Оглавление
Введение...................................................3
1 Математическая модель удара с трением 22
1.1 Модели удара тела о шероховатую поверхность . ... 22
1.2 Удар твердого тела................................ 28
1.3 Удар свободного шара.............................. 32
1.4 Удар плоского твердого тела....................... 35
1.5 Удар свободного плоского диска.................... 39
2 Движение диска между параллельными прямыми 42
2.1 Алгебраический анализ............................. 43
2.2- Метод диаграмм.................................... 50
2.3 Подвижные прямые.................................. 55
2.4 Вертикальный канал................................ 65
3 Движение шара между параллельными плоскостями 69
3.1 Неподвижные плоскости............................. 69
3.2 Подвижные плоскости............................... 76
3.3 Вертикальные плоскости ........................... 82
4 Движение шара внутри сферы и цилиндра 87
4.1 Движение шара внутри сферы........................ 87
4.2 Движение шара внутри цилиндра..................... 93
5 Удар катящегося шара о шероховатую стенку 98
5.1 Удар катящегося тела о шероховатую поверхность . . 98
5.2 Удар катящегося шара о шероховатую стенку........-105
5.3 Шар в прямолинейном канале с шероховатыми стенками 110
Заключение...............................................114
Литература...............................................116
2
Введение.
Диссертация посвящена задачам о движении твердых тел, соударяющихся с шероховатыми поверхностями. Рассматривается несколько задач о движении: плоского диска, движущегося по инерции в прямолинейном канале; шара, движущегося по инерции между двумя параллельными плоскостями, внутри сферы и внутри кругового цилиндра; а также рассматривается задача об ударе катящегося тела о шероховатую стенку. Считается, что при ударе шероховатых поверхностей происходит мгновенное наложение и снятие связи, состоящее в том. что касательная составляющая скорости контактирующей точки тела обращается в нуль, то есть выполняется условие качения без проскальзывания. Показывается, что во всех случаях движение в пределе выходит на установившийся режим по скорости: угловая скорость шара (или диска) стремится к постоянному значению, а скорость его центра становится периодической. В некоторых случаях на установившийся режим выходят и координаты, определяющие положение и ориентацию шара.
Движение тел с ударами является классической задачей механики. Удар моделирует взаимодействие элементов механической системы кратковременное, но приводящее к конечным изменениям параметров движения системы. Для описания такого взаимодействия используется понятие ударного импульса, т.е. импульса, приобретаемого системой или ее элементами за время взаимодействия. С формальной точки зрения удар можно описывать как движение системы с выходом на границу односторонней связи, или как движение при мгновенном наложении и снятии двухсторонней связи. Систематическое изложение теории удара в механических системах в терминах идеальных (т.е. без трения) связей дано Аппелем [1]. Современное изложение теории идеального удара можно найти в |3|- 112]. Геометрическое описание теории идеального удара состоит в том, что скорость (или импульс) системы в момент удара раскладывается в кинетической метрике на касательную и нормальные компоненты к плоскости удара. Касательная составляющая во время удара сохраняется — этот закон составляет теорему Аппеля о сохранении касательного импульса. Нормальная составляющая меняет направление на противоположное и уменьшается по модулю пропорционально коэффициенту восстановления — этот закон составляет модель
3
Ньютона при неупругом соударении. Вариационное методы в теории идеального удара описаны в работах [62], |2], [14]— [18|. Вопросы устойчивости в системах с односторонними связями рассмотрены в работах [19|— [22] Обоснование физической реализации односторонних связей методом предельного перехода дано в работах [2], [23]— |32| Обзор современного состояния теории удара механических систем и, в частности, соударения твердых тел дан в [2], [10]- [13], [56].
В настоящее время получило развитие изучение неидеальных ударов, или ударов с трением. Построение таких моделей удара представляет интерес не только при рассмотрении классических задач механики, см., например. [11], [33], но и при изучении динамики робототехпических систем. В частности, учет трения при ударном взаимодействии важен для изучения динамики ходьбы, см., например, [34]- [38].
