- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ ....................................................... 5
ГЛАВА I. Аналитический обзор методов описания распространения примесей в атмосфере и анализ проблем, возникающих при их практическом использовании ................................... 10
1.1. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ ... II
1.2. МЕТОД РЕКУРСИВНОГО ЗАМЫКАНИЯ ............................. 23
1.3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ РАСПРОСТРАНЯКЩИХСЯ
В АТМОСФЕРЕ АЭРОЗОЛЕЙ ............................................... 30
ГЛАВА 2. Теоретические основы метода нахождения функций плотности вероятности ............................................... 40
2.1. ОДНОТОЧЕЧНЫЕ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ КОНЦЕНТРАЦИИ И ИНТЕГРАЛА ОТ НЕЕ ПО ВРЕМЕНИ................................. 40
2.2. ДВУХТОЧЕЧНЫЕ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ КОНЦЕНТРАЦИИ И ИНТЕГРАЛА ОТ НЕЕ ПО ВРЕМЕНИ ................................ 53
2.3. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ ПРОИЗВОДНОЙ ОТ КОНЦЕНТРАЦИИ ПО ВРЕМЕНИ И ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА КОНЦЕНТРАЦИИ ИЗ ОДНОГО СОСТОЯНИЯ В ДРУГОЕ............................................ 62
2.4. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И СПЕКТРАЛЬНЯ ПЛОТНОСТЬ ПУЛЬСАЦИЙ КОНЦЕНТРАЦИИ .................................................. 66
2.5. ДИСКРЕТНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ В ЕДИНИЦЕ ОБЪЕМА ............................................. 68
2.6. ОБСУЖДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ НАЙДЕННЫХ ФУНКЦИЙ 79
2.7. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРИИ............................... 93
2.8. ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ В ЗАДАНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ НА ФУНКЦИИ РАС1РЕДЕЛЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ .................................. 99
ГЛАВА 3. Экспериментальное обоснование полученных теоретических результатов................................................ 105
- 3 -
3.1. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ НА АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ И ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ................................................ 107
3.2. АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ, ПРОВОДИВШИХСЯ В НАТУРНЫХ УСЛОВИЯХ .............................................................. 121
3.3. СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ С НЕКОТОРЫМИ ВЫВОДАМИ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ГОРЕНИЯ ......................................... 128
ГЛАВА 4. Анализ экспериментов, проведенных с помощью аппаратуры для измерения пульсаций скорости ветра ................... 133
4.1. ОПИСАНИЕ ПРИМЕНЯВШЕЙСЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ АППАРАТУРЫ 133
4.2. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРЯМОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ................................................... 141
4.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ, СДЕЛАННЫХ ПРИ ВЫВОДЕ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ СУММЫ НЕДИАГОНАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИФФУЗИИ......................................... 152
ГЛАВА 5. Применение метода для решения конкретных практических задач .................................................... 157
5.1. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ОШИБОК НА ФУНКЦИЮ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ ......................................................... 157
5.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ПЛОЩАДИ, НА КОТОРОЙ КОНЦЕНТРАЦИЯ (ФУНКЦИЯ ОТ КОНЦЕНТРАЦИИ) ПРЕВОСХОДИТ НЕКОТОРОЕ ПОРОГОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ .......................................... 163
5.3. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ДОСТИЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИЕЙ ПРИМЕСИ ЗАДАННОГО ПОРОГОВОГО ЗНАЧЕНИЯ 177
5.4. УЧЕТ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ПРИМЕСИ В ПРОЦЕССЕ ЕЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ.............................................. 187
5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОТОКА ПРИМЕСИ, ВЫДЕЛЯЕМОЙ ПОДСТИЛАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ......................... 191
5.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ ПЛОЩАДИ "ПЯТЕН” АЭРОЗОЛЬНЫХ ОТЛОЖЕНИЙ НА ПОДСТИЛАЮЩЕЙ ПОВЕРХ-
- 4 -
НОСТИ................................................................ 205
