Оценка прочности композитных материалов и элементов конструкций при комбинированном нагружении

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ........................................................... 5
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЧНОСТИ ДЛЯ КОНСТРУКЦИЙ из КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ ........................................... 14
1.1. Физические соотношения жестких армированных материалов....... 14
1.2. Формулировка кинематических и статических гипотез............ 19
1.3. Уравнения равновесия и краевые условия линейной теории анизотропных оболочек (при обобщенных гипотезах С П. Тимошенко) 25
1.4. Построение гиперповерхности начального разрушения для конструкций при многопараметрическом внешнем воздействии......... 29
1.4.1. Критерии прочности композитных материалов.................. 30
1.4.2. Алгоритм расчета поверхности начального разрушения конструкций......................................................... 33
1.5. Прогнозирование разрушения композитных материалов на основе структурного анализа........................................ 44
1.6. Рациональное проектирование конструкций из армированных материалов.................................................. 61
ГЛАВА 2. НАЧАЛЬНОЕ РАЗРУШЕНИЕ ИЗГИБАЕМЫХ АРМИРОВАННЫХ СТЕРЖНЕЙ.................................................... 66
2.1. Уравнение изгиба и граничные условия криволинейных стержней (удлиненных панелей)........................................... 66
2.2. Анализ разрушения армированных балок.........................70
2.2.1. Однопараметрическое нагружение. Сравнение с экспериментальными данными................................................ 70
2.2.2. Комбинированное внешнее воздействие........................ 87
2.3. Исследование разрушения армированных круговых колец при различ-
3
Стр.
ных условиях нагружения........................................ 91
ГЛАВА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ ПЛАСТИН....................... 111
3.1. Исследование начального разрушения прямолинейно - анизотропных пластин с вырезами (усилия приложены в плоскости пластины)... 111
3.1.1. Прочность и рациональное проектирование при однопараметрическом нагружении............................................ 115
3.1.2. Начальное разрушение при комбинированном нагружении
( в случае феноменологических критериев прочности).......... 124
3.2. Предельное состояние кольцевых пластин с цилиндрической анизотропией при нагружении в своей плоскости.................... 130
3.2.1. Пластины, армированные непрерывными волокнами постоянного поперечного сечения (при детерминированных параметрах)..... 135
3.2.2. Влияние стохастической природы механических свойств элементов композиции на прочность пластин.............................. 138
3.3. Начальное разрушение при изгибе и рациональное проектирование по условиям прочности кольцевых пластин (случай цилиндрической анизотропии)..................................................... 143
ГЛАВА 4. ПРОЧНОСТЬ АРМИРОВАННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ТЕРМОСИЛОВОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ....................................................... 157
4.1. Разрешающая система уравнений изгиба осесимметричных
оболочек.................................................... 157
4.2. Цилиндрические оболочки......................................159
4.2.1. Напряженно-деформированное состояние...................... 159
4.2.2. Начальное разрушение и рациональное проектирование.........168
4
Стр.
ГЛАВА 5. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ПОДХОД ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ И ОЦЕНКИ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ИЗГИБАЕМЫХ КОНСТРУКЦИЙ...................... 187
5.1. Разрушение от поперечных сдвиговых напряжений в связующем (основные предположения и соотношения).................. 187
5.1.1. Разрушение стержней (балок и колец).................. 189
5.2. Влияние структуры армирования на несущую способность цилиндрических оболочек и кольцевых пластин.........................217
ГЛАВА 6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МЯГКИХ КОМПОЗИТОВ.................................................231
6.1. Построение определяющих соотношений для нетканых материалов точечной структуры.......................................233
6.1.1. Кратковременное нагружение...........................241
6.1.2. Длительное внешнее воздействие.......................245
6.2. Оценка прочности волокнисто-сетчатых композитов........251
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................258
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ............................262
ПРИЛОЖЕНИЯ.................................................. 291
5
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы. Тенденции развития многих современных отраслей техники (авиастроения, энергетического и химического машиностроения, судостроения, приборостроения, строительство пневматически напряженных конструкций, воздухоопорных зданий и сооружений, легкой и текстильной промышленности и т.д.) характеризуются интенсивным внедрением конструкций из композитных материалов. Возрастающие требования к условиям эксплуатации приводя! к необходимости проектирования и создания изделий, работающих под воздействием совокупности неравномерных силовых и температурных нагрузок.
