Решение задач об устойчивости и управлении движением неавтономных механических систем на принципах сравнения и декомпозиции

Оглавление
Введение.........................................................6
1 Общая характеристика диссертационной работы.............. 6
2 Обзор литературных источников по теме диссертационной
работы................................................. 12
2.1 Метод сравнения для задач устойчивости
обыкновенных дифференциальных уравнений ... 13
2.2 Метод сравнения для задач устойчивости
функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.............................. 21
2.3 Метод логарифмических матричных норм............... 26
2.4 Принцип декомпозиции в решении задач
устойчивости и управления движением механических систем.............................. 35
I Развитие метода сравнения в задаче об устойчивости
решений неавтономных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений 40
1 Основные определения и предположения относительно
неавтономной системы ОДУ и вектор-функции Ляпунова . 41
2 Задача о локализации положительного предельного
множества, решения неавтономной системы ОДУ............ 43
3 Задача об асимптотической устойчивости.................. 51
4 Задача о неустойчивости ................................ 57
4.1 Теорема о неустойчивости......................... 57
2
з
4.2 Признаки неустойчивости движения линейной
механической системы с одной степенью свободы и
переменными коэффициентами........................ 60
5 Применение знакопостоянных вектор-функций Ляпунова в
задачах устойчивости.................................... 65
II Развитие метода сравнения в задаче об устойчивости решений неавтономных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием 72
1 Основные определения и предположения относительно
неавтономной системы.................................... 73
2 Задача о локализации положительного предельного
множества решения неавтономной системы.................. 75
3 Задача об асимптотической устойчивости..................... 79
4 Применение знакопостоянных функций Ляпунова в
задачах устойчивости.................................... 95
III Методика исследования задач об устойчивости и стабилизации иеустановившихся движений механических систем в общей постановке 106
1 Об исследовании устойчивости певозмущенных движений
механических систем.....................................107
1.1 Задача об устойчивости движения...................108
1.2 Задача, о неустойчивости движения .................123
2 Решение задачи стабилизации движения при помощи
пропорциональных и пропорционально-дифференциальных регуляторов........................................126
3 Задача стабилизации движения механических систем с
учётом запаздывания в цени обратной связи...............132
3.1 Стабилизация положений равновесия.................133
3/2 Стабилизация программных движений ................142
4
IV Решение задач о стабилизации движения механических систем в зависимости от структуры действующих нестационарных сил 145
1 Обзор литературных источников............................146
2 Стабилизация движений механических систем с
заданными потенциальными силами.........................149
3 Стабилизация движений механических систем с
заданными гироскопическими силами.......................151
4 Стабилизация движений механических систем с
заданными некоисервативными позиционными и потенциальными силами...................................157
5 Условия асимптотической устойчивости движений неконсервативных механических систем с двумя степенями свободы......................................................170
V Построение разрывных законов управления движением механических систем на принципе декомпозиции 177
1 Задача о стабилизации программного движения неавтономных механических систем.............................17S
1.1 Постановка задачи...............................179
1.2 Решение задачи на основе релейного управления . . 180
1.3 Решение задачи на основе кусочно непрерывного
управления.....................................187
2 Решение задачи стабилизации программного движения
механических систем с неизвестной матрицей инерции . . . 192
3 Решение задачи стабилизации программного движения
механических систем при учете динамики приводов .... 197
4 Задача слежения для механических систем с релейным
запаздывающим управлением................................203
4.1 Постановка и решение задачи слежения............205
4.2 Примеры ............................................211
VI Решение задач управления движением колёсных мобильных роботов 214
1 Стабилизация движения колёсного робота с конструкцией двускатной тележки.........................................21.5
1.1 Постановка задачи................................217
1.2 Релейное управление..............................218
1.3 Кусочно непрерывное управление ..................222
1.4 Решение второй задачи ...........................224
2 Задача слежения для колёсного робота типа двускатной тележки.....................................................225
3 Стабилизация движения трёхколёсного мобильного робота
с двумя ведущими колесами при учёте динамики приводов 228
4 Управление движением мобильного робота с роликонеоущими колёсами ....................................234
4.1 Задача о стабилизации программного движения . . 235
4.2 Задача слежения..................................241
Заключение.....................................................246
Библиографический список используемой литературы 248
Введение
1 Общая характеристика диссертационной работы
Актуальность темы. Бурное развитие науки и техники в середине двадцатого века вызвало интенсивную разработку новых разделов теоретической механики, в том числе, теории управления движением механических систем и её приложений. Основой этого раздела механики явились результаты исследований отечественных учёных, прежде всего, научных школ H.H. Красовского, АЛО. Ишлинского, Д.Е. Охоцимского,
В.В. Румянцева, Ф.Л. Черноусько, В.М. Матросова, Е.С. Пятницкого.
