Метод непрерывного усреднения в задачах динамики

СОДЕРЖАНИЕ
Содержание
1 Введение 3
1.1 Усреднение в системах с быстрыми и медленными переменными .................................................... 4
1.2 Вложение отображения в поток........................... 7
1.3 Задачи, связанные с расщеплением сепаратрис........... 10
2 Метод непрерывного усреднения 17
2.1 Метод непрерывного усреднения в автономном случае . . 17
2.2 Метод непрерывного усреднения в неавтономном случае 18
2.3 Выбор оператора £ 1.9
3 Мажоранты 22
4 Задача о вложении отображения в поток 27
4.1 Постановка задачи и результат......................... 27
4.2 Формализация задачи................................... 28
4.3 Обратимый случай...................................... 29
4.4 Применение метода непрерывного усреднения............. 30
4.5 Сведение к симплектическому случаю.................... 32
4.6 Замечание о требовании С2-гладкости векторного поля . 36
4.7 Доказательство основной теоремы в симплектическом случае ....................................................... 38
5 Быстро-медленные системы 42
5.1 Происхождение задачи.................................. 42
5.2 Постановка задачи .................................... 43
5.3 Основной результат.................................... 46
5.4 Применение метода непрерывного усреднения............. 50
5.5 Доказательство замечания о сохранении симплектической структуры.................................................. 52
5.6 Усредняющие уравнения................................. 52
5.7 Мажорантный коммутатор................................ 54
5.8 Основная лемма........................................ 55
5.9 Доказательство основной леммы ........................ 56
5.10 Доказательство теоремы 5.1. Оценка для гс. ........... 60
5.11 Доказательство теоремы 5.2. Опенки для ги,............ 62
1
СОДЕРЖАНИЕ
5.12 Свойства функций ф^ фт................................. 62
5.13 Оценки для сумм, возникающих при доказательстве леммы 5.2...................................................... 64
Список литературы 69
2
1 ВВЕДЕНИЕ
1 Введение
Целью данной работы является описание метода, позволяющего получать результаты в ряде задач теории возмущений в рамках классической механики и теории динамических систем. Этот метод, названный методом непрерывного усреднения, является развитием метода усреднения Нейштадта [7], основанного на проведении большого количества последовательных замен переменных, каждая из которых ”улучшает” исходную систему дифференциальных уравнений.
Суть метода состоит в следующем. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
г = Р(г).
Пусть система преобразуется с помощью следующей замены переменных:
г Z(z} Л),
где Д - некоторый неотрицательный параметр.
Метод непрерывного усреднения предлагает строить эту замену как сдвиг вдоль решений следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
^ = /(2,5), 2(г,0) = г, 0<<5<Д.
Отличительной чертой метода является то, что векторное поле / предлагается выбирать как результат действия некоторого линейного оператора на исходное векторное поле Г:
/ = £р.
Этим метод отличается, в частности, от метода Ли и его гамиль-тонового варианта - метода Дспри-Хори, в которых векторное поле / строится в виде ряда но малому параметру, присутствующему в системе.
3
1 ВВЕДЕНИЕ
Благодаря своей естественности, кроме получения принципиальных результатов, во многих задачах метод позволяет получать более тонкие оценки по сравнению с традиционным подходом.
Метод был разработан Трошевым Д.В. и впервые применен в работах [41], [42] при решении задачи приводимости для линейной системы с квазипериодическими коэффициентами. В дальнейшем метод был успешно применен для решения ряда задач динамики, две из которых рассматриваются в данной работе.
1.1 Усреднение в системах с быстрыми и медленными переменными
Одной из задач, в которых метод непрерывного усреднения оказался весьма эффективным, является задача об усреднении в системах с быстрыми и медленными переменными.
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида
и>{1)+ е/(/,^,е),
/ = ед{1,1р,е),
где г« 1 - малый параметр, р Е Тг', / € V С Кш.
Переменные р в такой системе изменяются значительно быстрее переменных / и часто называются ’’быстрыми" переменными, в то время как / - ” медленными” переменными.
Подобные системы, например, возникают при исследовании гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. В этом случае т = п и р, I переменные действие-угол в невозмущенной системе
ОНо(1) л#1/г \
V - — +£-д^(Л^>£)>
Другим классическим примером, сводящимся к системе с быстрыми и медленными переменными, является задача об усреднении в неавтономной системе
х = еу(х,Ь,б), £ то(4 2я\ (1.2)
Задача состоит в поиске замены переменных х н-> у(х, £), сводящей уравнение (1.2) к автономному (у = еО(у,е)). В этом случае, п = 1, р = £, и / = х.
4
1 ВВЕДЕНИЕ
Согласно классической идее, использованной ешс Гауссом при изучении возмущения движений планет друг другом, вместо системы (1.1) в некотором приближении можно использовать усредненную систему
ф = с(/)+ ^(/),
/= ев{1), { ’
где вместо функций / и д используются их средние по времени Г и О:
ГМ = (2^ /т- '<'■ (14)
С(,) = <2^ фзЧ.Г'.О)^
Часто в системе (1.3) второе уравнение опускают, так как оно не требуется для изучения поведения медленных переменных.
Эта идея недостаточно формализована, и, более того, не всегда верна в случае п > 2. Определению ”степени близости” исходной и усредненной систем посвящены многие исследования.
Так, хорошо известно, что в случае п = 1 и достаточно гладких функций /, (/, можно построить 27г-периодическую замену переменных / м- такую, что функция д примет вид
у (Г, у, е) = у°[Г) + ед'(Г,е) + $(/*, ¥>, с), где д = 0(бА), /Г - произвольное наперед заданное натуральное число,
а
2т\
Замена переменных строится в виде степенных рядов по малому параметру ([3 ), которые существуют, но расходятся, причем множители при є имеют порядок к\ ([38]).
Используя композицию большого (~ 1/е) числа замен координат, близких к тождественной, Нейштадт показал в работе [7], что в случае аналитической зависимости функций /, д от переменных / при п = 1 можно построить замену переменных / 1-> /*, такую, что
д = 0(е-“/£), (1.5)
где а > 0 - некоторая постоянная, не зависящая от е.
5