ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.......................................................... 4
ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ
КИНЕМАТИКИ.............................................. 17
§ 1. Кинематические соотношения и уравнения связей.......... 17
§2. Определение структуры множества систем дифференциальных
уравнений по заданным интегральным многообразиям............ 22
§3. Устойчивость интегрального многообразия................. 31
3.1. Основные определения................................ 31
3.2. Определение условий устойчивости интегрального многообразия............................................. 34
§4. Построение системы дифференциальных уравнений по
заданным частным интегралам на плоскости.................... 40
ГЛАВА И. УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ СИСТЕМ С
ПРОГРАММНЫМИ СВЯЗЯМИ.................................... 51
§ 1. Уравнения динамики в форме Лагранжа.................... 51
1.1. Построение уравнений динамики механических систем 53
1.2. Определение множителей Лагранжа..................... 63
§2. Уравнения динамики в форме Гамильтона................... 65
2.1. Построение уравнений динамики в канонических переменных............................................... 66
2.2. Определение управляющих воздействий................. 69
§3. Управление динамикой манипуляционной системы с заданными кинематическими свойствами............................. 72
3.1. Уравнения динамики манипулятора в форме Лагранжа 73
3.2. Уравнения динамики манипулятора в канонических переменных............................................... 77
2
§4. Определение условий устойчивости программного движения.... 79
ГЛАВА 1П. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ МОБИЛЬНОГО
РОБОТА С ОБХОДОМ ПРЕПЯТСТВИЙ............................... 82
§ 1. Кинематические уравнения движения по заданной траектории.. 85
§ 2. Уравнения динамики шасси мобильного робота............... 87
§ 3. Определение вектора управляющих воздействий.............. 92
§ 4. Решение системы дифференциальных уравнений динамики 97
§ 5. Результаты численных экспериментов....................... 98
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................... 104
ЛИТЕРАТУРА.................................................... 105
3
Введение
Широкое внедрение робототехники в различные отрасли науки и производства, развитие космических технологий, транспортных систем и их применение в быту объясняет интерес исследователей к задачам управления движением механических систем. К моделям управляемых механических систем можно отнести роботы-манипуляторы [75, 91], мобильные роботы [44, 94], космические объекты [18] и т.п. Одним из эффективных методов исследования таких систем является математическое моделирование.
В настоящее время никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Это связано с большими успехами в применении и признании метода математического моделирования во всех отраслях современной науки и техники. В работе Б. Я. Советова и С. А. Яковлева [84] под математическим моделированием понимается процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. А. А. Самарский отмечает незаменимость математического моделирования для решения важнейших проблем научно-технического и социально-экономического прогресса, подчеркивает значение математического моделирования как методологии разработки наукоемких технологий и изделий. В работе [80] дается определение математической модели как «эквивалента» объекта, отражающего в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, итак далее.
Большинство возникающих задач исследования механических систем можно свести к двум взаимосвязанным научным проблемам - моделированию кинематики и динамики систем и управлению их движением. Основные
4
результаты исследований по моделированию- процессов кинематики и динамики механических систем относятся к голономным и неголономным системам, описываемым уравнениямрг Лагранжа второго рода. Основные виды дифференциальных уравнений динамики неголономных систем были получены в работах [5, 14, 73, 90]. Задачам управления движением механической системы посвящено множество работ, особое , место среди которых занимают исследования ученых А. С. Галиуллина, Б. И. Зубова, П. Д. Крутько, И. А. Мухаметзянова, Р. Г. Мухарлямова и др. [1, 7, 19, 31, 33, 38, 50, 66, 67, 100]. Методы построения уравнений движения управляемых механических систем изложены в [91, 93, 95]. Исследованию динамики управляемых систем, программа движения которых задается неголоиомными связями, посвящены работы 125, 64, 69, 99, 101].
Уравнения динамики механической системы описывают все действительные движения этой системы, не выделяя при этом непосредственно устойчивые или неустойчивые. В связи с этим в аналитической динамике появилось новое направление исследований, а именно: установление
устойчивости или- неустойчивости того или иного движения механической системы и построение устойчивых механических систем. Такого рода исследованиями занимались многие механики и математики всего мира. Трудами Н. Е. Жуковского, А. М: Ляпунова, А. Пуанкаре были созданы основные методы современной теории устойчивости [40, 45, 96].
Рассмотренные В. И. Зубовым [32, 34] методы решения проблемы
устойчивости управляемого движения основаны на использовании динамических и кинематических характеристик управляемых механических систем. Эти методы применяются, в частности, для решения проблемы устойчивости многообразий. Теория устойчивости неголономных систем рассматривается в работе 10. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева [73]. В работе А. С. Галиуллина [15] приведены возможные постановки задач по исследованию устойчивости движения механических систем, изложены основы
5
метола характеристичных чисел и метода функций Ляпунова, рассмотрены-приемы аналитического построения устойчивых систем.
Созданный первоначально как метод анализа устойчивости движения систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, метод функций Ляпунова нашел затем* более обширную сферу применения. В настоящее время* он является основным строгим методом- анализа разнообразных динамических свойств нелинейных систем самой различной природы и формы описания- При этом наряду с вопросами качественного исследования, имеющими целью установление условий наличия или отсутствия изучаемого динамического свойства нелинейной системы, эффективно решаются- задачи получения количественных оценок показателей, характеризующих динамику систем, а применительно к управляемым системам - задачи синтеза систем с требуемыми;свойствами. [45]. В работах [46, 48, 49, 53, 59, 62, 66, 79, 85] с использованием второго метода Ляпунова сформулированы достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости программных многообразий, условия устойчивости на конечном интервале времени, условия-абсолютной-устойчивости и устойчивости по части переменных для. механических систем, движение которых описывается дифференциальными уравнениями первого порядка.
