Об устойчивости неустановившихся движений механических систем

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Глава 1. Об исследовании устойчивости движений
неавтономных механических систем 12
1. Основные определения, предположения и утверждения метода предельных уравнений................................ 12
2. Об исследовании устойчивости неустановившихся движений на основе знакопостоянных функций Ляпунова . 18
3. Об устойчивости неустановившихся движений системы, имеющей первые интегралы................................... 28
Глава 2. Об устойчивости и стабилизации неустановившегося
движения механической системы 31
1. Об устойчивости положения относительного равновесия механической системы с голономными нестационарными связями.................................................... 31
2. О стабилизации программного движения голономной механической системы....................................... 44
3. Об устойчивости нестационарных движений центрифуги . . 51 Глава 3. Об устойчивости обобщенных стационарных
движений механических систем 56
1. Об исследовании устойчивости обобщенного стационарного движения голономной механической системы на основе знакопостоянной функции Ляпунова........................... 56
2. Об устойчивости обобщенных стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе............................. 66
3. Об устойчивости обобщенного стационарного движения маятника Шулера............................................ 75
Заключение 81
Список литературы 82
2
ВВЕДЕНИЕ
Основы теории устойчивости движения были разработаны великим русским ученым Александром Михайловичем Ляпуновым в конце XIX века. В настоящее время теория устойчивости по Ляпунову является общепризнанной, находит широкое применение в ряде областей науки и техники, и продолжает интенсивно разрабатываться.
Второй метод Ляпунова заключается в выявлении условий устойчивости невозмущенного движения на основе построения специальных функций, называемых функциями Ляпунова. Постановка новых задач об устойчивости и стабилизации движений различных систем и процессов (в том числе, механических) отсутствие универсального способа построения этих функций, удовлетворяющих условиям тех или иных общих теорем об устойчивости (например, теоремам Ляпунова) приводит к необходимости модификации и обобщения известных ранее таких теорем.
Эта область исследования была объектом изучения многих выдающихся ученых. II.Г. Четаев показал эффективное использование доказанной им теоремы о неустойчивости в задаче об условиях неустойчивости положения равновесия голономной механической системы 114-116]. Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости [161 и теорема Красовского о неустойчивости [54] имеют широкое применение как в исследовании устойчивости движений механических систем, так и в исследовании устойчивости различных физических и биологических процессов. Теорема В.В. Румянцева об устойчивости движения относительно части переменных [91] послужила основой большого нового раздела теории устойчивости, имеющего важное прикладное значение [2, 96-99]. Эффективным методом исследования ряда задач об устойчивости явился метод векторных функций Ляпунова, в основе которого лежат работы
3
В.М. Матросова [72, 73]. Подробное изложение результатов этих и других исследований можно найти в целом ряде обзоров [2,45,82,96,98], сборников [34,35] и монографий [14,15,27.28,36,37,54,59,64,67,75,100].
В последнее время целью ряда работ является развитие второго метода Ляпунова в направлении использования в задачах устойчивости знакопостоянных функций Ляпунова. Этому направлению посвящены работы A.PI. Самойленко [101], Н.Г. Булткова [25], PI.B. Гайшуна [29],
A.C. Андреева [4,5,7,8] и других ученых.
Целью настоящей работы является:
1. Разработка новых методов решения задач об устойчивости движений неавтономных механических систем на основе модификации и обобщения некоторых теорем прямого метода Ляпунова, в направлении использования знакопостоянных функций Ляпунова.
2. Исследование задач об устойчивости положения равновесия и обобщенного стационарного движения неавтономных механических систем.
3. Решение на основе полученных методов исследования устойчивости некоторых задач прикладного характера.
В первой главе получены новые методы исследования устойчивости нулевого решения неавтономной системы дифференциальных уравнений на основе знакопостоянных функций Ляпунова и рассмотрено их применение в исследовании устойчивости невозмущенного движения систем, имеющих первые интегралы.
Первые результаты по применению знакопостоянных функций Ляпунова были получены в работе А.М. Самойленко [101]. В их основе лежит использование свойства инвариантности положительного предельного множества решения автономной системы. Дальнейшее продолжение это направление получило в работах Н.Г. Булгакова и B.C. Калитина [25, 26, 41], И.В. Гайшуна и Л.Б. Княжище [29],
Э.И. Грудо [31], A.A. Косова [51-53] и других ученых. В работах
4
[25, 26. 29, 31, 109, 110] рассматривались автономная, периодическая и почти периодическая системы дифференциальных уравнений. В работах [51-53] эти результаты на основе построений из [4, 5] развивались на неавтономную систему.
