Полиморфизмы и задача о разрушении адиабатического инварианта

Оглавление
Введение 2
1 Полиморфизмы 10
1.1 Общие понятия теории полиморфизмов................ 10
1.2 Полиморфизмы, состоящие из гладких отображений ... 12
1.3 Полиморфизмы с двумя возрастающими ветвями .... 17
2 Пример кусочно-линейного эргодического полиморфизма 20
2.1 Семейство полиморфизмов Т(а, Ь, с).................20
2.2 Доказательство эргодичности Т{а,Ь, с) .............21
3 Полиморфизмы, порождаемые задачей о разрушении адиабатического инварианта 28
3.1 Задача о разрушении адиабатического инварианта .... 28
3.2 Типичные особенности.............................. 35
Добавление. Полиморфизмы и цепи Маркова 42
Заключение 47
А Модель задачи о разрушении адиабатического инварианта для среды МАТЬАВ 48
(ХУ
1
Введение
Одной из важных проблем теории динамических систем является исследование поведения интегрируемых гамильтоновых систем при малых возмущениях ([19)). Напомним, что система называется интегрируемой по Лиувилто в том случае, если она имеет полный набор функционально независимых коммутирующих первых интегралов. Особый интерес представляет ситуация, когда многообразия уровня первых интегралов компактны. Тогда типичные траектории представляют собой квазипериодические обмотки инвариантных торов. Для исследования возмущенных систем, как правило, используют канонические координаты действие-угол ([15, .17]), в которых невозмущенное решение выглядит как равномерное движение фазовой точки вдоль обобщенных координат при постоянных значениях обобщенных импульсов. Теория Колмогорова-АрнольдагМозера (KAM теория) утверждает, что при возмущении интегрируемой гамильтоновой системы большинство инвариантных торов сохраняется ([9, 27)). Часть торов, образующих множество малой меры, тем не менее, разрушается, и на их месте образуются области качественно более сложного поведения, что в случае более чем двух степеней свободы позволяет импульсам существенно удаляться от своих начальных значений.
Данная работа посвящена явлениям, наблюдаемым при медленном периодическом возмущении одномерных гамильтоновых систем в окрест ности особых кривых — сепаратрис. Сепаратриса — траектория асимптотического решения плоской динамической системы, стремящегося при t —♦ -foc (устойчивая сепаратриса) или при t —* — оо (неустойчивая сепаратриса) к седловой неподвижной точке. Обычно в невозмущенной системе устойчивая и неустойчивая сепаратрисы совпадают. Возмущенные сепаратрисы, как правило, расщепляются. Тогда в их окрестности рождается стохастический слой, что существенно меняет свойства системы, делая се неинтегрируемой (|7, 26, 27|). Нашей задачей является исследование поведения решений возмущенной системы в окрестности сепаратрисы с точки зрения динамики такого параметра
2
траектории как адиабатический инвариант.
Адиабатическим инвариантом называется величина, асимптотически сохраняющаяся при достаточно медленном изменении параметров гамильтоновой системы. Более строго, рассмотрим систему дифференциальных уравнений Гамильтона х = у{х, Л), где Л — параметр. Функция / от фазовой точки х и параметра Л называется адиабатическим инво.риаптом, если для любой гладкой функции А(т) медленного времени Т = ££ вдоль решения уравнения х = у{х,\(еЬ)) изменение величины /(х(£), Л(е£)) остается малым на интервале времени 0 < < < \/е, если е достаточно мало (|9, 10]). Понятие адиабатического инварианта было введено П.Эренфестом. В данном понимании это явление изучалось в работах А.А.Андронова, М.А.Леонтовича. Л.М.Мандельштама. Адиабатические инварианты возникают во многих задачах механики. Например, предположим, что в одномерной гамильтоновой системе при каждом значении параметра фазовые траектории замкнуты и частота движения по ним отлична от нуля. Тогда можно ввести координаты действие-угол. Теорема об усреднении утверждает, что переменная действия данной системы будет являться адиабатическим инвариантом. То же можно сказать о системе с двумя степенями свободы, гамильтониан которой медленно зависит от одной из координат. Например, адиабатический инвариант существует в системе, описывающей движение в потенциальном рве, вытянутом вдоль одной координаты. К таким задачам относятся распространение коротковолнового излучения в волноводе или движение заряженной частицы в плавно изменяющемся поле. Адиабатические инварианты существуют и в системах с ударом, например, при движении упругого шарика между двумя медленно движущимися стенками или при распространении лучей в плоском световоде с зеркальными стенками, ширина и направление стенок которого меняются плавно. В системах со многими степенями свободы с медленно изменяющимися параметрами возникают почти адиабатические инварианты — фазовые функции, для которых мера множества траекторий, отклоняющихся от адиабатического приближения, стремится к нулю вместе с малым параметром. Для одночастотных гамильтоновых систем с плавно изменяющимися параметрами быстрые переменные можно исключать симплектически и за счет этого получить величины, сохраняющиеся с большей точностью. В пределе можно добиться экспоненциально большого времени сохранения адиабатического инварианта. Если адиабатический инвариант имеет предел в прошлом и будущем, то можно показать, что его
3
приращение за бесконечно большое время убывает быстрее любой степени. Важным выводом теории KAM является то, что в нелинейной системе адиабатический инвариант остается близок к своему начальному значению вечно, если движение происходит вдали от сепаратрис.
