Устойчивость в системах с последействием, описываемых интегродифференциальными уравнениями типа Вольтерра

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................4
ГЛАВА I УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
1.1. Построение общего решения в окрестности асимптотически устойчивого положения равновесия ......26
1.2. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях ..........................................34
1.3. Некоторые обобщения ........................37
1.4. Примеры исследования устойчивости. Модельная задача о движении жесткого крыла в нестационарном потоке. Межвидовое взаимодействие биологических популяций . 42
ГЛАВА И ОЦЕНКА ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ
2.1. Оценка радиуса сходимости рядов первого метода Ля-
пунова ................................................52
2.2. Оценка области притяжения для интегродифференци-ального уравнения типа Вольтерра..................56
2.3. Оценка области притяжения для автономного дифференциального уравнения ...........................72
ГЛАВА III НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ОДНОГО НУЛЕВОГО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОКАЗАТЕЛЯ
3.1. Неустойчивость в системах с интегральными ядрами
экспоненциально-полиномиального вида .................88
3.2. Неустойчивость в общих системах с разностными убывающими интегральными ядрами ....................118
3.3. Неустойчивость, устанавливаемая по квадратичным членам ..........................................130
ГЛАВА IV НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ДВУХ НУЛЕВЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ (ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ)
4.1. Системы с убывающими интегральными ядрами разностного типа..............................134
4.2. Устойчивость равновесия твердого тела с вязкоупругими опорами ................................152
ГЛАВА V АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ЯДРАМИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО- ПОЛИНОМИА-
ЛЬНОГО ВИДА
5.1. Один нулевой корень ......................164
5.2. Пара чисто мнимых корней ............... 175
ГЛАВА VI НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
6.1. Движение твердого тела с плоскостью симметрии в воздушном потоке при нестационарном обтекании..184
6.2. Устойчивость положения равновесия жесткого крыла в нестационарном потоке (критический случай)..200
6.3. Кручение вязкоупругого стержня ...........210
6.4. Кручение крыла............................228
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................235
ЛИТЕРАТУРА ......................................236
3
ВВЕДЕНИЕ
В классических представлениях о природных процессах, их характеристиках, считается, что состояние процесса в данный момент времени і не зависит от его состояния (от характеристик) в какие-либо другие моменты времени. Если рассматривать математическую модель такого процесса, обозначая через х(1) вектор состояния, описывающий процесс, то приходим к стандартному дифференциальному уравнению
= /(*(*),<). (0.1)
в котором /(*(*), І) _ функция, обладающая теми или иными свойствами.
Однако в середине 19-го века рядом ученых, среди которых можно выделить Больцмана и Томсона (Кельвина), было установлено, что некоторые процессы, такие, как, например. электромагнитное взаимодействие, деформация твердого тела, не поддаютя описанию в рамках указанного классического подхода, поскольку зависят от предыстории процесса, т.е. от моментов времени т < і. В этом случае вектор состояния х(і) должен удовлетворять (в современной терминологии) уже функционально-дифференциальному уравнению
^ = (^)(*), (0.2)
где (Е\г)(*) - оператор, определенный на некотором банаховом пространстве, например, на пространстве непрерывно дифференцируемых функций. Обычно рассматривают уравнения типа (0.2) с Вольтерровым оператором [114]. Пусть функции х(і.) определены на отрезке [а, 6]. Оператор (Ег)(£) называется Вольтерровым, если для любого т € [а, Ь] и любых .тД), т2(0 из области его определения таких, что если х\(і) = Х2ІІ) на [а,т], то на [а,т] выполняется (ічгі)(/) = (Гхг)(0- Уравнение (0/2) с Вольтерровым оператором называется уравнением с последействием.
4
Формула (0.2) объединяет различные классы уравнений: дифференциальные (0.1), интегродифференциалъные (как обыкновенные, так и в частных производных), уравнения с запаздыванием. Значительный интерес исследователей к уравнениям последнего типа связан с важностью задач автоматического регулирования. Теория функционально-дифференциальных уравнений интенсивно развивается в последние десятилетия. С единых позиций удалось проанализиповать ряд общих вопросов: существование решения задачи Коши и краевой задачи (в разных смыслах), единственность, непрерывную зависимость решения от параметра, некоторые свойства решений. Наибольшее продвижение здесь отмечается для линейных уравнений и для уравнений с запаздыванием. Основные полученные в этом направлении результаты нашли отражения в монографиях и обзорах [1, 2, 3, 14, 17, 123, 119, 61, 142. 143, 144, 73, 74, 82, 137].
Обладая общими свойствами, присущими функционально— дифференциальным уравнениям, интегродифференциальные уравнения имеют специфические особенности, что делает актуальным исследование поведения их решений. Интегродифференциальные уравнения имеют многочисленные приложения, связанные с реологическими свойствами деформируемых тел [157. 76], межвидовым взаимодействием в биологии [37]. процессами в ядерных реакторах [35, 131. 150], электромагнетизмом [80], движением тела в нестационарном потоке [18] и др.
