Методы анализа классов неконсервативных систем в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой

Содержание
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Введение 6
Глава 1. Методика определения параметров воздействия среды на тело в условиях квазнстационарностн 36
0. Предварительные сведения 36
1. Методика определения неизвестных безразмерных параметров воздействия среды на тело 37
2. Нелинейные динамические системы, описывающие различные варианты движения тела в среде 42
Глава 2. Некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой 50
3. Замечания по бифуркации рождения цикла Пуанкаре-Андронова-Хопфа 50
4. О замкнутых кривых из траекторий, стягиваемых в точку по фазовой поверхности 61
5. Об отсутствии замкнутых кривых из траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру 63
6. О существовании топографических систем Пуанкаре в динамике твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой 66
7. Кривые контактов и системы сравнения. Замечания о предельных циклах и проблеме различения центра и фокуса 72
8. О траекториях, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки плоскости 83
9. Периодические и устойчивые по Пуассону траектории в фазовых пространствах динамических систем 89
10. Пространственные топографические системы Пуанкаре и системы сравнения 91
2
Содержание
11. Об интегрировании некоторых классов неконсервативных систем 94
12. Об интегрировании некоторых классов систем с переменной диссипацией с нулевым средним на 5о(4)х^4 при наличии циклических интегралов 103
Глава 3. Относительная структурная устойчивость н относительная структурная неустойчивость различных степеней 110
13. Определение относительной структурной устойчивости (относительной грубости) 112
14. Относительная структурная неустойчивость (относительная нсгрубость) различных степеней 116
15. Примеры из динамики твердого тела, взаимодействующего со средой 117
Глава 4. Семейства портретов и интегрируемые случаи систем с переменной диссипацией с нулевым средним в плоской динамике твердого тела 124
16. Случай движения тела в среде при наличии некоторой связи и начало качественного анализа 125
17. О трансцендентной интегрируемости системы 126
18. О механической аналогии с маятником в потоке среды
129
19. Топологическое строение фазового портрета исследуемой системы 131
20. Общие свойства решений динамической системы 136
21. Расслоения фазового пространства 137
22. Свойства решений, соответствующих колебательной области 139
23. Свойства решений, соответствующих вращательной области 145
24. Об инструментальных средствах исследования модели
148
25. Сведение системы к физическому маятнику 151
3
Содержание
26. Начало качественного анализа. Точки покоя систем и стационарные движения 154
27. Расслоения фазового пространства, его симметрии и начало топологического анализа 156
28. О существовании дополнительного трансцендентного интеграла 158
29. Топологическое строение фазовых портретов системы на двумерном цилиндре 162
30. Механическая интерпретация некоторых особых фазовых траекторий 168
Глава 5. Семейства портретов систем с переменной диссипацией с ненулевым средним в плоской динамике твердого тела 170
31. Начало качественного анализа. Точки покоя систем второго и третьего порядков 170
32. Расслоения фазового пространства, его симметрии и начало топологического анализа 175
33. Классификация фазовых портретов системы на двумерном цилиндре для первой области параметров 178
34. Классификация портретов для второй и третьей областей параметров 187
35. Строение фазового портрета системы для четвертой области параметров 190
Глава 6. Семейства портретов и интегрируемые случаи систем с переменной диссипацией с нулевым средним в пространственной динамике твердого тела 194
36. Постановка задачи о пространственном движении тела в сопротивляющейся среде при струйном обтекании 194
37. Случай движения тела в среде при наличии некоторой связи и начало качественного анализа 198
38. О трансцендентной интегрируемости системы 203
39. Задача о пространственном маятнике в потоке набегающей среды 207
4
Содержание
40. Топологическое строение фазового портрета исследуемой системы 211
41. Траектории движения сферического маятника и случай ненулевой его закрутки около продольной оси 214
Глава 7. Семейства портретов систем с переменной диссипацией с ненулевым средним в пространственной динамике твердого тела 216
42. Случай нулевой продольной составляющей угловой скорости и соответствующие стационарные движения 218
43. Расслоения фазового пространства, его симметрии и начало топологического анализа 223
44. Классификация фазовых портретов системы в трехмерном пространстве для некоторой области параметров
225
Глава 8. Некоторые задачи плоской динамики твердого тела, взаимодействующего со средой при наличии линейного демпфирования со стороны среды 231
45. Свободное торможение тела в среде при учете линейного демпфирующего момента 232
46. Движение в среде при наличии некоторой связи и линейного демпфирующего момента 236
47. Топологическое строение некоторых фазовых портретов в задаче о движении тела в среде при учете демпфирующего момента 239
48. Сравнения некоторых классов движений тела в среде при отсутствии или наличии линейного демпфирующего момента 246
Заключение 251
Рисунки и иллюстрации 254
Таблицы 297
Литература 298
5
Введение
%
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена развитию качественных методов в динамике твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой. Используются свойства квазистацио-нарного взаимодействия тела со средой в условиях струйного (или отрывного) обтекания.
Предлагаемый материал находится на стыке таких дисциплин, как динамика твердого тела, взаимодействующего со средой, и качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рассматривается класс задач, в котором характерное время движения тела относительно его центра масс соизмеримо с характерным временем движения самого центра.
Сложность решения таких задач зависит от многих факторов, в том числе и от характера внешнего силового поля. Например, в случае консервативного поля сил (тяжести) ф движение тела вокруг своего центра масс может быть сильно
хаотичным (классическая задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки). В этом случае построить сколько-нибудь общую теорию интегрирования невозможно; естественная возможность продвинуться дальше - это наложить какие-то ограничения на геометрию твердого тела, а также на необходимость обладания силовым полем какими-то группами пусть даже и скрытых симметрий.