5.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВЫХ МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ ПРЕВЫШЕНИЯ ЗАДАННОГО УРОВНЯ КОНЦЕНТРАЦИИ АТМОСФЕРНОЙ ПРИМЕСИ ..................... 209
5.8. МОДЕЛИРОВАНИЕ РЯДОВ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ВЕТРА И КОНЦЕНТРАЦИИ АЭРОЗОЛЬНЫХ ПРИМЕСЕЙ С ЗАДАННЫМИ ЗАКОНАМИ РАСПРЕДОЛЕНИЯ И КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ СВЯЗЯМИ, ТИПИЧНЫМИ ДЛЯ РЕАЛЬНОЙ ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЫ ........................................................... 217
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................... 225
ЛИТЕРАТУРА .................................................... 232
- 5 -
ВВЕДЕНИЕ
Из-за все возрастающего антропогенного воздействия на атмосферу проблема ее загрязнения приобретает особое значение. Одним из многих и практически важных разделов наук, связанных с изучением физики, химии и экологии атмосферы, является изучение процесса распространения аэрозольных и газовых примесей. Фундаментальные основы решения задач такого рода были заложены в начале нашего века. Аналогия процесса рассеяния примеси в атмосфере с процессом молекулярной диффузии и распространением тепла позволила разработать достаточно строгие количественные методы его описания [27, 30, 34, 41, 71, 73, 78, 86, 92, 123].
Однако, практическое применение этих методов в ряде случаев наталкивается на ряд трудностей. В первую очередь это связано с тем, что уравнения, предназначенные для описания процесса распространения примеси, являются незамкнутыми [78]. При их замыкании с помощью полуэмпирических гипотез появляются в общем случае неизвестные константы, например, коэффициенты турбулентной диффузии [78, 123]. Во-вторых, из-за турбулентности атмосферы процесс рас-пространения является случайным. В то же время современные методы описания турбулентной диффузии позволяют получать лишь два первых момента концентрации примеси: математическое ожидание и дисперсию. Этих характеристик недостаточно для решения конкретных практических задач. Поэтому статистическое описание процесса распространения примеси, связанное с определением закона распределения ее концентрации, приобретает особое парактическое значение. Точного решения данной задачи до сих пор не получено. Ограниченное число экспериментальных работ на эту тему предлагает аппроксимировать функцию распределения рядом типовых законов (логарифмически-норма-льным, гамма-распределением, распределением Вейбулла и др.) [28,
- 6 -
29, 31, 37, 38, 54, 55, 81, 87]. Вместе с тем не вполне установлены диапазоны применимости полученных экспериментальных результатов. В смежной области - теории турбулентного горения [61, 67]
разработаны достаточно строгие методы статистического описания, но они не могут быть непосредственно перенесены на описание процесса распространения атмосферных примесей.
Суммируя вышесказанное, приведем цитату о современном уровне статистического описания процесса диффузии атмосферных примесей из монографии [123], которая обобщает мировой опыт теоретического и экспериментального изучения процесса распространения: ”... этот вопрос пока еще только затронут, но не исследован”.
Таким образом, задача определения статистических характеристик, распространяющихся в атмосфере аэрозолей, актуальна, имеет непосредственную практическую значимость и фундаментальное значение для решения задач механики жидкости и газа.
В соответствии с вышесказанным соискателем была сформулирована задача разработки количественного метода статистического описания процесса распространения аэрозолей в атмосфере, совместимого с моделью распространения, основанной на применении полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии.
Диссертация содержит изложение основных положений разработанного метода, результаты его экспериментального обоснования и примеры практического использования. Она изложена на 244 стр., иллюстрирована 27 рисунками и 15 таблицами. Список цитированных работ содержит 128 наименований.
Научная новизна работы заключается в следующем:
I. Впервые получены точные аналитические решения обратного уравнения Колмогорова для одно- и двухточечных функций плотности вероятности концентрации распространяющейся в атмосфере примеси и интеграла от концентрации по времени (интегральной концентрации).
- 7 -
2. Для стационарного случая получены функция плотности вероятности перехода концентрации из некоторого начального в некоторое конечное состояние, корреляционная функция пульсаций концентрации примеси и плотность спектральной мощности пульсаций концентрации.
