Использование методов голономной механики для определения собственных частот и форм колебаний системы упругих тел

ВВЕДЕНИЕ.
Изучению колебаний упругих систем всегда уделялось и в настоящее время уделяется большое внимание. Среди первоклассных монографий и учебников, посвященных этим вопросам, можно упомянуть, например, книги И.М.Бабакова [3], Ден-Гартога [35], С.П.Тимошенко [11], Р.Куранта и
Д.Гильберта [31], А.П.Филиппова [32], В.Л.Бидермана [33], Я.Г.Пановко [34]
! * . » 1
и др. Большое внимание этим вопросам уделено и в ряде книг, посвященных специальным областям техники (например, кораблестроению [36], ракетным двигателям [37], станкостроению [38,39] и т.д.). Наряду со специальными монографиями по теории колебаний большой материал подобного типа содержится и в справочной литературе, например, в [42,], [43], причем в последнем справочнике содержится и богатый теоретический материал. К сожалению, в последние десятилетия количество опубликованных монографий и справочников такого уровня резко сократилось.
При исследовании колебаний упругих систем обычно используется один из двух подходов - либо создается математическая модель с конечным числом степеней свободы, достаточно точно отражающая движение изучаемой механической системы, либо вся упругая система рассматривается как система с распределенными параметрами. В первом случае приходится работать с системой- обыкновенных дифференциальных уравнений, а во втором — с уравнениями в частных производных. В диссертации рассматриваются два новых приближенных метода определения колебаний системы сочлененных упругих тел, колебания которых описываются как колебания систем с распределенными параметрами. Поэтому основное внимание уделяется методам, используемым при втором подходе.
При рассмотрении колебаний систем с распределенными параметрами прежде всего интересно попытаться, найти точное аналитическое решение с помощью метода разделения переменных (метода собственных функций, метода стоячих волн, метода Фурье). Однако, использование этою метода обычно удается довести до конца и построить решение в элементарных
2
функциях лишь для ограниченного количества случаев сравнительно простых тел. Так, даже, например, при изучении колебаний стержней (крутильных, продольных, поперечных) уже при переменности поперечного сечения уравнение Штурма-Лиувилля имеет переменные коэффициенты. Решения подобных уравнений получены лишь для очень небольшого количества уравнений в виде новых неэлементарных функций (высших трансцендентных функций, напр., функций Бесселя), полнота исследования которых во многом зависит от их практической ценности [49].
• К аналитическим методам можно отнести и методы интегральных преобразований, в том числе операционное исчисление (см., напр., монографии [50], [51], [52]). Применение к уравнениям в частных производных любого интегрального преобразования сводит их к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, несмотря на то, что использование этих методов сравнительно легко дает решение задачи в изображениях, тем не менее, дальнейшая необходимость перехода от изображений к оригиналам обычно требует больших усилий и математических исследований.
Для определения частот и форм колебаний при исследовании колебаний оболочек активно применяются асимптотические методы (см., например монографии [53], [54,55], [56]).
Необходимость решения задач на колебания для систем с переменными характеристиками и для сложных систем упругих тел привела к созданию приближенных методов < определения (прежде всего низших) частот и собственных форм колебаний. Среди этих методов можно выделить метод последовательных приближений (метод итераций), основанный на применении к исследованию колебаний упругих систем с распределенными параметрами, теории интегральных уравнений [58], [61].
Для создания приближенных методов эффективно применяется и теория вариационного исчисления. Одним из первых среди этих методов был метод Релея [59], в котором квадрат основной частоты колебаний может быть найден как минимум отношения функционала от потенциальной энергии к
3
функционалу от кинетической энергии. Большой заслугой Релея является предложение искать приближенное значение квадрата основной частоты колебаний как численное значение отношения этих функционалов, вычисленных при выборе функции сравнения в виде статической деформации системы. Именно близостью этой функции к первой собственной форме колебаний объясняется удивительная точность приближенного определения этим методом основной частоты колебаний механических систем, не превышающей обычно 3% отклонения от точного значения. ■
Дальнейшим усовершенствованием метода Релея явился метод Ритца [3], в котором решение отыскивается в виде линейной комбинации базисных (координатных) функций. Базисные функции должны удовлетворять геометрическим краевым условиям задачи. В результате исследование движения системы с распределенными параметрами сводится фактически к нахождению собственных частот и собственных форм колебаний некоторой системы с конечным числом степеней свободы, частоты и формы колебаний которой оказываются близкими к низшим собственным частотам и собственным функциям исходной системы с распределенными параметрами.
Близким в вычислительном плане к методу Ритца оказался метод Бубно-ва-Галеркина [19,20]. В этом методе базисные функции должны удовлетворять и геометрическим и динамическим краевым условиям задачи. Подстановка приближенного решения задачи, отыскиваемого опять в виде линейной комбинации координатных функций, в уравнения дает невязку. Интересна механическая интерпретация этой невязки Бубновым: он рассматривает ее как реакцию идеальных голономных связей, которые следует наложить на движение системы, чтобы при их наличии система двигалась бы не как сво-бодная, совершающая истинное движение; а как несвободная - при наличии этих воображаемых связей система будет выполнять движение согласно принятому приближенному решению. Введение указанных голономных связей позволяет применить к системе принцип Даламбера-Лагранжа. Далее Бубнов предлагает потребовать выполнения принципа Даламбера-Лагранжа в.сред-
4
нем, за период одного характерного колебания. Дальнейшая вычислительная процедура эквивалентна отысканию собственных частот и собственных форм колебаний системы с конечным числом степеней свободы. Число этих степеней свободы равно количеству базисных функций, введенных для отыскания приближенного решения задачи с распределенными параметрами.