Систематическое изучение теории интегродифференциальных уравнений, а также в связи с этим общей теории функционалов началось в начале 20-го века с фундаментальных исследований В. Вольтерра [157]-[161]. В.Вольтерра предложил вариант сведения интегродифференциальных уравнений к интегральным и применил к их исследованию развитую к тому времени в его работах теорию интегральных уравнений. Им была предложена математическая модель конкурентного межвидового взаимодействия [37] на основе интегродиффереицмальных уравнений с переменным верхним пределом интегрирования, названных в дальнейшем уравнениями типа Вольтерра. Существенное вии-
5
мание в его работах было уделено развитию реологической модели деформируемого тела с использованием интегральной зависимости между напряжением и деформацией [157]. Предложенная таким образом модель "наследственного твердого тела" описывается системой интегродифференциальных уравнений в частных производных. Первоначально использованная линейная интегральная зависимость была обобщена и заменена на нелинейную в форме ряда. Фреше [133] из кратных интегралов - аналога ряда Тейлора для непрерывного функционала. Обзор результатов по теории интегродифференциальных уравнений и их приложениям, полученных как самим В.Вольтерра, так и его современниками, содержится в монографии [36], где имеется также подготовленная М.К.Керимовым к изданию книги обширная библиография последующих работ. Публикации, относящиеся к первой четверти 20-го века, отражены, кроме того, в обзоре [129] и в [146]. Обзоры литературы последних десятилетий по интегродифференциальным уравнениям и непосредственно связанным с ними интегральным уравнениям содержатся в [29, 51, 120, 122, 123, 124, 128]. Отметим, что объем литературы по темам, примыкающим к теме диссертации, весьма велик, поэтому приводимый здесь обзор затрагивает в основном лишь минимально необходимую часть публикаций.
Диссертация посвящена исследованию устойчивости в системах с последействием, которые описываются интегродифферен-циальными уравнениями типа Вольтерра, т.е. уравнениями вида
і
х = А(і)х + І А'(А $)х($)(1$ + (0.3)
где .г* 6 П!\ -4(/). А'(/,$) - (гг х п) - матрицы-функции, заданные соответственно на множествах I = {/. : £ Є К1, і > /о} и 3 = {(*,$) : (А б*) Є К2, іо £ 5 5: * < /(х, у, і) - нелинейная
часть уравнения, представимая голоморфной по х, у в некоторой окрестности нуля функцией, разложение которой в степенной ряд имеет коэффициентами непрерывные при / Є I ограниченные функции времени. В уравнении (0.3) у Є - некоторый
6
непрерывный функционал, который будет детализирован ниже.
Теоретические исследования, относящиеся к уравнению (0.3), были продолжены в работах [38, 43, 44], где установлены теоремы существования и единственности решения для некоторых классов уравнений с различными свойствами входящих в них функций. Существенное развитие теория интегродифференци-альных уравнений получила в работах Я.В.Быкова [25, 26] и его научной школы в Киргизии [51, 49, 50, 116, 117]. В монографии [25] дан общий анализ задачи Коши для и нте гроди ф фере н ци ал г.-ного уравнения типа (0.3) как операторного уравнения и банаховом пространстве, для различных классов уравнений рассмотрены вопросы существования решений, ограниченноси, асимптотическом поведении на бесконечноси, устойчивости. Для уравнения (0.3) с функцией f(i) в правой части дается формула Коши, разрешающая задачу Коши x(t^) ~ ад для этого уравнения,
t
X = X(t9to)xo + f X(t,s)f(s)ds, (0.4)
где X(t, s) - фундаментальная матрица уравнения
t
х = A(t)x + j K(t,r)x(r)dT
s
такая, что X(t,t) — En (En - единичная матрица порядка //.).
В [25] методом интегральных неравенств доказывается, в частности , утверждение об асимптотической устойчивости (теорема
4.3.5) для уравнения вида (0.3) с нелинейностью в форме
t
f(x(t.),t) + J F(t,s,x(t),x(s))ds, (0.5)
to
где / и F непрерывны и удовлетворяют определенным неравенствам типа локальных условий Липшица (с дополнительными условиями) и, кроме того, для всех t > $ > /0
||X(t, s)|| < bexp[-a(t - 5*)], a, b = const > 0.
7
Эта теорема в части свойства асимптотической устойчивости близка к некоторым утверждениям гл.1 и II, целыо которых является выяснение структуры общего решения в окрестности нуля для интегродифференциального уравнения с голоморфной правой частью на основе рядов первого метода Ляпунова и построению мажорирующих уравнений для получения оценки области притяжения асимптотически устойчивого нулевого решения.