Усложнение структуры управляемых механических систем, разработка математических основ управления мехатронными системами и алгоритмов управления мобильными роботами требуют изучения новых классов задач в нелинейной и нестационарной постановке.
Вывод новых методов решения задач управления сложными многосвязными механическими системами с учётом ограничения на управляющие воздействия, неизвестных параметров систем и возмущений, требования о приведении системы в терминальное состояние за конечное время является актуальным предметом многочисленных научных исследований в настоящее время.
Широкое применение в решении задач синтеза управления механическими системами с неизвестными параметрами получил развитый и работах Ф.Л. Черноусько, Е.С. Пятницкого и их учеников принцип декомпозиции, состоящий в приведении управления всей механической системой к управлению отдельными её подсистемами таким образом, что перекрёстные динамические связи между подсистемами за коночное время перестают влиять на процесс движения.
6
7
При этом актуальна проблема построения новых законов управления на основе принципа декомпозиции с получением явных оценок области начальных возмущений, а также с учётом различных неопределённых факторов в структуре управления и параметрах самой системы.
Широкой базой решения задач об исследовании устойчивости и управлении движениями механических систем является прямой метод Ляпунова. II обратно, развитие этого метода в работах Н.Г. Четаева,
H.H. Красовского, В.В. Румянцева, В.М. Матросова и других учёных в значительной степени связано с постановкой и решением задач об устойчивости и управлении движением. Большой раздел прямого метода Ляпунова, составляют результаты, полученные в работах
В.М. Матросова, Р.З. Абдуллина, Л.Ю. Аиапольского, С.Н. Васильева,
A.A. Воронова, A.C. Землякова, Р.И. Козлова, А.И. Маликова, К. Кордуняну, В. Лакшмикаитама и других ученых на основе принципа сравнения. В настоящее время эти результаты эффективно применяются для выявления различных динамических свойств решений нелинейных дифференциальных уравнений. В их основе лежит принцип сравнения с вектор-фуикцией Ляпунова, состоящий в следующем. Если для исходной системы дифференциальных уравнений существует вектор-функция Ляпунова, удовлетворяющая определённым условиям, то различные динамические свойства этой системы следуют из аналогичных свойств системы сравнения. Однако возможности метода сравнения с вектор-функцией Ляпунова в задачах о стабилизации и управлении движениями механических систем далеко не исчерпаны. В этом плане важную роль приобретают исследования по развитию этого метода в направлении смягчения условий классических теорем и разработке новых способов построения вектор-функций Ляпунова и систем сравнения.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка нового направления в исследовании устойчивости и управления движениями механических систем на основе развития метода сравнения и применения принципа декомпозиции.
8
Задачами исследования являются:
1) Обоснование новых способов решения задач об устойчивости и стабилизации движений механических систем посредством вывода соответствующих новых теорем об устойчивости для неавтономных систем обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.
2) Вывод новых способов решения задач о стабилизации и управлении движением механических систем на основе синтеза разрывных (кусочно-непрерывных и релейных) управлений с учётом различного рода возмущений, динамики приводов, при неполной информации о параметрах системы, при наличии запаздывания в структуре обратной связи.
3) Решение конкретных задач прикладного характера: о стабилизации программных движений и отслеживании траекторий многозвенных манипуляторов, колёсных мобильных роботов, в том числе на основе синтеза разрывных управлений с учётом различных неопределённых факторов в параметрах системы и в управлении.
Методы проведённого исследования. Достоверность результатов. Основным методом проведённого исследования является метод функций Ляпунова. Вывод новых общих теорем об устойчивости и стабилизации основан на применении принципа сравнения и качественной теории дифферециальных и функционально-дифференциальных уравнений в части построения топологической динамики этих уравнений. Вывод новых способов решения задач о стабилизации и управлении движением механических систем основан на применении полученных теорем и принципа декомпозиции.
Результаты диссертации строго математически обоснованы. Достоверность разработанных в диссертации новых способов решения задач об устойчивости и управлении движением механических систем подтверждена проведённым численным моделированием в исследованных задачах.
