Содержание
Введение ........................................................... 3
Глава 1. Примеры вырождения неголопомных связей и уравнения Лагранжа с неопределенными множителями..................... 14
1.1. Вырождение минимальной коразмерности....................... 14
1.2. Управляемость в кинематической системе..................... 17
1.3. Исключение множителей...................................... 18
1.4. Движение вблизи множества вырождения....................... 20
1.5. Об управляемости в динамической системе ................... 26
1.6. Пример.........................................'........... 27
1.7. Качественное исследование движения балки с коньками с помощью интеграла энергии........................................ 31
Глава 2. Особенности общего положения первых интегралов систем с вырожденными нелинейными связями........................ 49
2.1. Обзор необходимых результатов из ггеории неявных систем дифференциальных уравнений........................................ 54
2.2. Классификация локальных особенностей первых интегралов неявных систем двух уравнений.................................. 67
2.3. Реализация особенностей, невырожденность и общее положение 77
2.4. Особенности первого интеграла общего положения вырожденной пеголоиомной системы с двумерным конфигурационным пространством и линейными связями................................. 85
Заключение......................................................... 88
Литература..................................................\ . . . 90
2
Введение
Диссертация посвящена изучению динамики пеголопомных механических систем в окрестности подмножества фазового пространства, где уравнения свя зей являются вырожденными.
По-существу. это важный частный случай теории вырожденных уравнений динамики или. еще в большей общности, теории неявных систем дифференциальных уравнений.
Эта область находится на стыке теоретической механики, математической теории особенностей, теории дифференциальных уравнений. Она мало изучена, особенно в приложениях.
Актуальность темы исследования
Динамика неголономных систем представляет собой один из наиболее сложных и красивых разделов механики. В практике в основном применяются линейные по скоростям неголономные связИ; моделирующие качение твердых ТСЛ; движение тела с острым краем (конька). В последнее время с развитием сложных робототехнических и транспортных систем возрос интерес к исследованию систем с нелинейными связями, например обобщениям классического примера Аппеля, а также с линейными связями более общего вида. Начиная с работ классиков 19 века и отечественных основоположников иеголономной механики С.А.Чаплыгина, П.В.Воронца др. (см. например.|12, 23 25]), всегда предполагалось, что система неголономных связей имеет полный ранг. В этом случае уравнения динамики систем, идеальных по Лагранжу, могут быть записаны в разрешенном относительно старших производных виде. Только отдельные работы в последние десятилетия рассматривали другие случаи, когда уравнения динамики приводили к неявным уравнениям . Среди них хорошо известны только работы Дирака об особых точках уравнений Эйлера-Лагранжа, для которых матрица вторых производных Лагранжиана по обобщенным скоростям
3
вырожден?. [57|. Систематического исследования динамики неголопомиых систем вблизи множества вырождения связей в литературе пет. Отметим только ряд интересных работ посвященным отдельным случаям возникновения неявных уравнений в задачах теоретической механики и близких разделов теории динамических систем (36, 49. 58. 59]. С другой стороны, начатая с работ А. Пуанкаре [60] и развитая в работах В.И.Арнольда [3 9. 11], геометрическая теория неявных дифференциальных уравнений превратилась в развитый аппарат исследования сложных систем. Различным аспектам применения теории особенностей в неявных дифференциальных уравнениях посвящены.в частности. следующие фундаментальные работы [16 18. 51 53, 55, 56, 62]. Настоящая работа посвящена как раз этому недостаточно изученному и интересному разделу механики. Основные методы - это как раз методы геометрической теории неявных дифференциальных уравнений и математической теории особенностей, изложению которых посвящены, в частности, недавние работы известных ученых [37. 38. 40, 41. 43 48. 61. 65. 67 70]. Актуальность темы и результатов, среди которых исследование простого и красивого примера (движения балки с двумя коньками), еще более подчеркивается наличием в современной технике сложных гибридных механических управляемых систем (см., например, работы [26 29]) . в которых реализуются неголономные связи весьма общего вида. Аналогичные системы уравнений возникают также в различных разделах современной физики (см., напри мер, [63]).