В случае, когда ||Л'(*,$)|| < /;, для уравнения вида (0.3), (0.5) с условиями на / и F такого же типа, как в теореме 4.3.5 (в частности,
11/ИОЛ - /М<),<)|| < ¥>i(t,£)||uC0 - v(t)il (0.6)
для всех t> $> /0 и || и(£) Ц, \\v(t)\\ < 6) здесь же методом последовательных приближений доказывается утверждение (теорема
4.3.6) об устойчивости нулевого решения.
Отметим, что теорема 4.3.6, охватывающая критические случаи одного и двух нулевых характеристических показателей, которые рассматриваются в главах III - V диссертации, накладывает существенное ограничение на нелинейные члены уравнения (0.3), (0.5), предполагая, что в (0.6) функция —► 0 при
/ —» 4-эо. Для типов уравнений, исследуемых в гл. III - V, где последнее условие не выполняется, имеет место либо неустойчивость, либо асимптотическая устойчивость.
В работе [26] подробно изучаются свойства асимптотической устойчивости, устойчивости, а также скорость убывания и ограниченность решений (и их производных) для нелинейного интегродифференциального уравнения с интегральным ядром линейной части экспоненциально-полиномиального вида.
Как известно, задача об устойчивости в критических случаях одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней для дифференциального уравнения с голоморфной правой частью была поставлена и решена Ляпуновым [66]. Для интегродифференци-ального уравнения в общей постановке такая задача не рассматривалась.
8
Монографии М.И.Иманалиева [49, 50] посвящены исследованию интегродифференциальных уравнений с особенностью при старшей производной. Применение методов усреднения для анализа решений интегродифференциальных уравнений было проведено А.Н.Филатовым [116. 117].
Свойства ограниченности, устойчивости, стремления к определенному пределу при / —> +оо для некоторых видов линейных и нелинейных интегродифференциальных уравнений исследовались методом интегральных неравенств в работах Ю. А.Ведя [31]-[34], С.Искандарова [52. 53], Г.Ражапова [78] и других авторов, входящих в киргизскую школу по интегродифференциальным уравнениям и-публикующих работы в сериальном издании [54]. Обзор значительной части этих работ содержится в [51]. Некоторые условия экспоненциальной устойчивости для линейных уравнений получены в [23], асимптотика решений нелинейных уравнений рассматривалась в [6].
Среди зарубежных исследователей последних десятилетий в области интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра следует отметить таких математиков, как Т.A.Burton, S.I.Grossman, G.S.Jordan, R.K.Miller, R.L.Wheeler. Были проведены исследования свойств линейных уравнений (асимптотическая и равномерная асимптотическая устойчивость, свойство принадлежности резольвенты уравнения пространствам Lp(0. -Нос), ВС(0, -Нос) П Lp(0. -Нос) (р > 1) и др.) [123, 139, 138. 145, 147, 149. 151, 152, 130]. Установлена с применением преобразования Лапласа структура резольвенты для линейного уравнения с интегральным ядром разностного типа [124. 140. 141]. Было показано, что в резольвенте можно выделить часть, определяемую конечным числом корней характеристического уравнения и имеющую структуру общего решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Таким образом, некоторые классы линейных интегродифференциальных уравнений по структуре своих решений близки к дифференциальным уравнениям. Более того, интегродифферен-циальные уравнения с интегральными ядрами разностного типа
9
приводятся к системе дифференциальных уравнений большей размерности [25]. Однако одно из существенных различий состоит в том, что определитель Вронского фундаментальной матрицы линейного интегродифференциального уравнения может обращаться в 0 в некоторых точках [25], что невозможно для дифференциальных уравнений.
В работах [135, 136] для нелинейного интегродифференци-ального уравнения и уравнения специального вида, содержащего также аддитивную функцию времени с запаздыванием, методом интегральных неравенств устанавливается свойство, близкое устойчивости при постоянно действующих возмущениях, рассматриваемой ниже в гл.1 в связи с представлением общего решения в окрестности нуля радами по степеням произвольных постоянных и малому параметру. В [136] доказана также важная теорема о принадлежности резольвенты линейного интегродифференциального уравнения типа Вольтерра с локально интегрируемым ядром и постоянной матрицей неинтегральных членов пространству интегрируемых функций Ll(R+) (R+ = {t 6 R1 : t > 0}). Показано, что это свойство имеет место тогда и только тогда, когда соответствующее характеристическое уравнение Ф(А) = Ü определено в полуплоскости Re А > 0 и не имеет в ней корней. Показано также, что если резольвента и интегральное ядро уравнения принадлежат L1(R+), то нулевое решение равномерно асимптотически устойчиво. Исследование базируется на результатах работы [153], посвященной интегральным уравнениям.