Раус в [39] рассмотрел удар твердого тела о поверхность при наличии сухого трения, его модель получила развитие в работах |40], [41] (цит. по [11], [33]). Полный анализ этой модели дан в [11]. В этой модели во время ударного взаимодействия контактирующая точка тела может проскальзывать по поверхности контакта. К контактирующей точке тела приложена сила трения, направленная противоположно вектору скорости скольжения. Величина силы трения зависит от силы нормального давления в точке контакта, а также от скорости проскальзывания тела. Считая геометрические параметры тела неизменными на интервале времени контактного взаимодействия, можно выписать точную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую изменение ударного импульса на этом интервале. Под ударным импульсом понимается импульс, приобретенный телом благодаря реакциям, действующим на него в точке контакта на интервале ударного взаимодействия. Применение такой модели может быть затруднительно, поскольку требует анализа изменения скорости проскальзывания и ударного импульса на интервале времени контакта.
В диссертации используется упрощенная модель удара с трением тела о неподвижную поверхность. Предполагается, что коэффициент трения велик, и за время контакта проскальзывание контактирующей точки тела успевает закончиться. Это означает, что касательная составляющая скорости контактирующей точки тела обра-
4
щается в ноль. Обращение в ноль этой составляющей можно рассматривать как связь, наложенную на движение тела. По окончании контакта тела и поверхности, их взаимодействие прекращается, и, значит, прекращается действие этой связи. В формальной постановке это описывается как мгновенное наложение и снятие идеальной связи, состоящей в том, что в момент удара касательная составляющая скорости контактирующей точки тела обращается в ноль.
В первой главе диссертации показывается, что такая модель удара тела о неподвижную поверхность является частным случаем общей модели удара с вязким трением, предложенной В.В. Козловым в [33]. В этой модели импульс системы р' после удара получается применением к импульсу р~ до удара линейного симметрического оператора Л: рг = Л/Г. Считается, что плоскость удара и нормальное к ней пространство инвариантны относительно этого оператора: р1 = Ар^ = Ар.^. Оператор Л называется оператором восстановления. В этой же работе дано обоснование физической реализации такой модели, основанное на предельном переходе в полных уравнениях движения. Заметим, что случаю оператора Л6. общего вида отвечает удар при наличии сил анизотропного трения [42], [43]. Такая модель в диссертации не рассматривается.
Модель удара с мгновенным наложением и снятием связей рассматривалась в работах [44]- |50] и развивалась в работе [51].
Удар шара с наложением неголономных связей (связей качения без проскальзывания) изучалась в работах: [59]— [61].
Перейдем к краткому описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из пяти глав, введения, заключения и списка литературы.
В первой главе формулируются основные определения. Рассматривается модель удара с трением, состоящая в том, что при ударе тела о шероховатую поверхность происходит мгновенное наложение и снятие связи, состоящее в том, что равна нулю касательная к поверхности скорость контактирующей точки тела. Эта связь, для краткости, называется связью качения. Такую модель можно рассматривать как упрощенный вариант модели Рауса |39|. Она состоит в том, что шестимерный вектор импульса твердого тела раскладывается на нормальную и касательную составляющие к плоскости удара. Нормальная составляющая при ударе в соответствии с
5
законом отражения Ньютона меняет свой знак, и ее модуль изменяется пропорционально коэффициенту восстановления. Касательная составляющая раскладывается на нормальную и касательную компоненты к линии качения. Линия качения — это гиперплоскость в плоскости удара, в которой лежат все векторы импульса (скорости), отвечающие связи качения. Нормальная составляющая после удара обнуляется, а касательная составляющая сохраняется. В главе показывается, что такая модель может быть описана как частный случай модели В.В. Козлова |33]. Показывается также, что при ударе свободного твердого тела остается справедливым утверждение о максимальности функционала действие на определенном классе вариаций траектории [17].
После формулирования модели, выводятся соотношения, позволяющие определять параметры движения тела после удара с трением по параметрам его движения до удара для следующих случаев
— удар свободного тела
— удар шара с симметричным распределением массы
— удар свободного плоского тела
— удар плоского диска с симметричным распределением массы.
Эти соотношения используются в следующих главах.
Во второй главе рассматривается плоский диск, движение которого ограничено двумя параллельными шероховатыми прямыми. Эти прямые образуют стенки прямолинейного канала. При движении диск последовательно ударяется о стенки. Считается, что масса диска распределена симметрично так, что центр масс диска совпадает с его геометрическим центром.
Рассматривается несколько задач: движение по инерции в случае неподвижных стенок канала; движение в случае, когда стенки перемещаются по некоторому закону; движение в однородном поле тяжести в случае, когда стенки канала вертикальны. Показывается, что в этих случаях движение диска выходит на периодический режим, или режим, близкий к периодическому. Помимо алгебраического анализа движения рассматривается метод диаграмм, позволяющий наглядно представить процесс выхода движения на периодический режим.
