Оглавление
1 Введение .................................................. 3
1 Инвариантные торы гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в окрестности резонанса 10
1 Основные теоремы.................................................. 10
1.3 Случай двух степеней свободы................................10
1.2 Случай полутора степеней свободы........................... 12
1.3 О зависимости разности частот от резонанса .... 13
1.4 Дискретный случай.......................................... 14
2 Доказательство основной теоремы....................................16
2.1 Частоты на инвариантных кризых, близких к сепаратрисам 21
3 Доказательство теоремы о зависимости разности частот
от резонанса......................................................24
3.1 Доказательство леммы 1.2................................... 26
2 О мажорантном методе в задаче Коши-Ковалевской. 28
1 Определения............................................... 28
2 Основные результаты....................................... 30
3 Доказательство теорем..................................... 31
4 Несколько фактов из функционального анализа....................... 37
5 Приложения................................................ 37
5.1 Метод непрерывного усреднения...................... 37
5.2 Задача о вложении диффеоморфизма в поток .... 38
5.3 Усреднение быстрой фазы ........................... 43
5.4 Доказательство леммы 2.10...........................47
6 Мажорантный метод и решение уравнений......................52
Литература........................................................53
2
1 Введение
Один из популярных объектов регулярной теории возмущений динамических систем - дифференциальное уравнение вида
2 я= £»(*,<,£), гбМ, (1.1)
где Л/ - гладкое т-мерное многообразие, е - малый параметр. Векторное поле V предполагается С°°-гладким и 2тг-периодичным по К
Хорошо известио, что путем замены переменных можно существенно ослабить зависимость правой части системы (1.1) от времени. В частности, используя стандартный метод усреднения (см., например [3]), легко построить 27г-периодическую по I замену переменных
а н4 г. = г+£р(г,*,£) (1.2)
такую, что уравнение (1.1) примет вид:
а* = егР(гш) 4 е2ъ\(гх,е) + еЩгт, /,б), (1.3)
где явная зависимость правой части системы от времени сосредоточена в слагаемом ей = 0(ек). Натуральное К произвольное, а.
3°М = ^ /и(гЛ0 )<И
о
- среднее от £(г,*,0) по времени.
Предположим теперь, что зависимость функций V от фазовых переменных аналитическая. Как заметил Пуанкаре, в этом случае степенные ряды по малому параметру, задающие замену переменных, исключающую время из уравнений, существуют, но расходятся, причем множители при ек в этих рядах имеют порядок /с!. В общей ситуации это утверждение доказано в работе [27].
Нсйштадт ^9, 2) заметил, что в случае аналитической зависимости функции д от фазовых переменных с помощью замены вида (1.2) э уравнениях (1.3) можно получить
V = 0(е“о/г), (1.4)
3
где а > 0 - некоторая постоянная, а параметр е предполагается неотрицательным. Таким образом, явную зависимость правой части уравнений движения от времени можно сделать экспоненциально малой.
Метод, использованный Ненштадтом при доказательстве этого утверждения, основан на проведении большого (порядка 1/с) количества последовательных замен переменных, постепенно ослабляющих явную зависимость уравнений ог времени.
Аналогичные результаты получили Рамис и Шафке [25], анализируя расходящуюся последовательность замен обычного метода усреднения.
В работе [16] Трещев предлбжил метод, позволяющий вычислять максимальную величину а, для которой возможна оценка (1.4). Этот метод называется методом непрерывного усреднения и состоит в построении континуальной серии замен переменных, ослабляющих неавтономное возмущение в системе (1.1).
Динамические эффекты, связанные с оценками (1.4), называются экспоненциально малыми эффектами.
Задача, решенная в главе 1 диссертационной работы, является одним из примеров такого эффекта.. В ее основе лежит следующий вопрос, сформулированный Арнольдом. Рассмотрим непрерывное семейство инвариантных кривых интегрируемого двумерного симплектического отображения и резонансную инвариантную кривую из этого семейства. Возмутим отображение, сохранив свойство симплекткчности. В типичной ситуации резонансная кривая разрушается, а в ее окрестности возникает область хаотических движений - так называемый стохастический слой. Границе стохастического слоя принадлежит пара нерезонансных кривых, возникших в результате деформации кривых из исходного семейства. Насколько отличаются частоты ка этих граничных кривых, если возмущение имеет порядок 0 < £ <& 1 ?