Свойства ограниченности решений, стремления к нулю на бесконечности для нелинейного функционачыю-дифференциалыю-го уравнения с бесконечным запаздыванием исследовались в работе [134] с использованием функций Ляпунова. Здесь же подробно изучались равномерная асимптотическая устойчивость, ограниченность решений, другие свойства резольвенты для линейного неоднородного интегродифференциального уравнения с неоднородностью, принадлежащей i)азли ч н ым функ циональным пространствам, а также для почти линейного уравнения (в не-
10
котором смысле). Метод функционалов и функций Ляпунова применялся для анализа свойства асимптотической устойчивости (и его различных модификаций), ограниченности решений нелинейных интегродифференциальных уравнений различного вида в работах [125. 126, 154, 155]. Вопросу существования функционала Ляпунова для асисптотически устойчивого нулевого решения линейного интегродифференциального уравнения типа Вольтерра посвящена работа [127]; указан явный вид квадратичного функционала, зависящего от переменной и интегральных членов, содержащих переменную. В [63] рассматривалась устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений на всей оси и полуоси с обратимым вольтерровым оператором; введено для данного класса уравнений понятие устойчивости при постоянно действующих возмущениях и показано, что эго свойство определяется обратимостью вольтеррова оператора.
Интегродифференциальиые уравнения типа Вольтерра, как уже отмечалось, находят применение в механике деформируемого тела, связанное с учетом реологических свойств материала (наследственная упругость, вязкоупругость, старение материала) [157, 48, 76, 77, 7, 8, 9].
Остановимся подробнее на моделях вязкоупругости [55, 76]. Простейшая модель Фойхта, объединяющая упругое тело Гука и вязкую жидкость Ньютона, состоит из соединенных параллельно упругого и вязкоупругого элементов, которые и составляют элементарный элемент вязкоупругого тела. Зависимость напряжения а от деформации е дается соотношением (одномерный случай)
с = Е\е + г]ё
(Е\ - модуль упругости, 1] - коэффициент вязкости). В следующей по сложности модели, называемой телом Кельвина, к модели Фойхта с упругим и вязким элементами присоединен последовательно еще один упругий элемент с коэффициентом упругости E'i- Напряжение о, возникающее при растяжении всей этой
11
к онсгрукI щ и, описывается зани сим остью
à + Ха = E(è 4- lie), (0.7)
Е\ -f Е2 Е-2
где Л =----------, ц = — и положено Е = Е\. Интегрирование
V _ */
уравнения (0.7) при условии, что в начальный момент времени деформация е(0) = 0, дает зависимость
t
а = Е\е - J ехр[-А(г - г)](Л - /y)e(r)rir] (0.8)
о
с экспоненциально убывающим интегральным ядром. Усложнение модели добавлением новых упругих и вязких элементов приводит к формуле вида (0.8) с более общим интегральным ядром убывающего типа. Эксперименты подтверждают правомочность такого усложнения. Это побудило Вольтерра ввести для описания релаксационных процессов зависимость
t
а = Е[е - j K{t - т)е(т)с1г] (0.9)
о
и затем вместо интеграла в (0.9) ввести произвольный непрерывный функционал, представимый рядом Вольтерра-Фреше из кратных интегралов типа (1.5.2). Здесь и далее всюду в тексте римская цифра, добавленная к номеру формулы, находящейся в другой главе, обозначает номе]) главы.
Вольтерра дал общую постановку задачи эредитарной упругости, предложил способ решения линейной задачи и решил ряд конкретных задач [162, 157, 160). Исследования по вязкоупругости, наследственной теории упругости были продолжены в работах М.И.Розовского, А.Ю.Ишлинского, Ю.Н.Работнова, А.А.Ильюшина, Н.Х.Арутюняиа, А.Д.Дроздова, В.Б.Колмаыов-ского, В. Г. Гром ов а, М. А. Колтун о ва и др. [79, 76, 77, 47, 48, 7, 8. 40, 55, 59, 60]. В работе [81] методом представления решения формальным рядом Фурье в линейной постановке решается, в частности, интегродифференциальное уравнение задачи
12
о свободных и вынужденных поперечных колебаниях стержня при наличии последействии. Эта задача схожа с рассматриваемой в го.У1 нелинейной задачей о построении общего решения в окрестности асимптотически устойчивого равновесия для вязкоупругого стержня, совершающего вращательные движения вокруг своей оси. Абсолютно и равномерно сходящийся ряд, которым представляется в разд. 6.1, 6.2 общее решение, зависит от коэффициентов Фурье начальных функций задачи. Его можно рассматривать как аналог рядов первого метода Ляпунова в теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим в связи с этим, что идейно близкому методу построения для заданного стационарного состояния термовязкоупругой системы возмущенного движения в форме степенных рядов по параметрам, характеризующим приложенные возмущающие силы, а также получению спектральных условий асимптотической устойчивости но отношению к указанным возмущениям, посвящены работы [40, 41]. Вопросам доказательства существования решения нелинейных интегродифферешщальных уравнений вязкоупругости на конечном интервале времени методом последовательных приближений, доказательству единственности задачи Коши и построению приближенного решения посвящены работы [59, 60]. Периодические решения интегродиффереици-альных уравнений, связанных с задачей о поперечных колебаниях стержня, изучались в работах [86, 115].