Предлагаемая работа посвящена задаче движения в сопротивляющейся среде тзердого тела, поверхностью контакта со средой которого является лишь плоский участок его внешней поверхности. Силовое поле в этом случае строится из соображений воздействия среды на тело при струйном (или отрывном) обтекании в условиях квазистационарности. Оказывается, что изучение движения такого класса тел сводится к системам либо с рассеянием энергии (диссипативные
6
Введение
системы), либо с ее подкачкой (так называемые системы с антидиссипацией). Отметим, что подобные задачи уже появлялись в прикладной аэродинамике в исследованиях ЦАГИ.
В предлагаемой работе рассмотрены классы плоскопараллельных и пространственных движений твердых тел, взаимодействующих со средой среди которых (в зависимости от числа степеней свободы) можно назвать следующие: движения тел свободных в среде, покоящейся на бесконечности, и тел частично закрепленных, находящихся в потоке набегающей среды.
Обстоятельно изучена одна из таких задач, которая имеет наибольшее прикладное значение, - задача о свободном торможении. Кроме того, рассмотрены задачи о движении свободного тела при наличии следящей силы, а также о колебаниях закрепленного маятника, помещенного в поток набегающей среды.
Рассматриваемые в работе задачи стимулируют развитие качественного аппарата исследования, который естественным образом дополняет качественную теорию неконсервативных систем с диссипацией и антидиссипацией.
Цели исследования. В настоящей диссертации автором ставились следующие цели исследования:
• Обработка экспериментальных данных о струйном обтекании твердого тела и определение безразмерных параметров воздействия среды на твердое тело;
• Исследование динамических уравнений движения, возникающих при изучении плоской и пространственной динамики твердого тела, взаимодействующего со средой, а также возможное обобщение полученных методов исследования на общие системы, возникающие как в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории динамических систем, так и в теории колебаний;
• Исследование нелинейных эффектов з плоской и пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со
7
Введение
средой; обоснование на качественном уровне необходимости введения определений относительной грубости и относительной негрубости различных степеней.
Положения, выдвигаемые на запрету. Научная новизна
работы определяется следующими основными результатами:
• Получена относительно простая методика определения безразмерных параметров воздействия среды на твердое тело в условиях квазистационарности. Такая методика успешно применена при исследовании движения тел простой формы -круговых цилиндров, входящих в воду;
• Разработаны методы качественного исследования диссипативных систем и систем с антидиссипацией, позволившие получить условия бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых автоколебаний, а также условия отсутствия любых таких траекторий. Метод исследования плоских топографических систем Пуанкаре и систем сравнения удалось распространить на высшие размерности. Получены достаточные условия устойчивости по Пуассону некоторых классов незамкнутых траекторий динамических систем;
• В плоской и пространственной динамике твердого тела обнаружены первые интегралы диссипативных и антидиссипа-тиэных систем, являющиеся трансцендентными (в смысле классификации их особенностей) функциями, выражающимися в ряде случаев через элементарные функции. Введены новые определения свойств относительной грубости и относительной негрубости различных степеней, которыми обладают проинтегрированные системы;
• Получены двухпараметрические семейства топологически неэквивалентных фазовых портретов, возникающие в задаче о свободном торможении. Почти каждый портрет таких семейств - (абсолютно) груб;
• Обнаружены новые качественные аналогии между свойствами движения свободных тел в сопротивляющейся среде, ПОКОЯ-
Введение
щейся на бесконечности, и тел закрепленных, находящихся з потоке набегающей среды.
Все перечисленное выше позволяет оценивать результаты диссертации в совокупности как существенное достижение в аналитической динамике твердого тела, взаимодействующего со средой.
1. История задачи. Задача о движении тела в сопротивляющейся среде (например, о падении тела в воздухе) интересует исследователей вот уже несколько столетий: еще в средние века появилась необходимость изучения зависимости дальности стрельбы от величины угла возвышения ствола пушки.
Опыты по исследованию движения тела в воздухе и жидкости привели X. Гюйгенса к установлению эмпирического закона сопротивления, пропорционального квадрату скорости движения тела в воздухе (1669). И. Ньютон на основе опытов (Ф. Гоуксби, Ж. Дезагюлье и собственных) создал математическую теорию сопротивления воздуха, разработку которой продолжали в XVIII в. Ва-риньон, Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Эйлер и др. В те же годы был ф изобретен баллистический маятник.
А. Эйлер, в результате глубокого анализа опытного материала англичанина Б. Робинса, заменил в 1745 г. квадратичный закон сопротивления двучленным: первое слагаемое пропорционально квадрату скорости, а второе - четвертой степени скорости. В дальнейшем А. Эйлер разработал численные методы интегрирования дифференциального уравнения движения снаряда, в частности, используя медленно сходящиеся ряды. Для прицельной стрельбы он предложил другую методику, согласно которой движение снаряда разделялось на составляющие, одна из которых отвечает за сопротивление.
Усилия ученых были направлены не только на нахождение траектории и закона движения снаряда, но также на возможно более полный учет дополнительных явлений, приводящих к важнейшим поправкам к основной теории. В XVIII в. Робинс заметил,
9
Введение
что центр масс вращающегося снаряда описывает не плоскую, а пространственную кривую. Позднее, в XIX в. С. Пуассон, затем М. В. Остроградский пытались дать математическую трактовку этого явления. На основе общей теории движения твердого тела было установлено, что продолговатый вращающийся снаряд имеет собственное быстрое вращение вокруг продольной оси динамической и геометрической симметрии, прецессию около вектора скорости снаряда и нутационное движение около вектора опрокидывающего момента.
Исследования Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина. Н. Е. Жуковский одним из первых анализировал разные задачи динамики точки в среде, а именно: падение тел, движение тела, брошенного под углом к горизонту, движение маятника и т.д. Наряду с интегрированием уравнений движения, он совершенствовал модель взаимодействия тел с сопротивляющейся средой и считал, что кинетическая энергия падающего тела тратится на образование вихревых движений воздуха и, кроме того, на преодолевание молекулярных сил прилипания воздуха к движущемуся телу. Сопротивление зависит не только от скоростей движения точек тела, но и от формы самого тела. Если скорость мала, то с достаточной точностью можно принять сопротивление пропорциональным первой степени скорости. При больших скоростях сопротивление пропорционально квадрату скорости.