3. Рассмотрен дискретный аналог одноточечного закона распределения концентрации атмосферных примесей.
4. На основании экспериментов, проведенных на аэродинамической трубе с привлечением результатов независимых натурных исследований и классических результатов теории турбулентного горения, дано обоснование полученных теоретических результатов.
5. Рассмотрены многочисленные примеры практического использования разработанного статистического метода.
6. Впервые проведены прямые измерения тензора коэффициентов турбулентной диффузии в атмосфере и обоснована гипотеза о пропорциональности коэффициентов турбулентной диффузии соответствующим компонентам тензора вязких напряжений Рейнольдса.
Достоверность результатов, полученных в теоретической части работы, подтверждена данными экспериментов, проводившихся соискателем, соответствием полученных решений классическим асимптотикам из теории турбулентного горения, а также экспериментальными результатами независимых исследователей. Результаты, полученные в различных разделах работы, дополняют друг друга и создают целостную, физически непротиворечивую картину статистического поведения концентрации примеси при ее распространении в атмосфере.
Соискатель выносит на защиту новый высокоэффективный метод статистического описания процесса распространения аэрозолей в атмосфере, включающий:
I. Уравнения для одно- и двухточечных функций плотности вероятности концентрации и интегральной концентрации примеси, выведенные с помошью нетрадиционной версии метода "тонкодисперсной" плот-
- 8 -
ности вероятности, замкнутые с помощью рекурсивного метода и впервые полученные точные аналитические решения, количественно учитывающие наличие эффекта перемежаемости;
2. Стационарные функции плотности вероятности перехода концентрации примеси из одного состояния в другое за некоторое время, корреляционную функцию пульсаций концентрации и плотность спектральной мощности пульсаций концентрации;
3. Дискретный аналог одноточечного закона распределения концентрации атмосферных примесей;
4. Результаты анализа полученных решений, соотношения для оценки их параметров с помощью результатов, следующих из решения полуэмпирического уравнения, обоснование границ применимости полученных решений и оценка некоторых погрешностей при применении метода;
5. Экспериментальное обоснование метода, полученное с помощью результатов проведенных лабораторных экспериментов, данных натурных опытов по изучению распространения примеси и сравнения с классическими асимптотиками теории турбулентного горения;
8. Результаты применения метода для решения конкретных практических задач, включающие: учет ошибок измерений; нахождение математических ожиданий и дисперсий площадей, на которых концентрация, интегральная концентрация или функция от них превосходят некоторое пороговое значение; определение характеристик времени достижения интегральной концентрацией примеси некоторого порогового значения; учет процесса изменения свойств примеси в процессе ее распространения; определение статистических характеристик потока примеси, выделяемой подстилающей поверхностью; определение математического ожидания и дисперсии площади "пятен" аэрозольных отложений на подстилающей поверхности; определение первых моментов времени превышения концентрацией примеси заданного порогового значе-
- 9 -
ния; моделирование рядов значений концентрации примеси и компонент скорости ветра с заданными законами распределения и корреляционными связями.
7. Результаты прямого экспериментального определения компонент тензора коэффициентов турбулентной диффузии, подтверждение гипотезы об их пропорциональности соответствующим компонентам тензора вязких напряжений Рейнольдса, впервые проведенное в натурных условиях, и объяснение механизма поворота его главных осей.
Апробация работы. По мере получения результаты диссертационной работы докладывались на: научных семинарах Института Химической кинетики и горения СО РАН (Новосибирск); НПО "Тайфун" (Обнинск); ВНИИ Молекулярной Биологии (Кольцово); НИИ Аэробиологии, ГНЦ ВБ "Вектор” (Кольцово); ВНИИ Особо чистых биологических препаратов (Санкт-Петербург); ВНИИ Прикладной микробиологии (Оболенск), Института теплофизики СО РАН (Новосибирск), III совещании Рабочей группы "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане" (Новосибирск); Совещании "Вопросы исследования поведения и распределения биологических средств защиты растений и леса в атмосфере" (Новосибирск); П-ГУ заседаниях Рабочей группы проекта "Аэрозоли Сибири" (Томск); Научно-практической конференции "О создании единой региональной системы мониторинга окружающей природной среды и здоровья населения Сибири" (Новосибирск).
