О динамике троса космического лифта

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР КОНЦЕПЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛИФТА...............................................11
1.1. Идея космического лифта в XX веке...........................11
1.2. Углеродные нанотрубки (УНТ), как перспективный материал для троса КЛ...............................................................13
ГЛАВА 2. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛИФТА............................................................16
2.1. Схема Эдвардса..............................................16
2.2. Альтернативная конструкция..................................19
ГЛАВА 3. СТАТИКА КОСМИЧЕСКОГО ЛИФТА....................21
3.1. Трос постоянного сечения....................................21
3.2. Трос переменного сечения....................................24
3.3. Дополнительная нагрузка.....................................25
3.4. Балансировочная масса.......................................26
3.5. Полная масса лифта..........................................27
ГЛАВА 4. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ЛИФТА..................30
4.1. Одномассовая модель с невесомым тросом......................30
4.2. Одномассовая модель с весомым тросом........................33
4.3. Двухзвенная модель..........................................39
ГЛАВА 5. НЕЛИНЕЙНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ С ГИБКИМ НЕРАСТЯЖИМЫМ ТРОСОМ..............................................49
5.1. Математическая модель.......................................50
5.2. Математическая модель в плоскости экватора..................55
2
5.3. Разностная аппроксимация и некоторые алгоритмы вычислений 57
5.4. Программная среда для исследования динамики....................58
Основные возможности..............................................58
Коррекция и верификация результатов...............................60
5.5. Трехмерные движения троса......................................64
5.6. Движения троса в плоскости экватора............................67
Ограниченные движения.............................................67
Одномодовые колебания, близкие к периодическим..................67
Медленное изменение амплитуды...................................68
Периодическое изменение напряжения..............................71
Распространение локального возмущения...........................72
Смена режима....................................................73
Линейные колебания................................................75
Линеаризация задачи.............................................75
Разделение переменных...........................................77
Вычисление спектра..............................................77
Алгоритм вычисления собственных значении и собственных функций.. 78
Численное исследование малых колебаний..........................79
Поведение напряжения в линейных колебаниях......................81
Нелинейные движения с большой амплитудой, явления неустойчивости,
катастрофические режимы...........................................87
Пример точного решения нелинейной модельной задачи..............88
ГЛАВА 6. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕПРЕРЫВНОЙ МОДЕЛИ..............................................................92
6.1. Математическая модель..........................................92
6.2. Алгоритм вычислений............................................94
6.3. Примеры расчетов...............................................95
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ..........................................99
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................................................99
ЛИТЕРАТУРА..........................................................100
з
ВВЕДЕНИИ
Около 50 лет назад был запущен первый спутник - произошел прорыв человека в космос. С тех пор в космосе побывали множество аппаратов, они изучали ближний и дальний космос, были созданы глобальные системы связи и мониторинга земли, сотни человек были на космических орбитах, 12 человек побывали на Луне. Сейчас сложно представить жизнь без космических технологий. Однако, есть серьезные препятствия, из-за которых космическая деятельность развивается не так быстро, как предсказывали в начале космической эры. По прогнозам ведущих специалистов середины 60-х годов стоимость доставки килограмма груза на низкую орбиту должна была снизиться до 100 долларов, хотя на самом деле до сих пор она держится на уровне 10 000 долларов. Это связано, в том числе, и со спецификой космического транспорта, и с растущим влиянием деятельности человека на околоземную среду. Космическое пространство, за исключением тонкого но космическим меркам атмосферного слоя Земли - безопорная среда. Движение там возможно только за счет выбрасывания рабочего вещества, которым до настоящего времени являются продукты сгорания ракетного топлива. Поэтому при подъеме на орбиту КА (космический аппарат) должен поднимать вместе с собой запас этого рабочего вещества и/или топлива, расходуя на это большую часть топлива. При подъеме тела на геостационар начальная масса ракеты почти в 100 раз превышает массу выводимого на орбиту груза. Большая часть начальной массы - топливо, продукты сгорания которого выбрасываются в атмосферу и загрязняют ее. Остальная часть теряемой при запуске массы - элементы конструкции, часть из которых возвращается на Землю, а часть - переходит на промежуточные орбиты, увеличивая засоренность «космическим мусором». Эти недостатки ракетного способа транспортировки груза неизбежны, т.к. главный показатель эффективности этого способа - скорость истечения рабочего вещества - для ракет на химическом топливе сейчас близок к предельному. Поэтому важно искать альтернативные ракетному способы доставки полезного груза в космос.