В задачах моделирования кинематики и динамики механических систем получил широкое распространение предложенный Н. П: Еругиным [29] метод построения множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую на плоскости [4, 15, 51, 53, 58, 61]. В частности, в работе [61] рассмотрена задача построения множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегральные многообразия, методом, предложенным в [29], и определена конструкция систем дифференциальных уравнений из условия устойчивости этих многообразий. В работе [51] построена автономная система дифференциальных уравнений по заданному распределению фазовых траекторий на плоскости,
6
определены, коэффициенты, предусмотренные в конструкции системы, исходя из вида интегральных кривых и особых точек. Изложенный в [51] метод построения динамических систем эффективно используется для программирования движения управляемых механических систем [65, 68].
Под программным движением механической системы понимается движение с заданными кинематическими свойствами. Совокупность заранее заданных свойств, подлежащих сохранению в. процессе движения механической системы, составляет программу движения. Задачей управления является, обеспечение движение механической-системы согласно ее программе. Возможные постановки задач построения: уравнений программных движений, соответствующие методы- решения этих задач и различные приложения-получили существенное развитие в трудах А. С. Галиуллина и его последователей [15, 17, 18, 50, 61, 64,. 55, 57]. В частности, в [15] рассматриваются механические системы, движения1 которых описываются, обыкновенными- дифференциальными уравнениями. В'- этом случае задача аналитического построения, систем программною движения- сводится- к обратным задачам динамики, поставленным с дополнительным требованием устойчивости программы- движения в смысле Ляпунова (при наличии лишь начального возмущения). Такая трактовка задачи позволяет свести ее решение к построению соответствующих уравнений движения системы по заданным интегралам, отражающим заданные свойства (программу) движения рассматриваемой системы. При этом необходимо обеспечить устойчивость интегралов уравнений движения. В работе [66] устанавливается связь между решением задачи управления программным движением механической системы и задачей построения систем дифференциальных уравнений первого порядка, частные интегралы которой известны.
Для решения задач моделирования динамики неголономных систем используются известные классические методы, основанные на предположении о том, что уравнения связей, наложенные на систему, выполняются как в
7
начальный момент движения, так и при всем последующем движении. Такие методы не позволяют учитывать возможные отклонения- от уравнений связей. Поэтому при моделировании динамики механических систем необходимым условием существования требуемого программного движения является стабилизация связей. Под задачей стабилизации понимается задача выбора управлений, под воздействием которых все движения рассматриваемой системы из начальной окрестности программного движения попадут в другую, более узкую, окрестность этого движения и в дальнейшем ее не покидают. Проблемы построения уравнений программного движения и стабилизации связей излагаются в [15, 50, 64, 71, 83, 95, 99, 101]. В частности, в [99] для стабилизации связей учитываются отклонения от уравнений связей и вводится соответствующая коррекция, в правые части уравнений динамики. Уравнения программных связей, уравнений возмущений связей, рассмотренные в [64], гарантируют асимптотическую устойчивость и стабилизацию связей при численном решении.
Многие задачи теоретического и прикладного* характера, связанные, в частности, с задачами механики управляемого движения, состоят в построении математических моделей в виде дифференциальных уравнений и их систем. Основная сложность заключается, как правило; в интегрировании этих уравнений, что привело к развитию численных методов решения таких задач [8, 87]. В работах [59, 99, 101] предлагается численный метод решения
дифференциально-алгебраических уравнений индекса-2.
В последнее время интенсивно развиваются методы автоматизации составления и решения уравнений движения. Удобные для автоматизации формы записи уравнений движения могут быть получены при использовании методов и принципов теоретической механики. Вариационные принципы механики и связанные с ними комплекс физических идей и математических методов имеют активное значение как в теоретической механике, так и в различных научных и технических проблемах [39, 74, 77]. При создании
8
методов автоматизированного- моделирования представляет интерес изложенный* в« работе [64] аналитический, метод построения уравнений движения, основанный на вариационном принципе Даламбера-Лагранжа.
Математическое моделирование является быстро развивающейся областью науки и техники.. Для ее успешного развития важны отвечающие современным: требованиям методы» решения инженерных и математических задач с- использованием компьютеров- Развитие и совершенствование такой быстро развивающейся области знания; связано- с разработкой систем автоматизированного моделирования [24]. Эти системы реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Все это предоставляет широкие возможности для работы, исследователей и инженеров. Однако для эффективного- компьютерного-исследования задач математического моделирования необходимо» оптимальное сочетание пакетов символьных вычислений и численного-инструментария-[24, 72]. Данным требованиям отвечает, в частности, математический пакет Мар1е-[3,28]. '
Как видно из обзора, вопросы моделирования кинематики и динамики управляемых механических систем являются достаточно актуальными, но недостаточно' изученными. Так, например; для программирования- движения-управляемых механических систем эффективно используется решение обратной задачи качественной теории, дифференциальных уравнений. В частности, применение предложенного в [51] метода построения автономной системы дифференциальных уравнений по: заданному распределению фазовых траекторий на плоскости позволяет получить, уравнения неголономных связей, описывающих кинематические свойства плоской стационарной системы. Недостаточное внимание уделено задаче моделирования кинематических свойств нестационарных систем. Предложенная в данной работе конструкция неавтономной системы., дифференциальных уравнений, в многомерном
9
- Київ+380960830922