Из исследований Н. Е. Жуковского известна также попытка моделирование движения на основе экспериментов по самовра-щению падающих в воздухе пластинок [78,79] (так называемого «гамбургского картона»). Здесь приходится учитывать такие свойства воздействия среды на тело как силу сопротивления и подъемную силу. Именно аэродинамические характеристики пластинки использованы и для моделирования полета птиц (79).
Н. Е. Жуковский предполагал существование такого динамического равновесия «тела птицы» относительно центра масс, при котором угол между скоростью центра масс и плоскостью крыла-
10
Введение
*
пластинки (угол атаки) служит управляющим параметром, т. е. может быть задан произвольным образом. Это предположение равнозначно предположению о таком разделении движений тела, при котором характерное время движения относительно центра масс существенно меньше характерных времен движения самого центра.
Представляет интерес исследование движения тела в среде при условиях, когда его поступательное движение связано с вращательным. Упомянутые выше задачи далеко не исчерпывают всех возможностей подобного типа.
Из исследований С. А. Чаплыгина отметим также постановку задачи о движении тяжелого тела в несжимаемой жидкости (183, 184].
Основополагающей в рамках данной работы задачей является изучение движения пластины бесконечной длины в условиях струйного обтекания [184]. Эта задача является важной прежде всего для дальнейшего исследования движения тела, взаимодействующего со средой через передний плоский участок.
• Различные аспекты рассмотрения проблемы. Как видно, в
историческом прошлом в основном затронут лишь один аспект задачи о движении тел в сопротивляющейся среде. А именно, интересы исследователей направлены на получение конкретных траекторий пусть и в приближенном, но в явном виде. При этом параллельно рассматривалась задача более точного моделирования взаимодействия тела с сопротивляющейся средой. Об интересных экспериментальных явлениях см. также работы Hubert Airy, Magnus Blix, Bret Onniere, Otto Liliental, Marey, Mouillard, Parseval, S. E. Peal, Rayleigh, Weyher [254-256,258-261,265,267,304].
Плоская пластина - наиболее простое тело, позволяют исследовать различные особенности движения в среде. Динамические эффекты, связанные с влиянием присоединенных масс (классическая задача Кирхгофа), демонстрируются в учебнике Г. Дамба
•
п
Введение
[141] на примере движения тела-пластины в жидкости (исследование, как известно, начато Томсоном, Тэйтом и Кирхгофом).
Задача Кирхгофа, поставленная во второй половине XIX в., заложила второй аспект рассмотрения задачи. Он связан с вопросами интегрируемости той нелинейной системы дифференциальных уравнений [101], которая описывает данное движение (вопросы существования аналитических (гладких, мероморфных) первых интегралов).
До наших дней различные варианты задачи Кирхгофа, по причине сложности, почти всегда рассматривались с точки зрения проблемы интегрируемости, и лишь в некоторых случаях проведен качественный анализ ряда траекторий. В работах Кирхгофа, Клебша, Стеклова, Ляпунова, Чаплыгина, Харламова и др. указаны условия существования дополнительного аналитического первого интеграла. В наши же дни решение этой проблемы совершенствуется: в [135] (А. М. Переломов) построена теория интегрируемых случаев (построение Ь-А-пары), а в [95] (В. В. Козлов, Д. А. Онищенко) указаны условия несуществования дополнительного первого интеграла уравнений Кирхгофа (см. также работы О. И. Богоявленского, С. П. Новикова, С. Т. Садэтова [35,36,128,147,148,167]).
Укажем также на третий аспект рассмотрения указанной проблемы, а именно, на качественный анализ систем дифференциальных уравнений, описывающих данное движение (расслоения фазового пространства, качественное расположение фазовых траекторий, симметрии и т.д.). И хотя перечисленные проблемы тесно связаны с интегрируемостью, их разрешение носит самостоятельный характер. Более того, данный аспект стимулирует развитие качественного аппарата.
2. Современное состояние проблемы моделирования движения твердого тела в среде опирается на возможные модельные ограничения в задаче и на состояние математического аппарата. Так в работах В. В. Козлова [92,93] исследовалась задача Чаплыгина о свободном падении в безграничном объеме идеальной
Введение
жидкости тяжелого тела, имеющего плоскость симметрии. Наряду с классической постановкой описания воздействия среды на тело здесь учитывается вязкое сопротивление, задаваемое функцией Рэлея, а также эффект присоединенных масс.
При общих предположениях о характере аэродинамического воздействия в работах Б. Я. Локшина [107-110] были исследованы вопросы существования и устойчивости стационарных режимов движения в среде. Интересна также задача об устойчивости перманентного вращения тела в потоке среды (режима авторотации [141], см. также [37] и работы В. А. Привалова и В. А. Самсонова). Специальная конструкция поверхности тела и гипотеза о квази-статическом воздействии среды позволили сформулировать полную схему сил, в которую входят массовые, геометрические и аэродинамические характеристики. Исследованы режим авторотации и его устойчивость. Смоделирован эффект Магнуса, неконсервативный характер которого оказывает заметное влияние на свойство устойчивости вращения тел в среде.
Интересные модели взаимодействия освещены в работах В.
В. Белецкого. Так в [26] учитывается влияние аэродинамических сил на вращение и ориентацию спутника на орбите. Изучаются эффекты динамики вращательного движения спутников под действием моментов, в том числе и аэродинамических, а также динамика вращательного движения небесных тел в гравитационных полях с упором на резонансные эффекты.