Основные результаты работы опубликованы в монографии [I] и 19-ти статьях [2-20]. Личный вклад соискателя в работы, выполненные в соавторстве, заключается в постановке задачи исследований на каждом этапе работ, непосредственном участии в исследованиях на всех этапах работы, обработке и оформлении полученных данных. Все основные теоретические результаты работы получены лично соискателем. Творческий вклад соискателя в экспериментальную часть исследований и разработку практических приложений составляет 60%.
- 10 -
ГЛАВА I. Аналитический обзор методов описания распространения примесей в атмосфере и анализ проблем, возникающих при их практическом использовании
В главе рассматривается метод моделирования распространения аэрозолей в атмосфере, основанный на применении полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии. Приводится его вывод, обсуждаются основные свойства и пределы его применимости. Излагается метод его рекурсивного замыкания и анализируется современное состояние вопроса статистического описания процесса распространения аэрозолей в атмосфере. Таким образом, приведенный аналитический обзор обосновывает сформулированную во введении задачу исследований.
Аэрозольную (а в общем случае и газовую) компоненту атмосферы обычно характеризуют концентрацией примеси С(х,у,г,1;), которая является функцией координат некоторой точки пространства х, у, г и времени I. Если задается число частиц какого-либо сорта в единице объема, то под С подразумевается счетная концентрация. Массовая концентрация определяет массу частиц в единице объема. В общем случае можно ввести концентрацию, определенную по любым другим правилам. Поэтому, если не требуется специально, ниже не оговаривается какого типа концентрация имеется в виду.
Для решения ряда прикладных задач используется также интегральная концентрация, которая определяется следующим образом
Распространение примесей происходит в турбулентной атмосфере. По этой причине С и J являются случайными величинами. Модели рас-
( 1.1 )
О
- II -
пространения в первую очередь позволяют определять математическое ожидание концентрации <С>. Ниже угловые скобки будут обозначать осреднение по статистическому ансамблю. Применяя к ( 1.1 ) операцию осреднения по статистическому ансамблю, получим выражение для определения математического ожидания интегральной концентрации
Таким образом, для нахождения математического ожидания интегральной концентрации необходимо знать математическое ожидание концентрации примеси.
Определение зависимости математического ожидания концентрации от координат и времени распространения для заданных источников примеси, заданного рельефа местности, а также ряда дополнительных условий, является основной задачей моделирования распространения.
Существует несколько подходов для решения данной задачи. Для ознакомления с методами решения проблемы распространения аэрозолей можно, например, обратиться к работам [27, 30, 34, 41, 71, 73, 78, 86, 92, 123]. Зачастую моделирование распространения примесей производится с помощью полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии (ПУТД). Рассмотрим его вывод, границы применимости и основные свойства.
1.1. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ
Распространение аэрозолей в атмосфере происходит при больших значениях турбулентного числа Рейнольдса
( 1.2 )
О
Бе
г
( 1.3 )
V
- 12 -
Здесь ио - среднеквадратическое значение пульсаций скорости ветра, Ь0 - характерный линейный масштаб турбулентности, а V - кинематическая вязкость воздуха. Сделаем оценку величины турбулентного числа Рейнольдса. Для этого зададим масштаб скорости равным типичному значению скорости трения в приземном слое атмосферы ио « 0,3 м/с, масштаб длины оценим как « зе г, где зе = 0,4 - константа Кармана, а г - высота точки наблюдения над поверхностью земли, см. [56]. Полагая V = 1,3 10 м^/с, получим Ие^ = Ю4 ъ (где ъ следу-
ет задавать в метрах). При таких больших значениях чисел Рейнольдса в приземном слое атмосферы силы вязкости существенны лишь на очень малых расстояниях, вне пределов которых процессы молекулярного переноса не играют роли. Поэтому при выводе ПУТД в уравнении сохранения количества вещества в движущейся жидкости [88]