9
Теоретическая и практическая значимость полученных результатов. Диссертация носит теоретический характер. Её значимость заключается в разработке нового направления в решении задач устойчивости и управления движением механических систем, включающего в себя:
- теоремы сравнения для исследования устойчивости движений неавтономных механических систем, являющиеся развитием классических теорем сравнения;
- эффективные способы и алгоритмы исследования устойчивости и стабилизации движений механических систем, описываемых нелинейными неавтономными дифференциальными уравнениями.
- методику применения этих способов и алгоритмов в актуальных задачах управления движением манипуляторов, колёсных мобильных роботов.
Результаты, полученные в диссертационной работе, используются при чтении спецкурсов: '‘Математические основы конструирования систем управления", "Устойчивость и управление движением", при написании курсовых и дипломных работ на факультете математики п информационных технологий Ульяновского государственного университета. Эти результаты активно используются в научно-исследовательской работе сотрудников Ульяновского государственного университета.
Апробация результатов диссертации. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях, съездах и семинарах:
IX Международный Семинар имени Е.С. Пятницкого « Устойчивость и колебания нелинейных систем управления » , Москва, Россия, 31 мая - 2 июня 2006 года;
- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 года;
- VIII Крымская Международная Математическая школа « Метод функций Ляпунова и его приложения » , Крым, Алушта, 10-17 сентября
10
2006 года;
— Международный конгресс < Нелинейный динамический анализ-
2007 > , Санкт-Петербург, Россия, 4-8 июня 2007 года;
— VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, осенняя сессия. Сочи-Адлер, 29 сентября - 7 октября 2007 года;
— X Международный Семинар им. Е.С. Пятницкого < Устойчивость и колебания нелинейных систем управления » , Москва, Россия, 3- 6 июня 2008 года;
— Выездной семинар « Аналитическая механика и устойчивость движения » кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. A.B. Карапетяна, Ульяновск, 17-19 июня 2008 года;
— Международная научная конференция по механике * Пятые Поляховские чтения » , Россия, Санкт-Петербург, 3-6 февраля 2009 года;
— Седьмая Международная конференция < Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов > , Россия, Ульяновск, 2-5 февраля 2009 года;
— Семинар < Аналитическая механика и устойчивость движения > кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. A.B. Карапетяна и проф. Я.В. Татарннова, Москва, 18 марта 2009 года;
— Семинар * Динамика относительного движения кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. Ю.Ф. Голубева., Москва, 27 апреля 2009 года;
— Семинар лаборатории динамики нелинейных процессов управления Института проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, под
11
руководством проф. В.Н. Тхая, Москва, 4 июня 2009 года;
— Семинар отдела механики Учреждения Российской академии наук Вычислительного центра имени A.A. Дородницына РАН, под руководством проф. С.Я. Степанова. Москва, 4 июня 2009 года;
Симбирская молодёжная научная школа но аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвящённая памяти академика Валентина Витальевича Румянцева, Ульяновск, S-12 июня 2009 года;
— Семинары кафедры механики и теории управления (с октября 2008 г. кафедры информационной безопасности и теории управления) Ульяновского государственного университета, проводимые под руководством проф. A.C. Андреева, Ульяновск, 2001 - 2009 годы.
Связь работы с крупными научными темами. Исследования проводились в рамках программ: ''Государствен мая поддержка
ведущих научных школ" (проект НШ-6667.2006.1 "Развитие общих методов аналитической механики и устойчивости движения механических систем"), "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/6194 "Развитие математической и прикладной теории устойчивости, стабилизации и управления") и проектов Российского фонда фундаментальных исследований:
- "Прямой метод Ляпунова в задачах об устойчивости и стабилизации псу становившихся движений" (проект № 02-01-00877);
"Прямой метод Ляпунова в задачах об устойчивости и стабилизации движений механических систем" (проект № 05-01-00765);
- "Прямой метод Ляпунова в задачах об устойчивости, стабилизации и управлении движениями и процессами" (проект № 08-01-00741).
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
1) Способы локализации предельных множеств решений систем неавтономных систем обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа С конечным запаздыванием.
2) Теоремы сравнения для устойчивости, асимптотической
12
устойчивости и неустойчивости решений систем неавтономных обыкновенных дифференциальных и функционально-
дифференциальных уравнений с применением знакоопределённых и знакопостоянных векторных и скалярных функций Ляпунова.