Для решения обратной задачи определения эксплуатационных нагрузок конструкций из композитов необходимо, в первую очередь, иметь метод расчета поверхности начального разрушения в пространстве параметров внешнего воздействия. Данный метод должен учитывать характерные особенности деформирования и разрушения композитных материалов и изделий из них. Использование структурных подходов (на уровне элементов композиции или послойного анализа) в отличие от феноменологических позволяют проводить анализ прочности на основе численного эксперимента на ЭВМ и только базовых экспериментов, а тем самым избежать или по крайней мере сократить объем дорогостоящих испытаний натурных моделей конструкций. С другой стороны, структурный подход позволяет более полно учитывать реальные свойства субаруктурных элементов и условия работы изделия, а тем самым проектировать конструкции, имеющие рациональные (по весовым, деформативным, прочностным или каким-либо другим эксплуатационным показателям) конструктивно - технологические параметры. Таким образом, разработка и внедрение в практику структурных методов расчета начального разрушения, процесса разрушения и несущей способности различных элементов конструкций из композитных материалов при комбинированном нагружении является актуальным и имеет важное народнохозяйственное значение.
Однако, игнорировать объективные особенности деформирования и разрушения композитного материала в составе конструкции было бы опрометчиво. Поэтому феноменологические подходы позволяют в ряде случаев более точно опре-
6
деллть механические характеристики заданного композита в конкретном изделии, а тем самым дают возможность делать проверку структурных моделей.
Анализу разрушения изгибаемых конструкций: балок, колец, сегментов и пластин из армированных пластиков посвящены работы [1 - 28]. (Здесь и в дальнейшем ссылки, как правило, делаются на итоговые работы авторов.) В [6, 13, 17-19, 21-27] для балок, в [1, 3, 8, 9, 12, 19, 20] для колец и сегментов, в [19] для пластин при однопараметрическом нагружении экспериментально показано, что в зависимости от механических свойств компози та и геометрических параметров конструкции изменяется и характер разрушения. В [1, 3, 6, 8, 9, 12, 13, 17-26] для балок, колец и сегментов экспериментально определены нагрузки, при ко торых происходит разрушение, область в конструкции, где оно появилось и указан вид разрушения: от нормальных напряжений или от сдвиговых (поперечных). В [13] приведен анализ влияния на характер разрушения несимметрии нагружения при трехточечном изгибе балок, а также рассмотрен случай двух равных сосредоточенных сил при изгибе шарнирно опертой балки.
На основании полученных экспериментальных данных в указанных выше работах, как, например, в [18, 28] утверждается, что “ условная сдвиговая прочность композиционного материала зависит от относительных геометрических параметров стержня”. Однако, в [1, 3, 6, 8, 9, 12, 13, 17-27] фактически определяются не напряжения, при которых происходят разрушения, а внешняя нагрузка. При этом в указанных работах получено, что толстостенные стержни разрушаются от поперечных сдвиговых напряжений, а тонкостенные стержни - от нормальных напряжений. Поэтому целесообразно считать, что при сдвиговой форме разрушения от относительных геометрических параметров изделия зависит разрушающая нагрузка, а не сдвиговая прочность композита.
Кроме того, следует отметить, что в упомянутых выше экспериментальных работах не указано какие приведены напряжения: соответствующие началу того или иного типа разрушения или отвечают исчерпанию несущей способности конструкции. Также не приведены экспериментальные зависимости размера зоны разрушения (например, сдвиговой - для кольца под действием двух равных проти-
7
воположно приложенных сосредоточенных сил), что позволило бы сделать более полным сопоставление теоретических и экспериментальных результатов.
Следует отметить, что анализ прочности однонаправленно армированных материалов при простых видах нагружения (растяжении, сжатии, сдвиге) приведен в [29-42].
