СОДЕРЖАНИЕ.
СОДЕРЖАНИЕ. •ммп»>мм»пжімим>ім>і>м»»ммитімм»мміміммпміааімі<иикім 2
ВВЕДЕНИЕ_________________________________________________________________________ 4
ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ НЕГОЛОНОЧНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ —.19
1.1. Ур.чвнення движения системы. Стационарные движения............................19
1.2. Пост ановка іаДачнсгаБііліодііші стационарных движений неїолономных механических СИСТЕМ....................................................................._....28
1.3. Обюр основных РАБОТ ПО СТАБИЛИЗАЦИИ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ иЕгачоиомных МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ............................................................ 37
ГЛАВА 2. УПРАВЛЯЕМОСТЬ СИСТЕМ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ ----------------------------44
2.1. Управляемость системы с циклическими координатами в общем случае..............44
2.2. Управляемость системы с циклическими координатами в основном случае...........45
2.2.1. Управляемость систем в г тривиальных установившихся движений при условии
С-0.............................................................................. 49
2.2.2. Управляемость системы в случае существенных установившихся движений и условии С* о............................................................... -..........51
2.2.3. Управляемость системы в случае ірнвиаіьішх установившихся движений и условии С* 0............................................................................55
2.2.4. УПРАВЛЯЕМОСТЬ СИСТЕМЫ В СЛУЧАЕ СУЩЕСТВЕННЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ........ 59
2.2.5. ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ систем с циклическими координатами в основном случае.................................................................62
2.3. Управляемость системы с циклическими координатами при различных дополнительных ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ..................................................................75
2.4. Исследование УЛРлніяЕмоспі систем с циклическими координатами при различных ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ (и ПРИМЕРАХ ЧЕТЫРЕХКОЛЕСНОГО И ТРЕХКОЛЕСНОГО ЭКИНАЖЕЙ.ЗЗ
2.5. Управляемость систем Члплыпии воыцем случае ЮЗ
ГЛАВА 3. НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ.« ........................108
3.1. Наблюдаемость систем с циклическими координатами в общем случае..............108
3.2. Н аблюдаемость систем с циклическими координатами по измерению позиционных КООРДИіиТ И СКОРОСТЕЙ В ОС НОВНОМ СЛУЧАЕ. .....................................110
3.3. Наблюдаемость систем с циклическими координатами по измерению циклических СКОРОСТЕЙ «ПОЗИЦИОННЫХ КООРДИНАТ И СКОРОСТЕЙ В ОСНОВНОМ СЛУЧАЕ.................113
ГЛАВА 4. .АЛГОРИТМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ..................................... 122
4.1 АЛГОРИТМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ СТ \UHOH АРНЫХ ДБИЖППШ И ИССЛЕДОВАНИЕ: УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ С ЛУЧлЬ ...........................................122
4.2. Алгоритмы стабилизации стационарных движений и исследование устойчивости ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ В ОСНОВНОМ СЛУЧАЕ...........................................125
4.3. А1ГОРИТМЫ стабилизации стационарных движений системы и исследование устойчивости ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ предположениях.................133
ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ОДНОКОЛЕСНОЮ ЭКИПАЖА ---------------------------------------------------------- 13«
5.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ. СТАЦИОНАРНЫЕ. ДВИЖЕНИЯ.........................136
5.2 Анализ устойчивости некоторых режимов стацион арных движении. ..............143
5.3 Анализ управляемости системы. Возможные алгоритмы стабилизации..............149
ЗАКЛЮЧЕНИЕ________________________________________________________________ 155
Л И ТЕ РАТУРА-------------------------------------------------------- ..-----------157
4
ВВЕДЕНИЕ.
В настоящее время неголономные системы находят все более широкое применение в технике. К таким системам относятся колесные экипажи, сооружения с кинематическими фундаментами, различной конструкции вариаторы и фрикционные механизмы с переменным передаточным числом и многие другие. В связи с изучением динамических свойств систем с неголономными связями стали акту альными исследования в области ташгх специальных вопросов как устойчивость установившихся движений и их стабилизация.
