Содержание
Введение ........................................................... 3
Глава 1. Обзор методов, используемых для исследования интегрируемости и неинтегрируемости дифференциальных уравнений .............................................................. 8
1.1. Интегрируемость дифференциальных уравнений.................. 8
1.2. Неинтегрируемость дифференциальных уравнений................ 8
Глава 2. Топологический анализ движения эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости ................................32
2.1. Введение ...................................................32
2.2. Постановка задачи. Схема исследования ......................33
2.3. Построение бифуркационных диаграмм, изучение перестроек торов ...........................................................38
2.4. Исследование изоэнергетических многообразий ................50
Глава 3. Необходимые условия существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого трехосного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости........................56
3.1. Введение ...................................................об
3.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы. 56
3.3. Доказательство неинтегрируемости ...........................58
Глава 4. Необходимые условия существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого динамически и геометрически симметричного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости................................................63
СЬ-
1
4.1. Введение ...................................................
4.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы.
4.3. Доказательство неинтегрируемости ...........................
Глава 5. Необходимые и достаточные условия полной алгебраической интегрируемости уравнений движения тяжелого неоднородного шара на гладкой горизонтальной плоскости . . .
5.1. Введение....................................................
5.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы
5.3. Доказательство теоремы 1 .................................
5.4. Доказательство теоремы 2 .................................
Заключение .........................................................
Литература .............................................-...........
63
63
65
70
70
70
72
76
80
81
2
Введение
Постановка задачи
Задача о движении тяжелого твердого тела на гладкой горизонтальной плоскости — одна из классических задач механики. Эта задача в определенном смысле представляет собой обобщение задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Естественным образом встает вопрос об исследовании возможных интегрируемых случаев. Известно, что в этой задаче существуют аналоги случаев Эйлера и Лагранжа. Однако случаев нетривиальной интегрируемости (скажем, аналога случая Ковалевской) пока обнаружено не было.
В настоящей работе рассматриваются задачи анализа интегрируемых случаев уравнений движения тела эллипсоидальной формы (в частности шара) на гладкой горизонтальной плоскости.
Известны разные методы для изучения интегрируемых случаев. Одними из наиболее продвинутых и наглядных являются методы топологического анализа: с помощью этих методов исследуются перестройки инвариантных многообразий (метод С. Смейла), строятся топологические инварианты (метод А.Т. Фоменко).
Для доказательства неинтегрируемости задачи (в случаях, отличных от аналогов случаев Эйлера и Лагранжа) используются методы В.В. Козлова, С.Л. Зиглина, Моралиса-Руиза-Рамиса.
Этот вопрос был исследован в работе [14], [83], в которой в первом приближении по малому параметру найдены необходимые условия интегрируемости. Вопрос, являются ли найденные условия и достаточными для интегрируемости, рассматривался в работах [29], [8]. В диссертации во втором приближении найдены более сильные и простые необходимые условия интегрируемости, что приводит к вырождению в данной задаче для первого приближения случая
3
Клебша в тривиальный случай Эйлера. Для случая, когда поверхность тела - шар, методами дифференциальной теории Галуа доказывается отсутствие нетривиальных случаев интегрируемости.
Обзор результатов
1) Дан обзор различных методов доказательства неинтегрируемости систем дифференциальных уравнений, применяемых в задачах механики.
2) Для уравнений, описывающих движение тяжелого динамически симметричного эллипсоида вращения (аналог случая Лагранжа), было выполнено:
- построены бифуркационные диаграммы Смейла, описаны перестройки торов Лиувилля;
- исследованы изоэнергетические многообразия.
3) Для уравнений движения тяжелого трехосного эллипсоида с малыми возмущениями полуосей, для которого центр масс совпадает с геометрическим центром, было получено необходимое условие существования дополнительного мероморфного интеграла.