ас а
+ -------- ( и1С ) = V АС ( 1.4 )
а г в х: 1 с
обычно отбрасывают член с коэффициентом молекулярной диффузии аэрозольных частиц г>с. В ( 1.4 ) есть 1-я компонента мгновенного значения скорости ветра, а А - оператор Лапласа. По дважды повторяющимся индексам будем подразумевать суммирование. Компоненты скорости ветра удовлетворяют условию несжимаемости [35]
а и1
= 0 . ( 1.5 )
а х^
Для получения ПУТД применим к ( 1.4 ) операцию осреднения по статистическому ансамблю. С этой целью представим мгновенные значения скорости и концентрации в виде суммы математических ожиданий и пульсаций
С = <С> + С ; и1 = <и1> + ^
( 1.6 )
- 13 -
Здесь и далее "крышечкой" сверху будем обозначать пульсации. При выводе ПУТД предполагают, что условие несжимаемости выполняется и для слагаемых в ( 1.6 ). Подставив (1.6 )в (1.4) и произведя осреднение, получим
д <С> д <С> д ал
+ <1Ь> -------------- + ----- <11, С> = 0 . ( 1.7 )
д t д х^ д х^ 1
Первый член в ( 1.7 ) описывает изменение математического ожидания концентрации в заданной точке пространства во времени. Второй (адвективный) описывает перенос примеси осредненным полем скорости ветра, а третий (диффузионный) - диффузию примеси, обусловленную
/\ А
турбулентностью атмосферы. В выведенном уравнении <и1 С> является компонентами турбулентного потока примеси. Эта величина неизвестна и требует определения через другие уравнения или какие-либо гипотезы. Данный факт отражает суть проблемы замыкания, свойственной всем осредненным уравнениям механики турбулентности [78]. Для учета гравитационного осаждения частиц примеси к вертикальной компоненте скорости среды необходимо добавить скорость седиментации аэрозольных частиц У2. В общем случае в правую часть ( 1.7 ) следует включить также члены, описывающие наличие источников и стоков аэрозольных частиц.
Осреднение по ансамблю в ( 1.7 ), как правило, заменяют осреднением по времени. Такая процедура допустима, если процесс распространения эргодичен, то есть, см. [64, 93], <С> = С. Черта сверху означает осреднение по времени. В общем случае последнее условие выполняется только для стационарных условий распространения примеси в атмосфере. Для нестационарных условий распространения операцию осреднения по времени, пользуясь методами развитыми в статистической радиотехнике, обычно задают в виде скользящего среднего [93]
где Т - период осреднения концентрации и скорости. Принято считать [94], что, если период осреднения много меньше общего времени распространения примеси и много больше некоторого внутреннего временного масштаба пульсаций, то условие эргодичности будет приближенно выполняться. Данное рассуждение качествено обосновывавет введение зависимости средних от времени в ПУТД [64, 93].
Здесь полезно сделать еще одно замечание, вытекающее из определения скользящего осреднения. При таком подходе ПУТД описывает не реальный процесс распространения, а некоторый соответствующий ему отфильтрованный. Известно, что скользящее осреднение (его также называют сглаживанием) приводит к тому, что в спектре пульсаций случайного процесса отбрасываются частоты большие по порядку величины Т”1 [64, 93]. Вследствие этого, решения ПУТД обладают свойством
д С соп^
< .
д I Т
Это, в частности, используется ниже при анализе корректности процедуры замыкания уравнений относительно искомых функций плотности вероятности, см. раздел 2.7.
Обычно ПУТД рассматривают на интервале осреднения от нескольких минут до нескольких десятков минут. Это связано с тем, что спектр пульсаций скорости ветра в приземном слое атмосферы при частотах, соответствующих указанным временам осреднения, имеет достаточно глубокий, так называемый мезомасштабный минимум, в пределах которого зависимость средних значений скорости и других харак-
- 15 -
? *3
теристик турбулентности от Т * 10-10 с практически отсутствует [45, 46, 47, 56, 80, 100, ИЗ, 119]. В большинстве случаев общее время распространения составляет час и более. Характерный временной масштаб пульсаций скорости в приземном слое (эйлеров временной масштаб) имеет порядок десятков секунд. Таким образом, применение скользящего осреднения в ПУТД с практической точки зрения вполне оправдано.
