Моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости композитных оболочечных конструкций при имульсных воздействиях

2
СОДЕРЖАНИЕ ;
ВВЕДЕНИЕ........................ ...,......................... 5
!, КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.................................... 12
; 1.1. Математические модели динамики оболочечных конструкций 12
1.2. Методы решения нелинейных задач нестационарного деформирования оболочечных конструкций ..................... 34
1.3. Результаты решения нелинейных задач динамического деформирования, потери устойчивости и оптимизации гладких, подкрепленных и составных пластин и оболочек............... 45
2. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ТРАДИЦИОННЫХ И КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ................................................. 74
2.1. Элементы нелинейной теории упругости ортотропной среды В ортогональной криволинейной системе координат................ 74
■ 2.2. Построение разрешающей системы уравнений однородных изотропных и композитных оболочек на основе модели с разложением в ряд....................................... 78
2.3. Вывод разрешающей системы уравнений изотропных и композитных оболочек переменной толщины в рамках модели
типа Тимошенко... Ж. ......................... ...------ 97
2.4. Разрешающая система уравнений многослойных оболочек на
основе кинематически неоднородной модели. ........... 104
3. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ИЗОТРОПНЫХ и композитных МНОГОСЛОЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ........................... И2
3.1. Основные положения ............................. И2
3.2. Дискретная формулировка разрешающих систем уравнений И 7
3.2.1.Вариационно-разностный метод для модели с разложением
в ряд. .............. ................................. П8
3.2.2.Вариационно-разностный метод в случае кинематически однородной модели................................ . 121
3.2.3.Вариационно-разностный метод для кинематически неоднородной модели ............. .................... 125
3.3. Алгоритм решения. ................................................. 129
4. РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
НА ОСНОВЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 134
4.1 .Формулировка и анализ результатов решения начально краевой задачи центрально-симметричного деформирования сферических
оболочек при импульсном нагружении .................... 134
4.1.1.Анализ точности решения задачи упруго и упругопластического деформирования сферических оболочек при
силовом импульсном нагружении..................... *_____ 141
4.1.2Деформирование упруговязкопластических сферических
оболочек при силовых импульсных воздействиях.. . ........ 151
.'*/ 4.1.3.Деформирование упруго-пластических сферических
оболочек при тепловом ударе. ............................ 163
4.2. Осесимметричное деформирование упругопластических круглых
* *
3
пластин при импульсном нагружении ........................ 175
4.3. Процессы деформации в упругопластических цилиндрических
оболочках при осесимметричном импульсном нагружении....... 185
5. НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ И УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ ................................................................ 191
5.1. Формулировка начально-краевой задачи нелинейного осесимметричного деформирования неоднородных композитных пластин и оболочек вращения при импульсном нагружении и соударении с жесткими телами. Тестовый пример .......... 192
5.2. Численный анализ вязкоупругого деформирования композитных цилиндрических и сферических оболочек при взрывном нагружении и осевом ударе.................................... 204
5.3. Волновые процессы деформации и прочность в многослойных композитных балках, пластинах и оболочках при соударении с жесткими телами и действии локального импульса нормального давления.................................................... 212
5.4. Обоснование применимости кинематически однородных моделей в задачах импульсной динамики многослойных композитных элементов конструкций. ......................—..... 232
5.5. Оптимальное проектирование двухслойных металлопластиковых оболочек вращения при осесимметричных взрывных и ударных нагрузках. ....................... .'...................... 239
6. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ГЛАДКИХ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ СЖИМАЮЩИХ НАГРУЗКАХ.............. 255
6.1. Формулировка начально-краевой задачи динамического деформирования и потери устойчивости гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек из традиционных и композиционных материалов на основе конструктивно-ортотропной теории и модели с дискретным размещением подкрепляющих элементов. Тестовый пример. .............. 256
6.2. Исследования процесса выпучивания изотропных и композитных гладких цилиндрических оболочек при внешнем давлении и (или) осевом сжатии.... ....... .................................. 262
6.3. Анализ динамического выпучивания дискретно-подкрепленных изотропных и композитных цилиндрических оболочек при нагрузках осевого сжатия и внешнего давления.............\ . 267
6.4. Обоснование применимости конструктивно-ортотропной теории в задачах динамики и устойчивости изотропных и композитных подкрепленных цилиндрических оболочек. ................. 274
1. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПРИСОЕДИНЕННЫМИ МАССАМИ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ И СОУДАРЕНИИ С ЖЕСТКИМИ ПРЕГРАДАМИ. ......................................................................... 278
7.1. Постановка задачи. Тестовые примеры. .................. 278
7.2. Анализ динамической потери устойчивости (схлопывания) оболочечной конструкции гидрозатвора при обрыве трубопровода ........................................................ 295
7.3. Расчет динамического выпучивания внутриреакторного оборудования при соударении с блоком труб и устройств. ________ 301
4
7.4. Анализ динамического поведения контейнеров при соударении с
плоской жесткой преградой............ .............. 312
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................. , 336
ЛИТЕРАТУРА............................................ 339
ВВЕДЕНИЕ
Непрерывно возрастающий интерес к разработке проблем нестационарного
деформирования и прочности оболочечных конструкций обусловлен рядом причин.
Во-первых, пластины и оболочки, являясь основными несущими элементами
конструкций авиационной и космической техники, магистральных трубопроводов,
современных энергетических установок, подвергаются в процессе эксплуатации или
при различных аварийных ситуациях действию интенсивных динамических нагрузок,
работают в широком диапазоне температур, контактируют с агрессивными средами,
испытывают облучение и т.д. Во-вторых, в настоящее время, значительно выросли
требования к надежности и безопасности конструкций с одной стороны, а с другой - к
их рациональному проектированию. И, нахонец, третья причина заключается в том,
что в последние годы дня изготовления таких конструкций наряду с традиционными
материалами применяются и композиционные материалы, обладающие заранее
прогнозируемым комплексом свойств, наилучшим образом отвечающих
экстремальным условиям эксплуатации. Широкое использование композиционных
материалов при создании конструкций современной техники потребовало учета не
только физически и геометрически нелинейных эффектов деформирования,
характерных для конструкций из традиционных материалов, но выявило
необходимость учета новых факторов таких как: анизотропия жесткости и прочности;
вязкоупругие свойства; неоднородность упругих и прочностных параметров;
опасность разрушения вдоль поверхностей раздела слоев, определяющих несущую
способность конструкции. Решение этой проблемы невозможно без комплексных
теоретико-экспериментальных исследований, направленных на выяснение
физической картины процессов, протекающих в конструкции и в материале, при
предполагаемых эксплуатационных нагрузках. Важным звеном в таких исследованиях
является разработка математических моделей рассматриваемых явлений,
*
удовлетворяющих требованиям точности и информативности с одной стороны, экономической и практической применимости к инженерным расчетам - с другой. Несмотря на то, что усилиями, главным образом, отечественных авторов в этой области достигнут значительный прогресс, проблема создания надежных методов
6
расчета оболочечных конструкций из традиционных и композиционных материалов продолжает сохранять свою актуальность.
Ведущиеся в этой области исследования можно условно разделить на два направления. К первому относятся работы, в которых авторы предлагают общие математические модели, описывающие нестационарные процессы нелинейной деформации, разрушения и оптимизации конструкций. Второе направление исследований посвящено выбору наиболее эффективного метода решения начальнокраевых задач в рамках известных моделей и анализу полученных результатов.
Целью настоящей работы является:
- построение в рамках неклассической теории оболочек разрешающих систем уравнений, описывающих нелинейное деформирование и потерю устойчивости неоднородных пластинчато-оболочечных конструкций из традиционных и композиционных материалов при импульсных и ударных воздействиях;
- разработка численных методов, алгоритмов и программных средств решения нелинейных задач нестационарного деформирования, устойчивости и оптимального проектирования композитных оболочечных элементов и конструкций при импульсном нагружении;
- исследование нелинейных волновых процессов деформации, устойчивости и минимизации массы однослойных и многослойных, гладких и подкрепленных пластин и оболочек, выполненных из традиционных и композиционных материалов, при силовых и тепловых импульсных воздействиях, а также анализ динамического поведения пространственных оболочечных конструкций с
> присоединенными массами при соударении с плоскими преградами;
- обоснование применимости классических теорий оболочек в задачах импульсной динамики однослойных и многослойных изотропных и композитных пластин и оболочек.
Структурно диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы.
