Синтез оптимального по времени управления перемещением перевернутого стержня

Содержание
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 9
1.1. Вывод уравнений движения........................................ О
Глава 2. БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ 12
2.1. Уравнения движения............................................. 12
2.2. Область существования решения при ограниченном управлении...... 13
2.3. Оптимальный закон движения..................................... 19
2.4. Синтез управления.............................................. 30
2.4.1. ПроI*едура выбора унравлейия ................................ 31
Глава 3. ДВИЖЕНИЕ С ОГРАНИЧЕННЫМ УПРАВЛЕНИЕМ 33
3.1. Уравнения движения............................................. 33
3.2. Необходимые условия оптимальности.............................. 34
3.3. Быстродействие в начало координат.............................. 38
3.4. Свойства оптимального но быстродействию перемещения в начало координат ......................................................... 45
Глава 4. ЗАДАЧА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЯ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЯ НА СКОРОСТЬ ПЛАТФОРМЫ 52
4.1. Уравнения движения............................................. 52
4.2. Движение в начало координат.................................... 53
4.2.1. Случай А..................................................... 56
4.2.2. Случай В..................................................... 58
2
4.2.3. Случай С................................................................ 04
4.2.4. Структура управления.................................................... 86
4.3. Свойства перемещения в начало координат................................... 88
Заключение 94
Литература 96
Приложение 100
3
ВВЕДЕНИЕ
Задаче о динамическом равновесии перевернутого физического маятника, посвящено много исследований, инициированных работами [45], [18], [38]. В них устойчивость равновесия маятника в верхнем положении обеспечивается за счет периодических вертикальных вибраций точки опоры. Частота этих вибраций должна быть достаточно большой, что что не всегда практически удобно реализуется. Вибрация точки опоры в горизонтальном направлении для стабилизации верхнего положения маятника мало эффективна. Для стабилизации перевернутого маятника с неподвижной точкой опоры применяются различного рода следящие системы управления, описанные, например, в [28]. Метод стабилизации перевернутого маятника посредством горизонтальні,їх перемещений точки опоры предложен в [22].
Вместе с тем помимо стабилизации представляет практический интерес также и транспортировка точки опоры перевернутого маятника в другое пространственное положение с сохранением вертикальной ориентации маятника. Такая задача возникает, в частности, при перемещении высотного строительного крана по рельсам, при обеспечении вертикальной позы двуногого робота. В одномерном варианте эта задача решена разными методами. В [19] построен оптимальный регулятор по методу Калмана-Летова, сохраняющий вертикальное положение стержня во все время движения. В |22| представлен алгоритм управления на основе РБ-регулятора, обеспечивающего перемещение точки опоры маятника на заданное расстояние с удержанием маятника в перевернутом вертикальном положении. В [3] исследована устойчивость перевернутого маятника при циклических горизонтальных смещениях точки опоры. В некоторых работах для стабилизации перевернутого маятника используются нейронные сети. Например, в [31] решается задача о достижении маятником вертикального положения с нулевой угловой скоростью и удержания его в этом положении. В перечисленных алгоритмах в качестве обратной связи использовалась информация об угловом положении стержня относительно опоры.
4
В данной работе рассматривается система, которая состоит из массивного стержня, прикрепленного сферическим шарниром к подвижной платформе, то есть в точке опоры отсутствуют управляющие моменты и измерительные устройства. Управление движением должно быть достигнуто лишь за счет подходящего перемещения точки опоры стержня. Измерительную обратную связь в этом случае может обеспечить, например, система технического зрения, наблюдающая за какой-нибудь фиксированной точкой стержня. В [14| для такой системы была решена задача об оптимальном по быстродействию переводе точки опоры стержня из одного фиксированного положения в пространстве в другое ее заданное положение при условии, что в начале маневра стержень был застабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра требуется привести стержень тоже в верхнее положение с нулевой скоростью в новом положении точки опоры, при этом стержень в процессе маневра по должен проходить через нижнее положение равновесия (аналогичная задача о транспортировке точки подвеса физического маятника без раскачки в окрестности его нижнего положения равновесия была решена в работах [30), [40) применительно к обеспечению процесса погрузки портовым краном).
