Реализация связей и предельные модели в механике

Оглавление
Введение 8
Глава 1. Реализация односторонних связей упругими силами и гамильтонов формализм Дирака 17
1. Сравнительный анализ различных условий движения и
схода со связи 17
1.1. Основные условия схода со связи 17
1.2. Вариационные принципы 22
1.3. О нетрадиционных условиях схода со связи 27
2. Реализация одиостороиих связен упругими силами 28
2.1. Реализация движения системы по связи 28
2.2. Сход со связи 30
3. Гамильтонов формализм Дирака и реализация односторонних
связей 33
3.1. Реализация связей малыми массами 33
3.2. Реализация односторонней связи. Уточнение оценок 38
Глава 2. Движение системы в среде Ксльвииа-Фойхта. Запаздывание схода со связи. Реализация односторонней связи сухим трением 41
1
1. Реализация односторонней связи средой Кельвина-Фойхта 41
1.1. Теорема о предельном переходе 41
1.2. Движение предельной системы по связи 47
4.3. Реализация связи анизотропным трением 49
2. Принцип Гамильтона для движения со связью, реализуемой
силами вязкого трения 54
3. Обобщенный биллиард, как предельная модель 57
Глава 3. Задача Чаплыгина и пакономный конек 60
1. Нсголономныс связи, ваконо.миан механика и конек
Чаплыгина 60
1.1. Неголономные связи и вакономиая механика 60
1.2. Реализация неинтегрирусмых связей 63
1.3. Вакономный конек 66
2. Неинтсгрируемость уравнении Кирхгофа и вакоиомного
конька 68
2.1. Ветвление решений в случае нулевого начального толчка 68
2.2. Ветвление решений в общем случае 72
3. Эффект "выныривания" тяжелого твердого тела в
жидкости 74
3.1. Постановка задачи 74
2
3.2. Эффект "выныривания” 76
3.3. Обоснование 77
3.4. Эффект "выныривания" и ва ко ном на я механика 82
4. Диск, падающий без параннотпропапия 83
Глава 4. Движения тяжелого твердого тела в жидкости 85
1. Асимптотика уравнений Чаплыгина 85
1.1. Процедура усреднения 85
1.2. Общее поведен ие твердого тела 89
2. Твердое тело с винтовой симметрией и соответствующая предельная задача 90
2.1. Уравнения движения 90
2.2. Условия устойчивости 93
2.3. Об устойчивости линеаризованной системы 99
2.4. Устойчивость неавтономных механических систем 100
2.5. Предельная задача 102
Глава 5. Изменение инерционных свойств систем, две модели 104
1. Качении симметричного шара но поверхности, 3-х мерный
случай. Предельная модель 104
3
1.1. Постановка задачи. Предельная модель 104
1.2. Уравнения движения 107
1.3. Инвариантная мера 108
1.4. Обсуждение 111
1.5. Предельная модель и химическая кинетика 112
2. Качение п-мернош шара по поверхности н соответствующая предельная задача 113
2.1. Уравнения движения 113
2.2. Почти-Пуассонова структура 117
2.3. Инвариантная мера 121
2.4. Инвариантная мера для //-мерного шара и "частицы со спином" 124
3. Сервосвязи н присоединенные массы 127
3.1. Постановка задачи 127
3.2. Основные результаты 129
3.3. Стабилизация периодических траекторий 130
3.4. Примеры 131
Глава 6. Редукция па группу геодезических потоков одностороинс-мнвариаптнмх метрик 135
1. Построение редукции на группу к полей симметрий 135
1.1. Редукция геодезических потоков на группу 135
4
1.2. Поля симметрий. Редукция для уравнений Эйлера общего вида и вакономной механики 138
2. Редукция на группу /»-мерного волчка Эйлера 141
2.1. Редукция 3-х мерного волчка Эйлера 141
2.2. Волчок Эйлера с диссипацией 142
2.3. Редукция геодезических потоков на группу 80{п) 143
Глава 7. Течения идеальной жидкости и "вторичная гидродинамика" 146
1. Течения идеальной жидкости 146
1.1. Уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости 146
1.2. Редукция па группу диффеоморфизмов и основная теорема 148
1.3. Поля симметрий редуцированной системы и гамильтонов
формализм Дирака 150
1.4. Поля симметрий в четномерном и нечетномерном случаях 150
1.5. Векторные поля, отвечающие функциям Казимира 151
2. Редукция на группу для течения жидкости с внешнем
трением и уравнений бесконечной проводимости 155
2.1. Течение жидкости с внешнем трением 155
2.2. Уравнение бесконечной проводимости 156
3. Уравнения Лакса и полиномиальные интегралы динамических систем 157
5
4. Энтропия Г побей и течения идеальной жидкости 161
4.1. Энтропия Гиббса 161