В общем случае аэрозольные частицы имеют отличную от нуля массу и поэтому их скорость не совпадает со скоростью воздушного потока. Влияние инерционности частиц на законы их движения сказывается в области больших частот спектра пульсаций скорости среды (инерционная часть спектра), а в остальной (безынерционной) оно не существенно. ПУТД применимо лишь для описания диффузии в пределах безынерционного участка полного энергетического спектра скоростей частиц.
Достаточно подробный анализ этого вопроса можно найти в [42], где показано, что инерционному участку соответствует уравнение Колмогорова
д С — д с а2 —
+ и.» - ( Б^ С ) = О , ( Т Я }
д г 1 а х1 а хх а х^ 13 1 1,в 1
где Б.^ - некоторый несимметричный тензор.
Сделаем оценку характерного диаметра аэрозольных частиц, разделяющего обсуждавшиеся выше инерционный и безынерционный участки полного энергетического спектра пульсаций скорости частиц. Для частицы с аэродинамическим диаметром Б плотность спектральной мощности ее скорости обозначим УУ(о)), пусть Wa(a)) есть плотность спектральной мощности пульсаций скорости ветра.
Если плотность материала частиц р много больше плотности воздуха р , то согласно [92] получим соотношение
- 16 -
и
1 + 2
а
№(о» = 7^(0))
где а = (18 V ра)/(р Б2). Условие безынерционности означает W(w) «
* У?а(а)),то есть а) « а. Положим, что "много меньше" соответствует условию меньше в сто раз. При частоте пульсаций скорости ветра более I Гц плотность спектральной мощности пренебрежимо мала [56,
для диаметра частиц получим Б * 50 мкм. Таким образом, частицы менее указанного диаметра будут практически полностью увлекаться пульсациями скорости ветра.
Наиболее часто для замыкания ПУТД применяют обобщение градиентной гипотезы Буссинеска [35] в виде
ричный тензор второго ранга. Для их определения Прандтлем, Карманом и Тейлором были предложены полуэмпирические теории. Однако, в общем случае значения коэффициентов турбулентной диффузии неизвестны и, более того, их невозможно измерить с помощью прямых методов.
Более строгие подходы к определению С> используют так называемые методы замыкания второго порядка. Суть их заключается в следующем [74, 92]. Из соотношеня ( 1.4 ) с помощью уравнения На-вье-Стокса [74] можно получить уравнение для турбулентного потока примеси. Рассмотрим также дополнительно и уравнение для дисперсии концентрации, которое можно получить домножив обе части уравнения ( 1.4 ) на 2 С и произведя преобразования, аналогичные тем, кото-
59]. Поэтому для круговой частоты примем оценку со « 1,0 с 1. Тогда
А А
а с
<и1 с> = - к
( 1.9 )
где - коэффициенты турбулентной диффузии, образующие
симмет-
- 17 -
рые применялись для вывода ПУТД. Оба эти уравнения будут незамкнутыми. В них войдут неизвестные величины трех типов: диссипативные, зависящие от вязкости и коэффициентов молекулярной диффузии, члены с пульсациями давления в турбулентном потоке, а также ковариации третьего порядка от пульсаций скорости и концентрации.
Первую группу членов аппроксимируют выражениями, сохраняющими их тензорную структуру. Такие выражения имеют множители из коэффициентов уравненений для обеспечения правильной размерности, а также содержат эмпирические константы. Члены с пульсациями давления обычно аппроксимируют выражениями диффузионного типа, в которые, помимо эмпирических констант, входят кинетическая энергия турбулентности Ь и скорость ее диссипации в. Члены с ковариациями с помощью физических соображений также аппроксимируют выражениями диффузионного типа. Конкретные значения эмпирических констант подбираются путем сравнения результатов рассчетов и натурных наблюдений. Следовательно, метод замыкания второго порядка требует решения уравнения относительно турбулентного потока, в которое входит турбулентная энергия и скорость ее диссипации, также требующие определения какими-либо методами. Методы замыкания второго порядка являются довольно громоздкими по сравнению с гипотезой ( 1.9 ).