3) Методика исследования устойчивости и стабилизации движений механических систем общего вида на основе использования операторной и логарифмической матричных норм в построении системы сравнения. Результаты применения этой методики в решении задач о стабилизации движений механических систем с заданной структурой действующих сил.
4) Способы решения задач о стабилизации программных движений механических систем при помощи различных типов управления: непрерывного, релейного, кусочно непрерывного. Результаты применения этих способов к решению задач стабилизации программных движений многозвенных манипуляторов, колёсных мобильных роботов.
5) Способ решения задачи об отслеживании траекторий механических систем при наличии запаздывания в структуре обратной связи. Результаты применения этого способа к решению задач слежения для многозвенных манипуляторов, колёсных мобильных роботов.
Опубликоваиность результатов и личный вклад соискателя. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах [26]— [28], [113]—[131]. Все результаты совместных работ, включённые в диссертацию, получены лично диссертантом.
2 Обзор литературных источников по теме диссертационной работы
Как уже отмечалось, развитие науки и техники стимулирует многочисленные исследования как классических задач теории устойчивости и колебаний (например, качественных свойств систем Ляпунова, частным случаем которых являются гамильтоновы системы [79, 149, 150, 151]), так и актуальных теоретических и прикладных задач устойчивости, стабилизации и управления движением (в
13
том числе, на основе широкого применения функций Ляпунова [1, 15, 91, 92, 70, 71, 72, 102, 143, 144]).
2.1 Метод сравнения для задач устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений
Метод сравнения возник на основе применения дифференциальных неравенств типа Чаплыгина в решении задач устойчивости. Первые шаги в развитии метода сравнения связаны с именами Г.И. Мельникова, Г.А. Антосиевича, 3. Опяль, К. Кордуняну, Ж.П. Ла-Салля,
С. Лефшеца, В. Лакшмикантама, М.А. Красносельского и др. В 1960 году К. Кордуняну доказал основную теорему метода сравнения с применением скалярной функции Ляпунова. Её суть состоит в следующем. Если существует определённо-положительная функция Ляпунова, производная которой в силу системы удовлетворяет дифференциальному неравенству типа Чаплыгина, то из устойчивости (асимптотической устойчивости) нулевого решения уравнения сравнения следует устойчивость (асимптотическая устойчивость) нулевого решения исходной системы.
Благодаря исследованиям отечественных и зарубежных ученых в 60-х годах XX века метод сравнения был развит в качественной теории дифференциальных уравнений (Р. Конти [1956], М.А. Красносельский,
С.Г. Крейн [1956], Г. Антосевич [1958], В. Лакшмикантам [1962, 1964] и др.). С помощью этого метода были доказаны теоремы о существовании, единственности, продолжимости, непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений, об ограниченности, притяжении, предельной ограниченности, диссипативиости и т.д.
Совместное развитие идей векторной функции Ляпунова Р. Веллмана и метода сравнения, предложенное В. М. Матросовым, привело к созданию метода вектор-функций Ляпунова, базирующегося на теории векторных дифференциальных неравенств типа Чаплыгина -Важевского, развитой в работах Я. Шарского [1948], Т. Важевского [1950], С. Олеха. [1967] и других учёных.
14
Рассмотрим систему
У = Ц*,У)> (2.1)
где правая часть 1(£, у) определена и непрерывна в открытой области А С Як+1 и удовлетворяет в этой области условию Важевского: каждая из функций (г = 1,2,..., Л:) не убывает по переменным
У1 > 2/2, ..., 2/1-1, Ум, • •., Ук> т.е. из условий
у\ '/?>-•• 1УI-\ ^ Ум, у] = У1. Ум < у!+1, ■ ■ ■ ,Ук ^ Ук
следует, что /Д,ух) < /;(*,у2)-
Пусть РР(Л) — класс функций, определённых и непрерывных в области А С Я*+1, и удовлетворяющих условию Важевского в этой области. Пусть также в пространстве Як введена покомпонентная частичная упорядоченность векторов, а именно, для векторов <р, ф 6 Як имеет место соотношение
V? ^ ф ^ фи г = 1,2,..., к.
Так как для системы (2.1) в общем случае не выполняются условия
единственности решения, то возникают понятия верхнего и нижнего решений.