В первом параграфе даны основные определения и приведены некоторые известные результаты об устойчивости неустановившегося движения предельных уравнений [3-10,117,118,139].
Во втором параграфе доказаны теоремы об устойчивости, равномерной устойчивости, эквиасимптотической устойчивости и равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения неавтономной системы в предположении существования постоянно-положительной функции Ляпунова, имеющей постоянно-отрицательную производную. Доказанные теоремы развивают и обобщают результаты работ A.C. Андреева, полученных в случае знакоопрсделенной функции Ляпунова [4, 10], и теорему A.A. Косова для случая знакопостоянной функции Ляпунова [52].
Эти теоремы могут быть использованы в задаче об устойчивости неустановившегося движения системы, имеющей первые интегралы.
Впервые задачу об устойчивости невозмущенного движения системы, имеющей первые интегралы, рассмотрел Н.Г. Четаев, предложивший применять для исследования устойчивости метод, получивший название метода связок интегралов Четаева [114-116]. В дальнейшем различным аспектам развития и применения этого метода были посвящены многочисленные работы Г.К. Пожарицкого [83-85], П.А. Кузьмина [58],
A.B. Карапетяна [42, 43], A.B. Карапетяна и С.Я. Степанова [46, 47],
B.Н. Рубановского [87-89], В.Н. Рубановского и С.Я. Степанова [90],
C.Я. Степанова [105].
В третьем параграфе дается теорема, позволяющая определить условия устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы, когда из известных интегралов не удается составить определенно-
5
положительную функцию Ляпунова. Приведен пример, показывающий ее эффективность.
Результаты изложенные в первой главе применяются во второй в исследовании задачи устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы. Отметим, что эта задача является гораздо менее исследованной по сравнению с аналогичной задачей для механической системы со стационарными связями [40,55,60-62,65,74,75,83-85].
Приведем основные результаты для неавтономной механической системы. В. М. Матросовым в [72] показана асимптотическая устойчивость и неустойчивость изолированного положения равновесия механической системы под действием диссипативных и гироскопических сил, зависящих явно от времени, в зависимости от наличия минимума потенциальной энергии в этом положении.
Асимптотическая устойчивость по координатам аналогичной системы, но с потенциальной энергией П(£,д) = р(2)По(я) при условиях р(2) > 0. р(Ь) > 0, показана Л. Сальвадори в [138].
Условия асимптотической устойчивости и неустойчивости для механической системы с одной степенью свободы и переменными коэффициентами демпфирования получены в [119].
Работы по исследованию частичной асимптотической устойчивости положения равновесия механической системы выполнены Л. Хатвани и Й. Тереки [106-108, 112]. Различные условия асимптотической устойчивости, асимптотической устойчивости по скоростям и сходимости движений по координате для механической системы с одной степенью свободы получены в работах [112,124]. В [124] показана асимптотическая устойчивость и неустойчивость по скоростям и части координат механической системы под действием гироскопических и диссипативных сил, зависящих от времени, когда потенциальная энергия определенно-положительна, допускает бесконечно малый высший предел по этим координатам. Условия асимптотической устойчивости по скоростям
6
под действием диссипативных сил, в том числе неограниченных, и предельное поведение при этом достаточно малых возмущенных движений исследованы в [107,108,124-128]. Среди рез}льтатов последнего времени но исследованию положения равновесия нестационарной механической системы можно отметить работы [76-79].
Многочисленные исследования посвящены различным прикладным задачам об устойчивости движений механических систем периодических по времени (см., например, [33.68,69,111,113]).
Новые методы исследования устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений позволили A.C. Андрееву получить различные результаты по исследованию устойчивости положения равновесия неавтономных механических систем и их стабилизации [3-9].
Во второй главе представлено дальнейшее развитие, модификация и обобщение результатов работы [9].
В первом параграфе второй главы определяются достаточные З'словия устойчивости положения относительного равновесия механической системы с нестационарными связями. Эффективность разработанных способов исследования устойчивости показана в задаче об устойчивости относительного равновесия физического маятника в случае нестационарного вращения вокруг вертикальной оси.
К задаче об устойчивости положения относительного равновесия механической системы с нестационарными связями сводится к задаче о стабилизации заданного программного движения голономной механической системы, которая подробно исследовалась в задачах
В.И. Зубова и его учеников [36,104].
Результаты первого параграфа второй главы позволяют получить иные, по сравнению с указанными работами, условия стабилизации программного движения. Преимущества результатов, полученных во втором параграфе заключаются в том, что предлагаемая форма управляющих воздействий, в отличии от [104], не зависит от параметров
7