В работе [130] (В. А. Садовничий, Ю. М. Окунев) построены модельные динамические системы, позволившие исследовать движение относительно центра масс динамически симметричного тела пространственной аэродинамической формы с высокими несущими свойствами при нестационарном полете. В рамках квазиста-ционарной линеаризованной модели аэродинамического воздействия, не учитывающей демпфирующих моментов аэродинамических сил, выявлено демпфирующее влияние подъемной силы и найдены ограничения на аэродинамические коэффициенты, со-
Введение
блюдение которых обеспечивает эффективное затухание угловых колебаний тела. Для условий высокоскоростного полета, когда аэродинамическое воздействие на тело существенно превышает влияние силы тяжести, получено аналитическое решение линеаризованной по части переменных нестационарной динамической системы, описывающей движение тела относительно центра масс. Методика получения описанных результатов приведен в [132] (В.
А. Садовничий, Г. Г. Черный, Ю. М. Окунев, В. А. Самсонов), где сообщено о библиотеке прикладных программ, обеспечивающих многооконное представление графической информации о поведении различных компонент вектора состояния динамической модели. Данный цикл работ был начат около десяти лет назад [131] и в настоящее время развивается в лаборатории навигации и управления Института механики МГУ им. М. В. Ломоносова.
3. Последовательность шагов при моделировании. Проблема исследования движения тела под действием силы сопротивления «упирается» в отсутствие полного описания силы, поскольку в принципе она зависит и от обобщенных скоростей. Поэтому в дальнейшем в динамических уравнениях возможно наличие членов, характеризующих как рассеяние энергии (диссипацию), так и ее подкачку (гак называемую антидиссипацию).
Таким образом, процесс моделирования представляет собой последовательность следующих шагов. Сначала изучается предварительная модель силового поля и строится семейство механических систем, движение которых обладало бы различными характеристиками, существенно зависящими от тех параметров модели, информация о которых не полна или отсутствует вовсе. В результате исследования такой модели возникают вопросы, ответы на которые в рамках принятой модели не могут быть найдены. Тогда разработанные объекты становятся предметом детального экспериментального исследования на втором шаге. Такой эксперимент либо предлагает ответы на сформулированные вопросы и вносит в предварительно построенную модель необходимые коррективы,
Введение
либо выявляет новые вопросы, которые приводят к необходимости повторения начального шага, но уже на новом уровне понимания проблемы.
Такой подход связан с описанием стационарных режимов движения, их ветвлением, бифуркацией, анализом устойчивости и неустойчивости, выявлением условий для перестроек.
На некоторые вопросы качественного характера иногда удается получить ответы, обсуждая традиционную проблему аналитической механики, - проблему наличия полного набора первых интегралов у построенной динамической системы. В то же время, изучение поведения динамической системы «в целом» часто заставляет обращаться к численному эксперименту. При этом возникает необходимость в разработке новых вычислительных алгоритмов или усовершенствовании известных, также как и новых качественных методов, что и предпринимается в данной диссертации.
Используемая в дальнейшем математическая модель движения твердого тела частично уже анализировалась ранее. Так в [112,113,159] (В. Я. Локшин, В. А. Привалов, В. А. Самсонов) построен фазовый портрет физического маятника, помещенного в поток среды. Динамическая система, описывающая движение маятника, обладает интересными нелинейными свойствами, что определяет необходимость дальнейшего полного нелинейного анализа и возможного создания методики исследования. В [71,158] (В. А. Ерошин, Г. А. Константинов, В. М. Макаршин, В. А. Самсонов) разобран вопрос об устойчивости прямолинейных движений свободного тела при струйном обтекании. Исследование проведено на базе линеаризованных уравнений движения тела. Поэтому, в согласии с [72,74,153], для начала будет описана линейная модель.
В работе изучается задача о движении тела в таком силовом поле, при котором линия действия силы, приложенной к телу, не меняет своей ориентации относительно тела, а лишь может смещаться параллельно самой себе в зависимости от фазовых переменных. Подобные условия возникают при движении пластины,
Введение
•
так сказать, с «большими» углами атаки, в среде при струйном обтекании [64,162,183,184] (М. И. Гуревич, Л. И. Седов, С. А. Чаплыгин) или при отрывном [173] (В. Г. Табачников). Таким образом, основным объектом исследования является семейство тел, часть поверхности которых имеет плоский участок (пластину), обтекаемый средой по законам струйного обтекания. При этом поток среды предполагается однородным, в том смысле, что если движущееся тело свободное, то среда на бесконечности покоится, а если (частично) закрепленное (в частности, вращается вокруг неподвижной точки), то скорость набегающего потока на бесконечности постоянна. В данном случае содержательным примером является упомянутая выше основополагающая в рамках данной работы задача С. А. Чаплыгина о движении пластины бесконечной длины.
4. Постановка задачи для плоскопараллельного движения. Предположим, что однородное твердое тело массы т совершает плоскопараллельное движение в среде с квадратичным законом сопротивления, и что некоторая часть внешней поверхности тела представляет собой плоскую пластину, находящуюся в усло-* виях струйного обтекания средой. Это означает, что воздействие
среды на пластину (тело) сводится к силе в (приложенной в точке ]У), линия действия которой ортогональна пластине (рис. 0.1). Остальная часть поверхности тела может быть размещена внутри объема, ограниченного струйной поверхностью, срывающейся с края пластины, и главное, что она не испытывает действия среды. Похожие условия могут возникнуть, например, после входа тела в воду.
Допустим, что среди движений тела существует режим прямолинейного поступательного торможения. Это возможно при выполнении двух условий, а именно: (1) скорость движения всех точек тела ортогональна пластине АВ; (2) перпендикуляр, опущенный из центра тяжести С тела на плоскость пластины, принадлежит линии действия силы в.