4) Для уравнений движения тяжелого динамически и геометрически симметричного эллипсоида, для которого главные центральные оси инерции со-направлены с главными осями эллипсоида-поверхности и центр масс которого лежит в экваториальной плоскости эллипсоида-поверхности, были получены необходимые условия существования аналитического интеграла.
5) Для уравнений движения тяжелого неоднородного шара были получены необходимые и достаточные условия того, что система уравнений движения является алгебраически вполне интегрируемой.
Содержание работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.
Во введении описана предметная область и цель настоящей диссертации,
4
дай краткий обзор работ, связанных с исследованием интегрируемых и неин-тегрируемых задач в динамике твердого тела и приведено краткое содержание диссертации.
Ставится задача исследовать обнаруженные интегрируемые случаи для уравнений движения, описывающих движение тела эллипсоидальной формы по гладкой горизонтальной плоскости, а также найти условия, при которых интегралы существуют. Естественные интегрируемые случаи, которые здесь возникают, - это случай Эйлера, когда эллипсоид вырождается в шар с совпадающими геометрическим центром и центром масс, и Лагранжа, когда эллипсоид динамически и геометрически симметричен. Поскольку в известной литературе движение аналога волчка Лагранжа не рассматривалось, то имеет смысл начать рассмотрение именно с этого случая.
В первой главе дается обзор различных методов, используемых при доказательстве интегрируемости и неинтегрирусмости дифференциальных уравнений.
Во второй главе рассматривается движение тяжелого твердого динамически и геометрически симметричного эллипсоида со смещенным вдоль оси симметрии центром масс на гладкой горизонтальной плоскости. Согласно программе Смейла по исследованию гамильтоновых систем с симметрией рассматривается отображение момента. Строятся и классифицируются при различных значениях параметров бифуркационные диаграммы. Для каждой области бифуркационной диаграммы устанавливается число торов Лиувилля, изучаются перестройки этих торов. Описываются особенности отображения момента, для каждого значения параметров изучаются особенности ранга 1 и
2. Кроме того, в случае, когда центр масс совпадает с геометрическим, строятся и классифицируются бифуркационные диаграммы в трехмерном пространстве, а также исследуются перестройки так называемых изоэнергетических многообразий.
В третьей главе рассматривается эллипсоид, близкий к шару, с мало отличающимися полуосями. В этом случае, в [14] было доказано, что необходимые условия существования дополнительного интеграла таковы:
(1) Центр масс эллипсоида совпадает с его геометрическим центром
(2) Главные центральные оси инерции эллипсоида сонаправлены с главными геометрическими осями эллипсоида-поверхности
(3) Выполнено условие Клебша:
./ЦВ2 - /?з) + - £х) + </з№ - В2) = 0, где сД, 72, </3 - моменты
инерции тела, В\,В2г В2 - главные полуоси эллипсоида - поверхности.
Вставал вопрос, является ли данное условие и достаточным. В отличие от работы [14], в диссертации берется не гомоклиническое частное решение, а эллиптическое. Методом дифференциальной теории Галуа находятся условия, при которых группа Галуа для линеаризованного в первом приближении возмущенного уравнения будет абелева. Поскольку риманова поверхность частного решения - это тор с одной особой точкой, то для него условия теоремы Моралиса-Руиза-Рамиса эквивалентны однозначности решения при обходе около этой особой точки. Таким образом, можно исследовать условия выполнения теста Ковалевской-Пенлеве в окрестности этой особой точки. В первом приближении получаются уже известные результаты. Во втором приближении условие Клебша вырождается в тривиальное зюловие: все полуоси эллипсоида равны.
В четвертой главе рассматривается динамически и геометрически симметричный эллипсоид, для которого главные центральные оси инерции соиа-правлены с главными осями эллипсоида-поверхности и при этом центр масс лежит в экваториальной плоскости эллипсоида-поверхности. Берется стационарное решение, которое соответствует вращению тела вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс. Затем уравнения движения рассматриваются в окрестности этого решения и в этой окрестности анализируется строе-
б
- Київ+380960830922