2
Оглавление.
Введение..............................................................3
Глава 1. Об устойчивости невозмущенного движения периодической систем.
......................................................................15
§ 1.1. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с
периодической правой частью...........................................15
§ 1.2. Системы с цилиндрическим фазовым пространством.................26
§ 1.3. О предельном поведении нулевого решения периодической по времени
механической системы с первыми интегралами............................33
Глава 2.Устойчивость движений почти периодических систем..............37
§ 2.1. Системы дифференциальных уравнений с почти периодической правой
частью и их свойства................................................. 37
§ 2.2. Устойчивость нулевого решения почти периодической системы дифференциальных уравнений.................................................49
§ 2.3. Методы знакопостоянных функций Ляпунова в задаче об устойчивости
движения..............................................................56
Глава 3. Об устойчивости движений нестационарной механической системы.
61
§3.1. Об устойчивости положения равновесия механической системы под
действием сил, зависящих явно от времени..............................61
§ 3.2. Об устойчивости обобщенного стационарного движения периодической но времени механической системы..................................65
§ 3.3. Задача о стабилизации вращательного движения спутника на эллиптической орбите.........................................................71
Заключение............................................................86
Список литературы.....................................................87
3
Введение.
Задача об устойчивости установившихся движений механических систем, изучение которой было начато еще в грудах Ж.-Л. Лагранжа и Э.Дж. Рауса, явилась основополагающей для большого раздела теоретической механики - теории устойчивости движений. Математические основы этой теории были разработаны в трудах великого русского ученого А.М. Ляпунова в 90-х годах XIX века.
Интенсивное развитие науки и техники в 30е - 40е годы прошлого века привлекло большое внимание ученых к проблемам теории устойчивости и ее приложениям. Активным исследованиям в этой области способствовали также труды выдающегося советского ученого Н.Г. Четаева.
И в настоящее время теория устойчивости продолжает активно развиваться, привлекая большое внимание российских и зарубежных ученых, имея широкое применение в различных областях науки и техники, в частности, при проектировании и конструировании систем стабилизации движений различных сложных объектов, в решении задач автоматического регулирования, управления и т.д.
Несмотря на классический характер, задача об устойчивости и стабилизации установившихся и неустановившихся движений механических систем остается одной из актуальных задач. Ее подробное исследование, начатое еще в трудах Ж.- Л. Лагранжа, Э.Дж. Рауса, У.Томсона и Н.Тэта [129], Н.Г. Четаева [100, 101] было продолжено в работах В.В. Румянцева [79-89], В.В. Козлова [41-44], Г.К. Пожарицкого [70-72], В.М. Матросова [61,62], A.B. Карапетяна [34,35] и многих других ученых [36,38,95,97].
Подробный анализ исследования задачи об устойчивости положения равновесия и стационарного движения механической системы можно найти в ряде обзоров [34,67,76,88].
4
Среди классических задач теории устойчивости движений по- прежнему актуальной остается задача об устойчивости и стабилизации установившихся и неустановившихся движений механических систем.
Основными методами исследования таких задач являются использование уравнений линейного приближения и построение специальных функций Ляпунова [67, 76, 88]. Так, например, эффективным методом исследования устойчивости установившихся движений механических систем является метод связок интегралов Четаева [1, 20, 50]. Его применение позволило решить ряд важных и интересных прикладных задач [27, 28, 77, 78].
Анализ решения указанных классических задач об устойчивости установившихся движений механических систем широко используется в исследовании задач о стабилизации управляемых движений механических систем [12,31-33,45,54]
Исследование устойчивости установившихся движений механических систем с помощью функции Ляпунова базируется на применении классических теорем об устойчивости Ляпунова [55], Четаева [100, 101], Барбашина - Красовского [13, 71,48], Румянцева [79, 80, 84].
Несмотря на многочисленные результаты, до сих пор остаются неисследованными отдельные вопросы в задаче об устойчивости установившихся движений механической системы со стационарными связями (см. например, работы [19, 43, 44]).
Гораздо менее исследована задача об устойчивости установившихся и неустановившихся движений механических систем с нестационарными связями под действием сил, зависящих явно от времени. Это объясняется как неэффективностью применения уравнения линейного приближения, так и необходимостью развития прямого метода Ляпунова в задаче об устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы.
Среди немногочисленных работ в этой области следует отметить результаты об устойчивости положения равновесия механической системы под
5
действием зависящих от времени сил, полученные на основе использования двух функций Ляпунова и специальных оценок [63, 64, 95-98, 110 - 119].