В первой главе дан обзор основных современных направлений исследований нестационарного деформирования и динамической потери устойчивости гладких, подкрепленных и составных пластин и оболочек, выполненных из традиционных и
7
композиционных материалов. Рассмотрены формулировки начально-краевых задач динамики оболочечных конструкций как с позиций неклассической теории оболочек, так и различные варианты построения классической механики оболочки, включая анализ области применимости последних. Проанализированы аналитические и численные методы решения задач нелинейного деформирования и потери устойчивости композитных оболочечных конструкций и приведены некоторые характерные результаты исследований непосредственно примыкающие к теме диссертации, в том числе и задачи оптимизации конструкций при действии импульсных нагрузок.
Во второй главе рассмотрены постановки задач нелинейного деформирования однослойных и многослойных оболочек переменной толщины при импульсном нагружении. Полагается, что многослойная оболочка имеет нерегулярную структуру по толщине и образована жесткой склейкой изотропных и (или) композитных слоев. Вывод разрешающей системы уравнений базируется на принципе возможных перемещений. При этом для сведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной задаче теории оболочек, в случае однослойных оболочек, применяется метод разложения функций перемещений в ряды по толщинной координате, а для многослойных - используются гипотезы типа Тимошенко с учетом обжатия нормали для каждого слоя или всего пакета в целом. Связь между тензорами напряжений и деформаций в изотропных слоях устанавливается на основе дифференциальной теории пластичности с линейным кинематическим упрочнением, а в композитных - на основе закона Гука для ортотропного тела с эффективными упругими характеристиками и соотношений линейной наследственной теории упругости.
В третьей главе изложены методы численного решения начальнокраевых задач нелинейного деформирования элементов конструкций, выполненных из традиционных и композиционных материалов, при силовых и тепловых импульсных воздействиях. За основу взят конечно-разностный метод дискретизации вариационных уравнений движения по пространственным переменным и явная схема интегрирования во времени. Получены оценки временного шага из условия устойчивости одномерной разностной схемы для композитных пластин типа Тимошенко. Приводится укрупненный алгоритм решения нестационарных задач
динамики однослойных и многослойных оболочечных элементов конструкций как на основе корректированной теории оболочек типа Тимошенко, так и неклассической теории оболочек.
В четвертой главе с позиций неклассической и корректированной классической теорий оболочек численно исследуются одномерные и двумерные нестационарные волновые процессы упругопластического деформирования пластин и оболочек вращения при силовых и тепловых импульсных воздействиях^ и оценивается погрешность применения классической теории оболочек.
В пятой главе рассматривается постановка и приводятся результаты решения задач динамического деформирования, прочности и оптимального проектирования однослойных и многослойных композитных оболочек вращения при импульсном осесимметричном нагружении и соударении с жесткими телами. Приведены результаты сопоставления численных расчетов с экспериментальными данными по взрывному деформированию однослойных и двухслойных металлопластиковых цилиндрических оболочек. Исследуется динамическое поведение вязкоупругой цилиндрической оболочки и армированной сферической оболочки, полученной многозонной намоткой, при действии импульса внутреннего давления. Для многослойных цилиндрических оболочек и пластин с резко отличающимися физикомеханическими характеристиками слоев, нагруженных локальными импульсными и ударными нагрузками, проведен сравнительный анализ решений, полученных на основе кинематически неоднородной модели и в рамках единой гипотезы по толщине пакета с осредненными жесткостными характеристиками, и определены границы применимости последней. Исследован процесс начального разрушения многослойных композитных балок при соударении со сферическим ударником. Решены задачи минимизации массы двухслойных и однослойных металлических и композитных цилиндрических и сферических оболочек, нагруженных импульсом внутреннего давления, и цилиндрических оболочек при ударе грузом конечной массы.
В шестой главе рассматривается постановка и результаты численного исследования нестационарного деформирования и потери устойчивости гладких и дискретно-подкрепленных цилиндрических оболочек, выполненных из традиционных и композиционных материалов, при импульсных нагрузках осевого сжатия и (или)
внешнего давления. Полагается, что линии подкреплений совпадают с координатными направлениями цилиндрической оболочки. Разрешающая система уравнений формулируется на базе конструктивно-ортотропной теории и модели с дискретным размещением подкрепляющих элементов, причем для описания динамического поведения как обшивки, так и подкрепляющих элементов привлекаются уравнения геометрически нелинейной теории оболочек типа Тимошенко. Анализируются формы потери устойчивости и критические нагрузки упругого и упругопластического стрингерного цилиндрического отсека со свободными торцами, нагруженного импульсом внешнего давления, в зависимости от толщины обшивки и скорости роста давления. Исследован механизм потери устойчивости гладкой оболочки при комбинированном нагружении осевым сжатием и внешним давлением. Проанализированы формы потери устойчивости и критические нагрузки гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек из композиционных материалов в зависимости от физико-механических и геометрических параметров обшивки и числа подкрепляющих шпангоутов или стрингеров. Сопоставлены формы потери устойчивости и критические нагрузки подкрепленной цилиндрической оболочки с жесткими дисками на торцах, нагруженной внешним давлением или осевым сжатием, рассчитанные по модели с дискретным размещением подкрепляющих элементов и конструктивно-ортотропной теории> и очерчены рамки применимости последней.
В седьмой главе рассматриваются задачи нелинейного деформирования, потери устойчивости и закритического поведения композитных пространственных оболочечных конструкций с присоединенными массами при импульсном нагружении и соударении с плоскими преградами. Полагается, что конструкция образована жесткой стыковкой пластин и оболочек вращения по линиям, совпадающим с координатными направлениями стыкуемых элементов. Отдельные элементы конструкции могут быть выполнены как из композиционных, так и традиционных изотропных материалов. Кинематическая модель деформирования элементов конструкций базируется на гипотезах типа Тимошенко. Данный подход ориентирован на расчет нестационарных процессов деформации композитных конструкций при малых деформациях, но больших перемещениях и углах поворота и реализуется в
1°
рамках упрощенного варианта геометрически нелинейной теории оболочек. Физические соотношения в композитных элементах конструкций устанавливаются на основе теории эффективных модулей для всего пакета в целом, а в металлических - в рамках теории пластического течения. Вывод уравнений движения композитной оболочечной конструкции осуществляется на базе принципа возможных перемещений с дополнительными условиями, обеспечивающими совместную работу элементов конструкции. Приводятся результаты анализа нелинейного поведения и потери устойчивости ряда конструкций, иллюстрирующие основные возможности рассматриваемой методики.
В заключении сформированы основные результаты и выводы.
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:
- комплексный подход к построению математических моделей динамики однослойных и многослойных оболочечных элементов и конструкций переменной толщины из традиционных и композиционных материалов, позволяющий учесть физически и (или) геометрически нелинейные эффекты деформирования, анизотропию жесткости и прочности, вязкоупругие свойства, неоднородность упругих и прочностных параметров;
-развитие вариационно-разностного метода решения нелинейных задач нестационарного деформирования и потери устойчивости гладких и подкрепленных, однослойных и многослойных композитных пластинчато-оболочечных элементов и пространственных конструкций с присоединенными массами;
- методика численного решения задач минимизации массы однородных й неоднородных оболочек вращения при импульсном нагружении;
- решение новых задач нелинейного деформирования, устойчивости и оптимального проектирования однослойных и многослойных пластин и оболочек из традиционных и композиционных материалов при импульсных и ударных воздействиях;
- анализ границ применимости классических теорий оболочек в задачах нелинейной динамики однослойных и многослойных пластин и оболочек.
11
Диссертационная работа выполнена в НИИ механики Нижегородского университета им.Н.И.Лобачевского в соответствии с планом научно-исследовательской работы института.
Считаю своим долгом выразить благодарность научному консультанту заслуженному деятелю науки РФ, академику РАИН, доктору физико-математических наук, профессору В.Г.Баженову за многолетнее плодотворное сотрудничество, которое во многом сформировало мое научное мировоззрение и тему диссертационной работы.
12
1. КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.
Ниже дан обзор основных современных направлений исследований нестационарного деформирования и динамической потери устойчивости гладких, подкрепленных и составных пластин и оболочек, выполненных из традиционных и композиционных материалов. Рассмотрены формулировки начально-краевых задач динамики оболочечных конструкций как с позиций неклассической теории оболочек, так и различные варианты построения классической механики оболочки, включая анализ области применимости последних. Проанализированы аналитические и численные методы решения задач нелинейного деформирования и потери устойчивости композитных оболочечных конструкций, и приведены некоторые характерные результаты исследований непосредственно примыкающие к теме диссертации, в том числе и задачи оптимизации конструкций при действии импульсных нагрузок.
1.1. Математические модели динамики оболочечных конструкций.