4.2. Конечная инвариантная мера динамических систем 162
4.3. Энтропия относительно произвольных форм объема 164
4.4. Примеры 167
Дополнение. Обобщения модели Фермн-Улама 169
1. Определение обобщенных биллиардов и основные
результаты 169
1.1. Определение обобщенного биллиарда 169
1.2. Модель Ферми-Улама. Основные результаты 170
2. Уравнения преобразования скорости, импульса и энергии
частицы в релятивистском биллиарде 172
2.1. Преобразования скорости, импульса и энергии при ударе 172
2.2. Движение частицы в силовом поле в рамках специальной теории относительности 173
2.3. Движение по геодезическим псевдо-римановой метрики 174
2.4. Основная лемма 177
3. Основные теоремы 178
4. Ускорение частиц 183
4.1. Релятивистские биллиарды в негравитационных силовых
полях 183
6
4.2. Релятивистские биллиарды в гравитационном поле 186
Литература 190
7
Введение
Определение движения систем с идеальными связями - это одна из основных независимых аксиом механики (хотя периодически предпринимаются попытки вывести, скажем, принцип Далам-бера-Лагранжа из законов Ньютона). Здесь ситуация в чем-то напоминает геометрию Евклида с его пятым постулатом о параллельных прямых. Проводя дальше эту аналогию, с полным правом можно считать, что геометрии Лобачевского в механике соответствует вакоиомная динамика, развитая В.В.Козловым [41]: при описании движения механических систем с неинтегри-руемымн связями принцип Даламбера-Лагранжа заменяется на вариационный принцип Гамильтона. В результате получаются новые динамические системы, которые не совпадают с классическими неголономиыми моделями.
Любые модели механики (в том числе и классические тоже!) нуждаются в обосновании. Под обоснованием понимается указание границ применимости тех или иных моделей. И здесь естественным является т.н. конструктивный метод обоснования систем со связями. Идея метода в том, что вместо системы со связью предлагается рассмотреть свободную систему, на которую действуют дополнительные силы, или, в более общем случае, систему, движущуюся в вязко-упругой среде (что соответствует физическим представлениям о природе связи), а затем перейти к пределу, устремив коэффициенты жссткосгн, вязкости и т.д. к бесконечности. Если предел существует, то предельная система объявляется системой со связью. Т.о. конкретная механическая модель должна выбираться исходя из физических параметров задачи. В частности, вакоиомная механика - это механика больших присоединенных масс [41], [42).
Конструктивный метод был намечен в первой четверти XX века в работах Клейна, Прандтля, Лскоршо и Пфсйфсра, в связи с анализом парадоксов "сухого трения", указанных Пэнлсве [83]. Речь цдет о следующей модели. Две материальные точки, связанные невесомым нсрастяжнмым стержнем, движутся но двум параллельным прямым. При этом на одну из точек действует
8
сила сухого трения и внешняя сила. Парадокс состоит в том, что при некоторых положениях стержня ("круто поставленный стержень") задача имеет или два решения, или ни одного. Для разрешения парадокса Пфейфер по предложению Клейна заменяет жесткий стержень упругим, а затем коэффициент упругости устремляет к бесконечности. Предельное движение объ-являлость истинным. Интересно отметить, что сам Клейн для разрешения таких парадоксоп предлагает следить за знаком реакции связи, т.е. фактически рассматривать систему с односторонней связью [83]. Теорема о реализации двусторонней голо-иомиой связи полем упругих сил, направленных к соответствующей поверхности, была впервые сформулирована Курантом и доказана его учениками в предположении о потенциальности силового паля [161]: оказывается, что при переходе к пределу движения "свободной"системы стремятся к движениям системы с голономиой связью. Позднее многие исследователи независимо формулировали и доказывали аналогичные теоремы (см., например, [2), [135] [145], [165]). Для более общего случая, когда нале сил непотенциалмю, терема о реализации связи упругими силами была доказана П.В.Козловым и А.И.Псйштадтом [54], и Г.Ю.Шмидтом [162]. Негодономиую связь можно реализовать силами сухого трепня или вязким трением, см. например, [10], [38[, [33|,”|69|, [112).