Коэффициенты турбулентной диффузии можно представить в виде зависимости их от тензора вязких напряжений Рейнольдса [74]
ки = сф 7- <б1 й3> • < 1Л0 >
Гипотеза ( 1.10 ) находит свое подтверждение в экспериментах по изучению распространения пассивной примеси в аэродинамических трубах [108]. При этом получается значение эмпирической константы порядка 0,13. Уравнение для дисперсии концентрации о^, замкнутое с помощью гипотезы ( 1.9 ), имеет следующий вид [74, 92]
- 18 -
а
( 1-П )
а г
а с а с
8,
О
где е0 - описывает диссипацию дисперсии пульсаций концентрации. Если К-£.| в ( 1.7 ) и ( 1.11 ) задать с помощью ( 1.10 ), то при решении задачи распространения численными методами можно применить параметризацию коэффициентов диффузии [85]. Это значительно упрощает задачу и делает ее более удобной для практического использования. Действительно, решению ПУТД должно предшествовать решение так называемой динамической задачи, служащей для определения поля математических ожиданий скорости ветра [85, 86]. Как правило, в рамках такого подхода с помощью соотношения ( 1.10 ) нетрудно найти диагональные компоненты тензора коэффициентов турбулентной диффузии, которые считаются наиболее значимыми при описании турбулентной диффузии [78].
В последнее время уделяется внимание принципиально иным подходам к замыканию ПУТД [39, 40, 83, 90, 101, 102]. Основной гипотезой в этих работах является предположение о нелокальности процесса турбулентного обмена. Полученные результаты пока невозможно применить на практике, да и сама гипотеза о нелокальности турбулентного обмена требует экспериментального подтверждения. Поэтому здесь такие методы замыкания рассматриваться не будут.
Галкиным был предложен метод рекурсивного замыкания [42, 43], приводящий в его первом приближении к выражению вида ( 1.9 ), раскрывающий физический смысл коэффициентов турбулентной диффузии и позволяющий провести их прямые измерения. Обзор этого метода рас-
- 19 -
сматривается ниже.
Коэффициенты турбулентной диффузии также выражаются через Ла-гранжевы характеристики турбулентности [78, 79].
Рассмотрим основные свойства ПУТД. Данное уравнение описывает независимые перемещения частиц примеси [78]. Следовательно, его решения не следует рассматривать при временах распространения порядка или менее соответствующего лагранжева временного масштаба. С учетом того, что эйлеров и лагранжев масштабы имеют приблизительно один порядок величины, это утверждение не противоречит обсуждавшимся выше ограничениям на выбор периода осреднения концентрации. Модель турбулентной диффузии примеси при малых временах распространения также рассматривалась соискателем в [5].
Полуэмпирическое уравнение является уравнением первого порядка по времени. Отсюда следует его параболичность [95], приводящая к тому, что скорость распространения частиц "бесконечна". Иными словами, при срабатывании источника аэрозолей через сколь угодно малое время распространения, на сколь угодно большом удалении от него будут наблюдаться отличные от нуля значения концентрации. Последнее означает, например, невозможность строгого описания поля концентрации на больших расстояниях от источника при малых временах распространения. Некоторые подходы для описания турбулентной диффузии, основанные на применении уравнений гиперболического типа, свободны от указанного недостатка, см. [78, 92], но их практическое применение по различным причинам затруднено, либо вообще невозможно. Соискателем в [6] также рассматривалась данная задача и предложен альтернативный подход к данной проблеме.
Можно показать, что ПУТД пригодно лишь для описания диффузии в однородных средах [42, 43]. Поэтому его использование при изучении рассеяния примеси в реальных условиях распространения требует обобщения или введения поправок. Последнее легко продемонстри-
- 20 -
ровать, сравнивая диффузионный член в уравнении ( 1.7 ) с аналогичным в уравнении Колмогорова, ( 1.8 ) которое учитывает возможную неоднородность среды,
а2 — а ас 5 ки ас
---------- ( С ) = Ки + . ( 1.12 )
д х^ д х^ ** д х^ ^ д х^ д х^ д х^^
здесь принято, что К-ц является симметричной частью тензора Б^, см. [42]. Из приведенного соотношения видно, что диффузионные члены будут совпадать лишь при независимости коэффициентов диффузии от координат. Упоминавшийся выше рекурсивный метод дает поправки для учета неоднородности среды, где происходит распространение.