В последние годы в области динамической теории оболочек центр тяжести исследований перемещается с вопросов определения частот и форм собственных колебаний и теории стационарных динамических процессов на исследования переходных волновых процессов деформации и задачи нестационарного динамического деформирования композитных пластин и оболочек. Изучение таких процессов, возникающих в элементах конструкций под действием быстро изменяющихся тепловых и силовых воздействий, требует совершенствования и уточнения приближенных моделей динамики оболочек с целью расширения области их применимости.
Большой вклад в становление и развитие теории оболочек внесли работы Н. А. Алумяэ, С. А. Амбарцумяна, В. В. Болотина, В.В. Васильева, В. 3. Власова, А. С.
I
Вольмира, И. И. Воровича, К. 3. Галимова, А. Л. Гольденвейзера, В. М. Даревского,
A. Ю. Ишлннского, Н. А.Кильчевского, А. И. Лурье, X. М. Мупггари, У. К. Нигула, В.
B. Новожилова, И.Ф.Образцова, О. Д. Ониашвили, П. М. Огибалова, Г. И. Петраше-ня, Г. Н. Савина, С. П. Тимошенко, И. Я. Штаермана, а также - Е. Грина, Т.Кармана,
В. Койтера, Р. Миндлина, П. Нагди, Е. Рейса, Е. Рейсснера и других.
13
Основным вопросом теории оболочек является создание метода, позволяющего приближенно привести трехмерную динамическую задачу теории упругости к некоторой двумерной задаче, после решения которой можно приближенно восстановить трехмерные поля смещений, деформаций и напряжений в оболочке.
В зависимости от решения основного вопроса теории оболочек, можно выделить два направления в теории оболочек: прикладные теории, основанные на аппроксимации перемещений и (или) напряжений; неклассические теории оболочек в основе которых лежат асимптотические методы и различные варианты метода рядов.
Прикладные теории оболочек базируются на некоторых априорных предположениях относительно характера напряженного и деформированного состояния оболочки, позволяющих получить двумерную краевую задачу, эквивалентную в некотором смысле трехмерной. Примерами таких теорий являются: безмоментная теория, теория Кирхгофа-Лява, теория Флюгге, теория типа Тимошенко, теория Рейсснера-Нагди, теории С.А.Амбарцумяна, теория В.В.Васильева.
Наибольшее распространение получили теории Кирхгофа-Лява, Тимошенко и Рейсснера. В недавно прошедшей дискуссии по классической теории пластин Кирх-гофа-Лява,которой посвящены работы В.В.Васильева [1-4], Н.А.Алфутова [5], АЛ.Гольденвейзера [6], П.А.Жилина [7], В.М.Даревского [8] отмечается, что классическая теория пластин, описываемая уравнением четвертого порядка, является несостоятельной как физическая теория потому, что справедлива только для случая изгиба пластины. Современная классическая теория пластин строится в предположении, что и углы поворота элемента пластины рассматриваются как независимые кинематические переменные. В результате теория сводится к системе двух уравнений шестого порядка, согласующейся с числом граничных условий. Основное отличие теории Кирхгофа-Рейсснера от классической теории пластин заключается в приближенном учете трансверсальной деформации сдвига, которая игнорируется в классической теории Кирхгофа-Лява. В задачах нестационарной динамики применение уравнений Кирхгофа-Лява затрудняется тем, что они являются параболическими, вследствие чего их решение не имеет волнового характера и, следовательно, не описывает полностью переходных волновых процессов, возникающих при изгибных деформациях оболочек. В связи с этим выполнены многочисленные исследования с целью уточнения уравнений классической теории оболочек Кирхгофа-Лява.
V V. Й' ' •;5: V V’ ЙЙйй•'Й■> ;Й %•
14
С. П. Тимошенко [9] получил дифференциальное уравнение гиперболического типа, описывающее поперечные колебания стержня с учетом влияния инерции вращения и поперечной деформации сдвига. Впервые уравнения типа Тимошенко для пластин выведены Я. С. Уфляцдом [10] и позднее Р. Миндлиным [11], М. В. Дубинки-ным [12].
Уравнения динамической теории для произвольных оболочек с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига в криволинейной ортогональной системе координат выведены П. Нагди [13], а для цилиндрических и сферических оболочек - в работах Т. Лина - Г. Моргана [14], Г. Германа - И. Мирского [15] и А. Калнинса [16].
В дальнейшем большой вклад в развитие корректированной классической теории внесли работы Н. А. Алумяэ [17], А. Л. Айнолы [18-20], М. П. Галина [21, 22], У. К. Нигула [23], Г. Я Петрашеня [24,25], Н. 3. Якушева [26].
В статье Л.А.Шаповалова [27] рассматривается вариант уравнений нелинейной динамики непологих оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия при максимально возможных упрощениях физической модели с тем, чтобы уравнения были обозримы и ими можно было бы пользоваться при проведении инженерных расчетов.
В работе Э.Я.Еленицкого, Ю.Э.Сеницкого [28] показана физическая непротиворечивость расчетной модели, основанной на кинематических гипотезах Тимошенко. Получено замкнутое решение нестационарной задачи динамики для пологой сферической оболочки с упруго защемленным контуром.
При построении прикладных теорий многослойных композитных оболочек использовались различные комбинации кинематических и статических гипотез, что привело к созданию множества расчетных схем и уравнений. Следуя классификации [29], многочисленные работы, использующие метод гипотез для построения уточненных теорий многослойных оболочек, можно разделить на две группы.
В работах первой группы при построении теории используются гипотезы для всего пакета слоев в целом. Как правило, используются гипотезы о характере распределения поперечных компонентов напряжений или деформаций. Порядок получаемых при этом уравнений не зависит от числа слоев.
Впервые подобные построения для упругих анизотропных оболочек были осуществлены С.А.Амбарцумяном [31] Из работ, посвященных развитию этого подхода, следует отметить [32-40].
• И
В работах А.Ф.Рябова [38] и А.О. Рассказова [37] в качестве основных гипотез при построении теории многослойных оболочек принимаются единые для всего пакета распределения поперечных касательных напряжений и деформаций поперечного обжатия. Принятые допущения позволяют удовлетворить условиям межслоевого контакта и условиям на нижней и верхней поверхностях оболочки для касательных и нормальных напряжений.
В работах [32-36], [39,40] поперечное обжатие в слоях не учитывалось, и теории строились на основе допущений о распределении напряжений или деформаций поперечного сдвига по толщине пакета.
В работах В.Г.Пискунова и др. [41,42] сформулирована проблема построения уточненной теории многослойных оболочек и пластин на основе гипотез, учитывающих влияние сил инерции. Гипотезы получены путем интегрирования уравнений движения трехмерной среды при заданных тангенциальных компонентах тензора напряжений классической теории многослойных оболочек.
К работам этой группы примыкают подходы, которые используют замену неоднородного слоистого материала оболочки некоторой квазиоднородной средой, обладающей усложненными свойствами. В простейшей форме такая замена может быть осуществлена на уровне физических соотношений [43,44]. Получаемые при этом, так называемые эффективные физические соотношения устанавливают связь между ос-редненными по некоторому характерному объему значениями компонентов напряжений и деформаций. В.В.Болотиным в работе [45] был предложен "принцип размазывания", сущность которого заключается в том, что дискретная система большого числа кинематических параметров, описывающих состояние каждого слоя, заменяется непрерывными функциями поперечной координаты. Эта замена производится или в определяющих дифференциальных уравнениях, или при составлении минимизирующего функционала. В результате задача сводится к уравнениям для некоторой однородной оболочки, энергетически эквивалентной исходной слоистой оболочке. Этот подход затем использовался для построения теорий слоистых пластин [45] и оболочек [46] с регулярным строением пакета.
В статьях В.В.Васильева [47,48] рассматриваются вопросы, связанные с построением прикладной теории оболочек, учитывающей в рамках единого подхода основные структурные особенности современных тонкостенных конструкций и мате-
16
риалов. Обоснована операция осреднения трансверсальных касательных напряжений и деформаций сдвига по толщине, позволяющая получить двумерные уравнения, описывающие основное напряженное состояние гладких, трехслойных, многослойных и подкрепленных оболочек. Сформулирована геометрически нелинейная прикладная теория, предназначенная для расчета жестких оболочек, не допускающих больших перемещений, и учитывающая изменение радиусов кривизны в процессе деформации. Обсуждается нелинейная безмоментная теория свободная от ограничений свойственных классической безмомектной теории оболочек.
В.В.Пикуль [35], задавая закон распределения деформаций поперечного сдвига по толщине, строит вариант технической теории пластин и оболочек в задачах статики, устойчивости и динамики. Уравнением сдвига является условие минимума невязки двух последующих приближений, причем второе приближение строится с учетом закона распределения сдвига по толщине, найденного из первого приближения.