Особенностью неголономных механических систем, в отличие от голономных механических систем, является то. что в уравнения движения системы входят уравнения неголономных связей. Кроме того, если для голономных консервативных механических систем с циклическими координатами существует единственное определение циклических координат, которое одновременно обеспечивает существование циклических интегралов и стационарных движений, то дтя неголономных механических систем существует несколько определений циклических координат [18. 19. 30). При этом уравнения движения системы могут не допускать циклических интегралов, но допускают существование стационарного движения, которое не яв.чястся изолированным, а принадлежит многообразию стационарных двнже>шй, размернос1ъ которого не меньше единицы. Под стационарным движением понимается такое движение, при котором позиционные координаты и скорости циклических координат постоянны Наиболее общим из определений циклических кос^шат является определение [19, 30], допускающее существование стационарного движения, но не допускающее существование
5
циклических интегралов, которое и принимается в настоящей работе. Заметим, что под это определение подпадает большинство механических систем, описываемых уравнениями с нсголономными связями , для которых стационарные движения обычно служат рабочими режимами Отмеченные отличия неголономных механических систем с циклическими координатами от голоно.мных систем и приводят к необходимости отдельного изучения вопросов устойчивости и стабилизации установившихся движений неголономных механических систем
Подробный обзор результатов об устойчивости положений равновесия и стационарных движений неголономных механических систем, полученных до 1983 года содержится в работах Ю.И. Нсймарка и Н.А. Фуфаева (55], В.В. Румянцева и Л.В. Карапетяна (27, 30,]. Ряд результатов в этом направлении был получен уже после выхода указанных обзоров[27, 30, 55] - работы А. В. Карапетяна[31], Б.Атажанова и Э.М. Красинской(6-8].
Как показал анализ, проведенный многими авторами, асимптотическая устойчивость или просто устойчивость установившихся движений имеет место далеко не всегда. Поэтому актуальна задача о стабилизации таких движении. Для неизолированных установившихся движений можно рассматривать как задачу о стабилизации всего многообразия установившихся движений, так и задачу о стабилизации некоторой точки этого многообразия по отношению ко всем фазовым переменным или их части, которая и рассматривается в настоящей работе. Следует отметить, что характер задачи стабилизации стационарных движений для неголономных систем существенно отличается и от задачи стабилизации положений равновесия систем этого класса. Задача стабилизации стационарных движений
6
состоит в том, чтобы надлежащим выбором управляющих воздействий, приложенных как по циклическим координатам, так и позиционным координатам (или по часги этих координат) сделать стационарное движение асимптотически устойчивым (или просто устойчивым) по отношению к позиционным координатам, позиционным и циклическим скоростям. Обзор работ, в которых рассматриваются вопросы стабилизации стационарных движений неголономных механических систем сделан в разделе 1.3. При этом характер задачи стабилизации стационарных движений существенно зависит от дополнительных условий, которые накладываются на механическую систему. Заметим, что изложенные в этих работах методы решения задачи стабилизации фактически сводились к анализу устойчивости нулевого решения замкнутой выбранным стабилизирующим управлением в виде образной связи системы. Эти методы, вообще говоря, не используют в полной мере имеющихся возможностей управления. В указанных работах упоминаются понятия управляемости и наблюдаемости, однако все рассмотрение вопросов управляемости и наблюдаемости сводится к формальному выписыванию критерия Калмана без какого-либо анализа условий управляемости и наблюдаемости.
Основанный на линейной теории управления подход к решению задач стабилизации установившихся движений голономных механических систем,развитый в работах В.М,Морозова, В.И.Калсновой и М.А.Салминой[25,26],в настоящей работе применяется в сочетании с теорией критических случаев к решению задач стабилизации стационарных движений неголономных механических систем со стационарными связями.Этот подход позволяет наиболее полно использовать имеющиеся возможности управпсния.Прсдполагается, что управляющие силы могут
7
быть приложены как по позиционным, так и по циклическим координатам (или по части этих координат). Отдельно исследуются возможности стабилизации стационарных движений путем приложения управляющих сил только по циклическим координатам (или их части). Такая задача стабилизации стационарных движений голономных систем была впервые сформулирована В.В. Румянцевым (62].
В отличие от работ [5. 35. 38 ]. в которых рассматривается задача стабилизации при наложении дополнительной условии типа [29] ('гакая ситуация в настоящей работе называется основным случаем), рассматривается задача стабилизации нсголономных систем со стационарными связями как в общем случае, т.е. без наложения каких-либо дополнительных условий, так и при наложении условий отличных от [29]. Еще раз подчеркнем, что наложение дополнительных условий при исследовании задачи стабилизации неголономных механических систем является принципиальным моментом: существенное упрощение структуры уравнений
возмущенного движения приводит к решению отличных друг от друта задач. Подход к задаче стабилизации, основанный на линейной теории управления, позволил наиболее полно использовать имеющиеся возможности управления и позволил сформулировать более простые и эффективные по сравнению с [5, 35, 38] условия стабилизации нсголономных механических систем со стационарными связями.
В первой главе диссертации дана постановка задачи стабилизации установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами.
