Устойчивость стационарных движений диска на горизонтальной плоскости

-2-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение................................................ 6
1. Аналитический обзор и постановка задачи................. 7
Выводы................................................. 16
2. Некоторые сведения вспомогательного характера 18
2.1. Системы отсчета и преобразование координат............. 22
2.2. Связи.................................................. 22
2.2.1.Случай чистого качения диска по плоскости без прос -кальзывания.................................................. 25
2.2.2.Случай движения диска на гладкой плоскости............. 27
2.2.3.Случай движения диска на полугладкой плоскости 29
2.3. Об устойчивости решения одного дифференциального
уравнения.............................................. 30
Выводы................................................. 32
3. Устойчивость стационарных движений диска на горизонтальной плоскости ........................................ 33
3.1. Уравнения движения..................................... 33
3.2. Устойчивость движения диска, несущего материальную точку, на шероховатой горизонтальной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали 38
3.2.1.Устойчивость движения системы диск - материальная точка, когда диск вертикален........................................ 42
3.2.2.Устойчивость движения системы диск - материальная точка, когда центр масс системы и точка контакта диска
с плоскостью находятся на одной вертикали...............45
3.2.3.Устойчивость движения однородного диска и обруча.... 45
-3-
3.3. Устойчивость движения диска, несущего материальную точку, на гладкой горизонтальной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали.. 48
3.3.1.Устойчивость системы диск - материальная точка,когда диск вертикален............................................ 53
3.3.2.Устойчивость системы диск - материальная точка,когда центр масс системы и точка контакта диска к плоскостью находятся на одной вертикали.................... 55
3.3.3.Устойчивость движения однородного диска и обруча на гладкой плоскости............................................. 56
3.4. Устойчивость движения диска, несущего материальную точку, на полутладкой горизонтальной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали.......................................................... 57
3.4.1.Устойчивость системы диск - материальная точка,когда диск вертикален............................................ 62
3.5. Устойчивость стационарных движений диска, несущего материальную точку, на шероховатой плоскости при неполной диссипации энергии................................... 64
3.6. Устойчивость стационарных движений диска, несущего материальную точку, на гладкой горизонтальной плоскости при неполной диссипации энергии........... 70
3.7. Устойчивость стационарных движений диска, несущего материальную точку, на полутладкой горизонтальной
плоскости при неполной диссипации энергии........... 74
Выводы.................................................. 80
4. Устойчивость стационарных движений диска, несущего гироскоп и материальную точку, на гладкой горизонтальной плоскости............................................. 81
-4-
4.1. Конструирование прибора............................. 81
4.2. Уравнения движения.................................. 86
4.3. Устойчивость движения гиростата на шероховатой го-
ризонтальной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали..................... 88
4.3.1.Устойчивость движения гиростата, когда диск верти -кален.................................................... 93
4.3.2.Устойчивость движения гиростата при отсутствии ма -териальной точки......................................... 94
4.4. Устойчивость движения гиростата на гладкой горизон-
тальной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали........................... 97
4.4.1.Устойчивость движения гиростата, когда диск верти -кален................................................... 100
4.4.2.Устойчивость движений гиростата при отсутствии материальной точки.......................................... 101
4.5. Устойчивость движения гиростата на полугладкой гори-
зонтальной плоскости по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали............................. 104
4.5.1.Устойчивость движения гиростата, когда диск вертикален 109
4.6. Устойчивость стационарных движений гиростата на шероховатой плоскости при неполной диссипации энергии ш
4.7. Устойчивость стационарных движений гиростата на гладкой горизонтальной плоскости при неполной диссипации энергии......................................................... П9
4.8. Устойчивость стационарных движений гиростата на полугладкой плоскости при неполной диссипации энергии.. Выводы......................................................... 124
-5-
Заключение................................................. 132
Список литературы.......................................... 137
j
-6-
ВВЕДЕНИЕ
С момента величайшего изобретения цивилизации - колеса прошло более 5500 лет, а людей до сих пор не перестает волновать и восхищать удивительная способность колеса не терять устойчивость при быстром качении. Понимание парадоксальной сущности этого явления пришло только в XIX веке,в конце которого Г.Герцем в механике были введены термины голономной и неголо-номной систем. Ярким примером неголономной системы является тяжелое твердое тело, оканчивающееся острым ребром, имеющим форму окружности, которое заставляют катиться без скольжения по неподвижной абсолютно шероховатой поверхности. Если такое твердое тело имеет динамическую ось симметрии и центр окружности совпадает с центром масс, то тело называют круговым диском или просто диском. Наглядным примером диска может служить катящаяся по горизонтальной плоскости монета, которая предполагается достаточно тонкой по сравнению с её диаметром.