Один из таких способов, очень простой принципиально - придание поднимаемому грузу энергии и кинетического момента орбитального движения за счет вращения Земли. То есть протянуть трос от Земли за геостационар и доставлять ірузьі по нему, при этом у тела, отпущенного с троса, уже будет начальная скорость. Гравитационная и центробежная силы держат конструкцию в натянутом состоянии. Па верхнем конце помещена
А
балансировочная масса для удержания конструкции в равновесии. Это концепция космического лифта. Несмотря на то, что идея не очень нова и, по мнению многих специалистов, не имеет непреодолимых препятствий для реализации, ее проработка продвигается медленно. За первое десятилетие нашего века нет существенного продвижения ни в исходной концепции конструкции КЛ (2000 г.), многие недостатки которой сейчас видны, ни в исследовании динамики. Поэтому данная работа, в которой предлагается развитие современной концепции КЛ и довольно подробное исследование его динамики, представляется актуальной.
Диссертация включает в себя 6 глав. Так как тема относительно новая, в 1-й главе дан обзор развития идеи космического лифта вплоть до появления концепции Эдвардса, которая является общепринятой в наше время.
Во 2-й главе подробно описывается концепция Эдвардса. Предложенная им конструкция - минимальная. Ее основа - тонкая лента, по которой перемещается транспортная кабина. Конструкция относительно проста по исполнению, но имеет существенные слабые стороны. Разбираются се достоинства и недостатки. Предлагается альтернативная концепция, более надежная и обладающая большими возможностями.
В главе 3 - статика КЛ - приводятся частично уже известные данные о требованиях к прочности троса, о распределении натяжения в нем, о профилировании троса и вообще о статических характеристиках конструкции. Изложена мало известная концепция нагруженного лифта. Рассмотрен вопрос о выборе балансировочной массы и длины несущего троса, обеспечивающих минимальную массу всей конструкции.
Остальные главы посвящены исследованию динамики несущего троса космического лифта, как основной и уникальной по своим характеристикам части его конструкции.
В главе 4 рассматриваются упрощенные модели динамики, начиная с простейшей - материальная точка на невесомом стержне. Такая модель использовалась в одной из первых в нашей стране работ по динамике космического лифта В.В. Белецкого [1]. Здесь она несколько расширена по сравнению с [1], т.к. рассматриваются колебания не только в плоскости экватора, но и в меридиональной плоскости. Получены периоды этих колебаний. Показано, что периоды колебаний в плоскости экватора в зависимости от длины троса составляют несколько суток, а в меридиональной плоскости - меньше суток.
Дальше рассмотрена модель с весомым прямым тросом переменной линейной плотности, в плоскости экватора. По сравнению с предыдущей моделью периоды изменяются мало, критические углы (углы отклонения,
при превышении которых трос не возвращается в равновесное вертикальное положение) изменяются заметно. В этой модели также рассмотрено влияние притяжения Луны, но оно оказалось малым.
Более сложная модель - двухзвенная, трос моделируется двумя массами, соединенными невесомыми стержнями, движение происходит в плоскости экватора. Это первое приближение к гибкому тросу. В линеаризованной модели проанализированы частоты колебаний нулевой (маятниковой) и первой моды. Пулевой моде соответствует синфазная форма колебаний, первой - противофазная. Частота маятниковой моды
соответствует результатам более простых моделей и составляет несколько суток, частота первой моды - меньше суток. Некоторые свойства нелинейных колебаний изучены с помощью отображения Пуанкаре. Показано, что в фазовом пространстве существует большая область, где орбиты отображения Пуанкаре регулярны, соответствуют системе, близкой к интегрируемой. Сильная хаотизация начинается только при больших, физически нереализуемых отклонениях.
В главе 5 изучается движение троса как непрерывной нерастяжимой весомой нити с грузом на конце, нить переменного сечения в переменном по координате силовом поле. Описывается построение математической модели. Выводятся модели для движения в плоскости экватора и для
пространственного движения. Используется довольно необычный для задач динамики троса метод вычисления натяжения. Так как трос нерастяжимый, невозможно использовать механические уравнения состояния напряженной нити типа закона Гука. Натяжение получается из согласования условия нерастяжимости троса и динамических уравнений. При этом получается линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Для вычисления натяжения нужно решать краевую задачу для этого уравнения. Вычисления строятся на основе метода прямых: численно интегрируются эволюционные уравнения, и на каждом шаге по времени численно решается краевая задача для определения натяжения.