В разделе 1.1 выписаны уравнения движения нсголономной механической системы в форме уравнений Воронца при условии, что наложенные на механическую
8
систему неголономные святи, среди которых есть связи Чаплыгина, являются идеальными и однородными. В предположениях, что среди обобщенных координат имеются циклические координаты в смысле принятого в настоящей работе определения, на систему по позиционным координатам действуют потенциальные, диссипативные и возможно управляющие силы, а по циклическим координатам (или их части) управляющие силы, приведены условия существования стационарного движения, которое нс является изолированным, а принадлежит многообразию стационарных движений, разм.рность которого не меньше единицы. Рассмотрены особенности существования стационарных движений при наложении на систему дополнительных условий, некоторые из которых ранее в литературе но устойчивости и стабилизации стационарных движений нсголономных механических систем нс исследовались, однако возникают в конкретных задачах, описываемых неголономными механическими системами с циклическими координатами. Далее, предложена удобная при дальнейших исследованиях классификация стационарных движений путем выделения тривиальных и существенных стационарных движений, аналогичная сделапной в работах А. С. Клокова, В.А. Самсонова [32, 33, 66] для стационарных движении голономных механических систем.
В разделе 1.2 составлены уравнения возмущенного движения в окрестности стационарного движения, выбранного в качестве невозмущенного с выделением линейных членов. Полученные уравнения являются основными при решении задачи стабилизации нсголономных механических систем с циклическими координатами на основе комплексного использования теории критических случаев и линейной теории управления. Проведен анализ структуры уравнений возмущенного движения при
9
наложении на систему различных дополнительных условий , рассмотренных в разделе 1.1. Показано существенное упрощение структуры уравнений в этих случаях, приводящее к решению отличных друг от друга задач на основе линейной теории управления. Подход к решению задач стабилизации, основанный на линейной теории управления, включает в себя следующие этапы: первый - выяснение принципиальной возможности стабилизации; второй- анализ информационного обеспечения задачи; третий • построение собственно алгоритма стабилизации. Математически первые два из трех перечисленных этапов сводятся к анализу управляемости и наблюдаемости линеаризованной системы.
Раздел 1.3 посвящен обзору основных работ по стабилизации установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами.
Во второй главе рассмотрены вопросы управляемости в задаче стабилизации установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами.
В разделе 2.1 рассмотрена управляемость для систем в общем случае (т е. без наложения на систему каких- либо дополнительных условий). Используя критерий управляемости [82] в работе сформулированы условия управляемости для вышеуказанной системы. Отмечена возможность получения эффективных критериев управляемости при учете специфики системы в случае наложения на систему допотгительных условий, приведенных в разделе 1.1. Рассмотрению вопросов управляемости в этих случаях и посвящены разделы 2.2, 2.3, 2.5.
В разделе 2.2 рассмотрена управляемость системы н основном случае. Доказано , что система не является полностью управляемой при любых управляющих
10
силах, вводимых по позиционным и циклическим координатам.. При этом из системы посредством серии линейных замен переменных выделена явно неуправляемая подсистема, размерность которой равна сумме числа нсголономных связей общею вида и числа циклических координат по которым не введены независимые управляющие воздействия. Управляемость же оставшейся после выделения подсистемы существенно зависит прикладываются ли управляющие воздействия по позиционным координатам, является ли стационарное движение тривиальным или существенным, а также как входят позиционные и циклические скорости в кинетическую энергию рассматриваемой механической системы, т. е. равна или не равна нулю матрица С. Исследованию управляемости указанной подсистемы (далее системы) и посвящены разделы 2.2.1 - 2.2.4.
В разделе 2.2.1 проведено исследование управляемости системы в случае тривиальных установившихся движений при условии , что матрица С равна нулю. Доказано, что для управляемости системы необходимо прикладывать управляющие воздействия по позиционным координатам, причем управляемости можно достичь приложением управляющих воздействий как по позиционным координатам, скорости которых независимы, так и позиционным координатам, скорости которых зависимы в силу уравнений связей.
В разделе 2.2.2 рассмотрена управляемость систмы в случае существезшых установившихся движений и условии С=0 . Доказана теорема о возможности сведения задачи к исследованию управляемости приведенной системы меньшей размерности, описываемой матричным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Получены эффективные необходимые и достаточные условия
11
управляемости, позволяющие решить вопрос об управляемости системы в случаях, когда управляющие воздействия прикладываются только по циклическим координатам.
В разделе 2.2.3 исследована управляемость системы в случае тривиальных установившихся движении и условии С=0. Доказана теорема, позволяющая свести исследование управляемости системы к анализу ранга матрицы меньшего размера , по сравнению с прямым применением к системе известного критерия управляемости (82] и анализу управляемости приведенной системы меньшей размерности, описываемой матричным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Сформулированы эффективные критерии управляемости системы при условии, что управляющие воздействия прикладываются только по циклическим координатам.
В разделе 2.2.4 в случае существенных установившихся движений доказана теорема о сведении исследования управляемости системы к анализу наблюдаемости некоторой линейной системы меньшей размерности, описываемой матричным дифференциальным уравнением второго порядка.
