СОДЕРЖАНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ.....................................................3
ГЛАВА I. Групповые свойства уравнений нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций на поверхности обтекаемого тела для различных скоростей массообразования компонент смеси и для различных законов изменения вязкости от концентрации........26
1.1. Постановка задачи..............................26
1.2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций............29
1.3. Группы преобразований при m=m(c) и g(t)=g(t)...32
1.4. Группы преобразований при m=m(c) и g(t)=const.4(5
1.5. Группы преобразований при m=m(t) и g(t)=g(t)...59
1.6. Группы преобразований при m=m(t) и g(t)-const..67
ГЛАВА Д. Инвариантные решения уравнений нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций..............................75
2.1. Структуры внешних невязких течений и инвариантные решения.....................................................75
2.2. Инвариантные решения уравнений нестационарно- го диффузионного пограничного для различных законов изменения вязкости от концентрации....................................77
2.3. Дальнейшее редуцирование и численное интегрирование систем уравнений........................................82
Выводы по главе II..........................................88
ГЛАВА Ш. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на прони-
цаемой пластинке при наличии вдува (отсоса)...................95
3.1. Постановка задачи...............................95
3.2. Инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластинке 96
3.3. Дальнейшее редуцирование и численное интонирование систем уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластине............................101
Выводы по главе Ш............................................104
ГЛАВА IV. Диффузионный пограничный слой при наличии возвратных течений...........................................106
4.1. Задача Янга....................................106
Выводы по параграфу 1 главы IV...............................107
4.2. Стационарный диффузионный пограничный слой при
наличии возвратных течений...................................108
Выводы по параграфу 2 главы ГУ...............................109
4.3. Нестационарный диффузионный пограничный слой на проницаемой пластине при ее движении по степенному закону от
времени в покоящейся среде...................................111
Выводы но параграфу 3 главы IV...............................113
4.4. Магнитогидродинамический диффузионный пограничный слой на проницаемой поверхности.......................115
Выводы по параг рафу 4 главы ГУ..............................117
4.5. Численный метод решения и классификация решений...........................................120
Выводы по 5 параграфу IV главы...............................131
ЗАКЛЮ ЧЕ11ИЕ.................................................139
ЛИТЕРАТУРА...
ПРИЛОЖЕНИЕ
142
.151
3
ВВЕДЕНИЕ.
Исследование гидродинамических закономерностей в пограничных слоях при течениях жидкости или газа с усложненными физико-химическими свойствами - это одна из важнейших задач механики.
Бурно развивающаяся авиационная и ракетная техника ставит множество вопросов перед теорией и, в частности, перед теорией пограничного слоя. Процессы массопереноса в жидкостях и газах лежат в основе многих химических производств. В первую очередь можно отметить вопросы интенсификации процессов перемешивания различного рода жидких или газообразных сред, вступающих между собой в химические реакции; процессы течения вблизи твердых поверхностей, обладающих каталитическими свойствами, при наличии сублимации; процессы движения и переноса тепла и примесей в многофазных и многокомпонентных потоках.
Изучение всех этих вопросов в рамках теории пограничного слоя и выяснение связанных с ними качественных явлений представляет большой интерес для практических приложений во многих областях науки и техники.
Строгая математическая постановка задачи теории пограничного слоя приводит к сложным системам дифференциальных уравнений в частных производных. Однако, в некоторых простейших, но имеющих большое прикладное значение, случаях уравнения пограничного слоя можно преобразовать в обыкновенные дифференциальные уравнения и сравнительно простыми методами получить эффективное решение.
л
Точные решения представляют большую ценность при создании основы для построения приближенных решений более сложных задач и толкования экспериментальных данных.
Теория пограничного слоя, являясь составной частью механики жидкости и газа, послужила не только пониманию и описанию явлений, связанных с течением вязкой теплопроводной жидкост и и газа, но и оказала, в свою очередь, заметное влияние на развитие некоторых разделов теории дифференциальных уравнений.