Решение ПУТД сильно упрощается, если пренебречь недиагональными компонентами тензора коэффициентов турбулентной диффузии. Принято считать, что он имеет диагональный вид в системе координат, в которой ось х совпадает с направлением среднего значения скорости ветра, ось у перпендикулярна ей в горизонтальной плоскости, а ось ъ направлена вертикально вверх. В литературе рассматривается ряд причин, приводящих к повороту главных осей тензора [78]. Такой поворот, например, должен осуществляться при при изменении среднего значения скорости ветра с высотой. Как правило, при решении ПУТД недиагональными компонентами пренебрегают без достаточно строгого обоснования такой процедуры [30, 34, 71]. Ниже мы убедимся, что поворот главных осей тензора коэффициентов турбулентной диффузии обусловлен турбулентным состоянием атмосферы и далеко не так мал, как это предполагалось ранее.
Для решения ПУТД необходимо задать поле математических ожиданий концентрации примеси в начальный момент времени. При постановке граничных условий принимают, что концентрация примеси на бесконечно большом удалении от источника равна нулю. Для задания гра-
- 21 -
ничного условия на подстилающей поверхности пользуются следующими соображениями [34, 78]. В общем случае поток частиц на подстилающую поверхность складывается из турбулентного потока и потока примеси, обусловленного гравитационным осаждением. Если ввести так называемую скорость выпадения частиц У^, иногда эту величину называют скоростью сухого осаждения, то баланс потока на подстилающей поверхности можно представить в виде выражения,
д С — —
к22 77 + с - V
= 0 . ( I.13 )
Если поверхность обладает свойством полного прилипания частиц, то скорость выпадения равна бесконечности. При условии полного отражения частиц скорость выпадения равна нулю. В остальных случаях она принимает некоторое промежуточное значение. Условие ( 1.13 ) можно также обобщить для учета ветрового подъема частиц с поверхности. Граничное условие на подстилающей поверхности обычно используют в следующем виде
ас —
- а С
- О ( I.14 )
£=0
Нахождение коэффициента пропорциональности а является достаточно сложной и нерешенной в общем виде задачей. Для ее решения требуется создание моделей, учитывающих структуру турбулентности вблизи и внутри слоя шероховатости и механизм взаимодействия аэрозольных частиц с элементами шероховатости (ими могут быть трава, другая растительность, неровности почвы, вода и др.). Некоторые соображения о методах решения данной задачи даны в работах [53]. Механизм взаимодействия аэрозольных частиц с растительностью рассматривался соискателем в работах [2, 3, 10], а также, например, в работах
- 22 -
[24, 25, 104, 105, НО, 115, 118, 121].
В случае совместного решения ПУТД и уравнения для дисперсии концентрации также требуется постановка граничного условия для на подстилающей поверхности. Эта задача рассматривалась соискателем в [7], где обоснованы граничные условия для вторых моментов концентрации, соответствующие условию ( 1.14 ).
Аналитическое решение ПУТД возможно лишь для весьма ограниченного числа простейших случаев. Среди них отметим двухмерные решения для постоянных или изменяющихся по степенному закону коэффициентов турбулентной диффузии и скорости ветра, а также трехмерное решение при постоянных коэффициентах уравнения для мгновенного точечного источника [30, 34]. Численные методы позволяют получить решения для всех практически важных случаев. При численном решении ПУТД в настоящее время наиболее эффективен метод расщепления задачи по физическим процессам и пространственным переменным [70, 71].
Приведенные здесь сведения о ПУТД ни в коей мере не претендуют на полноту. Описанные результаты будут использованы ниже при изложении метода статистического описания процесса распространения. Теперь приведем краткий обзор метода рекурсивного замыкания ПУТД, который также будет использован ниже.
- Київ+380960830922