*
16
Введение
Гипотеза квазистационарности и фазовые переменные. Свяжем с пластиной правую систему координат Дх0у0г0 (ось 20 -перпендикулярна плоскости рисунка) и будем считать, для простоты, Дг0х0 плоскостью геометрической симметрии тела. Это обеспечит выполнение условия (2) при движении, удовлетворяющем условию (1).
Для построения динамической модели введем первые три фазовые координаты: V - величина скорости точки Д относительно потока (рис. 0.1), а - угол между вектором ь скорости точки Д и осью Дх0, О - проекция абсолютной угловой скорости тела на ось г0, АВ = О.
Примем, что величина силы 8 квадратично зависит 5 = от у с неотрицательным коэффициентом .у,. Обычно его представляют в виде .9, = і/ОРс, , где сх - уже безразмерный коэффициент
лобового сопротивления (р - плотность среды, Р - площадь пластины). Этот коэффициент зависит от угла атаки, числа Струхаля и других величин, которые в статических моделях обычно считают параметрами. Мы же в дальнейшем вводим безразмерную фазо-
_ СЮ
вую переменную «типа Струхаля» ш =------, а также вспомогатель-
V
ную функцию Да) = ^(а^^соза. Таким образом, в дальнейшем в уравнениях движения возникают следующие две функции фазовых переменных: уы и s.
Ограничимся зависимостью сх от угла атаки, т. е. в принципе будем считать величину ^ функцией а а величину уы - функцией пары безразмерных переменных (а,со).
Работы предыдущих авторов (В. А. Ерошин, В. А. Привалов,
В. А. Самсонов) посвящены такому исследованию плоского взаимодействия, при котором учитывается зависимость пары (у*,,я) лишь от угла атаки. При этом рассматривались только линейные
Введение
задачи около прямолинейного поступательного движения. В данной работе изучаются плоскопараллельные и пространственные движения тела в нелинейной постановке как в случае зависимости пары (ул-,5) только от угла атаки, так и при условии дополнительной зависимости величины уы от приведенной угловой скорости со.
В дальнейшем будут рассмотрены несколько классов плоскопараллельных и пространственных движений твердых тел, взаимодействующих со средой, которые можно разделить на части: движения тел свободных и тел частично закрепленных в потоке, в том смысле что число степеней свободы при этом уменьшается.
Одна из таких задач (имеющая большое прикладное значение) - задача о свободном торможении - будет исследована особенно основательно.
5. Плоскопараллельное движение с малыми углами атаки. Задача о движении тела с малыми углами атаки формирует представление о нелинейных динамических системах, исследуемых в дальнейшем. Поэтому проведем далее линейный анализ несколько подробнее.
Режим невозмущенного движения. Прямолинейное поступательное движение (которое в дальнейшем назовем невозмущенным) задается уравнениями а(/) е 0, а;(/) е 0 . Поэтому функцию
уы{й,а>) при малых (аусо) примем в виде уы = 0(ка-Исо), где к и /г-некоторые постоянные. Зависимостью же от а, в силу геометрической симметрии тела, обеспечивающей четность функции л-, пренебрегаем.
Ключевые параметры. Линеаризованная модель силового воздействия среды содержит три параметра .9 = $,, к, И, которые определяются формой пластины в плане. Как уже отмечалось, первый из этих параметров - коэффициент 9 - размерный. Параметры же к, И являются безразмерными в силу способа их введения.
Введение
Отметим, что величины 5, к могут быть экспериментально определены путем весовых измерений в установках типа гидро-или аэродинамических труб. В литературе [64,266] (М. И. Гуревич, L. Prandtl, A. Betz) имеется также информация о теоретическом определении этих величин для отдельных форм пластин (см. также работы В. А. Ерошина, Г. А. Константинова, Н. И. Романенкова, Ю. Л. Якимова, А. В. Плюснина, Ю. А. Созоненко, И. В. Серебрякова, Ю. Ф. Журавлева, В. В. Стрекалова, О. П. Шорыгина [69-77,81, 169,250]). Эта информация позволяет считать, что к> 0. Что же касается параметра h (который вносит в систему зависимость момента сил от угловой скорости), то даже сама необходимость введения его в модель априори не очевидна.
6. Эксперимент. Изучение свойств движения рассматриваемых классов тел в Институте механики МГУ им. М. В. Ломоносова В. А. Ерошиным и В. М. Макаршиным было начато экспериментами по регистрации движения в воде однородных круговых цилиндров.
Эксперимент (обработку результатов которого проводил ав-* тор) позволил остановиться на важных выводах. Первый: режим
прямолинейного поступательного торможения тела (в воде) неустойчив по крайней мере по отношению к углу ориентации тела. Стало возможным также определение безразмерных параметров к, h воздействия среды на твердое тело, чему и посвящена, в частности, 1 глава работы.
Второй вывод, полученный из проведенного натурного эксперимента, следующий: при моделировании воздействия среды на тело необходимо учитывать дополнительный параметр, эквивалентный так называемой вращательной производной момента гидродинамических сил по угловой скорости тела. Этот параметр вносит в систему диссипацию.
О коэффициенте демпфирования. Величина коэффициента демпфирующего момента уже была оценена в работах [69,70] (В. А. Ерошин) для некоторых случаев движения тел в воде. Данная там
19
Введение
оценка говорит о неустойчивости по углу атаки и угловой скорости прямолинейного поступательного движения твердого тела в воде. Чисто формально, увеличивая величину коэффициента демпфирования, возможно достижение устойчивости данного движения. Прямолинейное движение твердого тела в некоторых средах (например, в глине) устойчиво в вышеописанном смысле, как показывает эксперимент (30,31] (Ю. К. Бивин, В. В. Викторов, Л. П. Степанов). Возможно, данная устойчивость достигается благодаря наличию в системе значительного демпфирования со стороны среды или наличию сил, касательных к пластине.