Описана программная система. Она позволяет интегрировать уравнения движения КЛ на большом интервале времени, задавать широкий набор характеристик движения и статических параметров, выдает зависимости одних параметров движения от других, может вычислять ряд дополнительных величин: напряжение в каждой точке троса, полную
энергию конструкции, разложение в ряд Фурье отклонений точек троса от вертикали. В общем, представляет собой довольно удобный и гибкий инструмент изучения динамики КЛ. Описаны способы коррекции результатов и контроля точности вычислений.
6
С помощью программ, описанных выше, были проведены численные эксперименты. Меньше вычислений было проведено для 3-х-мерной системы, где были рассчитаны отдельные (показательные) случаи движения. Соотношение периодов экваториальных и меридиональных колебаний в нелинейной модели оказалось примерно таким же, как и в простых моделях.
Колебания в плоскости экватора для той же непрерывной модели более наглядны и изучены более подробно.
Рассмотрены колебания, происходящие в ограниченной по углу области, в частности, колебания, близкие к одномодовым. Обнаружены такие интересные эффекты, как медленное (с периодом порядка 2-х месяцев) изменение амплитуды, смена режимов при свободных колебаниях троса (колебания с относительно большим периодом и большой амплитудой неожиданно сменяются более высокочастотными колебаниями меньшей амплитуды). При ограниченных по амплитуде движениях не наблюдалось значительных (более 30%) изменений напряжения троса.
Рассмотрены колебания не ограниченные по углу, то есть такие, при которых лифт падает. Обнаружены несколько сценариев падения - известные в динамике нити эффект кнута и постепенная раскачка, а также необычная спиральная неустойчивость, которая возникает при превышении некоторого угла наклона троса к вертикали в начале троса. При этом трос провисает (угол наклона к горизонту становится отрицательным), потом изгибается наподобие спирали, потом образует петлю и падает. Для этого случая построена приближенная модельная задача, у которой нашлось аналитическое решение. Ее решение мы рассматриваем как подтверждение численных расчетов.
Подробно рассмотрена линеаризованная система. У нее найдены собственные формы и частоты колебаний. При определенных ограничениях на отклонения, собственные формы линеаризованной системы, заданные как начальные условия для программы, численно интегрирующей полную систему, дают периодические движения. Детально изучено изменение напряжения в малых колебаниях, отмечены некоторые интересные эффекты.
Разные модели, представляющие поперечные колебания, дают похожие результаты (там, где их можно сравнить).
Последняя, 6-я глава посвящена продольным колебаниям, тоже в нелинейной непрерывной модели. Построена математическая модель, рассмотрены различные ее конечно-разностные аппроксимации, из них выбраны наиболее подходящие. Рассмотрены некоторые характерные колебания, а также распространение узкого возмущения вдоль троса.
7
В заключении подчеркнуто, что динамика космического лифта сложна и разнообразна, и нуждается в дальнейшем изучении.
Практически все содержание работы является новым и по постановкам задач (из-за относительной новизны изучаемых объектов), и по основным используемым математическим моделям, и по полученным результатам.
Корректность полученных выводов подтверждается согласованностью результатов, полученных из разных моделей (там, где их можно сравнить), результатов разных вариантов расчета (равномерная сетка, неравномерная сетка), совпадением с найденными аналитически данными в тех случаях, когда это возможно и разумным соответствием их результатам немногочисленных имеющихся работ по этой теме.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на
1. 51-й Научной конференции МФТИ, ноябрь 2008 г. Секция динамики и управления движением космических аппаратов.
2. VI Международном аэрокосмическом конгрессе 1АС’09, Москва, август 2009 г.
3. XXXIV Академических чтениях по космонавтике, Москва, январь 2010г.
4. ХЬУ Научных чтениях памяти К.Э. Циолковского, Калуга, сентябрь 2010 г. (2 доклада)
5. XXXV Академических чтениях по космонавтике, Москва, январь 2011г.
6. Научном семинаре сектора №4 отдела №5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, руководитель д.ф.-м. н., проф. Овчинников М.Ю., апрель 2011г.
7. Научном семинаре Мехмата МГУ, руководитель д.ф.-м.н., проф.
Сазонов В.В., май 2011 г.
8. V Международной конференции “Математические идеи П.Л.
Чебышева и их приложение к современным проблемам
естествознания”. Обнинск, май 2011 г.
9. Семинаре “Динамика относительного движения” Мехмата МГУ,
руководители чл.-корр. РАН, проф. Белецкий В.В. и д.ф.-м.н., проф. Голубев Ю.Ф., сентябрь 2011 г.
10.Семинаре Института механики МГУ, руководитель д.ф.-м.н., проф. Самсонов В.А., октябрь 2011 г.
8