Т.о., конструктивный подход в основном (за исключением упомянутой нами вакоиомпой механики, а лакже некоторых "промежуточных" моделей (42), [91)), применялся талько для обоснования динамики систем со связями. Однако с нашей точки зрения, настоящая сила конструктивного подхода проявилась, когда стало попятно, что на его основе мо-жно создавать новые осмысленные неклассическте системы.
Цель нашей работы - создание и изучение "предельных" неклас-сических механических систем на основе конструктивного подхода к обоснованию динамики систем со связями, а также развитие методов для изучения таких систем. Мы также рассматриваем смежные задачи, в которых естественным образом применяются наши предельные системы. Подобного систематического изучения предельных систем ранее не предпринималось.
9
Диссертация состоит из семи глав и дополнения. Нумерация в каждой главе своя.
Глава 1 посвящена изучению задачи о реализации односторонних голономиых идеальных связей упругими силами. Рассматривается наиболее сложный случай, когда в начальный момент система находится на поверхности связи и движется по связи какое-то время, а затем сходит со связи. Случай, когда траектория псрссскат поверхность связи трансверсально, хорошо изучен, см., например, [55]. Основной результат главы состоит в том, что предельное движение совпадает с движением системы с односторонней голономиой связью. Первая часть главы носит методический характер: проводится сравнительный анализ различных условий схода со связи. В аналитическом случае все эти условия всегда эквивалентны. Далее мы доказываем теоремы о существовании предельного движения, и об оценках для "до-нределышх" систем, когда коэффициент жесткости стремится к бесконечности. Рассматривается задача о гамильтоновом формализме Дирака и реализации связей малыми массами (см. |6]), и с сс помощью выводятся уточненные оценки движения системы под действием большой возвращающей упругой силы.
В главе 2 мы рассматриваем ту же задачу для систем с односторонними голоиомными связями, что и в первой главе - случай схода со связи, но теперь связь реализуется вязко-упругой средой Кельвииа-Фойхта. Для реализации двусторонних связей такая модель была применена в (42], [6]. Если предельная модель в случае реализации односторонней связи упругими силами совпадает с классической, то в случае, когда добавлена вязкость и учитывается эффект присоединенных масс, получается целое семейство новых систем. Для каждой из этих систем движение по связи происходит одинаково, а отличие состоит в моменте схода со связи. Возникает эффект затягивания схода со связи, который подробно изучается. Динамика предельных систем оказывается зависящей от "предыстории", а не только от значений координат и скоростей в данный момент времени (в этом наши предельные системы похожи на вакономные модели). Для предельной модели, в которой односторонняя голоиомиая связь реализована анизотропным трением, мы получаем вариационный принцип -аналог классического принципа Гамильтона. Отдельно рассмат-
10
ривается задача реализации односторонней связи упругими силами и сухим трением в общем случае, когда траектория трансверсально пересекает границу связи. Предельная модель является т.н. "обобщенным биллиардом", которые подробно изучаются в дополнении как пример механизма ускорения частиц.
В главах 3, 4 разрабатываются качественные методы исследования систем на некомпактных фазовых пространствах, описываемых уравнениями Пуанкаре, на примере уравнений Кирхгофа движения тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Термин "тяжелое" означает, что тело иеуравнопешено, т.е. сила тяжести больше силы Архимеда. Отметим, что эта задача принципиально отличается от (популярного) частного случая, когда сила тяжести и сила Архимеда равны; этот случай довольно полно изучен, см., например, ’ [_!*, [_ и ссылки в последней
работе. Задача о падении тяжелого твердого тела в жидкости -классическая, она рассматривалась еще В.Л.Стскловым (89] и С.А.Чаплыгиным [98]. Важные качественные свойства динамики симметричного тела были обнаружены сравнительно недавно, см., например, [52], [56], [107], [146].