Для полученных уравнений движения поставленной модельной задачи решается задача синтеза оптимального по быстродействию управления и задача оптимального по быстродействию программного управления. Решение задачи синтеза оптимального управления состоит в нахождении оптимального управления в виде стратегии управления по принципу обратной связи, как функции текущего состояния (позиции) процесса (см. [30], |5), [20], |21|). Состояние определяется, помимо текущего момента времени, также доступными значениями текущих параметров. Таким образом, управлять системой можно апостсриорно, корректируя управление на основе дополнительной информации, получаемой по ходу процесса. Решение задачи программного управления состоит в нахождении функции управления в виде функции времени, тем самым полагая, что по ходу процесса никакой информации, кроме заданной в самом начале, в систему не поступает (см. (30), [20)). То есть, оптимальное
5
программное управление формируется по априорным сведениям о системе и уже не может быть скорректировано.
Как известно, решенных задач оптимального быстродействия сравнительно мало (см., например, [1], [27], (23], [24], |11], (32], (42], [43], [37]), поэтому представляют интерес любые модели, для которых может быть построен синтез. В исследованиях задач синтеза оптимального быстродействия немаловажную роль играет изучение структуры множеств достижимости. Так в (35], |36|, [29], [33], [34] изучается структура множеств достижимости, а также предельных множеств достижимости, получающихся при стремлении времени к бесконечности, называемых множествами управляемости и связанными с ними проблем.
Данная кандидатская работа является развитием исследований, представленных в |14], [44] и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.
В главе 1 вводятся основные обозначения и предположения для рассматриваемой системы, а также выписаны общие уравнения движения для поставленной модельной задачи.
Глава 2 посвящена разбору случая безынерционного движения платформы. В качестве функции управления взята скорость платформы. Находится оптимальное по быстродействию программное управление и строится синтез оптимального по быстродействию управления наискорейшего перевода точки опоры стержня на заданное расстояние при условии, что начальное положение и угловая скорость стержня произвольны, а в конце маневра требуется привести стержень в верхнее положение равновесии с нулевой скоростью.
В §2.1 выписаны уравнения движения для рассматриваемого случая.
В §2.2 рассматривается проекция траекторий движения на фазовую плоскость. Находится область существования решения поставленной задачи.
В §2.3 аналитически решена задача нахождения оптимального по быстродействию программного управления. Получены формулы для нахождения времени дви-
6
жения на каждом участке постоянства управления.
В §2.4 построен синтез оптимального по быстродействию управления. Выписаны уравнения кривой переключения и поверхности переключения как функции текущего состояния системы, а также показана процедура выбора управления в текущий момент времени.
Глава 3 посвящена задаче наискорейшего перевода точки опоры стержня на заданное расстояние при условии, что в начале маневра стержень был стабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра требуется привести стержень тоже в верхнее положение равновесия с нулевой скоростью и ускорением в новом положении точки опоры. В качестве функции управлении взято ускорение платформы.
В §3.1 выписаны уравнения движения для рассматриваемого случая.
В §3.2 найдены необходимые условия оптимальности и доказано, что моментов переключения управления не более трех.
В §3.3 решается аналитически задача нахождения оптимального по быстродействию программного управления поставленной задачи. Показано, что поставленная задача имеет решение только при наличии ровно трех моментов переключения управления.
В §3.4 выписаны свойства полученного движения системы.
В главе 4 решается задача перевода точки опоры стержня на заданное расстояние с использованием комбинированного управления, когда в качестве функции управления взято ускорение платформы и считается, что скорость платформы ограничена по величине. По-прежнему принимается, что в начале маневра стержень бьтл стабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра требуется привести стержень тоже в верхнее положение равновесия с нулевой скоростью и ускорением в новом положении точки опоры.
В §4.1 выписаны рассматриваемые уравнения движения.
В §4.2 рассматриваются все возможные случаи решения поставленной задачи и находится аналитически программное управления поставленной задачи. Показано,
7
что поставленная задача имеет решение только при наличии четырех участков движения с постоянным ускорением, а участков движения с постоянной скоростью в зависимости от параметров системы может быть три, один или ни одного.
В §4.3 выписаны свойства программного управления поставленной задачи. Заключение содержит основные результаты диссертации.
В приложении собраны рисунки ко всем главам диссертации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7|- [10].
8