Принципиальными особенностями дифференциальных уравнений, описывающих течение вязкой сжимаемой жидкости, являются нелинейность и частные производные. Отсюда идет многообразие методов анализа уравнений, определяющих структуру и характеристики пограничного слоя.
В данной работе в качестве метода, дающего алгоритм нахождения решений, при котором исходная система уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, выбран метод, основанный на теории групповых свойств дифференциальных уравнений [27].
Эта теория содержит общий математический аппарат, позволяющий наиболее просто учитывать количественно различные соотношения симметрии уравнений относительно функциональных преобразований в классе переменных, заложенные в условия задачи.
Понятие группы ценно для аэрогидродинамики в трех отношениях. Во-первых, это понятие помогает математически обосновать моделирование с помощью инспекционного анализа, который более соответствует сути дела, чем обычно применяемый анализ размерностей. Во-вторых, с помощью понятия 1руппы можно проверить справедливость математических теорий механики жидкости и газа даже в тех случаях, когда невозможно
5
проинтегрировать теоретически выведенные уравнения в частных производных. Здесь теория групп позволяет произвести качественный анализ возможных решений этих уравнений. И, в-третьих, это понятие дает средство для уменьшения числа подлежащих рассмотрению зависимых и независимых переменных, каких-либо параметров и, тем самым, вносит существенные упрощения в математическую постановку задачи.
Всякая физическая задача классификации сразу же обнаруживает свою теоретико-групповую природа а так называемые автомодельные решения включаются в более общий класс инвариантных решений [18]. Дифференциальные уравнения, описывающие движения вязкой жидкости и газа и, в частности, уравнения пограничного слоя, допускают богатые возможности их группового анализа, на основе которого могут строиться различные част ные решения [30, 64].
В первом пара!рафе первой главы приводится постановка нестационарной задачи теории пограничного слоя с усложненными свойствами [45-47]. Представлена система уравнений (в частных производных) нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций на поверхности обтекаемого тела. Выставлены соответствующие граничные условия.
Во втором параграфе первой главы, в соответствии с методикой, описанной в работах [25-28], проводится групповой анализ, и определяются группы, допускаемые дифференциальными уравнениями нестационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной жидкости при наличии химических реакций.
6
В настоящей работе, в отличие от работ [29, 30], исследуются групповые свойства уравнений нестационарного бинарного пограничного слоя, в случае, когда скорость на внешней границе пограничного слоя считается заданной функцией и от времени ие{1, х).
Общая проблема исследования групповых свойств дифференциальных уравнений была поставлена и изучена во второй половине XIX века норвежским математиком Софусом Ли. В нашей стране первые работы по газовой динамике с применением теории групп Ли принадлежат Л.В. Овсянникову [25-28]. Затем появились работы различных авторов, в которых дтя различных систем дифференциальных уравнений вычислены группы преобразований и с их помощью найдены инвариантно-групповые решения исследуемых систем [5, 7].
В работе Ю.Н. Павловского [31] впервые были исследованы групповые свойства стационарных уравнений двумерного пограничного слоя и получены все возможные инвариантно-групповые решения. В работе [30] рассмотрен широкий класс граничных условий для концентрации, а также исследована возможность построения инвариантных решений в случае переменного коэффициента вязкости для стационарного пограничного слоя. В работе [18] найдены лиевы преобразования, относительно которых инвариантны уравнения нестационарного пограничного слоя на пластинке. Сконструированы инвариантные решения ранга единица и проведено групповое расслоение. В работе
[68] проводится единый анализ с целью получения всех решений подобия стационарного и нестационарного течений внутри пограничного слоя, вдоль плоской пластинки. При стационарном случае показано, что для решения подобия, как скорости, так и температуры, должно существовать соотношение между скоростью
7
внешнего не возмущен н о го течения, скоростью в пограничном слое и температурой обтекаемой пластинки.
Результаты исследования группового расслоения уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя приведены в [5, 18]. В работе [6] представлен краткий обзор результатов, полученных в области приложения теории групповых свойств дифференциальных уравнений к задачам пространственного нестационарного пограничного слоя. Найдена группа преобразований, допускаемая системой уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя, а также получены частные решения.