Результаты исследований концентрации напряжений и разрушенния анизотропных пластин с концентраторами в виде отверстий, тонких вырезов и выточек при деформировании усилиями, действующими в срединной плоскости, приведены в [2, 15, 43-51]. В ходе экспериментов было отмечено наличие нескольких механизмов разрушения: отслаивание, разрыв волокон, разрушение связующего от нормальных напряжений и т.д. Кроме того, разрушение обычно наблюдалось в области, не совпадающей с точкой максимального коэффициента концентрации осредненных напряжений.
Анализ напряженно-деформированного состояния конструкций и теоретическая оценка характера разрушения в упомянутых выше работах были выполнены на основе осредненных параметров жесткости и прочности композита. Такой подход, в отличие от структурного, не дает возможность учесть эффективность работы каждого элемента композиции, предсказывать характер локального разрушения в зависимости от геометрических параметров конструкции, механических свойств волокон и связующего, структуры армирования и условий нагружения.Следовательно, не позволяет прогнозировать рекомендации для целевого проектирования анизотропных материалов, которые наиболее эффективны при эксплуатации изделий для заданных условий внешнего воздействия.
В работах [37, 52] при анализе прочности конструкций используется схема суммирования жесткостей по слоям и феноменологические критерии прочности для однонаправленно-армированных образцов: теория максимальных нормальных напряжений, критерии прочности Хилла и Фишера. При этом в качестве уравнений равновесия оболочечных конструкций используются либо уравнения безмо-ментной теории оболочек, либо - при гипотезах Кирхгофа-Лява. Однако, как от-
8
мечено в [37] критерий прочности для элементарного однонаправленного слоя не всегда позволяет в общем случае учесть схему армирования.
В работах [37, 53, 54] обсуждаются расчетные модели, которые позволяют определить несущую способность конструкции. Данные модели основываются на той или иной схеме редуцирования жесткостей многослойного композита в процессе его послойного разрушения при тех нагрузках (в случае статического нагружения) или в те моменты времени (при динамическом воздействии), когда нарушается феноменологическое условие прочности 1-го однонаправлено- армированного слоя.
Любая конструкция из композитного материала представляет собой статистический ансамбль весьма большого количества первичных элементов (волокон и связующего), каждый из которых в той или иной мере является ответственным за прочность изделия. Поскольку механические свойства элементов субструктуры имеют случайный характер, то при помощи вероятностных методов в [55-61] определены механические и прочностные характеристики композитных материалов и элементов конструкции.
Следует также отметить, что развитие стохастических моделей разрушения однонаправленных композитов с непрерывными волокнами получило в [33, 38, 57, 58] , в которых модели разрушения основаны на совместном рассмотрении процесса накопления рассеяных повреждений и процесса развития макроскопических трещин. При этом учитываются как разрывы отдельных волокон, так и расслоение композита из-за повреждения матрицы или границы матрица-волокно.
В диссертации основное внимание уделяется исследованию прочности различных композитных материалов и изделий из них, находящихся при комбинированном внешнем воздействии. При этом для ответственных элементов конструкций, в общем случае, недопустимы какие-либо разрушения, так как это приводит к появлению микротрещин, т.е. нарушению сплошности (монолитности). Для этого в 1 -ой главе разработан комплексный метод решения обратной задачи о начальном разрушении произвольных оболочек из жестких композитов при многопараметрическом внешнем воздействии. Данный метод включает: 1) единую формули-
9
ровку краевых задач для произвольных оболочек (в частности, стержней и пластин), которые найдены из принципа виртуальных перемещений при обобщенных гипотезах С.П. Тимошенко; 2) формулировку структурных критериев прочности, учитывающих различие прочностных характеристик элементов композиции при растяжении - сжатии; 3) алгоритм построения гиперповерхности начального разрушения в пространстве параметров внешнего воздействия для оболочечных конструкций как в случае структурных, так и феноменологических критериев прочности (при послойном анализе).
Кроме того, дана постановка задачи рационального проектирования конструкций по условиям начального разрушения и по жесткости.