7. Нелинейный анализ. Первый вывод, сделанный из эксперимента, заставляет нас рассматривать класс возможных движений тела при малых углах атаки в качестве «опорного* для рассмотрения класса свободного торможения тела с конечными углами атаки. Для тел различной формы углы атаки вполне могут при-
при углах, близких к —, неизбежен так называемый замыв боковой
поверхности. Поэтому возникает необходимость продолжения функций воздействия среды у у, и 5 по крайней мере на конечные утлы атаки, т.е. «расширение» их области определения на интервал
на всю числовую прямую, что будет ясно из следующих рассуждений.
Представим себе летающий аппарат, совершающий плоскопараллельное движение над водой. Предположим, что аппарат взаимодействует с водой посредством некоторой конструкции, содержащей плоскую пластину, которая опущена в воду вертикально и обтекается водой при движении над ней летательного аппарата. Можно считать, что пластина взаимодействует с водой по законам струйного обтекания практически при любых углах атаки. Такой
нимать практически любое
лишь
л
2
фактически продолжать данные функции необходимо
20
Введение
летательный аппарат подобен хорошо известному экраноплану [46, 129] (В. А. Одареев). При этом плоскопараллсльность движения рассматриваемого летательного аппарата над водой обеспечивается наличием самого экрана - плоской поверхности воды. [45,46].
Как уже отмечалось, опорным для нас является результат С. А. Чаплыгина, который для пластины бесконечной длины получил эти функции в аналитическом виде [184]. Он показал, что если такая пластина движется в среде по законам струйного обтекания, то коэффициент квадратичного по скорости центра пластины сопротивления пропорционален аналитической функции -косинусу угла атаки, а расстояние от центра давления до центра пластины пропорционально его синусу.
Последний факт позволяет перенести результаты С. А. Чаплыгина на семейство тел, часть внешней поверхности которых имеет форму плоской пластины, в том числе и для кругового цилиндра с передним плоским торцом.
Нелинейное описание. Представим нелинейные динамические уравнения плоскопараллельного движения тела следующим образом:
у*со5а-а'у5т<аг-£2У5тог + о02 = -£^^у2, (0.1)
т
у'зта + аг'усозбг + Пгсоза-оП* =0, (0.2)
ЯГ = у„(а,<»МаУ, а>=™. (0.3)
V
Здесь (V,а,£2 дек со) - фазовые переменные, а,1,0 - постоянные величины, - некоторые функции воздействия среды, соответствующие некоторому классу мыслимых тел и их мыслимых движений. Данные функции принадлежат к определенным функциональным классам.
Классы функций воздействия среды. Первым этапом полного нелинейного исследования движения тела в среде условиях квазистационарности является конструирование и исследование соответствующих динамических систем, в которых не учитывается
21
Введение
влияние вращательных производных момента аэродинамических сил по угловой скорости тела (в частности, в линейном случае И = 0). Учет такого влияния является следующим трудоемким этапом исследования проблемы.
Объясним необходимость широкого выбора классов функций воздействия среды. Отрезок АВ (рис. 0.1) является геометрическим сечением плоскостью движения нашей пластины. Геометрическая же форма пластины может быть совершенно различной. Кроме того, хорда, лежащая в плоскости пластины, может по-разному определять плоскость движения самого тела (в случае плоскопараллельного движения). Последние обстоятельства и позволяют отнести две возникающие функции воздействия среды к определенным классам. Как указано выше, на эти функциональные классы накладываются достаточно слабые условия, поэтому данные классы достаточно широки. Они заведомо включают допустимые конкретные функции, взятые д\я каждого мыслимого тела и для каждого мыслимого движения.
Для начала рассмотрим случай, когда пара функций воздействия среды (у„,5) зависит лишь от угла атаки. При этом для качественного описания данной пары функций используется экспериментальная информация о свойствах струйного обтекания. Вводимые классы достаточно широки: они состоят из функций достаточно гладких, 2 п-периодических (уы(а) - нечетная, а $(«) - четная), удовлетворяющих следующим условиям: уы(а)>0 при
ае( 0,л), причем ул-'(0) >0,ун\х) <0 (класс функций {у.ч}=У);
х(а) > 0 при
*(а) < 0 при
причем
(класс функций {$} = !). Как уИ, так и 5 меняют
знак при замене а на а + тг . Таким образом,
У»еУ-
ЗвЪ.
(0.4)
(0.5)
22
Введение
В частности, аналитические функции
yN(cc) = y0(a) = As\nae Y, (0.6)
s(a) = s0(a) = Bcosae £; A,В >0 (0.7)
(соответствующие случаю С. А. Чаплыгина [183]) служат типичными представителями описанных классов.
В дальнейшем в рассматриваемых динамических системах возникает произведение F{a) = ун {à)s(a). Из вышеперечисленных условий следует, что F - достаточно гладкая нечетная к-периодическая функция, удовлетворяющая условиям: F{a)>0 при
а е^'(°) > О, F'\ с0 (класс функций {F} = Ф). Таким образом,
F g Ф. (0.8)
В частности, аналитическая функция
F = F0(a) = АВsmacosa е Ф (0.9)
(также соответствующая случаю С. А. Чаплыгина [183]) является типичным представителем возникающего класса функций Ф.
Итак, для исследования обтекания пластины средой используются классы динамических систем, определенные с помощью пары функций воздействия среды, что значительно усложняет проведение качественного анализа.
8. Направления, развиваемые в работе. У системы (0.1)-(0.3) третьего порядка возможно отщепление независимой подсистемы второго порядка.
Действительно, система (0.1)-(0.3) является эйлеровской однородной системой по части квазискоростей (Q,v) степени однородности 2, поскольку после замены независимого переменного (времени t) по формуле dq = vdt, v*0 получаем новую систему, эквивалентную системе (0.1)-(0.3) (в данном случае также выполнено равенство <р'= со):
v’=vT(a,<y), (0.10)
а'=-со + ~F(a)cosa + стсо* sina + ^^smo:, (0.11)
/ т
23
Введение
%
û)'=J F (a) - càV(a,co), (0.12)
где ^(аусо)-— F (a) sm a - era7 cos a-cos a (таким образом, в сис-I т
теме (0.10)-(0.12) переменная со отличается от переменной со в системе (0.1)-(0.3) только лишь делением на величину D).