Вторым важным приложением теории интегродифференци-альных уравнений типа Вольтеррак механике является задача о движении твердого (или деформируемого) тела в воздушном потоке при нестационарном обтекании. С.М.Белоцерковским предложен метод [18]-[22] учета (в линейной постановке) нестацио-нарности обтекания на основе интеграла Дюамеля путем введения в выражения для действующих на тело аэродинамических сил и их моментов интегральных членов, которые зависят от скоростей изменения угла атаки и угла скольжения. При движении тела (крыла) на его поверхности возникает система распределенных вихрей, которые сходят с задней кромки крыла, созда-
13
вая вихревую пелену. Эти вихри, возмущая поток, оказывают воздействие на крыло и создают последействие. Интегральные ядра (разностного типа) при данном подходе определяются экспериментальным путем и для многих режимов движения описываются экспоненциально убывающими функциями. Таким способом достигается выделение из общей весьма сложной задачи о взаимодействии тела и потока более частной задачи о движении гела под воздействием аэродинамических сил эредитарного типа. Уравнения, которыми описывается движение, относятся к типу интегродифференциальных уравнений Вольтерра (обыкновенных для твердого тела и в частных производных для деформируемого). Применение наряду с аналитическими численных методов [20] для решения указанной задачи приводит к хорошим практическим результатам. В работе [72] предложена модель, учитывающая нелинейные интегральные члены. Библиография работ по данному направлению (называемому аэроупру-гостыо или аэроавтоупругостью) в значительной мере отражена в [18, 19, 21, 22]. Уравнения, которыми описывается движение тела на основе метода, предложенного С.М.Белоцерковским, являются, вообще говоря, не разрешенными относительно производных. Они могут быть разрешены в предположении, что интегральные ядра представляются дифференцируемыми функциями.
Исследование устойчивости тго Ляпунову для обыкновенных интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра, не разрешенных относительно производных, проводилось И.С.Астаповым [10]-[13]. Для линейных систем была применена теория преобразования Лапласа с целью построения характеристического уравнения, и предложен численный способ выявления условий принадлежности корней характеристического уравнения левой полуплоскости на основе критерия Михайлова. Методом интегральных неравенств для определенного класса нелинейных интегродифференциальных уравнений задачи (с линейными интегральными членами) исследована асимптотическая устойчивость но первому приближению и свойство сохранения асим-
14
птотичсской устойчивости при малом возмущении интегральных яде]). В диссертации задача об устойчивости движения или равновесия тела в нестационарном потоке решается для интегральных ядер, обладающих непрерывной первой производной, т.е. для интегродифференциальных уравнений в стандартной форме, разрешенной относительно производной.
Диссертация содержит 6 глав.
В первой главе рассматривается устойчивость по первому приближению для интегродифференциального уравнения вида (0.3), в котором ограниченные матрицы A(t) £ С, K(t,s) £ С заданы соответственно на множествах I, J и
Функции F(x,y,t), 0 являются голоморфными соот-
ветственно по х, у и х и непрерывными ограниченными по t в соответствующих областях D = {(я, /у, t) £ Rn+k+1 : ||.х|| < Я, \\у\\ < НЛ> £о} и D' = {(x,t) € R11^1 : \\х\\ < H,t> £о} для некоторого Я > 0. Разложение в степенной ряд в окрестности нуля для F(x. y,t) начинается с квадратичных членов, а для <p(x(t),t) ~ с членов первой степени.
Для уравнения (0.3) ставится задача Коши с начальным значением х0 = x(to) = со1(.тю,..., япо).
Как известно [G6], для дифференциального уравнения исследование асимптотической устойчивости нулевого решения может быть проведено на основе первого метода Ляпунова. Этот метод может быть распространен на интегродифференциаль-ные уравнения вида (0.3). Общее решение данного уравнения в окрестности нуля можно представить в форме степенных рядов по начальным значениям хцДг = 1 ,...,п). Имеет место следующее у тверж де 11 ие.