Результаты этой главы используются в Главе 3, в которой показывается, что движение шара между параллельными шероховатыми
б
плоскостями при подходящем выборе системы координат аналогично движению диска между шероховатыми прямыми.
Рассмотрение ведется в системе координат Оху. где ось Ох направлена вдоль канала. Положение диска описывается координатами (т, у) его центра и углом <р поворота диска относительно оси Ох.
Глава разбита на 4 части.
Первая часть — алгебраический анализ движения диска между неподвижными прямыми — состоит из пяти разделов. При анализе используются соотношения для удара диска о неподвижную поверхность. выведенные в главе 1.
В первом разделе рассматривается задача, об абсолютно упругом соударении с абсолютно шероховатыми прямыми. Показано, что если вся масса сосредоточена в центре диска, т.е. его момент инерции равен нулю, то скорость движения диска вдоль канала после ударов сохраняется, и диск улетит вдоль канала сколь угодно далеко.
Если вся масса сосредоточена на ободе диска, то угловая скорость и скорость движения диска вдоль канала после первого же удара станут равными нулю. Диск будет совершать движения по нормали к стенкам капала, периодически соударяясь с ними.
В общем случае, в пределе, при стремлении времени к бесконечности, диск выйдет на периодический режим движения по нормали к стенкам канала с нулевой угловой скоростью. При выходе на этот режим диск повернется на конечный угол и пройдет конечное расстояние вдоль канала. Линейная скорость движения диска вдоль канала и угловая скорость диска будут стремиться к нулю в геомет-
. тпа2 — .1
рической прогрессии с показателем А = —---------. где т и а — масса
таг -Ь ./
и радиус диска, J — центральный момент инерции диска относительно оси, ортогональной его плоскости.
Во втором разделе рассматривается движение диска внутри круга с абсолютно шероховатыми стенками. Показывается, что сразу после первого же удара о стенку круга диск выйдет на периодический режим движения: его угловая скорость будет постоянна, а центр диска будет двигаться так, что величина его вектора скорости будет постоянна, а сам вектор после каждого удара будет поворачиваться на один и тот же угол. Иначе говоря, движение диска будет подобно движению точки в математическом бильярде внутри круга. В главе 4 будет показано, что такое движение в пределе совершает
7
шар. движущийся по инерции внутри кругового цилиндрического канала, в проекции на плоскость, ортогональную оси цилиндра.
В третьем разделе рассматривается движение диска по инерции между неподвижными шероховатыми прямыми в случае неупругого соударения с коэффициентом восстановления м: 0 < и <
1. Показано, что. если и. = - < 1. то движение диска имеет такой
и
же характер, как и в случае абсолютно упругого соударения. Диск выйдет на периодический режим движения по нормали к стенкам канала с нулевой угловой скоростью. При выходе на этот режим диск повернется на конечный угол и пройдет конечное расегояние вдоль канала. Линейная скорость движения диска вдоль канала и угловая скорость диска будут стремиться к нулю в геометрической прогрессии с показателем А. Если же р > 1, то линейная скорость движения диска вдоль канала и угловая скорость диска будут стремиться к нулю в геометрической прогрессии с показателем А, однако диск уйдет вдоль канала сколь угодно далеко.
В четвертом разделе рассматривается движение диска по инерции между неподвижными шероховатыми прямыми в случае ча-отичной шероховатости. Рассматривается модель частичной шероховатости, в которой при ударе гасится не вся составляющая импульса, касательная к плоскости удара и нормальная к линии качения, а только ее пропорциональная часть. Коэффициент пропорциональности с лежит в диапазоне: 0 < с < 1. Значение с = 0 отвечает абсолютной шероховатости; значение с = 1 — удару о гладкую поверхность (т.с. трение при ударе отсутствует).
Выводятся матричные рекуррентные соотношения для параметров движения диска. Характер изменения этих параметров определяется собственными числами соответствующих матриц (см., например, |52]). Однако, вычисления получаются довольно громоздкими. Более простым является решение этой задачи методом диаграмм, изложенным в следующей части 2.2 этой главы.