В системе (0.10)-(0.12) третьего порядка появляется независимая подсистема (0.11),(0.12) второго порядка, которая может быть рассмотрена самостоятельно на ее фазовом цилиндре.
Укажем далее на направления, развиваемые в работе. Первые два направления являются традиционными для аналитической механики, а именно:
1. Качественное исследование нелинейных систем неконсервативного характера,
что позволит изучить геометрию фазового пространства и, в частности, ответить на главный вопрос нелинейного анализа при исследовании системы (0.11),(0.12): возможно ли найти пару функций yN и s из вышеописанных классов, такую, чтобы в конечной окре-
щ, стности начала координат на фазовой плоскости Л2{а,<у} у сис-
темы (0.11),(0.12), отщепленной от общей нелинейной системы (0.10)-(0.12) при помощи указанного выше приема, существовали бы устойчивые предельные циклы.
Последний вопрос возникает по следующей причине: поскольку прямолинейное поступательное торможение (невозмущенное движение) неустойчиво по углу атаки и угловой скорости, возможны ли при этом устойчивые автоколебания в системе?
2. Поиск возможных интегрируемых случаев.
Третье направление характерно для прикладной аэродинамики и является специфическим в рамках данной работы:
3. Поиск возможных аналогий между динамикой движения частично закрепленных тел и тел свободных.
Возможные ответы на главный вопрос нелинейного анализа. Неустойчивость прямолинейного поступательного торможения (не-
«
24
Введение
возмущенного режима) побудила нас к постановке нелинейной задачи, а также к главному вопросу нелинейного анализа (отмеченному выше) в исследовании конечной окрестности такого движения.
Одним из основных результатов работы является частично отрицательный ответ на главный вопрос нелинейного анализа, а именно, при квазистационарном описании взаимодействия среды с телом, когда величины уы и б зависят лишь от угла атаки, для любой допустимой пары функций воздействия среды у „(а) и $(«)
отсутствуют какие-либо автоколебания в системе. Математическая сторона данного вопроса на качественном уровне исследуется в главе 2.
Для возможного достижения положительного ответа на главный вопрос нелинейного анализа при моделировании взаимодействия тела со средой учитывается влияние вращательных производных момента, действующего со стороны среда, который вносит в систему диссипадию. Поэтому в принципе при выполнении некоторых дополнительных условий в рамках рассматриваемой модели возможно возникновение устойчивых автоколебаний, однако поиск тела, обладающего необходимыми свойствами, требует проведения дополнительного натурного эксперимента.
После его проведения появляется возможность сравнивать результаты численного эксперимента, полученные при моделировании воздействия среды на тело, с результатами эксперимента натурного.
9. Динамические системы с переменной дисснпадней и их свойства. Вообще, динамика твердого тела, взаимодействующего со средой, - как раз та область, где возникают либо диссипативные системы, либо системы с так называемой антидиссипацией. Поэтому становится актуальным построение методики именно для тех классов систем, которые возникают при моделировании
во всем диапазоне конечных углов атаки
Введение
движения такого класса тел, поверхностью контакта со средой которых является плоский участок их внешней поверхности.
Поскольку при таком моделировании используется экспериментальная информация о свойствах струйного обтекания, возникает необходимость исследования класса динамических систем, которые обладают свойством (относительной) структурной устойчивости. Поэтом}^ вполне естественно ввести определения относительной грубости для таких систем. При этом многие из рассматриваемых систем получаются (абсолютно) грубыми по Андронову-Понтрягину.
Как будет показано в главе 1, после некоторых упрощений общая система (0.1)-(0.3) приводится к маятниковым системам второго порядка, в которых присутствует линейная диссипативная сила с переменным коэффициентом, который при разных углах атаки имеет разный знак.
В данном случае будем говорить о системах с так называемой переменной диссипацией, где термин «переменный» относится не столько к величине коэффициента диссипации, сколько к воз-• можной смене его знака.
В среднем за период по углу атаки диссипация может быть как положительной, так и отрицательной, а также равной нулю. В последнем случае будем говорить о системах с переменной диссипацией с нулевым средним.
Диссипативные системы с переменной диссипацией с нулевым или ненулевым средним. Дать общее определение системы с переменной диссипацией с нулевым или ненулевым средним достаточно непросто. Далее в работе ограничимся следующим.
Рассмотрим гладкую автономную динамическую систему п+1 порядка нормального вида в Л'1{х}х5'{а: шоё2л-}. Дивергенцию правой части (которая, вообще говоря, является функцией всех фазовых переменных и не равна тождественно нулю) данной динамической системы будем обозначать через сИу(х,а). Будем называть такую систему системой с переменной диссипацией с нуле-
26
Введение
вым (ненулевым) средним, если функция \<Цу{х,а)с1а равна (не
о
равна) тождественно нулю.
Качественные аналогии. В дальнейшем будут отмечены важные механические аналогии, возникающие при сравнении качественных свойств стационарного движения свободного тела и равновесия маятника в потоке среды. Такие аналогии носят глубокий опорный смысл, поскольку позволяют перенести свойства нелинейных динамических систем для маятника на динамические системы для свободного тела. И те, и другие системы принадлежат к классу так называемых маятниковых динамических систем с переменной диссипацией с нулевым средним. Например, при выполнении условия (0.9) угол поворота маятника эквивалентен углу атаки при движении свободного тела [146,152,154,155,270]. Если же условие (0.9) (группа условий (0.6),(0.7)) не выполнено, то угол атаки свободного тела и угол поворота маятника траекторно топологически эквивалентны (о такой эквивалентности см. главы 3, 4, 6).