Проблема построения физически корректной теории оболочек рассматривается в работе В. В. Пику ля [49]. Обсуждаются уравнения теории упругости с позиций их приведения к двумерным уравнениям. Обосновывается общая стратегия и дается схема построения физически корректной теории оболочек. Рассматриваются возможные пути дальнейшего уточнения теории. Приводятся результаты сопоставления с методом построения теории оболочек путем непосредственного применения вариационных принципов. Обсуждаются вопросы практической реализации теории оболочек.
В работе В.В.Пикуля [50] осуществлен вывод уравнений состояния упругих оболочек на базе законов термодинамики. Приводятся простейшие модели материала оболочечного тела, учитывающие поперечные деформации, и находится верхняя оценка точности математической модели упругих оболочек и теории оболочек в целом.
В работах второй группы при построении теории многослойных оболочек кинематические гипотезы используются для каждого отдельного слоя. Порядок получаемой при этом системы определяющих уравнений зависит от числа слоев оболочки.
Проще всего учесть поперечные сдвиговые деформации в слое, используя кинематическую гипотезу прямых линяй (ГПЛ), которая формулируется следующим образом: прямолинейный элемент слоя, перпендикулярный к его недеформированной срединной поверхности, в процессе деформации оболочки поворачивается не искрив-
17
ляясь и не деформируясь в поперечном направлении, но и не оставаясь перпендикулярным к деформированной срединной поверхности слоя. Эта гипотеза, очевидно, равносильна допущению о линейном распределении касательных и постоянстве нормальных перемещений по толщине слоя. По-видимому, первая попытка использования гипотезы прямой линии принадлежит Ван дёр Нёйту [51]. Впервые в отечественной литературе ГПЛ была принята для заполнителя трехслойной оболочки в работе Э. И. Григолюка [52]. Там же показано, что ГПЛ эквивалентна предположению о постоянстве деформации поперечного сдвига по толщине.
В работах [53,54] сдвиговые модели многослойных оболочек строятся на основе ГПЛ для всего пакета слоев. Полученные при этом уравнения по форме почти не отличаются от уравнений для однородной оболочки.
Естественным обобщением ГПЛ является так называемая гипотеза ломаной (ГЛ), по которой перемещения слоев оболочки задаются в виде пересекающихся под углом прямых. Гипотеза ломаной для касательных перемещений при постоянстве нормальных перемещений по толщине пакета была впервые использована для построения теории многослойных оболочек Э. И. Григолюком и П. П. Чулковым [55,56], а позднее и другими авторами [57,58]. Порядок полученных в этих работах уравнений равен 2Ы+ 3 (Ы + 2 - в случае осевой симметрии), где N - число слоев оболочки. При использовании ГЛ не налагается никаких ограничений на характер расположения мягких и жестких слоев по толщине, легко может быть учтена геометрическая нелинейность, не представляет труда распространить ГЛ на нормальные перемещения. Гипотеза ломаной как для касательных, так и для нормальных перемещений слоев использовалась в работе Л. Либреску [59] для построения линейной теории, а в работах В. Г. Баженова [60], В. Н. Паймушина [61], И. А. Буякова [62]~для построения геометрически нелинейных теорий многослойных оболочек. Полученные при этом уравнения позволяют учесть поперечный сдвиг, постоянное по толщине отдельного слоя обжатие и имеют порядок 4# + 4 по пространственным координатам (2#+ 2^ для осесимметричной задачи).
При построении уточненных сдвиговых моделей многослойных оболочек наряду с вышеописанными ГПЛ и ГЛ находят применение и комбинированные кинематические гипотезы. Так при расчете оболочек с легким заполнителем и тонкими несущими слоями обычно для заполнителя принимается ГПЛ [52,63] или линейный за-
18
кон изменения прогибов по толщине [64], а несущие слои могут рассматриваться в рамках ГПЛ [64], классической [52,63] или даже безмоментной теории [65]. В. В. Болотиным в работах [66, 67] была предложена основанная на комбинированных кинематических гипотезах теория многослойных плит, состоящих из чередующихся жестких и мягких слоев. Дальнейшее развитие и обобщение на многослойные оболочки этот подход получил в работах В.Н. Москаленко и Ю.Н. Новичкова [68-70]. Теория строится при достаточно общих предположениях о характере работы каждого слоя: для жестких слоев можно принять ГПЛ, гипотезы Кирхгофа-Лява или же гипотезу о безмоментном напряженном состоянии; для мягких слоев используется ГПЛ или предположение о линейном изменении как касательных, так и нормальных перемещений по толщине. Порядок разрешающей системы уравнений при использовании для жестких слоев ГПЛ равен 5£( Б - число жестких слоев).
Использование ГЛ или ГПЛ при построении моделей многослойных оболочек дает грубую аппроксимацию распределения поперечных напряжений по толщине пакета, приводит к нарушению статических, условий межслоевого контакта. Попытки устранить эти недостатки кинематических гипотез были предприняты в ряде работ. Так в работах [54, 71] одновременно с ГПЛ принимается независимая непрерывная по толщине аппроксимация для напряжений поперечного сдвига. Соответствие между ГПЛ и принятым законом распределения сдвиговых напряжений устанавливается в интегральном смысле заданием специальных коэффициентов сдвига. В работах [54, 71] обсуждается вопрос определения коэффициентов сдвига для многослойного пакета. В работе [72] принимаются ГЛ для касательных перемещений и условия непрерывности напряжений поперечного сдвига на границах слоев, причем последние используются для исключения N - 1 кинематических неизвестных. Полученная в [72] система уравнений имеет такой же порядок, как и при использовании ГПЛ для всего пакета, однако дает более близкие к трехмерной теории результаты. В работе [73] разрывность напряжений поперечного сдвига по толщине пакета устраняется за счет введения контактных касательных напряжений на поверхностях слоев в число основ-ных независимых переменных задачи.
Сравнивая эти два подхода метода гипотез, следует отметить, что хотя первый подход н предпочтительнее с точки зрения простоты разрешающих уравнений, но он не позволяет в отличие от второго описывать локальные эффекты в отдельном слое
19
оболочки, например, при местной потере устойчивости или при динамическом деформировании оболочки под действием локального импульса нагрузки. Кроме того учет физической нелинейности материала или расслоения оболочки при использовании единых гипотез для всего пакета наталкивается на принципиальные трудности, связанные с необходимостью перестройки расчетной схемы деформирования слоев.
Прикладные теории оболочек применяются для построения разрешающих систем уравнений динамики не только гладких, но и подкрепленных пластин и оболочек. Наиболее актуальными здесь являются задачи о динамическом поведении ребристых оболочек при импульсном нагружении.
При изучении динамики ребристых оболочек применяется два подхода, отличающихся способом учета подкрепляющих оболочку ребер. Первый из них основан на замене рассматриваемой ребристой оболочки эквивалентной ей в известном смысле гладкой оболочкой (конструктивно ортотропная модель). Второй подход основан на учете дискретного размещения ребер, что в ряде случаев позволяет обнаружить те специфические особенности поведения ребристых оболочек при динамическом нагружении, которые нельзя изучить с помощью первого подхода.
Подавляющее большинство работ, посвященных изучению динамики ребристых оболочек , выполнено с использованием расчетной схемы, основанной на прикладной теории оболочек Кирхгофа-Дява и теории стержней Кирхгофа-Клебша. В некоторых работах использована теория оболочек типа Тимошенко и лишь в работе [74]
- уравнения пространственной задачи Теории упругости. К сожалению, области применимости результатов, полученных на основе прикладных теорий, в большинстве случаев не оговариваются, и вопрос о достоверности результатов, полученных с помощью этих теорий, в особенности при решении нестационарных задач, остается открытым.
Постановки задач динамики ребристых оболочек при использовании в качестве расчетной схемы теории конструктивно ортотропных оболочек, в принципе, могут отличаться лишь способом вычисления жесткостных параметров эквивалентной гладкой оболочки. Как правило, используется способ приведения, при реализации которого, жесткости ребер равномерно распределяются по соответствующему направлению оболочки. Такой прием эффективен лишь в том случае, когда ребра каждого
20
направления размещены на равных взаимных расстояниях и имеют одинаковые жест-костные характеристики.
При выводе уравнений движения ребристых оболочек с учетом дискретного размещения ребер, как правило, предполагается, что контакт оболочки и ребер осуществляется вдоль линии, хотя ребро имеет конечную ширину, учет которой может повлиять на характер изменения усилий в обшивке вблизи ребер; с другой стороны, учет ширины ребра может привести к существенному уточнению постановки задачи лишь в случае, если будет получено решение соответствующей контактной задачи теории упругости.