В разделе 2.2.5 в качестве иллюстрации результатов, полученных в разделе
2.2, проведен анализ управляемости конкретных неголокомных механических систем с циклическими координатами в основном случае: неоднородного диска и гиростата, движущихся по неподвижной горизонтальной плоскости без проскальзывания.
В разделе 2.3 исследована управляемость системы при различных дополнительных предположениях, рассмотренных в разделе 1.1. Специфика структуры системы в рассматриваемых случаях позволила осуществить редукцию
12
задачи и свести исследование управляемости к анализу ранга матрицы меньшего размера , по сравнению с прямым применением к системе известных критериев управляемости 124, 82]. Кроме того, при некоторых дополнительных условиях отмечена возможность управляемости системы по позиционным координатам, скорости которых зависимы в силу уравнении связей, в отличии от систем в основном случае.
В разделе 2.4 с использованием результатов, полученных в разделе 2.3, рассмотрена задача о принципиальной возможности стабилизации равномерного прямолинейного движения четырехколесного экипажа с одинаковыми углами поворота передних колес относительно корпуса. В частности показано, что в случае если управляющий момент приложен к рулевому механизму и. кроме того, на задние и передние колеса действуй моменты двигателя, то механическая система, описывающая движение четырехколесного экипажа, является полностью управляемой и. как следствие, возможна стабилизация равномерного прямолинейного движения четырехколесного экипажа до асимптотической устойчивости Также рассмотрена задача о принципиальной возможности стабилизации равномерного прямолинейного движения трсхколссного экипажа, колеса которого катятся по шероховатой плоскости без скольжения и отрыва, в отличие от работы [16], где рассматривались вопросы управляемости трехколесного робота при условии, «сто одно из трех колес проскальзывает. Показано, что за счет должного выбора управляющих воздействий ..о углу поворота стойки возможно неустойчивое равномерное прямолинейное движение сделать устойчивым.
13
В разделе 2.5 рассмозрсна управляемость систем Чаплыгина в общем случае при условии, что управляющие силы действуют по части позиционных и циклических координат и только по части циклических координат. Специфика структуры системы позволила осуществить редукцию системы и сформулировать необходимые и достаточные условия управляемости системы, сводящиеся к анализу ранга матрицы меньшего размера по сравнению с прямым применением к системе критерия управляемости [82]. Кроме того, в работе отмечена возможность распространить полученные результаты на исследование управляемости голономных механических систем с нестационарными связями при условии, что управляющие силы действуют не только по циклическим координатам, но и позиционным координатам.
Третья глава посвящена наблюдаемости систем с циклическими координатами по измерениям различной структуры.
В разделе 3.1 рассмотрены вопросы наблюдаемости системы с циклическими координатами в общем случае. Используя критерий наблюдаемости [82] сформулированы необходимые и достаточные условия наблюдаемости для вышеуказанной системы по измерению позиционных координат и их скоростей, циклических скоростей. Отмечена возможность получения новых, эффективных критериев наблюдаемости для систем в основном случае.
В разделе 3.2 доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях наблюдаемости систем в основном случае по измерению позиционных координат и скоростей, допускающие рсдугдиио размерности исходной системы. Получен ряд простых критериев, позволяющих решить вопрос о наблюдаемости непосредственно
14
по вид)' системы. В частности, показано, что в случае существенных установившихся движений система не наблюдаема по измерению только позиционных скоростей, которые независимы в силу уравнений связей, а в случае тривиальных установившихся движений система не является полностью наблюдаемой по измерению позиционных координат к скоростей.
В разделе 3.3 рассмотрена наблюдаемость системы в основном случае по измерению циклических скоростей. Показано, что система не является полностью наблюдаемой по измерению циклических скоростей. Кроме того, в связи с тем, что в задаче стабилизации до неасимптотической устойчивости стационарных движений нсголономных механических систем нет необходимости в оценке всего вектора состояния, рассмотрена наблюдаемость управляемой подсистемы указанной выше линейной системы в случае, когда вектор измерений включает в себя только позиционные координаты и скорости, а также случай, когда вектор измерений включает только циклические скорости. Получены критерии наблюдаемости исследуемой подсистемы по этим измерениям, позволяющие упростить по сравнению с применением известных критериев Калмана и НаиШ$ [24, 82) анализ наблюдаемости за счет возможной редукции размерности исследуемой подсистемы.
В четвертой главе построены алгоритмы стабилизации стационарных движений и исследована устойчивость полной нелинейной системы, замкнутой линейным управлением, как в общем случае, так и при наложении на систему различных дополнительных условий, рассмотренных в настоящей работе.
В разделе 4.1 при условии полной управляемости и полной наблюдаемости по измерению позиционных координат и скоростей, циклических скоростей выделенной
- Київ+380960830922