Наиболее существенные результаты работы:
1. Доказано, что нормальная форма уравнений Лагранжа с неопределенными множителями в окрестности множества вырождения неголопомиых линейных связей задает систему с быстрыми и медленными переменными. Сделаны выводы о неуправляемости такой системы.
2. Построен фазовый портрет и исследована структурная устойчивость
4
неявного дифференциального уравнения на типичной особой поверхности в трехмерном пространстве. •
3.Получена классификация локальных особенностей первых интегралов вырожденных механических систем с нелинейными связями, сводящихся к системам с двумя степенями свободы.
4. Исследована динамика неголономной системы, состоящей из балки с двумя коньками, и совершающей плоское движение вблизи множества падения на единицу ранга системы неголономпых связей. Показано, возникновение области ударных движений.
Научная новизна
В диссертации получены новые теоретические результаты, представляющие интерес для широкого круга специалистов по механике и теории дифференциальных уравнений. Эти результаты, по-видимому, не встречались ранее в мировой литературе. Такими результатами являются:
Доказательство теоремы о нормальной форме уравнений динамики в окрестности вырождения связей коранга 1.
Качественное исследование динамики механической системы, описываемой неявным дифференциальным уравнением на особой поверхности, так называемом. "зонтике Уитни".
Качественное исследование динамики балки с двумя коньками вблизи, множества вырождения системы уравнений связей.
Классифицированы нормальные формы локальных особенностей первых интегралов вырожденных систем с нелинейными связями, сводящихся к 2 степеням свободы.
Достоверность
Достоверность исследования обеспечивается применением строгих математических методов, а также соответствием выводов, полученных в диссертации.
известным ранее результатам. Все теоретические положения сформулированы в виде теорем и лемм и полностью доказаны.
Автору диссертации удалось использовать современные методы теории неявных дифференциальных уравнений и математической теории особенностей для исследования качественного поведения сложных пеголопомиых механических систем вблизи множества падения ранга матрицы лилейных связей или дифференциалов нелинейных связей. Теоретическое исследование структурной устойчивости неявного уравнения динамики на специальной особой поверхности дополняет недавние работы ряда специалистов из Японии и Великобритании (см., например, (15, 47, 56]). не изучивших эти важные для приложений явления.
Практическая значимость результатов диссертационного исследования
Результаты анализа качественного поведения пеголопомиых механических систем вблизи области вырождения уравнений связей являются новыми теоретическими положениями, имеющими приложения в фундаментальных и практических исследованиях динамики сложных систем, в частности, в робототехнике, в многозвенных транспортных системах. Методы созданные в диссертации могут быть использованы в исследовании систем дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными, в теории управляемого движения. Результаты о качественном поведении неявного уравнения на специальной особой поверхности имеют широкий спектр приложений в ряде областей естествознания. включая, в частности, неголопомные механические системы, состоящие из нескольких сочлененных твердых тел, снабженных несколькими колесными парами, а также и задачи релятивистской физики, сводящиеся к системам уравнений с вырожденными Лагранжианами. Полученные обще-теоретические результаты могут быть использованы в учебном процессе при подготовке спецкур-
6
сов по теории цеголоиомиых систем и неявных дифференциальных уравнений.
Апробация результатов исследования
Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены па двух международных конференциях: Международная конференция по Механике и Управлению. Суздаль. Июль 2009; Международная конференция "Дифференциальные уравнения и особенности", Суздаль. Июль 2010; а также на семинаре "Дифференциальные уравнения и механика" факультета Прикладной математики и физики МАИ (Апрель 2010).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 6 работ (30 35]. из них три статьи в журналах, рекомендованных ВАК. Одна статья принята к печати. Опубликованные в данных журналах статьи полностью отражают содержание всех глав диссертации.
Более подробное описание диссертации
Работа состоит из двух глав.
В первой, нас интересует качественное поведение неголоиомных механических систем, в том числе, систем с управлением, при условии, что уравнения связей (которые мы считаем линейными однородными по скоростям) задаются в некоторых точках вырожденной матрицей.
Исторически первой общей формой уравнений неголономной механики считают уравнения Лагранжа с неопределенными множителями, которые впервые были получены в работе Феррерса |22](однако название уравнений Феррерса оии не получили)
(1)
г = 1,...,п
7 = 1
7
- Київ+380960830922