В наиболее общем виде уравнения движения ребристых цилиндрических оболочек построены в [75,76]. Уравнения движения ребристых оболочек других очертаний получены, как правило, в предположении, что ребра деформируются только в радиальной плоскости, не учитывается влияние несимметричного размещения ребер относительно срединной поверхности обшивки на величины сил инерции [75,77]. В ряде работ пренебрегают также касательными составляющими сил инерции обшивки [78-81]. Следует отметить, что практически отсутствуют работы, в которых анализировалась бы область применимости указанных упрощающих предположений.
Решение конкретных задач динамики ребристых оболочек может бьпъ осуществлено и без использования уравнений движения на основе энергетического метода [75,82-87]. Для вывода расчетных зависимостей в этом случае используются вариационные уравнения, вытекающие из принципа Остроградского-Гамильтона.
Известны работы, в которых для решения задач динамики ребристых оболочек используются также интегральные уравнения. Эти уравнения получены либо с использованием динамической функции Грина для неподкрепленной оболочки [88-91], либо в результате подстановки соответствующих решений задач для гладкой оболочки и ребер в условия их сопряжения [92,93]. В последних работах при описании деформирования обшивки применяется теория оболочек типа Тимошенко.
Задача устойчивости ребристых оболочек при динамическом нагружении, как правило, решается в геометрически нелинейной постановке на основе теории конструктивно ортотропных оболочек [94-98]. Дискретное размещение ребер учтено в работе [99]. В линейной постановке с учетом дискретного размещения ребер такая задача рассмотрена в [75].
21
Естественно, возникает вопрос о пределах применимости прикладных теорий пластин и оболочек.
В работах В.В. Новожилова, P.M. Финкельштейна [100] и Х.М. Муштари [101] произведена оценка погрешности, вносимой в уравнения теории оболочек гипотезами Кирхгофа-Лява, при решении задач статики. Было показано, что эта погрешность имеет порядок h/ R и, следовательно, классическая теория оболочек позволяет с достаточной точностью изучать равновесие только достаточно тонких оболочек.
В задачах динамики понятие области применимости уравнений, описывающих
ту или иную модель теории оболочек, неоднозначно. Оно связано с физическим смыслом величин, получаемых из уравнений и являющихся объектом сравнения. В работах У. К. Нигула [102-104] область применимости устанавливается путем непосредственного сравнения решений на стадии переходного процесса, полученных на основе классических теорий и трехмерной динамической теории упругости. В рамках этого подхода определены области применимости классических теорий Кирхгофа-Лява и теории типа Тимошенко для некоторых частных задач. Показано, что теория типа Тимошено имеет более широкую область применимости, чем теория Кирхгофа-Лява. Установлено существование областей неприводимости, где справедливы лишь уравнения трехмерной динамической теории упругости. Эти области примыкают к фронту распространяющейся волны, к контурной поверхности оболочки и к точкам сосредоточенных силовых воздействий. Наибольший поперечник областей неприводимости имеет относительный порядок малости, равный порядку малости толщины оболочек. В работе Е.М. Щипициной [105] методом интегральных преобразований решается динамическая задача теории упругости для толстостенной сферы. Найденные перемещения и деформации сравниваются с соответствующими решениями, полученными по классической теории оболочек. Сравнительный анализ позволил определить диапазон геометрических параметров и длительности импульса нагружения, при которых расчет по классической теории следует считать достоверным.
Э.В. Росс (мл.) в работе [106] на основе асимптотического исследования осесимметричных колебаний оболочек вращения, получил оценку, определяющую область применимости классической теории оболочек, в виде условия
22
где О - частота; 2Ь - толщина; Е >у%р - модуль упругости* коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки.
Э.В. Россом показано также* что в области высоких частот хорошо работает безмоментная теория* а теория с изгибными напряжениями становится неприменимой.
Весьма важны работы* сочетающие приведение трехмерных динамических уравнений теории упругости к двумерным и одномерным задачам теории оболочек с анализом области применимости приближенных теорий.
В работе В.В. Новожилова, Л.И. Слепяна [107] двумерная ( по пространственным координатам ) задача плоской деформации бесконечной пластины приводится к приближенной одномерной. Для симметричных и антисимметричных колебаний слоя получены две бесконечные системы дифференциальных уравнений* усечением которых можно получать приближения различной степени точности. Методом интегральных преобразований исследован переходный процесс в бесконечной пластине на основе уравнений теории упругости и приближенных уравнений. Сопоставление решений позволило сделать вывод о том, что длинноволновой переходный процесс может быть описан в рамках параболических аппроксимаций ( типа уравнения Бернули-Эйлера ), а для описания коротковолновых переходных процессов необходимы уже гиперболические аппроксимации ( типа уравнения Тимошенко ).
Г.И. Петрашень в работах [24*25] положил в основу составления уравнений двумерных задач динамики плит и определения области их применимости точные решения уравнений динамической теории упругости для задачи о движениях бесконечно протяженного упругого слоя постоянной толщины. Методом разложения искомых функций в ряды по вырожденной координате построены приближенные уравнения движения и произведена оценка отбрасываемых в усеченных уравнениях членов. В результате был получен ряд выводов, из которых укажем следующие. Уравнения, составленные по способу разложения в ряд, имеют определенную область применимости. Эта область ограничивает отрезок спектра частот, определяемых с точностью 6-10%, ограничивает площадь области приложения нагрузки условием, что эта площадь не должна иметь порядок меньший, чем квадрат толщины оболочки, и налагает условия на быстроту изменения нагрузки. Область применимости приближенных теорий, согласно Г.И. Петрашеня, определяется неравенствами:
23
\/itnb\<2; \к/2\<1,
где к - волновое число, т - частота, Ъ~х - скорость распространения волн сдвига, 2h - толщина слоя. Первое условие ограничивает длину волн, второе - отрезок спектра частот.
В работах ВТ. Ключниковой [110, И1] вопрос о применимости приближенных неклассических уравнений рассматривается с точки зрения точности определения основной частоты.
Вопрос о применимости приближенных теорий во всех вышеперечисленных работах исследован на основе линейной теории упругости.
В работе С.А.Капустина, H.М.Богословской [247] исследована погрешность соотношений теории тонких оболочек для круговых цилиндров при действии локальных нагрузок.
В работах H.A. Абросимова, В.Г. Баженова [112,113] определяется область применимости теории типа Тимошенко при решении нелинейных задач динамического деформирования пластин и оболочек.
Согласно исследованиям У.К.Нигула и Г.И. Петрашеня решение задач нестационарной динамики пластин и оболочек с помощью классической теории может привести не только к количественным, но и к качественным ошибкам описания процесса деформирования, особенно в задачах, где введены локальные динамические воздействия. В связи с невозможностью описания в рамках классических прикладных теорий нестационарных изгибных волновых процессов, а также волновых процессов по толщине, возникла необходимость в развитии неклассической теории оболочек.
Неклассические теории оболочек основаны на различных способах упрощения непосредственно трехмерных динамических уравнений теории упругости. К неклассическим теориям по классификации Н. А. Кильчевского относятся теории, полученные на основе решения проблемы приведения асимптотическим методом и различными вариантами метода рядов.
Асимптотический метод основан на относительной малости толщины оболочки, что, естественно, приводит к определению искомых функций в форме разложения по степеням малого параметра, зависящего от толщины оболочки. Сначала асимптотический метод развивался для задач статики. Впервые этот метод применен И .Я. Штаерманом [114] и позднее К. Фридрихсом и Р. Дресслером [115]. В дальнейшем
24
асимптотический метод был развит в работах А.Л. Гольденвейзера [116-118] и И.И.Воровича [230]. А.Л. Гольденвейзером было введено понятие о показателях изменяемости напряженного состояния. С их помощью осуществляется сжатие-растяжение координатной сетки в зависимости от напряженного состояния. Проблема приведения решается путем преобразования уравнений теории упругости к новой координатной сетке с последующим отбрасыванием членов с достаточно малыми коэффициентами. В первых приближениях получаются простейшие двумерные теории оболочек. В работе [117] А.Л. Гольденвейзером предложен общий метод асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости для построения приближенной теории оболочек произвольного вида.
В работе А.Л.Гольденвейзера [119] рассматриваются трехмерные динамические уравнения теории упругости. Обсуждаются свойства их интегралов в случае, когда тело тонкое и его лицевые поверхности не закреплены. Устанавливается связь таких интегралов с интегралами двумерных внутренних уравнений теории оболочек и уравнений погранслоя. Предлагается связанная с этим трактовка принципа Сен-Венана для тонких упругих тел, а также уточненный и обобщенный метод постановки граничных условий в теории оболочек.