Определение 2.1 [1) Решение у(Мо,Уо) = У СО (у(Мо,Уо) = у(0) системы (2.1) с начальным условием (<о,Уо) £ А определённое на интервале А С Я, называется верхним (нижним) решением по отношению к точке, (/о, Уо) и интервалу А, если каждое решение у(£, /о,Уо) = У (О с тем оюе начальным условием, определённое па интервале А1 С А, при £ € А1 удовлетворяет неравенству
у(*) < у(*) (у(*) ^ УС*))-
Т. Важевским в 1949 году доказаны теоремы о существовании и продолжимости верхнего и нижнего решений систем уравнений и о векторных дифференциальных неравенствах с правой частью из класса IV(О). Эти теоремы распространены на уравнения и неравенства с разрывной правой частью в работах В.М. Матросова [1967].
15
Перейдём к вопросу о применении векторных дифференциальных неравенств, с правой частью, удовлетворяющей условию Важевского, в теории устойчивости.
Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений вида.
х = X(t, х), Х(£,0) = 0, (2.2)
где х Е i?n, Х(£, х) = х),..., Xй (t, х))1 (индекс Т означает
транспонирование), вещественные функции Xl(t,x) (г = 1 ,...,гг) определены и непрерывны в области
Г = IV х G = {(£,х) : t ^ 0, |х| < Г'}
( = const > 0 или v — 4-оо, символ | Г | означает некоторую
векторную норму в RTl ) и имеют в ней непрерывные частные производные но х, ограниченные в каждой области
Го = {(*>х) € Г : t ^ 0, |х| ^ i/o), 0 < < и.
Рассмотрим непрерывно дифференцируемую вектор-функцию
V(£,x), V(£,x) = (v1(f,x),...,/(t1x))T, V : Г -ï Rk. Определим
для неё производную по времени в силу системы (2.2)
В работе В.М. Матросова |86) было дано следующее определение вектор-функции сравнения и системы сравнения.
Определение 2.2 Непрерывно дифференцируемая вектор-функция V : Г —> Rk и вспомогательная система дифхферепциалъпых уравнений
(2.1) называются вектор-функцией сравнения и системой сравнения для. уравнения (2.2), если имеют место следующие условия:
V(*,x)^f(*,V(*,x)), V(l,x)e Г,
f G W(Q), f (*, 0) = 0, Q = {(*, y) e T x Rk : 0, |y| < К},
К = -foc или sup |V(2,x)| = Â’i < К < -foc.
(*,X)€ г
16
Следующая лемма, устанавливающая соотношение между вектор-функцией сравнения на решении ис ходной системы и верхним решением системы сравнения, была получена Н.В. Азбслевым и З.Б. Цалюком [1964| для случая У(х), а в общем случае — В.М. Матросовым [1966].
Лемма 2.1 [1] Если вектор-функция У(£,х) и система (2.1) являются вектор-функцией сравнения и системой сравнения для уравнения (2.2), то для любого решения х(£, хо) уравнения (2.2) с начальным условием (£о>хо) С Г, определенного па промео/сушке [^^(х)), существует верхнее решение у(МсьУо) системы (2.1) с у0 = У(/(ьхо) на промеоюутке [(о^Т(у)) и выполняется неравенство
V(*, х(*, хо)) < у (*, *0, уо) V* € [«о. Г), где Т = тт[Т(х),Т(у)] > £о-
Эта лемма позволила В.М. Матросову получить целый ряд теорем сравнения об устойчивости, неустойчивости, асимптотической устойчивости, а также теоремы о существовании и единственности решений нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, непрерывной зависимости решений от начальных данных, возмущений правой части, притяжении, диссипативности, конвергенции, с использованием вектор-функции Ляпунова и системы сравнения [86]-190).
Кратко изложим основные классические теоремы сравнения с ВФЛ.
Теорема 2.1 [1] Для устойчивости, (соответственно, устойчивости, равномерной по £о ) невозмущённого движения х = 0 системы (2.2) необходимо и достаточно, чтобы для некоторых Гд и I ( 1 ^ ^ к )
существовала вектор-функция Ляпунова \г(£,х), обладающая в Гд следующими свойствами:
1) функция й(£,х) определённо-положительная (соответственно и и1 (2, х),..., ик(1, х) допускают бесконечно малый высший предел);
2) нулевое решение системы, сравнения
^Г = *(*,У), уеД*. (2-3)
17
устойчиво (соответственно, устойчиво равномерно по £р ) относительно у*,...,у1 при условии у о = у(£р,хр) для (£р,хр) € Гр (в частности, устойчиво при условии ^ 0,...,?/р ^ О, если и1^, х) ^ О,..., и1(Ь, х) ^ О при (£, х) е Гр ).