Необычайно распространенным в настоящее время является метод конечных элементов (МКЭ). Он прекрасно приспособлен к использованию на современных компьютерах. Для его практического применения в настоящее времяхоздан целый ряд прекрасных пакетов программ, один из них — АЫБУБ
8.1 - используется в диссертации для проведения расчетов. С механической же точки зрения МКЭ [60], [63] является фактически реализацией методов Ритца-Бубнова-Галеркина. В этой реализации используется весьма эффективный метод выбора базисных функций, которые не равны нулю лишь на элементах, примыкающих к рассматриваемому узлу. Существенно, что в этом методе компьютер используется не только для решения получаемых уравнений, но и для учета геометрии упругих тел при построении дискретных аппроксимаций.
Несмотря на общее признание метода конечных элементов, определенным конкурентом ему остается метод сеток или метод конечных разностей (МКР) [61], [62], который возник значительно раньше метода конечных элементов. В МКР исследуемую область покрывают достаточно плотной «сеткой» и в узлах этой сетки заменяют определенным образом все дифференциальные соотношения разностными. В результате получают систему алгебраических уравнений для определения приближенных значений собственных частот и значений собственных функций в узлах сетки. Для улучшения точности МКР разрабатывались методы конечных разностей повышенной точности. Методы.сеток делятся на прямые и на непрямые. Если теперь при использовании компьютеров обычно применяют непрямые методы, требующие решения систем алгебраических уравнений весьма высокого порядка,, то прежде до появления электронно-вычислительных машин можно было рабо-
5
тать только с прямыми методами, в которых вычисления проводились по готовым формулам без решения систем алгебраических уравнений. Для практического использования этих формул часто применялись специальные шаблоны.. Однако вычисления по прямым методам сеток были очень чувствительны к выбору величины шага сетки, поэтому на первый план выходили исследования по сходимости вычислительного процесса. В свою очередь непрямые методы сеток обладают хорошей сходимостью, именно поэтому они после появления-компьютеров практически полностью вытеснили из вычислительной практики прямые методы сеток.
В диссертации исследуются-два новых приближенных метода определения низших частот и, собственных функций систем из упругих тел, разрабатываемые на кафедре теоретической- и прикладной механики математикомеханического' факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Первый из них позволяет приближенно находить частоты и собственные функции системы соединенных между собой упругих тел через известные частоты и собственные функции тел, составляющих систему. Второй метод применяется:для приближенного решения аналогичных задач и основан на рассмотрении обобщенных реакций, в местах крепления или соединения тел как обобщенных лагранжевых координат. Для краткости изложения в дальнейшем иногда будем называть первый метод МЕТОДОМ СОЧЛЕНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ С УЧЕТОМ КВАЗИСТАТИКИ, а второй - МЕТОДОМ СИЛ..
Основываясь на приведенном выше кратком обзоре основных существующих методов расчета на колебания упругих систем, дадим, краткую характеристику представленной работы.
Актуальность темы диссертационной работы. Уравнения движения системы упругих тел, особенно при наличии большого количества тел, являются настолько сложными, что оказывается достаточно затруднительно не
только их проинтегрировать, но даже записать. Существуют точные методы решения подобных задач, но во многих случаях их не удается применить, например, в большинстве случаев, когда в задаче Штурма-Лиувилля коэффициенты являются переменными. Поэтому актуальным является вопрос о том, как в виде, удобном для использования компьютера, представить уравнения движения системы упругих тел. Вот почему особое внимание уделяется приближенным методам (методы Релея, Ритца, Бубнова-Галеркина, метод конечных элементов, метод конечных разностей (метод сеток) и т.д.). В данной работе рассматриваются новый приближенный метод определения собственных частот и собственных форм колебаний системы упругих тел через собственные частоты и формы ее элементов и новый приближенный метод, основанный на рассмотрении реакций связей как обобщенных лагранжевых координат, использующие аппарат голономной механики. Применение этих методов позволяет не только получать приближенные значения низших частот и собственных функций системы упругих тел, что имеет самостоятельное значение, но и использовать их результаты для тестирования громоздких современных программ, создаваемых для расчета сложных механических систем. Поэтому исследование и развитие этих методов является актуальным.
Цель диссертационной работы. Нахождение собственных частот и построение собственных форм колебаний систем упругих тел новыми приближенными методами, разрабатываемыми на кафедре теоретической и прикладной механики СПбГУ, сравнение с результатами, полученными другими известными методами, в том числе с помощью пакетов прикладных программ. Для достижения данной цели в ходе выполнения работы необходимо было решить следующие задачи:
1. с помощью численного эксперимента показать сходимость и определить точность метода сочленения элементов с учетом квазистатики на примере задачи о колебаниях упругих систем с распределенными параметрами:
• весомого двухопорного вала с диском на консоли;
7