В работе А.Л.Гольденвейзера [120] рассматривается асимптотическое интегрирование трехмерных линейных уравнений теории упругости для изотропных тел типа оболочек, покрытий и прокладок, и обсуждаются вытекающие из этого приближенные методы построения напряженно-деформированного состояния таких тел.
Асимптотический метод применительно к задачам динамики развит в работах Л.Ю. Коссовича [121] и Ю.Д. Каплунова [122]. В работах [122-124] производится асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для тонких оболочек и обсуждаются особенности асимптотических свойств напряженно-деформированного состояния в задачах динамики.
В работах В.Л. Бердичевского [125,126] рассматривается вариационно-асимптотический метод построения моделей оболочек, который сочетает вариационный подход к проблеме построения моделей сплошных сред Л. И. Седова [127] с асимптотическим анализом энергии.
В работах Б.Е. Победри [128], Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко [129], А.Л. Ка-ламкарова, Б.А. Кудрявцева, В.З. Партона [130] рассматривается асимптотический
25
подход построения математических моделей композитных сред и оболочек, основании** на методе осреднения дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами, предложенном Н.С. Бахваловым [131,132]
Недостатком асимптотического метода приведения является то, «по для успешного применения метода весьма желательна предварительная информация об основных свойствах определяемого напряженного состояния, а также некоторые трудности представляет собой определение краевых условий, которым должны удовле-
' *
творять дифференциальные уравнения, интегрируемые на определенном этапе приближения.
Метод рядов основан на разложении искомых функций в ряды по некоторым заданным функциям толщинной координаты при дальнейшем использовании соотношений упругости и трехмерных уравнений равновесия (движения) теории упругости или вариационных принципов для установления дифференциальных зависимостей между коэффициентами этих разложений. Удерживая необходимое число членов разложения, можно строить теории оболочек высокого порядка точности. Заметную роль при численной реализации этих теорий имеет рациональный выбор системы функций по которым ведется разложение.
В монографии H.A. Кнльчевского [136] собраны и обобщены важнейшие результаты автора по проблеме построения неклассических теорий статики и динамики оболочек [137-139]. Кроме основного способа приведения, заключающегося в разложении искомых величин в тензорные ряды по степеням толщинной координаты, в монографии указаны также другие варианты, основанные на возможности разложения искомых величин в ряды Фурье, а также разобран важный способ приведения посредством использования общего уравнения динамики.
В динамике метод степенных рядов применялся П. Эпстейном [140] при по-строении уравнений плиты й (фуговой цилиндрической оболочки. Дальнейшее развитие этот метод получил в исследованиях Е. Кеннарда [141] и в работах У.К. Нигула [142,143], И.Т. Селезова [144,145].
Метод разложения искомых величин в ряды по полиномам Лежандра для построения двумерных теорий статики оболочек предложен И.Н. Векуа [146-148].
26
В динамике метод разложения по полиномам Лежандра развит в работе В В. Новожилова, Л.И. Слепяна [107], а также использовался в работе Е.А. Гоцуляка, В.И. Гуляева, В.К. Чибирякова [149] для вывода дифференциальных уравнений термоупругого состояния оболочек, работе И.Ю. Хома [150] для получения системы уравнений движения толстых анизотропных оболочек переменной толщины и работах Н.А. Абросимова, В.Г. Баженова [113] для построения разрешающей системы уравнений и анализа нестационарных нелинейных процессов деформации пластин и оболочек.
В работе В. Е. Чепиги [151] нелинейная теория толстых многослойных оболочек построена на основе аппроксимации функций перемещений в каждом из слоев рядами по полиномам Лежандра от безразмерной поперечной координаты. На основе этих разложений и условий кинематической совместности на границах слоев строится непрерывная функция, аппроксимирующая перемещения по толщине всего пакета. Недостатком, затрудняющим численную реализацию теории, является плохая обусловленность полученной системы уравнений.
В работе Д. В. Вайнберга. А. С. Сахарова. А. И. Гуляра [152] при построении теории слоистых оболочек в качестве разрешающих принимаются перемещения граничных и внутренних координатных поверхностей каждого слоя, а для аппроксимации функций перемещения слоев используются интерполяционные полиномы Лагранжа. Применение полиномов Лагранжа, сохраняющих геометрический смысл перемещений на граничных поверхностях, позволяет легко исключить условия кинематической совместности слоев, значительно сократить объем вычислений. Однако полиномы Лагранжа не удовлетворяют условиям ортонормированности и при высоких степенях полиномов точность решений может существенно зависеть от процесса накопления ошибок. Проблеме рационального выбора координатных функций посвящена работа А. С. Сахарова [153], где построена почти ортонормированная система координатных функций, которая в то же время сохраняет положительные свойства полиномов Лагранжа. Число обусловленности, полученной в [153] системы приближенных уравнений, практически не зависит от количества удерживаемых в разложении членов рядов.
В работах Н. К. Галимова [154, 155] использовано разложение в ряды по толщине перемещений заполнителя трехслойной оболочки, в то время как для несущих слоев принимались гипотезы Кирхгофа-Лява или ГПЛ. В работе [154] показано, что
21
при локальном нагружении оболочки результаты расчетов по уточненной методике и по модели, использующей ГОЛ для заполнителя, существенно отличаются. Заметим, что исследование [154] является, по-видимому, единственным примером численной реализации метода рядов для многослойной оболочки.
В работе В.В.Васильева, С.А.Лурье [156] на примере ортотропной однородной плиты рассматривается проблема сведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной. Установлены условия согласованности разложений в ряды по толщине для тангенциальных перемещений и прогиба, обеспечивающие получение физически обусловленных систем двумерных уравнений. Обсуждаются некоторые традиционные уточненные двумерные теории пластин. Приведен пример, иллюстрирующий точность предлагаемой согласованной теории.
Несмотря на значительные трудности в реализации, важным преимуществом метода разложения в ряды по толщине является принципиальная возможность повысить точность решения, не выходя за рамки выбранных процедур, в то время как метод гипотез требует замены первоначальной гипотезы другой, более точно отражающей реальное напряженно-деформированное состояние.
К недостаткам метода рядов, как метода приведения, следует отнести то обстоятельство, что удовлетворение краевых и начальных условий с заданной условной точностью требует относительно более высокой точности уравнений, и, что формальное усечение аппроксимирующих рядов часто приводит к тому, что по существу оказываются сохраненными некоторые члены такого же порядка малости, как отброшенные. Однако эти недостатки можно устранить, решая проблему приведения с помощью общего уравнения динамики и проводя асимптотический анализ порядка малости отбрасываемых членов.
В рамках рассмотренных теорий наряду с линейными вариантами успешно развивается геометрически и физически нелинейная теория оболочек. Их появление и развитие обусловлено самой природой тонкостенных элементов конструкций, в которых под действием интенсивных нагрузок могут возникать перемещения и деформации, не описываемые линейной теорией [158-160].
Большой вклад в развитие нелинейной теории оболочек внесли работы Н.А. Алумяэ, И. Г. Бубнова, А. С.Вольмира, К. 3 . Галимова, В. В. Новожилова, П. Ф. Попковича, В. Койтера, Д. М. Куршина [161], Х.М. Муштари [162], Э. И. Григолюка [55,
28
56, 163]; Л.А.Шаповалова [185], В. Н. Паймушина [61, 164, 165],. П. П. Чулкова [55, 56], Ю. Н. Новичкова [69], А. П. Прусакова [166], В. Чепиги [57, 151], Г. И. Колосова [63].
В настоящее время существует два подхода к решению задач деформирования оболочек и пластин в геометрически нелинейной постановке.
При использовании первого подхода уравнения теории оболочек записываются в криволинейной системе координат, связанной с недеформированной оболочкой. Учет геометрической нелинейности осуществляется введением квадратичных членов в выражения деформаций через перемещения.
Этому подходу построения геометрически нелинейной теории оболочек посвящены работы [58, 60, 167, 170-176], композитные и ортотропные оболочки рассматривались в работах [62, 175, 176, 178-180].
Уравнения геометрически нелинейной теории на основе модели Тимошенко для изотропных упругих пластин были выведены И. Т. Селезовым [181]. Г. Герман -А. Е. Арменакас [182], исходя из принципа Гамильтона-Остроградского, вывели уравнения движения упругой пластины при конечных прогибах ее срединной поверхности и граничные условия в рамках теории типа Тимошенко .
