Содержание.
1. Введение..........................................................3
2. Глава 1. Инвариантные множества диссипативных систем с симметрией и их устойчивость......................................8
3. Глава 2. Инвариантные множества гиростата на плоскости с трением
и их устойчивость................................................19
4. Глава 3. Атлас бифуркационных диаграмм...........................51
5. Заключение.......................................................71
6. Список литературы................................................72
2
Введение
Задача о движении тяжёлого гиростата (в частности, твёрдого тела), опирающегося одной из своих точек о горизонтальную плоскость, представляет собой классическую задачу теоретической механики. В зависимости от характера взаимодействия тела с плоскостью различают три случая:
1) случай абсолютно гладкой плоскости, если тело может скользить по плоскости без трения;
2) случай абсолютно шероховатой плоскости, если тело вообще не может скользить по плоскости;
3) случай плоскости с трением скольжения, если тело, вообще говоря, может скользить по плоскости, но этому скольжению препятствует сила трения.
В первом случае динамика тела на плоскости описывается в рамках динамики гамильтоновых систем, а во втором - в рамках динамики консервативных неголономных систем. Эти случаи довольно хорошо изучены ( см., например, [8]). Случай плоскости с трением скольжения изучен в меньшей степени, причём большинство результатов относится к задаче о движении абсолютно твёрдого тела [1-5, 8, 11, 16, 18,22]. Задача о движении гиростата на плоскости с трением наиболее полно изучена, по-видимому, в работе [15].
Таким образом, дальнейшее исследование вопросов существования, устойчивости и ветвления стационарных движений тяжёлого гиростата на горизонтальной плоскости с учётом трения скольжения представляет собой весьма актуальную задачу. Интерес к этой задаче вызван не только её важностью в теоретическом плане развития
3
динамики гиростатов на плоскости с трением, но и возможными её приложениями к динамике колёсных экипажей, мобильных роботов и т. д.
В случае, если гиростат динамически симметричен и ограничен сферической поверхностью, уравнения движения гиростата по плоскости с учётом трения скольжения всегда ( независимо от вида трения ) допускают невозрастающую функцию ( полная механическая энергия) и первый интеграл (обобщенный интеграл Желле). Это даёт возможность применять модифицированную теорию Рауса - Ляпунова -Сальвадори [4,6,7,10-14,17,19-21,23-30] для исследования задачи о существовании, устойчивости и ветвлении стационарных движений гиростата на плоскости с трением скольжения. Применение этой теории значительно упрощается, если невозрастающая функция квадратична, а первые интегралы линейны по квазискоростям, поскольку в этом случае можно построить эффективный потенциал [ 4, 17] и свести исследование поставленной задачи к анализу эффективного потенциала. В случае, когда невозрастающая функция не содержит линейных по квазискоростям членов, а линейные интегралы не содержат свободных членов, построение эффективного потенциала осуществлено в [ 4, 17]. В задаче о движении гиростата по плоскости с зрением полная механическая энергия удовлетворяет указанному условию, а обобщённый интеграл Желле содержит свободный член.
Поэтому определённый интерес представляют проблемы построения эффективного потенциала в общем случае и в задаче о движении гиростата по плоскости с трением, а также проблема анализа последнего с целью исследования всех стационарных движений гиростата.
Решению этих проблем и посвящена настоящая диссертация.
4
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы (34 наименования). Общий объем диссертации - 74 страницы.
Во введении представлены постановка задачи, краткий обзор литературы по теме диссертации и реферативное изложение работы.
В первой главе даны основные положения модифицированной теории Рауса-Сальвадори для динамических систем с иевозрастающей функцией и первыми интегралами, в частности, для диссипативных механических систем с симметрией. Согласно этой теории для нахождения стационарных движений системы следует исследовать критические значения невозрастающей вдоль всех движений функции при фиксированных значениях постоянных первых интегралов. Процедура исследования диссипативных механических систем с симметрией значительно упрощается если, учитывая структуру невозрастающей функции (полная механическая энергия) и первых интегралов (интегралы Нётер), предварительно построить эффективный потенциал. В первой главе дано построение эффективного потенциала в самом общем случае, когда полная механическая энергия представляет собой сумму положительно определённой квадратичной формы квазискоростсй, линейной формы квазискоростей и, независящей от квазискоростей функции, а первые интегралы представляют собой суммы линейных форм квазискоростей и независящих от квазискоростей функций. В заключении первой главы приведены теоремы о существовании и устойчивости, в том числе, асимптотической по части переменных, или неустойчивости инвариантных множеств, основанные на исследовании построенного эффективного потенциала.
Во второй главе на основе приведённых общих результатов изучается задача о движении тяжёлого неоднородного динамически симметричного гиростата на горизонтальной плоскости с учётом
5
трения скольжения. Предполагается, что гиростат ограничен сферической поверхностью, причём ось ротора совпадает с осью динамической симметрии гиростата. Сначала вычисляется эффективный потенциал для данной системы и исследуются все его критические точки.
Согласно теории, изложенной в первой главе, им отвечают стационарные движения гиростата, которые представлют собой либо равномерные вращения вокруг вертикально ориентированной оси симметрии гиростата при наивысшем или наинизшем положении центра масс, либо регулярные прецессии. Па всех этих движениях скорость скольжения гиростата равна нулю. При дополнительном условии, что сила трения обращается в нуль при нулевой скорости скольжения (например, трение является вязким), доказывается, что найденными стационарными движениями исчерпываются все движения гиростата, для которых скорость его скольжения равна нулю. Это позволяет применять не только первую и вторую теоремы первой главы (о существовании и устойчивости стационарных движений), но и третью и четвёртую теоремы (о частичной асимптотической устойчивости или неустойчивости). На основании этих теорем получены условия устойчивости, асимптотической по части переменных, или неустойчивости равномерных вращений и регулярных прецессий гиростата. Проведено аналитическое исследование этих условий.
Третья глава диссертации посвящена построению бифуркационных диаграмм Пуанкаре - Четаева. В качестве бифуркационного параметра рассмотрено значение постоянной обобщенного интеграла Желле. В пространстве физических параметров гиростата (отношение осевого и экваториального моментов инерции и отношение смещения центра масс гиростата от центра сферической оболочки к её радиусу) при различных значениях гиростатического момента выделены области,
6
- Київ+380960830922