Сформулируем задачу о разрушении адиабатического инварианта. Рассмотрим одномерную гамильтонову систему, периодически зависящую от параметра (см. подробнее в главе 3). Предположим, что при всех значениях параметра фазовое пространство системы делится сепаратрисами на области движения £>+, D_, Do (см. рис. 1). Предположим также, что траектории системы замкнуты. Тогда при медленном изменении параметра действие является адиабатическим инвариантом. Это означает, что для удаленных от сепаратрисы точек изменение площади области фазового пространства, ограниченного траекторией точки в «замороженной» системе, т.е. в автономной системе с зафиксированным параметром, мало. Адиабатическое приближение теряет смысл в момент пересечения фазовой точкой сепаратрисы. В этот момент точка меняет область движения, и значение адиабатического инварианта испытывает скачок.
Оценкам скачка адиабатического инварианта при прохождение фазовой точки через сепаратрису посвящено много работ и численных экспериментов ([2, 6, 23, 25]). В пределе при стремящихся к нулю значениях возмущающего параметра изменение адиабатического инварианта представляет собой случайную величину, распределение которой определяется скоростью роста площадей областей 0+, и дополнения Д) в момент попадания точки на сепаратрису. Мы получаем многозначное отображение, действующее на множестве значений переменной действия, представляющем собой объединение трех
Рис. 1: Фазовый портрет «замороженной«* системы.
4
непересекающихся отрезков, которые мы приставляем друг к другу.
А.И.Нейштадтом и Д.В.Трещсвым было показано, что данное отображение сохраняет стандартную меру Лебега. Таким образом, оказалось, что зада.ча о разрушении адиабатического инварианта, может быть описана с помощью динамической системы особого вида — полиморфизма.
Полиморфизмы — многозначные отображения, сохраняющие меру — были введены Вершиком ([8, 13, 14)). По определению, полиморфизмом пространства Лебега (ХьШ]) в пространство Лебега [Х^т^ называется диаграмма II :
№,т,) *2- (X, х Х2,(1) -2* (Х2>т2),
где (X! х — пространство Лебега, к\ и 7Г2 — координатные про-
екции Х\ х Хо на сомножители Х\ и Хг, являющиеся гомоморфизмами пространств Лебега. С точки зрения динамики, точки множества Х[ случайно отображаются полиморфизмом П в точки множества X? таким образом, что вероятность попадания точки из произвольного измеримого множества Л с Х\ в произвольное измеримое В С Хо равна р{А х В).
Полиморфизмы встерчаются в различных областях математики, таких как алгебра и алгебраическая геометрия, марковские операторы и процессы, теория представлений. В контексте нашей задачи мы рассмотрим полиморфизмы частного вида с мерой, сосредоточенной на конечном наборе гладких кривых (см. главу 1). В этом случае каждая точка пространства Х\ имеет конечное число образов в Лг, вероятность каждого из которых определяется плотностью меры р в соответствующих точках Х\ х Х2. На рис. 2 изображено несколько ветвей полиморфизма Т, действующего на отрезке [0,1) со стандартной мерой Лебега и переводящего его в себя. Положение образов определяется функциями у?*, объединение графиков которых является носителем меры р, функции рк — вероятности — суть проекции плотности меры р. на ось абсцисс. При этом мера Лебега на (0,1) должна сохраняться в следующем смысле: оператор Перрона-Фробениуса \УТ : £2([0,1)) —► Ь2([0,1_), действующий по формуле
р{х) «—* Щгр{у) = ^РкО(Рк1{у) \{<р];1У(у)\ро<РкЧу)*
к
оставляет постоянные функции без изменений:
\¥Т1 = 1.
5