверхнос-
5
ти, ограничивающей область движения.
Следует также признать, что в работе В.В. Белецкого и других авторов [10] сформулированы результаты, несколько расширяющие и обобщающие результаты, полученные в главе I данной диссертационной работы. Впрочем, [10) не содержит исчерпывающих доказательств сформулированных там общих результатов, а рассмотренные в главе I примеры касаются и систем более общего класса, чем в [10].
В данной диссертационной работе рассматриваются динамические биллиарды только в плоском случае.
В [45], при помощи подхода, связанного с построением отображения, рассмотрена задача о существовании и устойчивости периодических траекторий биллиарда в однородном иоле тяжести в случае, когда область движения материальной точки является кругом. Эта задача эквивалентна задаче о периодических траекториях математического маятника, если допустить возможность ослабления натяжения нити. Она также рассмотрена в работе В.Ф. Журавлева [13], посвященной построению уравнений типа Рауса для механических динамических систем с односторонними связями. Отметим, что некоторые из найденных в [45] периодических траекторий математического маятника с односторонней связью были ранее описаны геометрами (см., например, [5], гл. 17).
В работе А.И. Маркеева [29) изучена орбитальная устойчивость подскоков материальной точки в однородном поле тяжести. Для исследования этой задачи в [29] строится соответствующее отображение (для исследования той же задачи в [16] применяется иной метод - строятся канонические уравнения для систем с идеальны-
6