Решение задачи о неустойчивости на основе системы сравнения опирается на следующее определение 4-у1 — неустойчивости.
Определение 2.3 Нулевое решение системы сравнения (2.3) называется +ух — неустойчивым (соответственно, +ух — неустойчивым в П ), если найдутся такие числа е > 0 и £р ^ 0, что для. любого положительного числа 8, удовлетворяющего условию 8 < е < К и е достаточно мало (соответственно, 8 < е = К или 8 < е < К при сколь угодно большом £ ), найдутся положительное число в и вектор Хо (Чхо| ^ & ) пмкие, что всякое решение у(Мо3Уо) системы (2.3) с начальными данными уо = v(^o) хо) при всех I £ [кь + в] остается в £2 и удовлетворяет условиям
к
Х^оК5. у1 а о + 0, *о, Уо) > е-
Я=1
Теорема 2.2 |1| Для неустойчивости невозмуш,ёпного движения х = 0 системы (2.2) достаточно (соответственно, достаточно и необходимо), чтобы в некоторой области Гр существовала непрерывно дифференцируемая вектор-функция у(£,х), v(^,0) = О,
обладающая в Гр следующими свойствами:
1) функция ^(^х) допускает бесконечно малый высший предел (соответственно, ограничена);
2) производная в силу системы (2.2) удовлетворяет неравенству
у(*,х) ^ f(t,v(tyx)), У(*,х) € Гр,
где ? <Е Ж(П);
3) нулевое решение у = 0 системы
1 = ^)
18
-ту1 — неустойчиво (соответственно, -\-у1 — неустойчиво в О ).
Теорема 2.3 [1) Для асимптотической устойчивости (соответ-ственно, асимптотической устойчивости равномерной по (£q, Хо) ) невозмущённоео двиэ/сения х = О системы (2.2) достаточно (соответственно, достаточно и необходимо), чтобы для некоторых Tq, k ul (1 ^ I к ) существовала вектор-фупщия Ляпунова, обладающая в Г;0 следующими свойствами:
1) функция v(t.x) определённо-положительна (соответственно, и v] (£, х),..., vk{t, х) допускают бесконечно малый высший предел);
2) пулевое решение у = О системы сравнения (2.6) асимптотически устойчиво (соответственно, асимптотически устойчиво равномерно по (£о> Уо) ) относительно у1,..., у1 при условии уо = v(£o,Xo) при (*o,Xo)€lo.
Рассмотрим кратко основные способы построения вектор-функций Ляпунова и систем сравнения.
1) Для линейных систем с постоянными коэффициентами разработаны алгоритмы построения квадратичных векгор-функций Ляпунова, удовлетворяющих точным экспоненциальным оценкам. Этот метод основан на вычислении собственных значений и собственных векторов матрицы линейной системы (Вахонина Г.С., Земляков A.C., Матросов 13.М. [1973)).
2) Для нелинейных возмущённых систем вида
х = Х(*,х) + Х(*,х), х € Rn где функции X(t, х) являются возмущениями на правую часть системы
х = Х(£, х).
В предположении, что для невозмущённой системы может быть построена квадратичная вектор-функция Ляпунова V = V(£, х), удовлетворяющая линейному неравенству
V(i,x)<PV(i,x),
19
где матрица Р € Rnxn является постоянной позитивной гурвицевой матрицей, а функции Х(£, х) являются нечётными и представляют собой полиномы по х не выше третьей степени, были разработаны алгоритмы построения системы сравнения в виде векторного уравнения Риккати с постоянными коэффициентами
к
у1 = + yTQ(,)y> i = 1,2,...,А;,
j=i
с аналитическими и численными оценками области притяжения такой системы сравнения (Земляков A.C., Матросов В.М., Вахонина Г.С., Козлов Р.И., Маликов А.И. [1977-1980]).
3) Для сложных систем вида
т
х,(<) = Xi(t,x,) + "^2 XijXj, * = 1,2,
наиболее эс])фективными являются способ Веллмана-Бейли построения вектор-функции Ляпунова и системы сравнения, а также различные модификации этого способа. Этот способ применяется, если для изолированных подсистем
Xi(t) = Xi(t, Xi), i = 1, 2, . . . , 777
удается построить функции Ляпунова г>'(£, хт-), удовлетворяющие оценкам, характерным для квадратичных форм (функции Ляпунова-Красовского). Тогда, оценивая матрицы взаимосвязей Х,;-3 для исходной системы можно построить вектор-функцию Ляпунова V = (v1,... ,г>,п)т, производная которой в силу сложной системы оценивается линейным неравенством
V(t, х) <PV(f,x)
с позитивной и гурвицевой матрицей Р.