Развитие прямого метода Ляпунова для исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения неавтономной системы, на основе предельных уравнений и функций Ляпунова, позволило провести решение целого ряда задач об устойчивости положения равновесия, стационарного движения, обобщенного стационарного движения неавтономной механической системы [2 - 11, 24, 104].
Целью настоящей работы является
1. Обоснование новых способов исследования устойчивости нулевого решения периодической и почти периодической систем по всем и части переменных.
2. Применение обоснованных способов в исследовании устойчивости движений нестационарных механических систем.
3. Решение некоторых задач прикладного характера, исследование задачи об устойчивости установившихся и неустановившихся движений механических систем под действием сил, периодически и почти периодически зависящих от времени.
Для этого в начале работы проводится развитие некоторых общих теорем прямого метода Ляпунова для задач об устойчивости нулевого решения неавтономной системы с периодической и почти периодической правой частью. Этому посвящены первые две главы диссертации. В третьей главе новые результаты о достаточных условиях устойчивости нулевого решения периодической и почти периодической системы, полученные в первых двух главах, применяются к задаче об устойчивости движения неавтономной механической системы.
Для получения фундаментальных результатов, представленных в диссертации, использованы методы теории устойчивости, математического анализа, функционального анализа, теоретической механики.
6
В диссертации обоснованы новые способы исследования предельных свойств движений периодических и почти периодических систем на основе метода функций Ляпунова. Получены новые результаты об устойчивости движений механических систем с нестационарными связями под действием сил, периодически и почти периодически зависящих от времени.
Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы для определения условий устойчивости и стабилизации движений механических систем.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 130 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем диссертации составляет 98 страниц.
В первой главе исследуется устойчивость невозмущенного движения периодической системы. В первом параграфе даются основные определения и некоторые видоизменения известных теорем об устойчивости нулевого решения периодической системы.
Рассматривается система дифференциальных уравнений
х = Г((,х) (0.1)
где х€ Я” , В: Ях Г—> Яп , Га Яп - непрерывное отображение, периодическое по /€/?, т.е. Г((+Т, х)= /'(/, х) для некоторого Т> 0, удовлетворяющее условию Липшица по х.
Исследуется задача о выявлении предельных свойств решений системы (0.1) в предположении, что существует функция Ляпунова К(/, х) > 0,
Щ+Т, х) - У((, х), имеющая знакопостоянную производную У(/,х)< 0.
Эта задача была вначале рассмотрена в работах Ж.-П. Ла-Салля, результаты которых представлены в работах [52, 53] и заключаются в следующем.
Пусть система (0.1) является автономной, Г = Г(х) и х = х(1, х), х(0, х0) =* х0 - какое либо решение, ограниченное компактом Ка Г, для всех
7
t >0. Положительное предельное множество со~ (х0) этого решения обладает, как известно, свойством инвариантности: каждой точке ресх (х0) соответствует решениех(/, р) е со+(х0), определенное для всех / е/?+. Если для системы (0.1) известна некоторая функция V = V(х), V(x)< 0, тогда из этого свойства инвариантности Ж.-П. JIa-Салль вывел следующий результат:
Теорема 0.1 (принцип инвариантности для автономной системы) [52].
Пусть У(х) > 0 и V(x) < 0 при всех х. Пусть Е - множество точек, в которых Ё(х)= 0, и М - наибольшее инвариантное подмножество из Е. Тогда все решения системы 0.1, ограниченные при t > 0, достигают М при t -» со.
В случае периодической системы (0.1) Ж.-П. Ла-Салль ввел дополнительное построение.
Пусть х = x(t, /о, хо) - решение системы (1.0), ограниченное компактом /СсгГпри всех t > /0 и со+(/0,х0)- есть его положительное предельное множество. Ж.-П. Ла - Салль рассмотрел дискретное движение xn = x(to+nT, t0, х0), п = 0, 1,2,.... Его предельное множество обозначил символом y+(t0,x0), определяя как и предельное множество со+(/0,х0), с заменой tn на возрастающую последовательность (0 + п{Т. Множество у+(/о>*о)- есть непустое компактное инвариантное множество. Оно инвариантно относительно дискретных движений: если у0 принадлежит к у+(/о»^0), то уг принадлежит к У всех п- Пусть Г+(/0,х0) - объединение всех траекторий
x(t, to, Хо), проходящих через точку Уо из у+(/0,х0). Свойство множества
со+(Г0,х0) Ж.-П. Ла-Салль определил соотношением со"(/0,х0)= Г4 (/0,х0).
На основе этого свойства Ж.-П. Ла-Салль доказал следующее утверждение:
- Київ+380960830922