Задача об устойчивости движений диска на горизонтальной плоскости, как частный случай общей задачи об устойчивости движений неголономной системы с качением, имеет теоретическое значение и практическое применение. Ввиду большого технического приложения она приобрела самостоятельное значение, как одна из задач транспортной механики. Эта и другие особенности обусловили целенаправленность настоящей работы.
-7-
I. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задача о движениях диска на шероховатой плоскости без проскальзывания, наряду с задачей о движениях шара, является классическим примером неголономной системы. Первые решения этой задачи появились немногим более ста лет назад [I, б"] .полное решение более общей задачи о движениях диска, несущего гироскоп, на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости принадлежит классику отечественной и мировой механики С.А.Чаплыгину [ЗЗ] и опубликовано им в 1897 г. В 1899 году П.Аппель и Д.Кор-тевег [I, б] , независимо от Чаплыгина, решили задачу о движении тяжелого диска на абсолютно шероховатой плоскости и с этого времени задача о диске прочно заняла место классического примера движения твердого тела с линейными неголономными связями почти всех фундаментальных курсов теоретической механики [I, 18, 24, 37] .
Качение однородного кругового диска по заданной поверхности рассмотрел в 1909 году П.В.Воронец [I, б] .
Задачу о движении и устойчивости "катящегося колеса" рассматривал Р.Граммель в монографии [5*] , где им указано значение "...минимальной угловой скорости при котором прямолинейно катящийся в вертикальном положении диск остается устойчивым".
В этой же работе рассмотрены некоторые предпосылки решения задачи об устойчивости диска с центром тяжести лежащим на оси симметрии, но не в плоскости катящегося периметра.
Впервые же вопрос об устойчивости вертикального диска в конце прошлого века рассматривался, повидимому, Г.Гамелем,как указывают в [б ~] .
-8-
Полное решение задачи об устойчивости стационарных движений диска и обруча было получено в начале шестидесятых годов советскими учеными А.П.Дувакиным [ß] и И.М.Миндлиным [20].
Мощное развитие методов теории устойчивости движения по
А.М.Ляпунову [г?] усилиями выдающихся советских ученых Н.Г. Четаевым [зэ] , К.П.Персидским [27] , В.В.Румянцевым [28 , 29, 30, 31, 32, 33, 34, Зб] и его школы [15, 16] , трудами Ю.И.Неймарка и Н.А.Фуфаева [23, 24] и другими учеными позволили приложить общие методы к решению ряда конкретных за -дач неголономной механики. В обзоре В.В.Румянцева и A.B.Карапетяна [34] , подводившим итоги развития теории устойчивос-
ти движения неголономных систем к 1976 году среди конкретных, решенных задач об устойчивости стационарных движений консер -вативных неголономных систем помещены результаты решения вопроса об устойчивости движений диска, полученные в 1963 году
А.П.Дувакиным [в] и о диске, несущим гироскоп, И.М.Миндлиным [20] .
В работе А.П.Дувакина [8] получены необходимые и доста -точные условия устойчивости движения диска, а также подробно рассмотрены некоторые частные случаи и для бесконечно тонкого однородного диска получены и представлены в виде графиков устойчивые и неустойчивые движения, причем необходимые условия устойчивости, т.е. условия существования движений, представляются в виде гипербол, а достаточные условия в виде эллипсов. Стационарные движения, которым соответствуют точки гипербол, лежащие вне эллипсов, являются устойчивыми по отношению к углу наклона плоскости диска к вертикали.
Устойчивость одного из этих случаев - прямолинейного движения вертикального диска исследована болгарскими учеными
-9-
А.Анчевым и В.Диамандиевым [42] .
Немного ранее решение задачи об устойчивости движения вертикального диска получено И.М.Миндлиным, как частный случай решения задачи об устойчивости движения тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости [_21~] .
В 1965 году И.М.Миндлиным и Г.К.Пожарицким в работе [22*] , как частный случай решения более общей задачи об устойчивости стационарных движений тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, получены достаточные условия устойчивости прямолинейно катящегося колеса.
В 1966 году М.Л.1)еаЬп[43] рассмотрел движение неоднородного круглого диска на горизонтальной плоскости и получил необходимые условия устойчивости для некоторых частных случаев.
В 1981 году В.К.Пойда в статье [2б] исследовал влияние трения скольжения на движение диска и показал, что достаточное условие устойчивости движения накладывает на угловую скорость собственного вращения диска ограничения снизу, а требование сохранения связей ограничивают её сверху и движение диска будет устойчиво в целом, если угловая скорость будет лежать между этими предельными значениями.
В 1983 году А.П.Маркеев в работе [19] исследовал движение тяжелого твердого тела с острым краем,в форме выпуклой кривой, по неподвижной абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Для случая, когда острый край имеет форму окружности проведено качественное исследование движения и изучена устойчивость и неустойчивость движений диска на гладкой плоскости; а также исследована устойчивость движения эллиптического диска.