Теорема 1.1
Пусть для уравнения (0.3), (0.10) с указанными выше свойствами входящих в него функций, кроме того, матрицы
(0.10)
15
X(t.s) на множестве J удовлетворяют условиям:
1- \\k(t, .s)|| < Cexp[-/3(f - .9)], С, в = const > 0, (0.11)
2. ||Л'(/, $)\\ < Сехр[—oc(t - $)]. а = const > 0, (0.12)
Пусть число 7 таково, что 0 < у < min(o-, ß). Тогда
1) Зе > 0 (б < 7), 36 > 0 такие, что общее решение уравнения (0.3), (0.9) в окрестности нуля представляется рядом
я(<) = ехр[-(7 -£)(<- «о)] Е £ Sw '"(O^oi-^On (0-13)
rn=l
с непрерывными ограниченными коэффициентами 5r^-,/n(t), который сходится абсолютно и равномерно в области G = (xq 6 Я" : ||хо|| <
2) нулевое решение асимптотически (экспоненциально) устойчиво, и область G принадлежит области притяжения.
Далее в разд. 1.2 исследуется уравнение (0.3), в правой части которого добавлена аддитивно функция //Ф(д. х, у, /). рассматриваемая как постоянно действующее возмущение. Функция Ф(/х, x,y,t) считается голоморфной по /л,х,у (р. - малый параметр) в окрестности ТОЧКИ fJ = 0, X = 0, у = 0, непрерывной ограниченной по t £ I и такой, что коэффициенты разложения функции Ф(/д 0.0, /) экспоненциально стремятся к нулю при / —► +оо. При сохранении условий (0.11), (0.12) доказывается теорема о возможности представления общего решения данного уравнения в виде ряда, аналогичного ряду (0.13), но степеням -го* и д. При этом всякое решение с начальным значением из области сходимости ряда экспоненциально стремится к 0 при t —> +00. и точка х = 0 устойчива при постоянно действующих возмущениях [67].
В разд. 1.3 приводится обобщение теоремы 1.1 на случай интегральных ядер K(t. 5), обладающих особенностями при t = s типа особенностей ядер Абеля. Такие интегральные ядра, с особенностями используются в моделях вязкоупругости и аэроупругости.
16
Следующее обобщение относится к уравнению (0.3), в котором нелинейность задана голоморфной по х, 2 функцией F = F(x,zJ). зависящей от функционала 2, представимого рядом Фреше.
Доказательство всех теорем проводится методом мажорантных функций с постороением мажорирующего уравнения для ряда, который мажорирует общее решение интегродифференци-ального уравнения. На основе мажорирующих уравнений в гл.II строятся оценки области притяжения асимптотически устойчивого нулевого решения.
В разд. 1.4 приводятся два примера исследования устойчивости.
Рассмотрена задача о движении твердого тела (крыла), прикрепленного к опоре посредством материала с вязкоупругими свойствами и находящегося в потоке, совершающем нестационарное обтекание. Нестационарность обтекания учитывается в рамках модели аэроупругости [18, 21. 22]. Вязкоупругие свойства материала описываются интегральным оператором, представимым рядом Вольтерра-Фреше. На ноток могут накладываться малые возмущения. Исследуется устойчивость положения равновесия крыла, близкого к горизонтальному, и на основании теоремы 1.2 показывается устойчивость при постоянно действующих возмущениях, если имеет место устойчивость в линейном приближении для невозмущенной задачи.
Второй пример относится к устойчивости равновесия биологического сообщества, состоящего из п видов, оспаривающих одну пищу, при учете всей предыстории межвидового взаимодействия.
Модель, предложенная Вольтерра [37], описывается интегро-дифференциальным уравнением, имеющим для вектора численности видов N > 0 стационарное решение No- Если во все моменты времени —ос- </</о численности видов изменялись мало (могут рассматриваться как малые возмущения для интервала времени t > *о), то в предположениях теоремы 1.2 доказывается, что имеет место свойство прот яжения И N —» Nq по экспоненциальному закону при t —> -foc.
17
Глава II посвящена оценкам области притяжения асимптотически устойчивого нулевого решения интегродифференциально-го и дифференциального уравнения.
Для интегродифференциалыюго уравнения оценка строится либо с использованием мажорант Коши как оценка радиуса сходимости рядов первого метода Ляпунова (разд. 2.1), либо с использованием мажорант Ляпунова (разд. 2.2) на основе развитого Ю.А.Рябовым [64. 39. 85] метода оценивания области сходимости рядов и последовательных приближений, представляющих решение мажорирующего уравнения.
Оценки разд. 2.1 базируются на мажорирующих рядах для нелинейной части уравнения (0.3), введенных в гл.1 при доказательстве теорем об асимптотической устойчивости.
Оценки, получаемые согласно теоремам разд. 2.2 с использованием мажорант Ляпунова, являются более широкими, чем те, которые базируются на классических мажорантах Коши в виде абсолютно сходящихся степенных рядов с неотрицательными коэффициентами. Однако в ряде случаев мажоранты Коши проще построить. Отметим также, что теоремы 2.2 и 2.3 формулируются для функций F(x,y,z,t) 6 С1(.т,t/,z), ф(х.Ь) € С1 (.г), что расширяет класс рассматриваемых уравнений и обобщает соответствующие теоремы гл.1 об экспоненциальной устойчивости но первому приближению.