При проведении группового анализа будем считать кинематическую вязкость и скорость массообразования произвольными функциями массовой концентрации. При таком
подходе система является совместной, т.е. уравнение диффузии в групповом смысле неотделимо от уравнений динамического пофаничного слоя. Отмечается, что система уравнений
предоставляет возможность выбора зависимости скорости
массообразования либо от концентрации, либо от времени.
В качестве граничных условий для концентрации принимаются фаничные условия, соогвегствующие диффузионной и смешанной кинетике гетерогенных реакций и реакциям
автокаталитического типа [17, 30,49-51 ].
При решении системы определяющих уравнений, использовались пакеты для проведения символьных математических вычислений Reduce и Maple [58].
В параграфах 1.3 и 1.4 приведены группы преобразований, допускаемые различными специализациями исходной системы уравнений, представленной в параграфе 1.1, для случаев v(c) и m = m(c), а
8
в параграфах 1.5 и 1.6 приведены группы для случаев \>(с) и гп= т(0-Подробно рассмотрены возможности, представляемые определяющими для видов зависимостей т(с), ш(с) и т(£) уравнениями.
Также приведены однопараметрические подгруппы, соответствующие полученным в параграфах 1.2 - 1.6 первой главы базисным операторам. В этих параграфах были рассмотрены наиболее интересные случаи, в которых возможно получение инвариантных решений ранга 1, для исходной системы уравнений (1.1).
Групповые исследования, приведенные в параграфах 3 главы показывают, что получение инвариантных решений возможно не только в виде широко известных автомодельных решений (с точки зрения теории групп эго решения, которые получаются на однопараметрических подгруппах подобия), но и за счет того, что в группы входят однопараметрические подгруппы переноса и бесконечномерные подгруппы.
Вторая глава диссертации посвящена конструированию инвариантных решений системы уравнений нестационарного ламинарного диффузионного пограничного слоя несжимаемой жидкости, представленной в параграфе 1.1, а также численному интегрированию редуцированных систем обыкновенных ди фференциаль ных уравнений.
Если краевая задача имеет единственное решение, то из инвариантности уравнений и граничного многообразия относительно некоторой группы преобразований следует также инвариантность решения краевой задачи. При выполнении условий инвариантности краевая задача с необходимостью запишется в терминах инвариантов допускаемой группы.
9
Также в этом параграфе затрагиваются вопросы, касающиеся структуры внешних невязких течений, допускающих автомодельные решения.
Во втором параграфе второй главы ставится целью нахождение инвариантных решений ранга 1 системы уравнений, представленной в параграфе 1.1 для некоторых конкретных случаев зависимости v(c), m(c), рассмотренных в первой главе.
Приведенные в параграфе 2.1 решения включают в себя все 6 классов возможных инвариантных решений, перечисленных в работе [72] для нестационарного динамического пограничного слоя, и обобщают их на случай бинарного пограничного слоя.
В параграфе 2.3 второй главы рассматривается дальнейшее редуцирование полученных в параграфе 2.2 систем уравнений, а также анализируются результаты численного интегрирования одной из редуцированных систем уравнений, представляющей наибольший интерес с точки зрения изучения влияния нестационарности на характеристики тираничного слоя.
Б этом параграфе обсуждаются некоторые виды граничных условий для массовой концентрации, заданные на химически активной поверхности тела.
Численные решения редуцированой системы обыкновенных дифференциальных уравнений получены для различных значений параметров вдува (отсоса) и отвечают различным видам течений, в том числе течениям, возникающим при торможении потока -течениям с замкнутыми линиями тока. Условия, необходимые для возникновения течений с отрицательными токами в пограничном слое, подробно анализируются в параграфе 5.5.
10
Результаты численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений из [72] были выбраны в качестве тестовых при решении редуцированной в параграфе 2.3 системы уравнений для случая присоединенного течения. Следует отметить, что все тестовые результаты численного решения редуцированной системы, представленные в приложении 2.3, с точностью до пятой цифры совпадают с результатами работы - оригинала [72].