Все эти результаты, за исключением [19"] , были получены с
I
-10-
помощью исследования корней характеристических уравнений.В монографии [24] , посвященной проблемам динамики и устойчивости движения неголономных систем, подводившей итоги многолетних исследований, Ю.И.Неймарк и Н.А.Фуфаев указали, что исследование устойчивости диска с помощью линеаризованных уравнений возмущенного движения приводит к критическому случаю устойчивости по А.М.Ляпунову и поэтому требуют дальнейшего изучения. Проведенные ими исследования позволили дать точное решение вопроса об устойчивости диска и полученные необходимые и достаточные условия устойчивости полностью совпали с решениями, полученными ранее [в, 20, 21, 22~] . В этой же работе [24] приведены результаты цикла работ Ю.И.Неймар-ка и Н.А.фуфаева об устойчивости стационарных движений неголономных систем с неполной диссипацией энергии, в частности рассмотрена задача об устойчивости диска и получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости многообразия стационарных движений диска на шероховатой плоскости при неполной диссипации энергии,связанной с наличием вязкого трения.
В 1963 году И.М.Миндлиным [20] была решена задача об устойчивости прямолинейного движения вертикального диска, несущего гироскоп, а также приведены достаточные условия устойчивости вертикального диска с гироскопом при движениях на гладкой горизонтальной плоскости.
Игл же в работе [21"] , как частный случай решения более общей задачи об устойчивости движения тела вращения на горизонтальной плоскости, вновь получено достаточное условие устойчивости движения вертикального диска с гироскопом на абсо-
-II-
лютно шероховатой плоскости.
В.В.Румянцев в 1961 году [ЗО-] рассмотрел движение гироскопа Жерве или эквилибристической стойки, которая представляет собой оправу, имеющую плоскую ножевую опору в виде сегмента, позволяющую оправе качаться вокруг горизонтальной оси и поворачиваться вокруг вертикальной оси. В оправу вмонтирован тяжелый ротор, ось которого перпендикулярна плоскости опоры. Построением функции Ляпунова В.В.Румянцев получил необходимые и достаточные условия устойчивости гиростата.
Эту же задачу другими методами рассматривал в 1965 году
В.Н.Скимель [36] .
В.С.Новоселов в монографии [25] исследовал устойчивость катания одноколесного экипажа переменной массы.
В 1969-1973 годах И.С.Емельяновой в работах [іО, II, 12] решена задача об устойчивости и неустойчивости стационарных движений моноцикла, катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Моноцикл представляет систему тел, состоящую из однородного диска, в центре которого шарнирно укреп -лен невесомый стержень, несущий быстро вращающийся шар. В этих работах рассмотрены различные частные случаи движения, приведены необходимые и достаточные условия устойчивости и диаграммы устойчивых движений моноцикла при наличии вязкого сопротивления, рассмотрены случаи неустойчивого движения моноцикла.
В последнее время интерес к теоретическому исследованию вопросов о движении и устойчивости диска на горизонтальной плоскости вновь усилился. Свидетельством тому служат появление новых публикаций на эту тему [і9, 26~] . Повидимому, это
-12-
связано с реализацией идеи самоходного одноколесного экипажа.
Впервые техническое воплощение одноколесного экипажа было реализовано в 1903 году изобретателем Гаравалья,который установил двигатель внутреннего сгорания в обруче диаметром два метра [4і] (рис.1.1).
В 1974 году в журнале "Изобретатель и рационализатор" была опубликована заметка Ю.Егорова [9] об одноколесном экипаже Э.Мельникова "...в котором водитель и двигатель находятся внутри колеса,движущегося на подшипниках по внешнему подвижному ободу...".Устройство и принцип действия одноколесного экипажа простое (рис.1.2). Основа конструкции - колесо, состоящее из двух швеллеров, вставленных один в другой, на внеш -ний обод наложена шина. В движении экипаж приводит двигатель, установленный на внутреннем ободе. Управляется одноколесный экипаж водителем с помощью груза - балансира. "... Держать равновесие внутри колеса ничуть не труднее чем управлять велосипедом. Моя машина устойчива и прекрасно поддается управлению", - утверждает изобретатель Э.Мельников из деревни Янино Ленинградской области. В самом деле 20 км в час через ямы, канавы и кустарник, такое под силу трактору или судну на воздушной подушке и ещё одноколесному экипажу с седоком внутри.
Такая легкость хода при преодолении препятствий вообще характерна для колес большого диаметра, достаточно вспомнить сельскохозяйственные трактора, которые делают либо гусеничными, либо высококолесными. Опираясь на эту способность колеса один американский изобретатель предложил проект одноколесной, высокопроходимой бронемашины [з] (рис.1.3) вооруженной пулеметом.