В разд. 2.3 предложен способ построения оценок области притяжения для дифференциальных автономных уравнений
где х € 11п, А - (п х п) - постоянная матрица, К(х) - голоморфная в окрестности нуля функция, разложение которой начинается с членов не ниже второго порядка. Способ основывается на теореме В.И.Зубова [45, 46] о существовании функции Ляпунова I определенной во всей области притяжения асимптотически устойчивого нулевого решения и удовлетворяющей уравнению
% = Az + F(x)
(0.14)
(0.15)
18
в котором Ф(х) - определенно положительная функция и производная берется в силу уравнения (0.14).
Граница области притяжения задается равенством V(т) = 1. Для матрицы А с простыми элементарными делителями и функции Ф(х) в виде однородной формы степени 2т строится ряд IV(х) » У(х)> позволяющий оценку области притяжения определять неравенством \У{х*) < 1 (символ * внизу означает, что компоненты вектора взяты по модулю). Указывается несколько видов мажорант IV(х).
Предложен численно-аналитический способ построения оценок области притяжения, основанный на численном определении отрезков Т4(аг) степенного ряда V(х) согласно уравнению в частных производных (0.15) и оцениванию остатка ряда мажорантой Ид (я).
С помощью разработанной программы построены оценки при различных к для некоторых уравнений, в частности, для одной систе м ы автоматического регул про ван и я.
Главы III-V содержат исследование устойчивости в критических но Ляпунову случаях для систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями с голоморфной по х, у функцией F(x,t/Л).
В гл III рассматривается критический случай одного нулевого характеристического показателя линеаризованного уравнения при прочих отрицательных показателях и доказывается ряд утверждений о неустойчивости. Чтобы сделать более прозрачной методику проводимых преобразований с целыо определения постоянной Ляпунова либо функции, фигурирующей в теореме о неустойчивости, сначала рассматривается класс систем вида
с постоянной матрицей Л. ядром К (?) экспоненциально-полиномиального типа и функцией F(жЛ), коэффициенты разложения которой в степенной ряд в окрестности нуля являются иостоян-
(1у
(0.16)
19
ными или функциями, экспоненциально стремящимися к постоянным при t —> Н-оо.
Как известно, в этом случае характеристическое уравнение приводится к полиномиальному виду, и структура решений линеаризованного уравнения (0.16) может быть указана в явной форме и аналогична структуре решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
С помощью базиса, сопряженного нормальному в смысле Ляпунова базису пространства решений линеаризированного уравнения, проводится преобразование, выделяющее критическую переменную и приводящее линейную часть уравнения (при соответствующих предположениях) к виду дифференциального уравнения с постоянной диагональной матрицей. Далее серией преобразований, сохраняющих свойство нелинейного интегрального оператора в правой части уравнения иметь только убывающие интегральные ядра, допускающие экспоненциальную оценку, и коэффициенты неинтегральных членов того же типа, что и в F(xJ.) в (0.16), проводится выделение в уравнении для критической переменной члена т-ой степени с постоянной Ляпунова дт. Строится сектор, который содержит траекторию, покидающую некоторую окрестность нуля, и на основании теоремы Четаева устанавливается неустойчивость нулевого решения при четном 777, если <Jm ф 0. и при гп нечетном, если дт > 0.
В разд. 3.2 показывается, что данный результат справедлив для уравнений вида (0.16) с произвольным непрерывным интегральным ядром, допускающим экспоненциальную оценку
||АГ(0Н < Сexp(—/3t), С, (3 = const. > 0. (0.17)
Соответствующее (0.16) характеристическое уравнение Ф(А) = 0 должно иметь в полосе
- /3 < Re А < 0 (0.18)
конечное число корней (занумерованных в порядке возрастания вещественных частей), среди которых ОДИН нулевой И 77 -1 ' стар-
20
ших" корней являются простыми. В этом случае известна [140] структура главной части решения линеаризованного уравнения.
Если же структура общего решения линеаризованного уравнения не известна (например, выполнено (0.17), но в полосе (0.18) уравнение Ф(А) = 0 имеет только нулевой корень), то для правильного уравнения (0.16) с непрерывными по t ограниченными коэффициентами разложения для F{x, t) и фундаментальной матрицей, удовлетворяющей определенным условиям, справедливо утверждение (теорема 3.3) о неустойчивости, накладывающее ограничение на функцию gm(t) - коэффициент при т-ой степени критической переменной в уравнении для этой переменной (все аналогичные функции (jk(t) = 0 при к < га). Функция gm(t) определена с точностью до аддитивной непрерывной функции ф(і), удовлетворяющей неравенству | / <j>(s)d$\ < const.
to
Теорема 3.3. Если выбором функции ф(1) можно добиться, чтобы функция g'm(t) = дт(t) + ф(і) сохраняла знак и при t > t0 удовлетворяла неравенствам
9т < 1^(01 < Й. Ут* 9т = Const > °'
при четном га, либо g‘m(t) > д*п для нечетного га., то нулевое решение уравнения (0.16) неустойчиво.
