Стационарные движения волчка с жидким наполнением на плоскости с трением

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию вопросов существования, .устойчивости и ветвления стационарных движений твердого тела, заполненного жидкостью, на плоскости с трением.
Задача о движении твердого тела по неподвижной поверхности, в частности, по плоскости, давно привлекает внимание исследователей и стала уже классической [5-9, 11-13, 17-21, 25, 28, 31, 35, 39, 46, 50, 54, 57, 58-60, 65]. Интерес к этой задаче обусловлен и ее важностью в теоретическом плане развития динамики неголономных систем и систем с трением и ее возможными приложениями в динамике колесного транспорта, мобильных роботов и т.д.
Задача о движении твердого тела с полостями, содержащими жидкость, также имеет богатую историю [1-3, 7, 22-24, 27, 30, 32-34, 36, 37, 40-45, 47, 48, 55, 56]. При этом до недавнего времени основное внимание уделялось исследованию этой задачи либо в случае свободного твердого тела, либо в случае твердого тела с неподвижной точкой. Эта задача также имеет как теоретическое (твердое тело с полостями, содержащими жидкость, представляет собой один из наиболее ярких примеров гибридной системы), так и прикладное значение (динамика спутников и снарядов с жидким наполнением).
По-видимому, впервые задачу о движении твердого тела с жидким наполнением на горизонтальной плоскости рассмотрел А.П.Маркеев [22-24], который при исследовании проблемы существования и устойчивости стационарных движений в этой задаче ограничился случаями абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскости. В случае абсолютно гладкой
1
плоскости А.П.Маркеев получил как достаточные (прямым методом Ляпунова), так и необходимые (на основе анализа линеаризованных уравнений возмущенного движения) условия устойчивости равномерных вращений осесимметричного тела с осесимметричной эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, а в случае абсолютно шероховатой плоскости — только необходимые условия.
В диссертации изучается случай плоскости с трением скольжения. В первых двух главах раасматривается динамически симметричное тело, ограниченное сферической поверхностью и содержащее осесимметричную эллипсоидальную полость, целиком заполненную идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Характер трения не оговаривается; предполагается только, что при нулевой скорости сколжения сила трения обращается в нуль (например, трение является вязким) .
В первой главе рассматривается общий случай этой задачи (массой оболочки пренебречь нельзя, полость не является шаром). Выписаны уравнения движения системы. Показано, что рассматриваемая система наряду с интегралом постоянства интенсивности вихря допускает интеграл типа интеграла Желле. Кроме того, полная механическая энергия системы является невозрастающей функцией. Согласно обобщенной теории Рауса [13] вводится эффективный потенциал, представляющий собой минимум механической энергии по скорости центра масс системы и угловой скорости тела на фиксированном уровне обобщенного интеграла Желле. Критические точки эффективного потенциала на прямом произ-
2
ведении сферы, определяемой геометрическим интегралом, и эллипсоида, соответствующего интегралу Гельмгольца отвечают стационарным движениям системы. Более того, точки минимума эффективного потенциала отвечают устойчивым стационарным движениям, а критические точки эффективного потенциала, не являющиеся точками минимума, - неустойчивым стационарным движениям. В первой главе найдены все стационарные движения системы, которые представляют собой перманентные вращения волчка вокруг вертикально расположенной оси симметрии и регулярные прецессии, и получены условия их устойчивости.
Во второй главе детально проанализированы частные случаи сферической полости и невесомой оболочки. Найдены все стационарные движения (рег}чшрные прецессии и перманентные вращения) и получены условия их устойчивости. Так, в случае, когда оболочка невесома и центр эллипсоидальной полости совпадает с геометрическим центром оболочки, перманентные вращения вокруг вертикально расположенной оси симметрии устойчивы, если полость сжата вдоль оси симметрии и неустойчивы, если полость вытянута. Напомним, что при движении по абсолютно гладкой плоскости устойчивость имеет место также и в случае, когда полость сильно вытянута [23]. Таким образом, учет трения скольжения приводит к дестабилизации равномерных вращений в случае сильно вытянутой полости.
В третьей главе изучается задача о движении тонкостенного эллипсоида вращения, целиком заполненного идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Предполагается, что на волчок со стороны опорной плоскости кроме нормальной реакции действует
3
сила вязкого трения скольжения. Составлены уравнения движения системы и получены условия их совместности. Найдены стационарные и периодические решения полученной системы уравнений. Стационарные решения соответствуют равномерным вращениям эллипсоида вокруг вертикально расположенной его оси симметрии или вокруг вертикально расположенного диаметра его экваториального сечения. Периодические решения соответствуют регулярным прецессиям эллипсоида.
На основе теоремы Ляпунова-Малкина исследована устойчивость равномерных вращений эллипсоида вокруг оси симметрии. Показано, что на границе области устойчивости этих вращений от них ответвляются регулярные прецессии.
В четвертой главе исследуется задача о движении трехосного эллипсоида на плоскости с вязким трением. В первом параграфе рассмотрен случай однородного абсолютно твердого эллипсоида, близкого к шару. Найдены его перманентные вращения и на основе теоремы Ляпунова-Малкина исследована их устойчивость. Так, в случае, когда коэффициент трения достаточно велик, вращение вокруг наименьшей оси эллипсоида устойчиво (неустойчиво), если угловая скорость меньше (больше) критического значения, а вращение вокруг наибольшей оси устойчиво (неустойчиво), если угловая скорость больше (меньше) критического значения. Вращение вокруг средней оси всегда неустойчиво. Отметим, что в случае абсолютно шероховатой плоскости вращение эллипсоида вокруг наименьшей оси устойчиво при любом значении угловой скорости. Таким образом, известный! факт подъема эллипсоида, быстрозакрученного вокруг своей наименьшей оси, на наибольшую ось может быть объяснен только в рам-
4
ках модели движения тела с проскальзыванием и при условии, что в точке контакта с плоскостью имеет место трение скольжения.
Во втором параграфе найдены условия устойчивости перманентных вращений тонкостенного эллипсоида, целиком заполненного идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, в случае, когда коэффициент трения мал. Показано, что вращение вокруг наименьшей оси устойчиво, если жидкость и оболочка вращаются в одну сторону.
5