Отметим, что данное симплектическое отображение может трактоваться как отображение Пуанкаре в гамильтоновой системе с полутора степенями свободы.
Если рассматриваемая динамическая система аналитична, то разность частот имеет порядок е. Этот результат не является очевидным и, во всяком случае, не может быть получен путем анализа разложения Тейлора рассматриваемого отображения по параметру возмущения.
Хорошо известно, что рассматриваемые граничные инвариантные кривые в основном 1-шут на расстоянии порядка у/1 друг от друга, но в
4
некоторых местах подходят друг к другу экспоненциально близко. Формально говоря, ответ получается в результате следующего вычисления: у/ё !\og(e~c^) ~ е. Экспонента в последней формуле возникает за счет того, что возмущение в данной системе можно сделать экспоненциально малым, что позволяет причислить этот результат к экспоненциально малым эффектам.
Если система имеет лишь конечный порядок гладкости, то разность частот имеет порядок y/ij log £.
Аналогичные результаты получены для гамильтоновых систем с полутора и двумя степенями свободы.
На примере аналитической системы с гамильтонианом
Н(у,хЛ,е) = \у2 + С £ р > о
получена опенка зависимости разности частот на инвариантных кривых от порядка резонанса. Оказывается, что разность частот экспоненциально убывает с. ростом порядка резонанса.
Точнее говоря, модуль разности частот не превосходит числа
f(p)|£n3| max {\6\> Ы} е*Р (“РСК
где ( = |гл| 4- |п| - порядок резонанса, т/п - частота на резонансной кривой (числа m и п взаимно просты). S ил- целые числа, удовлетзо-ряющиее соотношению п5 4- rny = 1 и такие, что величина max {|<5|, |-у|} минимальна, функция f(p) - неотрицательна.
На неформальном уровне этот результат может быть объяснен следующим образом: при стремлении порядка резонанса к бесконечности резонансная кривая переходит в нерезокансную и, вообще говоря, не разрушается под действием возмущения.
Отметим, что оценки разности частот, приведенные в настоящей работе, являются оценками сверху. Однако, несомненно, в системах общего положения оценки снизу имеют тот же порядок.
В главе 2 диссертационной работы получена теорема, позволяющая доказывать существование и получать мажорантные оценки решений задачи Коши для системы из счетного числа уравнений в частных производных. Эта теорема и техника ее применения называются мажорантным методом. Данный результат позволяет также эффективно оцени-
5
1
вать действительный промежуток времени существования решения. Эти оценки не вытекают из имеющихся результатов, обсуждаемых ниже.
Актуальность такого рода задач для механики обуславливается приложениями к методу непрерывного усреднения, задаче о вложении диффеоморфизма в поток и усреднении быстрой фазы [15, 16, 24]. Эти приложения рассматриваются в работе.
Дело в том, что при получении оценок вида (1.4) методом непрерывного усреднения приходится доказывать существование решения в задаче Коши для системы из бесконечного числа уравнений в частных производных на временах от 0 до а/е.
Мажорантный метод доказательства существования и единственности аналитических решений начальной задачи для линейных уравнений в частных производных впервые был применен О. Коши в 1842 году.
В 1874 году с помощью усовершенствованной версии этого метода С.
Ковалевская решила задачу Коши в нелинейной постановке1.
Поясним суть мажорантного метода на примере скалярной задачи:
( Ut = f{u.,u2,z,t), ,J5.
\ и |,-о = UqU),
где функция до аналитична по 2 в нуле:
**о(2) = J2u°kzi'
к
функция f(u,v,z.t) аналитична в точке (до, 0,0):
/(д,д,2,<)= Y, ~ U0)\v - V0)3Zmtny
где до = u0(0) и г'о = (до)г(0). Будем искать решение задачи (1.5) в виде ряда по степеням zut:
u(^z) = (L6)
гС разными версиями истории теоремы Коши-Ковалевской можно познакомиться по книгам [7, 5].
6
- Київ+380960830922