Вторая часть. В этой части описан метод диаграмм. Он позволяет наглядно показать сходимость предельного движения диска по скорости даже в ряде сложных движений. Уравнение удара для компоненты скорости центра диска отделяется. На плоскости импульсов рх, ру, линейного вдоль канала и вращательного движений диска, строятся две линии качения Ь\ и £-2, отвечающие ударам о стен-
8
ки канала. Уравнения этих линий — это уравнения качения диска без проскальзывания по соответствующей стенке канала. В процессе соударений изображающая точка щ = (рхк, Р<рк) ортогонально проектируется на эти прямые последовательно чередующимся образом (к — номер удара). Диаграмма движения изображающей точки на плоскости импульсов рх, р<р позволяет изучать предельные движения диска. В случае частичной шероховатости, при проектировании на очередную прямую качения изображающая точка сдвигается перпендикулярно к этой прямой так, что расстояние до прямой качения Ьп изменяется в с раз.
С применением метода диаграмм показывается, что характер движения диска для частично шероховатых стенок (0 < с < 1) такой же, как и при абсолютной шероховатости (с = 0). В общем случае, в пределе, при стремлении времени к бесконечности, диск выйдет на периодический режим движения по нормали к стенкам канала с нулевой угловой скоростью. При выходе на этот режим диск повернется на конечный угол и пройдет конечное расстояние вдоль канала. Линейная скорость движения диска вдоль канала и угловая скорость диска будут стремиться к нулю в геометрической прогрессии с показателем А.
Третья часть. В этой части рассмотрен случай подвижных шероховатых стенок прямолинейного канала, в котором движется диск. Эта часть состоит из четырех разделов.
В первом разделе выводятся соотношения для удара диска о подвижную прямую, движущуюся вдоль самой себя поступательно со скоростью и. Отличие от неподвижной прямой состоит в том. что линия качения на плоскости импульсов рх:р<р сдвигается параллельно на вектор (и> 0). Полученные соотношения используются в следующих разделах.
Во втором разделе рассматривается движение диска по инерции в канале с прямолинейными шероховатыми стенками, которые движутся поступательно С ПОСТОЯННЫМИ скоростями и\ И П2 вдоль оси канала. Движение рассматривается для случая абсолютно упругого соударения с абсолютно шероховатой прямой, т.е. при V — 1. с = 0. Изучение движения производится с использованием метода диаграмм, описанного в предыдущей части главы. Линии качения Ь\ и Ь2 на плоскости импульсов пересекаются в некоторой
9
точке (р*, рр), а в пространстве скоростей эту же точку обозначим
Изложим полученные результаты.
Если вся масса диска сосредоточена в его центре, т.е. «7 = 0, линейная (вдоль канала) скорость центра диска х постоянна, а угловая принимает пару чередующихся значений. Если вся масса диска сосредоточена на его ободе, то линии качения Ь\ и Ь2 при ударе о стенки ортогональны в кинетической метрике. На нулевом шаге проектирования изображающая точка (рх>Р?) попадает на прямую Ь\. а на первом шаге проектирования попадает в начало координат. В пространстве скоростей изображающая точка попадет в точку (х*,ф¥) пересечения прямых 7/1 и ь2. Это означает, что движение выйдет на периодический режим, когда скорость диска между ударами равна х = х¥. у = ±?/о, ф = ф*. Значит, центр диска будет с постоянной скоростью перемещаться вдоль канала, а его угловая скорость будет постоянна.
Пусть не вся масса диска сосредоточена в его центре или на ободе. Показывается, что в пределе центр диска будет с постоянной
Щ + Ц>2
скоростью х = —-— перемещаться вдоль канала, а его угловая
скорость будет постоянна и равна ф¥ = У1 — 2 ш Поскольку (х*,ф*)
2 а
точка пересечения прямых качения Ьі и Ь2. то линейная скорость центра х* и угловая скорость ф* такие, как если бы стенки канала прижимали диск сверху и снизу, и он катился бы между ними без проскальзывания.
Если прямые движутся в разные стороны с одинаковыми скоростями, (щ = —и2). то х* — 0. В этом случае, центр диска, пройдя конечное расстояние, стабилизируется, и диск будет совершать движение ортогонально стенкам канала. При выходе на этот режим диск повернется на конечный угол и пройдет конечное расстояние вдоль канала.
В общем случае соотношение щ = —и2 скоростей стенок канала
будет иметь место, если перейти в подвижную систему координат,
щ 4- и2
движущуюся вдоль канала со скоростью —-—.
В третьем разделе рассматривается случай, когда скорость стенок канала переменная: щ = щ{Ь), и2 = и2{і). Обозначим через іп
10
- Київ+380960830922