Л. Я, Айнола построил геометрически нелинейную теорию упругих оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона-Остроградского [18]. Исходя из вариационного принципа для геометрически нелинейной теории упругости и вводя основные гипотезы модели Тимошенко, он вывел уточненные уравнения динамики гибких оболочек в криволинейных координатах [183]. |
В работе В.В.Кузнецова, Ю.В.Сойникова [184] выводятся деформационные соотношения тонких оболочек в векторном виде, которые затем анализируются с помощью критерия отсутствия деформаций и искривлений при произвольных перемещениях оболочки как твердого тела.
В работе Л.А.Шаповалова [185] оценивается точность геометрических соотношений некоторых приближенных нелинейных теорий при жестких движениях оболочки. Анализ деформаций производится путем непосредственного вычисления составляющих удлинений, сдвигов, кривизн и кручения при конечных перемещениях и конечных поворотах оболочки как твердого тела. Необходимые формулы получены в
29
линиях кривизны и позволяют исключать из рассмотрения ложные деформации дискретных элементов при использовании численных методов расчета.
В работе Ф.Н.Шклярчука [186] получены оценки точности нелинейных соотношений для конечных деформаций и для деформаций удлинений и сдвигов в квадратичном приближении относительно перемещений при расчете деформированного состояния и устойчивости упругих систем.
Для пологих многослойных оболочек этот подход реализован в работах [56, 166, 187, 162]. Для непологих оболочек нелинейные теории, в которых прогибы и углы поворота считываются конечными, а деформации малыми, построены в работах [53, 54, 60, 61]. Более полные варианты квадратичной нелинейной теории слоистых оболочек были предложены в работах [57, 62, 68, 151, 164].
Асимптотический метод интегрирования геометрически нелинейных трехмерных уравнений теории упругости развит в работах Л. Я. Айнолы [187, 188], где этим методом в сочетании с вариационным методом выведены нелинейные дифференциальные уравнения основных напряженных состояний и соответствующие граничные условия.
Уточненная геометрически нелинейная теория динамики пластин на основе разложения компонент вектора перемещений в ряды по нормальной координате построена А. С. Эрингеном [ 189].
Во втором подходе, ориентированном на применение численных методов, используются линеаризованные геометрические соотношения относительно скоростей в сопутствующей системе координат, связанной с текущей геометрией деформируемой оболочки. Данный подход был предложен М.Л. Уилкинсом [190] для описания движения упругопластических сред В применении к теории оболочек он развит для задач динамики в работах В.Г. Баженова [191], В.И. Дресвянникова [192], Е.А. Уитме-ра, Т.Н.Пиана, И.В.Лича [193], для задач статики - в работах A.C. Сахарова [194].
Этот подход был использован в работе М. А. Батанина, С, В, Зефирова, В. К. Ломунова [195] для решения задач динамического деформирования тонкостенных конструкций с легким заполнителем и в работе Э. И. Григолюка, Н. Л. Осипова [163] для описания процесса квазистатического деформирования трехслойной цилиндрической оболочки.
30
Второй подход имеет более широкую область применимости, одновременно является более трудоемким, так как требует перестроения сеток на каждом временном шаге.
Наряду с геометрической нелинейностью в практике инженерных расчетов деформирования пластин и оболочек при больших прогибах существенным является вопрос учета вязкоупругой и упругопластической работы материала.
Для описания линейно вязкоупругих свойств композитных материалов используется, как правило, структурный подход. Этот метод развит в работах Б.Е.Победри [250, 251], А.Ф.Крегера, Г.А.Тетерса [273]. Обзор работ, посвященных этому методу, можно найти в работе А.Л.Каламкарова, Б.А.Кудрявцева, В.З.Партона [130]. Отметим, что приложения этого метода и библиографию по нему приведены также в работе И.Ф.Образцова, В.В.Нерубайло, И.В.Андрианова [274].
Появление пластических деформаций в отдельных элементах или слоях многослойной оболочечной конструкции не приводит к немедленному исчерпанию ее несущей способности. Перераспределение усилий в элементах и слоях конструкции и, обусловленная этим, возможность резервирования прочностных свойств многослойной конструкции делает учет появления и развития пластических деформаций чрезвычайно важным. ;:4.•; .У’"
Разнообразные свойства, проявляемые материалами в пластической области, нелинейность и необратимость деформационных процессов являются причиной того, что до сих пор не разработана единая математическая модель процесса пластического деформирования. В настоящее время существует ряд различных математических теорий пластичности. Основными из них являются: I) деформационные; 2) теории течения или дифференциальные теории; 3) статистические теории пластичности или теории скольжения.
Разработанные теории пластичности, как правило основаны на гипотезах и предпосылках феноменологического характера, с той или иной общностью описывающие специфику процесса пластического деформирования. Для простых лучевых путей нагружения (или близких к ним) наиболее разработанной и экспериментально обоснованной является деформационная теория пластичности [196] и ее различные модификации. Более того, А. А. Ильюшиным доказано, что для данного класса на-
31
гружений любая из указанных выше теорий должна давать результаты, совпадающие с результатами, полученными по деформационной теории.
Для произвольных сложных путей нагружения в настоящее время лишь общая теория пластичности А. А. Ильюшина устанавливает связь между тензором напряжений и деформаций, а его метод СН-ЭВМ указывает пути решения краевой задачи теории пластичности. Однако эта методика на современном уровне достаточно трудоемка и не может широко использоваться при решении прикладных задач [197].
В последнее время при решении задач динамики упруго-пластических сред нашли широкое применение теории течения [168, 198-202 ] , несмотря на то, что пределы применимости этих теорий недостаточно хорошо изучены.
Статистические теории пластичности к настоящему времени еще недостаточно хорошо развиты и применение их для решения конкретных задач весьма затруднительно.
В большинстве работ уравнения для решения задач: динамики упругопластических оболочек строятся в рамках модели жестко-пластического тела и простейших классических теорий оболочек.
Впервые теория жестко-пластического тела была применена А. А. Гвоздевым в задачах о динамическом изгибе балок и плит [203]. В дальнейшем, благодаря относительной простоте, эта теория получила широкое распространение. Обширную библиографию по ее применению можно найти в обзорных статьях [204, 205 ]. Основным недостатком теории жестко-пластического тела является недостоверность результатов при малой степени развитости пластических деформаций.
Т. Н. Пианом [206] в рамках теории Кирхгофа-Лява с учетом физической (на основе теории течения) и геометрической (метод шаговой линеаризации) нелинейностей выведены уравнения динамики оболочек вращения.
В работах М. П. Галина [21,22] на основе модели Тимошенко в геометрически нелинейной постановке получены гиперболические уравнения динамики для балок и оболочек вращения при упруго-пластическом осесимметричном деформировании.
Л. М. Хабипом-Ю. К. Эбкиоглу в работах [207, 208] выведены уравнения динамики в физически и геометрически нелинейной постановке из уравнений трехмерной теории упругости введением гипотез теории Тимошенко.
32
Число работ, посвященных упругопластическому деформированию многослойных оболочек и пластин невелико, причем большинство из них имеет постановочный характер или содержит решение частных задач в узкой постановке.
Из работ, в которых поведение материалов слоев описывается в рамках теорий течения, можно назвать только исследования трехслойных оболочек Э. И. Гркголюка и Н. Л. Осипова [193, 209], В. А. Батаяина, С. В. Зефирова, В. К. Ломунова [195], Андервуда и др. [210]. Деформационная теория пластичности использовалась для описания упругопластического деформирования слоистых оболочек В. И. Королевым [211], Ю, В. Немировским [212], В. А. Фельдштейном [213], М. С. Ганеевой [53] и др. В работах [211-215] рассматривались различные упрощенные расчетные схемы упругопластического деформирования слоистых конструкций, основанные на деформационной теории.
Отметим, что во многих задачах динамики оболочек погрешности, вносимые этими теориями, в основном влияют на локальные характеристики напряженно-деформированного состояния и значительно меньше - на интегральные характеристики процессов - прогибы, критические нагрузки и т.д Следовательно, даже достаточно грубые модели пластического деформирования материала позволяют во многих случаях получить адекватное представление о процессах деформирования. Характерной особенностью динамических задач является знакопеременное нагружение. С этой точки зрения теории течения, вследствие их высокой алгоритмичности при численной реализации, обладают некоторыми преимуществами по сравнению с деформационной теорией.