Исследовано влияние различных значений параметра, характеризующего степень влияния эффекта иестационариости,
значения градиента концентрации на обтекаемой поверхности, и различных значений числа Шмидта Эс на характеристики диффузионного пограничного слоя.
В третьей главе настоящей диссертации анализируются групповые свойства и инвариантные решения уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на
проницаемой пластинке при наличии вдува (отсоса).
Постановка задачи нестационарного диффузионного
пограничного слоя на проницаемой пластинке, система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая физику происходящих в пограничном слое, а также соответствующие этой системе уравнений граничные условия приводятся в параграфе 3.1 третьей главы. Характер постановки задачи предполагает, что нестационарность вызвана только нестационарностью вдува (отсоса) или присутствует в следствие иестационариости массовой концентрации на поверхности.
Во втором параграфе третьей главы конструируются
инвариантные решения системы уравнений нестационарного плоского ламинарного пограничного слоя несжимаемой бинарной
11
жидкости при наличии химических реакций и слабом вдуве (отсосе) на проницаемой пластине для различных скоростей массо-образования компоненты смеси и для различных законов изменения вязкости от концентрации.
Решение системы определяющих уравнений для нестационарного пограничного слоя на пластине при наличии химических реакций получено для некоторых видов зависимостей \>(с) и т(с)9 которые представлены в первой главе данной работы. Базисные операторы, полученные в 3 главе, фактически представляют собой частный вид соответствующих базисных операторов, которые представлены в I главе, поэтому их описание не приводится.
Параграф 3.3 посвящен дальнейшему редуцированию и численное интегрирование систем уравнений нестационарного диффузионного пограничного слоя на проницаемой пластине. Полученные для одной из редуцированных систем уравнений результаты, дают возможность проследить влияние вдува (отсоса) на характеристики пограничного слоя при различных значениях градиента концентрации на поверхности пластины.
Четвертая глава диссертации посвящена исследованию влияния нестационаряосги на характер течения в пограничном слое, а также классификации получаемых решений и обсуждению методики численного интегрирования систем уравнений диффузионного пограничного слоя при наличии течений с замкнутыми линиями тока.
Четвертая глава состоит из пяти параграфов.
В первом иара1рафе рассматривается так называемая задача Янга [90]. Эффекты иестационарности поля течения проявляются, в
12
частности, при быстром торможении и ускорении тел. Экспериментальное изучение нестационарных эффектов затруднено из-за малости временных масштабов, на которых развиваются события. Известно, что появление отрыва потока в зоне, где скорость движения частиц жидкости вдоль контура падает, приводит к развитию отрыва во времени. Если движение жидкости вдоль контура ускоренное, то отрыв будет затухать во времени [91].
Янг исследовал нестационарный пограничный слой в окрестности критической точки и получил автомодельные решения системы уравнений динамического пограничного слоя для случая, когда скорость внешнего течения со временем уменьшается. В работе [90] предсгавлениы результаты численного интегрирования полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для различных значений параметра а {а - константа, характеризующая неогационарность невозмущенного потока).
Анализ численного исследования системы уравнений проведенный в рамках настоящей диссертации выявил три диапазона значений параметра а.
При а > 0 существующие решения соответствуют присоединенным течениям. При 0 > а > - 3.9999 существует два решения, одно из которых соответствует течениям с отрицательными токами. И, наконец, при - 4 > а > - 5 имеются два решения соответствующие течениям с отрицательными токами в пограничном слое. Отмечено, что при - 4 > а > - 5 система уравнений становится малочувствительной к изменениям параметра а .
Во втором параграфе четвертой главы исследуется редуцированная система обыкновенных диференциальных
13
уравнений стационарного диффузионного пограничного слоя при различных параметрах зависимости v(c).
Впервые аналогичная система уравнений была получена и исследована численно в работе [30] для случая присоединенного течения. В отличие от вышеупомянутой работы [30], целью исследования, проведенного в рамках второй главы, является изучение влияния отрывных течений на характеристики
стационарного пограничного слоя. Определена область существования автомодельных решений для послеотрывного режима течения, а также исследовано влияние вдува (отсоса) и величины числа Шмидта Sc на профили безразмерных скоростей и концентрации.