Утверждения теорем 3.3 и 3.4 остаются справедливыми и для уравнения (0.16) с функцией F(x,y,t), где у дается выражением (0.10).
Разд. 3.3 содержит общую формулу для вычисления постоянной Ляпунова дч для уравнений с ядрами K(t) экспоненциально-полиномиального вида.
В гл.IV рассматривается уравнение вида (0.16) с функцией F(x,y, t), голоморфной в окрестности нуля по х,у, где у дается формулой (0.10) и зависимость от t функций F и (р такая же, как в функции F(x, y.t) в (0.16). Интегральные ядра K(t)y k{t, s) удовлетворяю!’ неравенствам типа (0.17) и (0.11). Исследуется устойчивость в критическом случае пары чисто мнимых корней характеристического уравнения. Методом гл.III
*21
*
при предположениях, сходных с условиями теоремы 3.4, осуществляется выделение двух уравнений, отвечающих критическим переменным, и матрица линейной части подсистемы для некритических переменных приводится к диагональному виду с постоянными элементами. Так же, как в гл.III, находится постоянная Ляпунова #2*+1 и доказывается утверждение о неустойчивости нулевого решения, если #2*+1 > 0.
В разд. 4.2 в качестве примера приложения результатов данной главы исследуется устойчивость равновесия тяжелого твердого тела, которое может вращаться вокруг горизонтальной оси и опорами которого являются два коротких вязкоупругих стержня, прикрепленных к телу и к неподвижным опорам. Ось вращения проходит через оба стержня, скручивающихся при движениях тела. На тело со стороны стержней действуют силы, момент которых зависит от угла, поворота тела и содержит два интегральных члена 1-го и 3-го порядков из ряда Вольтерра-Фреше. При условиях, что имеет место критический случай пары чисто мнимых корней, проводится вычисление постоянной Ляпунова 03 •
Гл.У посвящена исследованию асимптотической устойчивости в критических случаях. Этот вопрос рассматривается для уравнений с интегральными ядрами экспоненциально-полиномиального типа. Асимптотическая устойчивость возможна лишь при условии, когда постоянная дчм <0. В разд. 5.1 анализируется случай одного нулевого корня и в разд. 5.2 - случай пары чисто мнимых корней на основе общего подхода. Интегродиф-ференциальные уравнения преоброзуются, как описано соответственно в гл.III и IV, с целью выделения постоянной Ляпунова (j2k+\ • Все интегральные ядра преобразованных уравнений остаются ядрами экспоненциально-полиномиального типа. Это позволяет введением дополнительных переменных привести критическую и некритическую подсистемы для рассматриваемого интегродифференциального уравнения к системе дифференциальных уравнений большей размерности. Далее анализ следует схеме исследования устойчивости в критических случаях [66], и
22
показывается, что при условии (/2*4-1 < 0 имеет место асимито-тическая устой чивость.
Гл.VI содержит несколько примеров исследования устойчивости в механических системах, описываемых интегродифферен-циальиыми уравнениями типа Вольтерра.
В разд. 6.1 рассматривается задача о движении твердого тела с плоскостью симметрии на постоянной высоте с постоянной скоростью при нестационарном обтекании воздушным потоком. Исследуется критический случай одного нулевого корня, отвечающего подсистеме бокового движения для линеаризованных уравнений. Вычислена постоянная д-2, выраженная общей формулой через фундаментальные решения и квадратичные члены уравнений.
В разд. 6.2 приводится пример вычисления через коэффициенты уравнений постоянных д$ в критическом случае одного нулевого корня. Здесь исследуется устойчивость равновесия жесткого крыла при его вращательных движениях вокруг продольной оси - частный случай задачи, рассмотренной в разд.
1.3.
В разд. 6.3 и 6.4 исследуется устойчивость равновесия в двух системах с распределенными параметрами. Так же, как в гл.1 и II. доказательство асимптотической устойчивости базируется на построении общего решения в окрестности равновесия в форме рядов, которые можно рассматривать как аналог рядов первого метода Ляпунова для рассматриваемых нелинейных инте-гродифференциальных уравнений в частных производных. Эти ряды представляют собой ряды Фурье по координате х с экспо-нециальио стремящимися к 0 при I —> +оо коэффициентами -функциями времени, зависящими от коэффициентов Фурье начальны X фуНКций.
В разд. 6.3 рассматривается задача о кручении вязкоупругого стержня с закрепленными концами или с одним свободным концом в предположениях гипотезы плоских сечений. Движение стержня происходит под действием массовых сил, момент которых относительно оси стержня является нечетной голоморфной
23