Твердое тало в идеальной жидкости - это "допредельная" модель в задаче о движении твердого тела с исиитегрируемой связью, инвариантной относительно левых сдвигов па группе 50(3) к Е3, когда связь реализуется присоединенными массами. Предельный случай как раз является вакоиомпой системой. Мы показываем, что свойства твердого тела в жидкости (отсутствие полиномиальных интегралов, ветвление решений на комплексной плоскости, асимптотические свойства решений и т.д.) можно практически без изменений переносить на соответствующую предельную вакономную систему. Наоборот, некоторые "парадоксальные" свойства вакономных систем (как, например, эффект "выныривания") переносятся на тяжалос твердое тело в жидкости.
В главе 3 мы рассматриваем классическую задачу Чаплыгина о падении симметричного тяжелого твердого тела в идеальной жидкости, совершающей безвихревое движение и покоящейся па бесконечности, и вакономпый конек, как ее предельный случай: одна из присоединенных масс устремляется к бесконечно-
13453672
сти. Изучаются качественные свойства динамики тела в жидкости. Мы доказывем ветвление решений па комплексной плоскости времени с использованием метода Ковалевской-Ляпунова. Исследуется эффект "выныривания": если сплюснутое твердое тело расположено горизонтально, и начинает двигаться с горизонтальной скоростью (в паче силы тяжести), то в начальные моменты времени такое тело может подняться вверх, выше начального положения. Эффект "выныривания" проявляется на множестве параметров положительной меры. Изучается аналог эффекта "выныривания"для вакономного конька.
В главе 4 мы изучам общие свойства движения тел в идеальной жидкости, когда время стремится к бесконечности. Изучается асимптотика уравнения Чаплыгина, которое одновременно описывает и движение симметричного твердого тела в идеальной жидкости, и движение вакономного конька. Исследуется качественное поведение решений на интервале времени от —оо до Ч-оо: численно найдены области начальных условий такие, что тело делает заранее заданное число полуоборотов. Решается задача В.А.Стеклова об устойчивости оси вращения осесимметричного твердого тела, падающего в идеальной жидкости. Найдены условия устойчивости по Ляпунову и исследована асимптотика решений на бесконечности.
Из результатов глав 3 и 4 следует, что в задачах с неинтсгрирус-мымм связями, в которых связь есть результат движения системы в сопротивляющейся среде, например, жидкости (а, значит, из физических соображений необходимо учитывать эффект присоединенных масс), предпочтительнее использовать вакономную модель, чем пеголономную. В качестве примера в главе 4 рассматривается классическая задача о падении диска без парашютирования, исследованная в [71] в классической нсголоиомпой постановке.
В главе о мы рассматриваем две модели, которые имеют непосредственное отношение к задаче о реализации связи при помощи изменения инерционных свойств системы. Однако при этом эти модели не имеют той групповой структуры, как задачи глав 3 и 4.
12
Первая модель - это предельный случай движения симметричного шара по поверхности без проскальзывания в случае, когда радиус шара г стремится к нулю. Отметим, что качение шара но поверхности - это классический исголопомной системы; о современном состоянии проблемы см., например, (137], (108]. Формально предельный случай - это система с малыми массами. Оказывается, что после некоторой регуляризующей замены переменных предельная система определена корректно и совпадает с качением шара радиуса 1 по поверхности, эквидистантной к исходной. Уравнения движения записываются в "гамильтоновом” виде с дополнительным параметром, "спином" частицы. Когда этот параметр равен нулю, мы получаем обычное движение точки (частицы) но поверхности. Рассматриваются обобщения этой задачи на многомерный случай, а также строится класс систем "частица со спином", которые задаются т.н. почти-Пуассоновой структурой (скобка, удовлетворяющая всем свойствам скобки Пуассона, кроме тождества Якоби). Мы показываем, что во всех этих задачах сохраняется гладкая инвариантная мера, и находим ее явный вид. Полученные результаты имеют интересное приложение к химической кинетике. В стандартных моделях химической кинетики считается, что раз радиус атома пренебрежимо мал, его можно считать точкой, и не учитывать его вращение при взаимодействии с другими атомами |7б]. Здесь под взаимодействием понимается механическое соударение. Используя указанный предельный переход г —♦ 0, мы аргументируем недопустимость игнорирования вращения атомов (и молекул) при взаимодействиях.