В качестве тестовой задачи выполнено численное интегрирование исследуемой в параграфе 4.2 системы уравнений при v(c) = const, в этом случае уравнение движения по виду полностью
совпадает с известным уравнением Фолкнера - Скен [67]).
О неединственности решения уравнения Фокнера - Скен впервые упоминается в работе [S3]. Эти уравнения при /У> 0.0 соответствуют ускоренным течениям и имеют единственное решение [71]. Диапазону 0.0 >//>-0.1988 соответствует режим
течения с замедлением, и в этом случае имеет место неединственность решения уравнения При этом существует бесконечное множество решений, но из них приемлемы только два, соответствующие экспоненциальному закоьуг приближения к внешнему 1раничному условию. Эти решения соответствуют известным профилям безотрывного течения Фокнера - Скен и профилям отрывного течения, впервые полученным Стюартсоном [83].
14
Анализ результатов численного эксперимента, который приводится в параграфе 4.2 показывает, что характер изменения коэффициента кинематической вязкости v(c) имеет существенное влияние на поле течения в зоне отрицательных токов. В приложении п.4.2 графически продемонстрировано, как путем изменения значения концентрации на химически активной поверхности можно существенно уменьшать или увеличивать (затягивать) область возвратного течения.
В третьем параграфе четвертой главы рассматривается нестационарный диффузионный пограничный слой на проницаемой пластине при ее движении по степенному закону от времени в покоящейся среде. Ставится и численно решается задача о формировании диффузионного пограничного слоя на неограниченной пластине импульсивно приведенной в движение, когда в пограничном слое возникают обратные токи.
Аналогичные задачи для динамического пограничного слоя рассматривались ранеее в работах [13-16, 37-40]. Результаты численного интегрирования, представленные в [16], хорошо согласуются с результатами полученными в рамках исследования формирования возвратных течений на неограниченной пластине в данной диссертации.
Результаты численного эксперимента подтверждают факт существования течений с отрицательными токами на неограниченной пластине, когда ие = Atn, а именно, что при п < - 0,5 в пограничном слое реализуется послеотрывной режим течения, при >? = 0,5 - реализуется отрывной режим течения, а при п > 0,5 - имеет место безотрывное течение.
15
Анализ результатов, проведенных расчетов показал, что путем варьирования значения коэффициента кинематической вязкости на поверхности можно изменять величину зоны с обратными токами. Исследовано влияние различных значений числа Шмидта Бс на характеристики диффузионного пограничного слоя для безотрывного и отрывного течений.
В четвертом параграфе четвертой главы исследуется система уравнений стационарного магнитогидродинамического диффузионного пограничного слоя несжимаемой жидкости на проницаемой поверхности. Результаты численного решения аналогичной системы уравнений для случая, когда отсутствует химический пограничный слой, представлены в работе [11]. В этой работе исследованы автомодельные течения при наличии градиента давления, вдува и отсоса проводящей жидкости. Кроме того, в работе А. В. Готовцева указаны области изменения определяющих параметров для безотрывных течений.
Целыо исследования, проведенного в рамках параграфа 4.4 является изучение влияния параметров магнитогидродинамического воздействия на характеристики стационарного диффузионного пограничного слоя при различных режимах течения, и, в первую очередь, при наличии возвратных течений на обтекаемой поверхности и в самом пограничном слое. Кроме того, большой интерес с точки зрения теории пограничного слоя и численных методов представляет выяснение вопроса о возможности существования решений, соответствующих наличию в пограничном слое различных по структуре возвратных течений.
Результаты проведенных вычислений свидетельствуют о том, что при увеличении параметра МГД взаимодействия послеотрывной пограничный слой становится тоньше. Эта закономерность имеет
16
место и для более сложных типов решений, обусловленных наличием возвратных течений, которые были впервые получены при исследовании соответствующей системы обыкновенных дифереициальных уравнений, приведенной в параграфе 4.4.