Заметим, что данный обзор по математическим моделям динамики оболочеч-ных конструкций подчинен целям диссертационной работы и не претендует на исчерпывающую полноту. Более полно эти вопросы освещены в монографиях В.3. Власова [216], А.С. Вольмира [94], В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [214], С.А. Амбарцумяна [31], А.В. Кармишина, А.И. Жукова и др. [219], H.A. Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г. Попова [220], В.В. Васильева [221], К.З. Галимова, В.Н. Паймушина [222], Л.Ю. Коссовича [121], А.К. Перцева, Э.Г. Платонова [223], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Г-П. Голуб [224], А.Е. Богдановича [225], Ершова Н.Ф., Попова А.Н. [169], Образцова И.Ф., Васильева В.В., Бунакова В.А. [218] и обзорных статьях Э.И. Григо-люка, И.Т. Селезова [226], А.А. Дудченко, С.А. Лурье, И.Ф. Образцова [227], А.К. Га-
33
линьша (228, 229], И.И.Воровича, М.А. Шлснсва [230], Л.Я. Айнолы, У.К. Нигула [23], Э.И. Григолюка, К.А. Когана [29], H.A. Кильчевского [233], Ю.В. Немировского, В,И. Самсонова [234], Г.А. Тетерса [235], П.З. Лугового [236], И.Я.Амиро, В.А.Заруцкого [237], Б.Д.Аннина [238], Я.М.Григорснко, А.Т.Василенко [239].
Из анализа предложенных различными авторами математических моделей для моделирования нестационарных процессов деформации композитных конструкций вытекает, что:
* в настоящее время наиболее разработанными и апробированными являются классическая линейная теория оболочек Кирхгофа-Лява и корректированная (посредством учета деформаций поперечного сдвига и инерции вращения) классическая теория типа Тимошенко;
- разработана классическая геометрически нелинейная теория тонких упругих оболочек, позволявшая учитывать средние прогибы и углы поворота при малых деформациях, - теория типа Новожилова-Муштари;
- классическая теория оболочек позволяет оценить интегральные характеристики напряженно-деформированного состояния при некоторых ограничениях на характер внешних воздействий и геометрию элементов конструкций;
-разработана неклассическая линейная теория оболочек на основе математических методов приведения трехмерной динамической задачи теории упругости к двумерной и одномерной;
- на основе метода статико-кинематических гипотез разработан ряд геометрически нелинейных уточненных теорий упругих многослойных оболочек, учитывающих деформации поперечного сдвига и обжатия слоев;
- в настоящее время, как правило, при изучении динамики ребристых оболочек используется расчетная схема, основанная на конструктивно-ортотропной линейной теории оболочек Кирхгофа-Лява и теории стержней Кирхгофа-Клебша;
- недостаточно разработаны методы построения разрешающих систем уравнений для решения геометрически и физически нелинейных задач динамики и устойчивости подкрепленных оболочек с учетом дискретного размещения ребер;
- недостаточно разработаны методы построения неклассических теорий композитных оболочек для геометрически и физически нелинейных тел;
34
- целесообразно применять для построения приближенных уравнений теории оболочек вариационные принципы, поскольку они позволяют получить логически стройные и внутренне противоречивые математически корректные модели;
• мало исследованными являются вопросы применимости приближенных теорий, особенно в нелинейных задачах.
1.2 Методы решения нелинейных задач нестационарного деформирования обол очечных конструкций.
Для анализа нестационарных процессов в пластинах и оболочках применяются различные методы интегрирования разрешающих систем уравнений. Выбор наиболее эффективного метода тесно связан с используемыми моделями теории оболочек, идеализацией реальных свойств материала и типа внешних воздействий. Известные методы решения задач динамического деформирования элементов конструкций разделяются на точные и приближенные. Последние в свою очередь делятся на приближенные аналитические и численные методы.
Аналитические методы интегрирования разработаны для решения линейных задач, для тел простой конфигурации при некоторых ограничениях на вид внешних воздействий. Из них наиболее широкое распространение получили методы, основывающиеся на использовании интегральных преобразований и разложении в ряд Фурье в переменном интервале.
В работе В.В.Васильева, А.В.Сибирякова [240] предлагается прикладной метод анализа напряженного состояния слоистой ортотропной пластины при воздействии локального импульса давления, основанный на разделении этого состояния на основное - соответствующее классической теории изгиба пластин, и связанное с ним дополнительное - соответствующее задаче динамики слоистого стрежня. Полученная задача решается методом Бубнова-Галеркина в сочетании с преобразованием Лапласа-Карсона по времени.
В работе Ю.Э.Сеницкого [241] методом конечных интегральных преобразований приводится замкнутое решение нестационарной осесимметричной динамической
35
задачи для улругозащемленной непологой трехслойной сферической оболочки при действии произвольной нагрузки.
В работе А.В.Нетребхо, С.В.Новотного, Ю.А.Созоненко [242] рассматривается решение уравнений динамики цилиндрических оболочек методом интегральных преобразований, причем с помощью преобразования Лапласа по времени находится точное аналитическое решение в изображениях, а оригинал вычисляется путем численного интегрирования интеграла обращения на комплексной плоскости.
В работе А.Ю.Копнина, Л.Ю.Коссовича, С.А.Петроковского [243] асимптотическим методом исследуются нестационарные нзгибные волновые процессы в подкрепленных оболочках вращения при ударных краевых воздействиях. Решение ищется в виде наложения волн, инициируемых границами элементов конструкции. Каждая волна определяется с помощью моментной составляющей Кирхгофа-Лява, динамического плоского антисимметричного погранслоя, квазистатического погранслоя типа Сен-Венана. Поставлены краевые задачи для двумерной составляющей и погрансло-ев. Выявлен характер влияния квазистатического погранслоя на НДС колец. Установлены аналитические оценки, характеризующие влияние процесса распространения волн в шпангоутах на распространение волн а оболочках.
В работе Ю.ДКаплунова, Н.В.Нольде [244] предпринимается попытка асимптотического анализа трехмерной динамической задачи теории упругости для случая оболочки общего очертания с загруженными лицевыми поверхностями. Определяется область параметров задачи, при которых даже в самом грубом приближении нельзя пренебрегать влиянием поперечного обжатия.
Применению и обзору результатов по аналитическим методам посвящены монография [245] и обзорные статьи [23,246].
К приближенным аналитическим методам относятся также вариационные (или энергетические), среди которых наиболее распространенными являются методы Рит-ца, Треффтца, Бубнова-Галеркина и различные их модификации. Теория этих методов хорошо разработана [248]. Вариационные методы основаны на приближенном задании перемещений конструкции и в конечном итоге сводят задачу к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Существенное преимущество вариационных методов состоит в том, что они применимы не только к линейным задачам, но и к нелинейным. Однако трудности, возникающие при подборе аппрокси-
36
мирующих функций для многих типов граничных условий, ограничили область их применения.
Точные аналитические решения уравнений движения ребристых оболочек получены только для цилиндрических оболочек, усиленных ребрами в одном направлении (продольными [75, 78, 79, 88, 252, 253, 254] или кольцевыми [75, 255-257] и для пологих оболочек с прямоугольным планом, также усиленных ребрами в одном направлении [75], причем в подавляющем большинстве работ использованы упрощенные уравнения (принимается, что на оболочку передаются только радиальные реакции ребер [78, 79, 254, 257], или что ребра работают только на изгиб в радиальной плоскости и растяжение-сжатие [88, 90, 91, 255, 259]).
Точные решения указанных задач можно получить, используя одинарные тригонометрические ряды по координате, совпадающей с направлением ребер. Однако эти решения применяются относительно редко, так как при малом числе ребер они сводятся к определению постоянных интегрирования из плохо обусловленных систем алгебраических уравнений и требуют в связи с этим нестандартного подхода к решения каждой конкретной задачи.
При использовании энергетического метода применяются два подхода. При реализации первого, в принципе более точного, перемещения разыскиваются в виде двойных тригонометрических рядов (либо рядов по балочным и тригонометрическим функциям^ и задача сводится к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений общего вида [88,261, 262, 265, 268, 269]. Достоверный учет дискретного размещения ребер связан с необходимостью решения громоздких систем уравнений. Второй подход основан на предположении о том, что при определении динамических характеристик ребристых оболочек в ряде случаев можно ограничиться одночленной аппроксимацией перемещений [75, 84, 87, 271, 272, 275].
С использованием энергетического метода и одночленной аппроксимации перемещений решены задачи определения частот и форм собственных колебаний цилиндрических оболочек, усиленных регулярной [75,87] и двумя регулярными [84,276] перекрестными системами ребер. Расчетные формулы получены для оболочек из изотропных [87] и анизотропных [272, 276] материалов. Такой же путь решения задачи о собственных колебаниях пологих ребристых оболочек с прямоугольным планом использован в работах [81, 277, 278]. Методика определения собственных частот ко-