Исследование треугольных точек либрации задачи трех тел в сопротивляющейся среде

Оглавление
Введение........................................................................4
1 Ограниченна»! задача трех тел. 11
1.1 Краткая история залами................................................ 11
1.2 Постановка задачи и уравнения движения................................ 13
1.3 Частные решения ограниченной задачи трех тел.......................... 15
1.4 Устойчивость точек либрации в случае круговой задачи.................. 18
1.5 Периодические движения п окрестности /м, £в........................... 24
2 Задача трех тел при наличии межпланетной среды. 28
2.1 О природе малых диссипативных сил..................................... 28
2.2 Точки либрации в среде с сопротивлением............................... 30
2.3 Исследование устойчивости по первому приближению...................... 32
2.4 Анализ устойчивости в частных случаях................................. 36
2.4.1 Среда постоянной плотности..................................... 36
2.4.2 Среда с вязким трением......................................... 38
2.4.3 Среда с аэродинамическим сопротивлением........................ 39
2.4.4 Произвольный закон сопротивления............................... 39
3 Периодические орбиты ограниченной задачи трех тел в сопротивляющейся среде. 41
3.1 бифуркации равновесии................................................. 42
3.2 бифуркация Пуанкаре-Лндронова-Хопфа................................... 43
3.3 Циркуляция диссипативных сил по периодическому решению................ 15
3.4 Исследование бифуркации............................................... 47
3.5 Определение типа орбиты............................................... 47
2
- 3 -
3.6 Построение орбит............................................... 48
3.6.1 Метод "сечения Пуанкаре”................................. 49
3.6.2 Реализация метода "сечения Пуанкаре”..................... 51
3.6.3 Системы Солнце-Юпитер. Земля-Луна........................ 54
3.7 Выделение из семейств предельных цикли»........................ 56
3.8 Определение коэффициента бифуркации............................ 57
3.9 Периодические орбиты в среде типа "кеп лерово кольцо”.......... 60
Заключение.............................................................63
Приложение 1...........................................................64
Приложение 2...........................................................82
Литература.............................................................90
Введение
- 4 -
Ограниченная задача трёх гел является одной из основных классических задач небесной механики. Начало в изучении этой задачи положено Эйлером н связи с его теорией движения Луны. Последующее развитие она получила в трудах Якоби, Хилла, Пуанкаре, Леви-Чепнтта. Ниркгоффа и многих других замечательных учёных. Несмотря на почти двухсотлетнюю историю задачи, она попрежнему актуальна, об этом можно судить по работам Себехея, Маркеева, Брюно.
Внимание к ограниченной задаче трёх тел связано не только с её применением к описанию движения небесных тел. Уравнения движения задачи трёх тел интересны с чисто математической точки зрения, так как являются примером гамильтоновой системы. В процессе их изучения родилось много теорий и методов имеющих общее значение.
К настоящему моменту в классической ограниченной задаче получены исчерпывающие, на современном уровне теории, результаты. На этом фоне интенсивно развивается направление, связанное с постановкой и исследованием модифицированных моделей задачи трёх тел. Некоторые из таких моделей учитывают физические свойства движущегося тела (обобщённая задача трёх тел), другие принимают во внимание дополнительные силы (фотогравктационная задача, задача с сопротивлением среды).
В основе постановки задачи трёх тел в сопротивляющейся среде, лежит, частично подтверждённая наблюдениями, гипотеза о неоднородности космического пространства. Результаты изучения этой задачи могут быть использованы как дополнительные доводы, для подтверждения или опровержения некоторых космогонических теорий.
Исторический опыт показывает важность исследования различных моделей. Так как природа непредсказуема в своих проявлениях, становится актуальным вопрос об исследовании самых разных законов сопротивления. Подобный подход прослеживается в работах Денби. Джефриса, Иванова.
В модели ограниченной задачи трёх тел с учётом среды, неподвижной относительно абсолютной системы координат, используется закон предложенный Смартом. Эта модель особенно интересна с математической точки зрения, гак как н ней получены довольно неожиданные результаты, касающиеся устойчивости треугольных точек
- 5 -
либрапии. Несмотря на это, задача до сих пор малоисследованна и представляет интерес н плане новых законов сопротивления.
Данная диссертация посвящена исследованию треугольных точек либрации пространственной круговой ограниченной задачи трех тел при учёте сил сопротивления
среды.
В первой главе рассмотрена классическая ограниченная задача трёх тел, приведены и проанализированы основные результаты, с целью использования в дальнейшем. Особое внимание уделено частным решениям круговой ограниченной задачи трёх тел -треугольным точкам либрации, а также периодическим решениям в их окрестности. В § 1.1 кратко изложена история основных достижений в задаче трёх тел. В § 1.2 рассматривается постановка классической задачи и уравнения движения. Считается, что тело, масса которого исчезающе мала (пассивно гравитирующая точка), движется в ноле гравитационного притяжения двух тяжёлых планет (основные тела), не оказывая влияния на движение последних. Для описания движений пассивно-гравитирующей точки используется вращающаяся (синодическая) система координат, связанная с основными телами.
В § 1.3 показано существование пяти точек либрации задачи трёх тел. Три из них, прямолинейные точки либрации (1|, лежат на оси, проходящей через
основные тела. Две оставшихся, треугольные точки либрации (/,,,£?), образуют с основными телами во вращающейся системе координат равносторонние треугольники. Их координаты {1/2 - 2ц, х/3/2,0), (1/2 - 2ц, — ч/3/2,0).