Развитие данного способа связано с именами Ф.Н. Бейли, Е.А. Барбашпна, A.C. Землякова, В.М. Матросова, Л.Т. Груйича, А.Н. Мичела, В.Д. Фурасова и др. В работах A.C. Землякова были
20
разработаны алгоритмы итерационного процесса декомпозиции-агрегирования и построения вектор-функции Ляпунова и системы сравнения на основе этого подхода.
4) Одним из эффективных способов построения вектор-функций Ляпунова и систем сравнения для линейных и квазилинейных систем с постоянными коэффициентами является способ, разработанный Р.И. Козловым, Г.С. Вахониной, А.И. Маликовым, основанный па построении ВФЛ с компонентами вида модуль линейной формы
«(х) = |мг(х)|, \у(х) = Тх,
где Т — неособенная матрица размерности п х п. Получаемая при этом система сравнения линейна с постоянной позитивной матрицей.
Существуют также различные способы построения нелинейных екачярных уравнений сравнения (56) и многомерных систем сравнения [133].
Функционирование крупномасштабных систем может проходить при изменении их структуры, когда отдельные подсистемы могут отсоединяться или снова подключаться к системе. Для анализа динамических свойств нелинейных систем со структурными изменениями разработаны способы и алгоритмы построения вектор-функций Ляпунова [75, 77] и матричных функций Ляпунова [70] и систем сравнения.
В настоящее время метод вектор-функций Ляпунова является важным инструментом исследования устойчивости сложных нелинейных систем, а также для решения задач стабплизируемости, управляемости, оптимального управления и др. Известны приложения метода вектор-функций Ляпунова к таким задачам, как исследование устойчивости упругого космического аппарата, динамический анализ систем прецизионной угловой стабилизации спутников связи, навигации и др. Развитие метода сравнения подытожено в ряде монографий [1, 42, 70, 91, 143, 144].
21
2.2 Метод сравнения для задач устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа
Функционально-дифференциальные уравнения представляют собой широкий класс уравнений, охватывающий, в частности, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с отклоняющимся аргументом, иитегро-дифференциальные уравнения и др. Впервые такие уравнения были введены и систематически исследовались в трудах В. Вольтерра. в начале двадцатого века, Основы теории функционально-дифференциальных уравнений были заложены в 50-х - 60-х годах в работах Р. Веллмана, К. Кука, А.Д. Мышкиса, С.В. Норкина, Л.Э. Эльсгольца и др.
Введём в рассмотрение систему функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием.
Пусть h > 0 — некоторое вещественное число, С — банахово пространство непрерывных функций (р : f—/г, 0] —> Rn с нормой ||<р|| = max{|y>(s)|, -h ^ s ^ 0}, Сн = {>Р е С : |]уэ|| < II}. Для неп-рсрывной функции х : /2 —» RTl и каждого t G R определим функцию xt 6 С посредством равенства x*(s) = x(t -f s), —h ^ 5 ^ 0.
Пусть дана система функционально-дифференциальных уравнений вида
x = X(i,xf), X(t, 0) = 0, (2.4)
где х G Rn, t G R+, функция X = X(£, <^)} X : R+ x Сц Rn, определена, вполне непрерывна в области R+ х Сц и удовлетворяет следующему предположению.
Предположение 2.1 Функция X = Х(£, <р) удовлетворяет условию Липшица по ip равномерно относительно t, то есть, для любого компакта К С Сц существует число L = Ь(К), такое, что для любых точек <£>i, <ро G К и любого t G R+ выполняется неравенство
|Х(*, <р2) - X(f, (рг)\ ^ Ц\<р2 ~ ^i||.
Отсюда для каждой начальной точки (a, ip) G х Сц существует единственное непродолжаемое решение уравнения (1.1) х = х(£, а, (р),
22
определённое для всех t € [с* — h,ß) (ß > а), и такое, что Ха = ср [158].
Основные теоремы прямого метода Ляпунова могут быть непосредственно применены и к исследованию устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений вида (2.4). Так, например, аналогом теоремы Ляпунова об устойчивости является следующее утверждение.