Общий характер симметрий системы для плоской и пространственной динамики. При дополнительных условиях вышеописанная эквивалентность распространяется и на пространственный случай, что позволяет говорить об общем характере симметрий, имеющихся в системе с переменной диссипацией с нулевым средним как при плоскопараллельном, так и при пространственном движениях (о плоском и пространственном вариантах маятника см. главы 4 и 6) [201,202,205,207,208,211,212,214,215, 219,222,279,285].
10. Краткое содержание остальных глав диссертации. В главе 1 подвергнута более конкретному анализу задача о движении тела в среде с малыми углами атаки. Обработаны результаты эксперимента, благодаря чему получена относительно простая методика определения параметров воздействия среды на тело. В данной главе также сформирован ряд нелинейных динамических
27
Введение
систем с переменной диссипацией с нулевым и ненулевым средним в пространстве квазискоростей, зависящий от двух функций воздействия среды и описывающий различные классы движений тела в среде в условиях квазистационарности. Полный нелинейный анализ таких систем проводится в дальнейших главах как ранее известными методами качественной теории, так и новыми методами, полученными исключительно для возникающих систем с переменной диссипацией.
Глава 2 посвящена некоторым вопросам качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, как в применение к конкретным динамическим системам, возникающим в динамике твердого тела, так и в применение к произвольным динамическим системам на маломерных гладких многообразиях. Получены достаточные условия существования бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых предельных циклов для систем (в частности (0.11),(0.12)), описывающих движение тела в сопротивляющейся среде, а также достаточные условия отсутствия таких траекторий.
Предъявлено простое уточнение теоремы Бендиксона, которая дает достаточные условия отсутствия замкнутых характеристик векторного поля в той области плоскости, где не меняет знака его дивергенция, т. е. для динамических систем со знакопостоянной диссипацией. Уточнение последнего факта таково: для отсутствия замкнутых характеристик векторного поля на двумерном ориентируемом римановом многообразии достаточно знакопосто-янство почти всюду скалярного произведения (гоГ/Й», л) , где / -гладкая функция, - векторное поле, ортогональное исследуемому, а п - внешняя нормаль к многообразию.
В понятии топографической системы Пуанкаре (ТСП) [142] первоначально был заложен ряд требований аналитического характера. ТСП строилась с помощью достаточно гладкой алгебраической функции двух переменных, которая: ограниченная в ограниченной области, стремящаяся к бесконечности, когда одна из
28
Введение
переменных стремится к бесконечности, равная нулю в особой точке векторного поля на плоскости, положительная во всех остальных точках, имеющая первые производные, обращающиеся в нуль в особой точке, в которой она к тому же и выпукла. В диссертации же учитывается лишь геометрия расположения так называемой кривой контактов траекторий исследуемой динамической системы и кривых ТСП (т. е. кривой, в которой последние два класса траекторий касаются).
Под ТСП будем понимать систему вложенных друг в друга замкнутых кривых, полученных с помощью поверхностей уровня неотрицательной функции, которая равна нулю лишь в точке, к которой сходятся полученные вложенные замкнутые кривые. С помощью такой системы можно успешно «ловить» замкнутые траектории исследуемой динамической системы: вычисляя угол между векторами поля, образующими семейство ТСП, и векторами исследуемого поля динамической системы, можно получить информацию о расположении траекторий исследуемого векторного поля.
Более того в работе предложен метод построения ТСП в многомерных пространствах.
Изучаются также некоторые элементы теории монотонных векторных полей, т. е. полей, зависящих от параметра, при изменении которого само поле поворачивается в одну и ту же сторону монотонно. При некоторых условиях классы траекторий таких векторных полей имеют монотонно меняющиеся друг относительно друга предельные множества.
Предлагается достаточно простая методика доказательства устойчивости по Пуассону незамкнутых траекторий динамических систем. В частности, в некоторых исследуемых системах с переменной диссипацией с нулевым средним показано наличие семейств таких длиннопериодических траекторий: при некоторых условиях траектория движения точки /), (центра пластины (рис.
0.1)) устойчива по Пуассону.
29
Введение
Отмечены классы существенно нелинейных систем второго и третьего порядков, интегрируемых в трансцендентных (в смысле теории функций комплексного переменного) элементарных функциях. Для примера такими являются пятипараметрические динамические системы, включающие в себя большинство систем, исследуемых в диссертации:
а -asina + bco + y, sm* а+ угсо sm* а + у^со2 sin3a +
+ уАсо3 sin2 а + у5а)* sin а, со* = с sin a cos а + dсо cos а + ух со sin* a cos а + у7со7 sin3 a cos а +
+ /уСо3 sin2 a cos а + уАсо4 sin a cos а + у^со5 cos а.
В главе 3 вводятся определения относительной структурной устойчивости (относительной грубости) и относительной структурной неустойчивости (относительной негрубости) различных степеней. Последние свойства доказываются для систем, возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой.
Как известно, (чисто) диссипативные динамические системы (впрочем как и (чисто) антидиссипативные), которые в нашем случае могут принадлежать к системам с переменной диссипацией с ненулевым средним, являются, как правило, структурно устойчивыми ((абсолютно) грубыми), а вот системы с переменной диссипацией с нулевым средним (которые, как правило, обладают дополнительными симметриями) являются либо структурно неустойчивыми (негрубыми), либо только лишь относительно структурно устойчивыми (относительно грубыми). Последнее утверждение доказать в общем случае затруднительно. Тем не менее введение понятия относительной грубости (а также относительной негрубости различных степеней) позволяет предъявить классы конкретных систем из динамики твердого тела, которые обладают вышеуказанными свойствами.
В главе 4 качественно исследованы и проинтегрированы два модельных варианта плоскопараллельного движения тела в сопротивляющейся среде, которые описываются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним. Такие случаи