Вторая модель связана с одним классом механических систем с сервосвязями, изученным в (154], (163]. Мы доказывем теорему о необходимых н достаточных условиях того, что на поверхности связи система - лагранжева. При этом введение конечных присоединенных масс - это основной инструмент доказательства.
В главах 6 и 7 развивается общая теория о нахождении и исследовании инвариантных многообразий, однозначно проектирующихся на конфигурационное пространство, у гамильтоновых систем, которые описываются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли. На примере волчка Эйлера (геодезические левоинвариант-ной метрики па группе Ли 50(3)) такая редукция была развита
13
и (53], (140] (см. также (9], где изучается редукция интегрируемых геодезических потоков). Мы рассматриваем общий случай, когда соответствующая группа Ли может быть бесконечномерной, и не обязатсльно являющстся банаховым многообразием. Особое внимание мы уделяем редукции на группу геодезических потоков с лево- (право-) инвариантной метрикой. В качестве основного примера используются уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости.
В главе б строится редуцированное на группу Ли векторное иоле, а также его "поля симметрии": лево- или иравоиивариаитпые поля на группе, коммутирующие с нашим редуцированным векторным нолем. Показано, что все такие поля симметрий порождаются векторами из алгебы Ли, изотропными к фиксированной орбите коприсосдииспиого представления. В качества примера рассматривается 71-мерный волчек Эйлера - геодезические левоинвариантной метрики на группе Ли 50(п).
Методы и результаты этой главы можно эффективно применять для некоторых из рассмотренных выше предельных моделей. В первую очередь это касается вакономной механики, что следует из результатов главы 4: действительно, уравнения Кирхгофа падения тяжелого тела в идеальной жидкости можно представить в виде уравнений Эйлера с неавтономным гамильтонианом.
В главе 7 мы изучаем различные аспекты задачи о течении идеальной несжимаемой жидкости по рнмаиовым многообразиям и их обобщения: система с внешним трением и уравнения бесконечной проводимости. Необходимо отмстить, что и сами уравнения движения идеальной жидкости можно рассматривать, как предельную модель в "классическом" понимании этого слова (127], (128] (аналог реализации голоиомной связи упругими силами). Используя результаты предыдущей главы, мы строим редукцию систем на группу Ли диффеоморфизмов, сохраняющих объем, и ищем поля симметрий редуцированных систем. Изотропные вектора суть вихревые векторные ноля на многообразии. Исследуется задача о системах гидродинамического типа, которые описывают инвариантное многеобразие гамильтоновых систем с полутора степенями свободы вида полинома по импульсам, т.с. образующее консчнолистное накрытие коифигу-
14
рационного пространства. Доказывается интегрируемость таких систем.
В дополнении мы рассматриваем задачу Ферми-Улама о возможности ускорения частицы, отражающейся от двух параллельных периодически вибрирующих стенок. Закон отражения от стенок - классический упругий и закон "обобщенного бнлли-арда"(см. главу 2); оба случая рассматриваются в рамках ньютоновой механики и релятивистской механики. Известно, что в ньютоновском случае, в отличие от релятивистского (когда система становится диссипативной), ускорение до бесконечности невозможно [29], [81]. В релятивистской постановке задачи изучается механизм возникновения асимптотически устойчивых движений. Для иеобобщеиного релятивистскою биллиарда (световые) асимптотически устойчивые траектории получаются, как следствие теорем типа Ляпунова-Малкина [80] (что типично для нсголономиой механики). Для обобщенного биллиарда аттракторы устроены более сложно; возможен принципиально другой механизм: "ускорение в среднем".