В § 1.4 приведена схема исследования устойчивости точек либрации в плоской круговой задаче трёх тел. Показано, что прямолинейные точки либрации неустойчивы, я треугольные точки устойчивы по Ляпунову практически для всех значений массового параметра из диапазона
О <ц<ц* 0.0385208
В § 1.5 приведена теорема Ляпунова о голоморфном интеграле, из которой следует существование двух семейств периодических решений в окрестности треугольных точек либрации. Для приближённого построении этих решений используется нормальная форма функции гамнльтона в окрестности полученная Марксовым по методу
нормализации Биркгоффа.
- с -
Вторая глава посвящена постановке задачи трёх тел с учётом сопротивления среды и исследованию треугольных точек либрации этой задачи.
В ^ 2.1 обсуждается вид закона сопротивления. Среда считается неподвижной в абсолютной системе координат. Её сопротивление мало и направлено в сторону противоположную абсолютной скорости тела V. В общем виде сила сопротивления выглядит как:
где 0 < е < 1, г - радиус вектор тела во вращающейся системе координат. /,д - дифференцируемые, скалярные функции. В ограниченной постановке влиянием сопротивления на основные теля можно прияобречь. Уравнения движения В среде С сопротивлением имеют вид:
где в качестве независимой переменной и принята истинная аномалия, р -соотношение масс основных тел (массовый параметр), рир2 -расстояния до основных тел.
В 2.2 показано, что в задаче с сопротивлением существуют треугольные точки либрации. Они смешены, относительно треугольных точек либрации и пустоте, на величины:
Смещение происходит в плоскости основных тел в сторону вращения.
II § 2.3 исследуется устойчивость треугольных точек либрации в среде С сопротивлением. Так как прямой метод Ляпунова для исследования устойчивости здесь неприменим. из за сложности построения функции Ляпунова, вывод об устойчивости делается
S = -ef(r)0{V)V,
(I)
(2)
О = 4(£2 + Vі) - 2е-СС(уя и
** Ш| І* Tibi'
Д£ = Т^^(1-/* + Р2} + 0(£2),
Ат) = TiMl - 2/0 + 0(еа),
АС = ОИ,
-7-
по первому приближению, с использованием метода линеаризации. Устойчивость в зависимости от от функций / и д сводится к теореме:
Теорема
Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости треугольных точек либрации в среде с сопротивлением (1) имеют вид:
Если хотя бы одно из этих неравенеств имеет противоположный смысл, точка либрации неустойчива.
В § 2.4 рассмотрены 3 частных случая законоа сопротивления и один общий закон.
1) Среда с постоянной плотностью описывается так:
S = -e\V\**V. (3)
Первые результаты, касающиеся такого закона сопрел инленин, получены Ивановым.
2) Случай когда среда неоднородна и ее плотность зависит от расстояния до наиболее тяжёлой массы (в случае пары Солнце-планета - до Солнца) имеет вид:
S = -е|г - fcfV. (4)
3) Случай, когда закон сопротивления содержит квадрат скорости, назван аэродина мичоскнм, так как характеризует среду, ведущую себя подобно атмосфере при малых скоростях тела:
S=-e\r-i‘c\*\V\V. (5)
4) Общий закон:
Для каждого случая получены условия устойчивости и построены области устойчивости в плоскости параметров задачи. Показано, что наличие среды не означает, в данном случае, потерю устойчивости, а ведёт к уменьшению значений массовых параметров
8
//, для которых точки либрации устойчивы. Этот результат существенно отличается от результата Дэнби, который получил неустойчивость, в случае когда сила сопротивления среды противоположна вектору относительной скорости.
Третья глава посвяшена периодическим движениям в окрестности треугольных точек либрации. Ляпуновские семейства периодических орбит в среде сопротивлением разрушаются. При этом часть изолированных орбит семейства сохранятся. Подобное явление описывается бифуркацией Пуанкаре-Андронова-Хопфа. Коэффициент бифуркации позволяет найти изолированные орбиты и определить их устойчивость. К сожалению, процесс нормализации системы с диссипативными силами, обычно используемый при поиске коэффициента, настолько сложен, что делает его в данном случае непригодным. Поэтому разработан алгоритм, позволяющий численно находить коэффициент бифуркации. Он основан на свойстве изолированных орбит, которое заключается в том, что циркуляция диссипативных сил по ним равна нулю. Вычисление коэффициентов бифуркации требует высокой точности. Для её достижения приходится строить ляпуновские семейства невозмущённой задачи особенно тщательно. Здесь это делалось с помошыо метода "сечения Пуанкаре". Изложение третьей главы построено в соответствии с основными этапами алгоритма.
Собственные значения системы линеаризованной в окрестности смещённых точек либрации зависят от параметра 7, характеризующею том или иным образом закон сопротивления среды. В § 3.1 показано, что на границе области устойчивости все собственные значения имеют отличные от нуля действительные части, за исключением пары комплексно сопряжённых чисто мнимых корней. Отсюда следует, что потеря устойчивости теугольных точек либрации в среде с сопротивлением происходит по сценарию бифуркации Пуанкаре-Андронова Хопфа.
В § 3.2 описана бифуркация Пуанкаре-Лидронова-Хопфа.
В § 3.3 задача с сопротивлением рассматривается с позиций метода малого параметра Пуанкаре. Система уравнений (2) зависит от малого парметра £ и при е = О переходит в систему урвнений, описывающую классическую задачу трёх тел, которая является системой Ляпунова. Для подобных систем справедлива теорема Малкина, которая даёт условия существовоания периодической орбиты. Её смысл заключается н том, что: если циркуляция малых диссипативных сил на периодическом решении Г