Найден ряд решений МГД пограничного слоя, соответствующих тем же типам решений, которые были впервые получены для нестационарного динамического пограничного слоя в работе [72], а также во второй главе данной диссертации для нестационарного диффузионного пограничного слоя (5 из этих решений приведены в п.4.4).
Параграф 4.5 полностью посвящен анализу полученных в рамках данной диссертации результатов, относящихся к исследованию возвратных течений различной структуры, возникающих в ламинарном пограничном слое и на обтекаемой поверхности; анализу и классификации получаемых решений; обсуждению предлагаемой модификации метода численного интегрирования соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Численные методы, применявшиеся различными авторами для интегрирования уравнений пограничного слоя, в том числе и при наличии в пограничном слое возвратных течений, весьма разнообразны [9, 15, 20, 21, 33-35, 53, 59, 60, 66, 69, 82, 86].
Если отрыв сопровождается малой рециркуляционной областью с последующим присоединением основного пограничного слоя, то уравнения установившегося ламинарного пограничного слоя можно проинтегрировать через точки его отрыва и присоединения, если заданы трения на стенке или толщина вытеснения (обратный метод [89]).
17
Различные модификации конечноразностных методов позволяют интегрировать уравнения ламинарного двумерного пограничного слоя через точку нулевого касательного напряжения на стенке в область оторвавшегося течения и через точку повторного присоединения в присоединившийся пограничный слой. Решения, полученные в [54] для затупленных тел, показывают, что поверхностное трение, возрастая от отрицательного до соответствующего значения по Блазиусу [63], свидетельствуют об отрыве течения и о последующем его присоединении с образованием в пограничном слое рециркуляционной зоны.
В работе [89] рассмотрен случай замедляющейся но линейному закону скорости, в котором отрицательный градиент давления мгновенно возрастает на некоторую величину в момент времени I = 0, (также отмечается, что при \ - - 0 и при бесконечно большом значении времени точка нулевого касательного напряжения совпадает с точкой отрыва).
Следует также отметить, что при исследовании нестационарного трехмерного отрыва систему уравнений пространственного пограничного слоя в некоторых случаях можно путем замены переменных свести к системе уравнений плоского нестационарного пограничного слоя (эта проблема выходит за рамки рассматриваемых в данной диссертации задач, поэтому в дальнейшем, вопросы, касающиеся трехмерного пограничного слоя, затрагиваться не будут).
Модель отрыва Мура-Ротга-Сирса подтверждена численными решениями уравнений, которые описывают ламинарный пограничный слой перед нестационарной точкой отрыва, движущейся вдоль поверхности тела для случаев небольших рециркуляционных зон [75, 82]. Очевидно, что в случае плоского неустановив-
18
шегося течения точка обращения в нуль касательного напряжения на стенке не обязательно совпадает с отрывом.
Исследованы некоторые полуавтомоделъные задачи, в которых число независимых переменных (координат) снижено с трех до двух [40]. Метод частично автомодельных решений позволяет фиксировать область интегрирования. Использование новых независимых переменных позволяет производить численные расчеты в областях возвратного течения без нарушений сходимости или устойчивости в расчете. В частности, при исследовании областей с обратным течением в работе [89], рассматривалась система уравнений нестационарного динамического пограничного слоя (т.е. система уравнений, приведенная в параграфе 1 главы 1 без уравнения диффузии), но в отличие от данной диссертации и работы [72], в [88] использовался метод частично автомодельных решений.
В работе [40] предлагаются преобразования уравнений нестационарного пограничного слоя, которые позволяют ослабить влияние временных производных и, таким образом, упростить расчеты в следствие возможности увеличения шага интегрирования по времени. С помощью разностных схем в [36] найдено решение некоторых задач теории пограничного слоя. В их числе задачи продольного нестационарного обтекания пластины с ускорением по степенному законуог времени. Сравнение результатов, полученных в [40], с результатами, полученными в рамках данной дисертации для случаев, когда внешние нестационарные течения подчиняются
закону ие = Axt/J, показало хорошее соответствие этих результатов
для динамического пограничного слоя при v(c) = const.
Для полностью автомодельных задач решения во всем диапазоне изменения времени были получены, например, в работе
- Київ+380960830922