Все модели, которые мы изучаем, тесно связаны друг с другом, поэтому зачастую их разнесение по главам носит условный характер. Так, например, задача о гамильтоновом формализме Дирака и реализации связей малыми массами имеет существенное значение в задаче о реализации односторонних голономных связей (глава 1), она же используется для нахождения полей симметрии потока идеальной жидкости, редуцированного на группу SDiff(M) в главе 7. Задача об интегрируемости уравнения Чаплыгина (глава 3) приводит к одной интегрируемой системе гид!>одииамического типа (глава 7). Метод реализации связей при помощи изменения инерционных свойств системы используется в главах со вторую по пятую. Модель Пэнлеве [83] системы с сухим трением, которая послужила началом для конструктивного метода обоснования динамики систем со связями, приводит к обобщенным биллиардам (глава 2 и дополнение) в случае, когда внешняя сила - упругая, и вместе с силой трения они устремляются к бесконечности. Теория редукции на группу Ли, построенная в главе 6 (точнее, инвариантные соотношения, которые задают эту редукцию), используется при исследовании эффекта "выныривания" в главе 3.
15
Мы еще раз подчеркнем, что цель работы - создание и изучение новых систем. Однако те результаты и методы, которые мы развивали, можно с успехом применять для гораздо более широкого класса задач. Так, одним из результатов работы стало решение ряда классических задач. Среди них задача В. А.Стеклова об устойчивости равноускоренных вращений тяжелого твердого тела в идеальной жидкости (конец, XIX века), задача о поведении решений уравнений Кирхгофа движения симметричного тяжелого тела в идеальной жидкости на комплексной плоскости времени (начало XX века), общее решение задачи о реализации голономиой односторонней связи (начало XX века). Из современных решенных нами проблем отмстим задачу о качении без проскальзывания симметричного шара по поверхности, где в общих условиях на силовое пате найдена инвариантная мера, задачу об асимптотике уравнения Чаплыгина, и теорию редукции на группу Ли геодезических потоков одностороине-ннвариаптиых метрик. В применении к задачам течения идеальной жидкости последние результаты решают задачу В.В.Козлова о "вторичной гидродинамике" [61). Инвариантные многообразия гамильтоновых систем, однозначно проектирующиеся па конфигурационное пространство, задаются уравнениями, имеющими вид уравнений Ламба из гидродинамики. Задача о "вторичной гидродинамике" состоит в описании такого рода инвариантных многообразий и потока на них уже для уравнений Ламба.
Дирак, один из крупнейших физиков XX века, так охарактеризовал стратегию развития теоретической физики: "Приступая к созданию физической теории, необходимо отбросить все предшествующие физические модели, а также основанную на них "физическую интуицию", которая есть не что иное, как набор предвзятых точек зрения... необходішо довериться математической схеме, даже если эта схема с первого взгляда не связана с физикой"(цит. по |5|). По словам В.И.Арнольда, весь опыт развития теоретической физики XX века (в отличие от XIX века) подтверждает правоту Дирака. В нашей работе мы используем стратегию Дирака в теоретической механике.
16
Глава 1
Реализация односторонних связей упругими силами и гамильтонов формализм Дирака
В этой главе мы рассматриваем задачу о реализации односторонних голономных идеальных связей упругими силами. Рассматривается наиболее сложный случай, когда п начальный момент система находится на поверхности связи и движется по связи какое-то время, а затем сходит со связи: случай, когда траектория пересекает поверхность связи трансверсально, известен (см., например, (55|). Проводится сравнительный анализ различных условий схода со связи. Доказываюся теоремы о предельном подходе, когда коэффициент жесткости ецюмится к бесконечности. Продел определен на любом конечном интервале времени, и предельная модель совпадает с классической. Мы также рассматриваем задачу о гамильтоновом формализме Дирака и реализации связей малыми массами: с се помощью выводятся уточненные оценки движения системы иод действием большой возвращающей упругой силы.
1 Сравнительный анализ различных условий движения и схода со связи
1.1 Основные условия схода со связи
Пусті, дана натуральная механическая система с конфигурационным пространством К" = {х}, на которую наложена голоном-иая идеальная односторонняя связь /(х) > 0, и пусть гладкое отображение х : [0,Т] —> Е£п - движение этой системы.
Определение 1. Сисісма с односторонней связью движется по связи, если в процессе движения выполняется равенство /(х) =
0. Система сходит со связи в момент времени т, сети до этого
17