Если для системы (2.4) существует определённо-положительная функция У(£,х), производная которой в силу этой системы есть функционал V'(t,x*), знакопостоянный отрицательный или тождественно равный нулю, то невозмущённос движение х = О системы (2.4) устойчиво.
При этом, в отличие от ОДУ, применение этого утверждения в практических задачах вызывает значительные трудности. Например, для простейшего уравнения с запаздыванием
x(t) = —ax(t — К), а = const,
взяв функцию Ляпунова V = х2, получим её производную в виде
V = —2 ax(t)x(t — К).
Как видно, определить знак этого функционала, не зная решения ж(£), нельзя.
Основы метода функций Ляпунова для эффективного исследования устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа были заложены в середине XX века в работах B.C. Разумихина [138] и H.H. Красовского [68]. В этих работах были получены различные теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости решений таких уравнений. Согласно идее B.C. Разумихина, производная функции Ляпунова У(£,х) в силу системы функционалыю-диффереициальиых уравнений (2.4) оценивается не на всех интегральных кривых системы, проходящих через точку (£, х) пространства, а только на множестве отрезков х* = x(i + s), —h ^ s ^ О, интегральных кривых, принадлежащих
23
в дайной точке (£,х) воронке, определяемой, например, в задаче устойчивости по формуле
fjby{ty х) = {х, : V(t + s,x(£ + s)) ^ V(£, х), -/г ^ 5 ^ 0}.
Как указано в работе B.C. Разумихина [139], условием эффективного применения функций Ляпунова к задачам устойчивости уравнений с запаздыванием является возможность построения указанных воронок или их оценок. Так, например, теорема об устойчивости формулируется следующим образом [139].
Теорема 2.4 Если существует такая определённо-поло'жительная функция Ляпунова V(t, х), что функция
R(t, х) = sup{V{tyXt) : V{9, х(<9)) ^ V(t, x),£ — h ^ 0 ^ t, x(t) = x}
знакопостоянная отрицательная или тождественно равна пулю, то движение х = 0 системы (2.4) устойчиво.
Функция R(t, х) играет роль производной функции Ляпунова в силу системы функционально-дифференциальных уравнений. Очевидно, что если h = 0, то функция R(t,x) будет совпадать с самой производной V(£,x) функции Ляпунова в силу исходной системы.
Для решения задачи асимптотической устойчивости
B.C. Разумихиным была доказана следующая теорема [139).
Теорема 2.5 Если существуют допускают,ая бесконечно малый высший предел определённо-полооюительная функция Ляпунова V(£, х) и положительное число rj < 1, такие, что функция
Rn(t, v) = sup{l>(t, xÉ) : V(в, x(0)) < v} t - h < 9 < ty
(1 — 7])v ^ К(*,х(£)) ^ v}
определённо-отрицательная в области v ^ 0, t ^ Т > to + h, mo движение x = 0 системы (2.4) асимптотически устойчиво.
24
Как видно, в этой теореме воронка отрезков интегральных кривых, в которой проверяется знак функционала V(£,Xf), более широкая, чем в теореме об устойчивости.
Дальнейшее развитие метода функций Ляпунова в задаче устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа было осуществлено в нескольких направлениях. В частности, в работе Дж. Като [17G] на основе принципа сравнения были получены результаты, которые позволили обобщить понятие воронки отрезков интегральных кривых.
Рассмотрим скалярное обыкновенное дифференциальное уравнение
û(t) = U(t,u)} (2.5)
где U : Я2 —» R — непрерывная функция.
Определение 2.4 Максимальное решение r(t,s,ro) уравнения (2.5), проходящее через точку (s, г$) и определенное при t ^ s, называется правым максимальным решением уравнения (2.5). Аналогично, левым максимальным решением l(t, s, го) уравнения (2.5) называется максимальное решение, проходящее через точку (s, го) и определённое при t ^ s.
Имеет место следующая теорема [176].
Теорема 2.6 Пусть и : [о: — h, -foo) —» R есть непрерывная
функция, такая, что верхняя правосторонняя производная D'v(t) удовлетворяет неравенству
D+v(t) ^ U(t,v(t)) V£ ^ а,
если v(s) ^ l(s,t,v(t))> при s G [t - h,t\.
Тогда имеет место неравенство
v(t) ^ r(£,a-,r0), t ^ а, где го выбрано так, что v(s) ^ /(5, а, го) при s € [а — h, а].