В 2-ой главе на основе разработанного метода поведено численное исследование начального разрушения стержней (балок и круговых колец) при комбинированном внешнем воздействии в зависимости от относительных геометрических параметров конструкции, механических характеристик элементов композиции и их удельного объемного содержания. Проведено сопоставление полученных теоретических результатов с известными в литературе экспериментальными данными и получено удовлетворительное совпадение.
В 3-ей главе исследовано начальное разрушение различных пластин. Рассмотрены прямолинейно - анизотропные пластины с вырезами и кольцевые с цилиндрической анизотропией при комбинированном нагружении в своей плоскости, а также кольцевые пластины при изгибе. Найдены проекты пластин рациональных по условиям прочности.
Для оценки влияния стохастической природы механических свойств элементов композиции на величину нагрузки начального разрушения, его характер и область, где оно возникает (при заданной надежности) предложен подход, основанный на методе статистических испытаний. Численная реализация предложенного подхода проведена на примере кольцевой пластины, нагруженной в своей плоскости, для которой найдены доверительные интервалы разрушающих нагрузок.
10
В 4-ой главе из общих соотношений первой главы получены формулировки краевых задач относительно обобщенных перемещений для осесимметричных армированных оболочек при термосиловом внешнем воздействии.
Для цилиндрических оболочек под действием равномерно распределенного внутреннего давления при различных условиях закрепления проведено сравнение осредненных напряжений и смещений полученных в диссертации с решением из [62]. Получено удовлетворительное совпадение. Проведено численное исследование начального разрушения от величины температурного нагрева и характера армирования. Найдены проекты рациональной структуры по условиям начального разрушения, удельной прочности и с точки зрения жесткости.
Для учета естественного разброса свойств компонентов композита при оценке прочности оболочек использовался алгоритм, изложенный в третьей главе. В качестве числового примера рассмотрена замкнутая цилиндрическая оболочка под действием равномерного внутреннего давления. В зависимости от структуры армирования указаны границы области значений внешней нагрузки, в которой с заданной вероятностью оболочка начнет разрушаться.
В 5-ой главе дан приближенный подход для оценки несущей способности изгибаемых элементов конструкций в процессе сдвигового разрушения связующего (т.к. изделия из композитных материалов, как правило, обладают ослабленным сопротивлением поперечным сдвигам). Основные упрощающие предположения, алгоритм численного счета и подробный анализ сделан для балок. Для колец, цилиндрических оболочек и кольцевых пластин проведено численное исследование влияния различных параметров изделия (геометрических, механических и структурных) на величину нагрузки несущей способности и зон сдвигового разрушения.
В 6-ой главе в отличие от предыдущих, где рассматривались жесткие композиты, проведено исследование мягких композитов, имеющих волокнистосетчатую структуру. Для данных материалов, используя идеи структурного анализа, предложены: 1) модель стержневого типа, учитывающая особенности деформирования и разрушения этих композитов; 2) сформулированы структурные кри-
11
терии прочности; 3) разработаны алгоритм и программа численного расчета определяющих соотношений (как при кратковременном, так и при длительном нагружении), условий начального разрушения и предельного состояния (в случае плоского напряженного состояния).
Таково вкратце содержание диссертации.
Целыо работы является разработка метода решения обратных задач прогнозирования начального разрушения и несущей способности композитных материалов (мягких и жестких) и различных оболочечных конструкций из жестких композитов при комбинированном нагружении с использованием концепции структурного анализа и на основе феноменологических критериев прочности для анизотропного слоя. На основе указанного метода определить проекты рациональной структуры по условиям начального разрушения и удельной прочности; разработать метод анализа начального разрушения конструкций с учетом стохастической природы свойств элементов композиции; разработать приближенный подход для исследования процесса разрушения от поперечных сдвиговых напряжений и оценки несущей способности изделия при данном типе разрушения.
Научная новизна и практическая ценность работы.
1. Разработан метод решения обратной задачи о начальном разрушении произвольных оболочек из жестких композитов при комбинированном на1ружении (с использованием структурных и феноменологических критериев прочности). Для этого, во-первых, дана единая формулировка краевых задач для произвольных оболочек, которые согласованы (в смысле вариационного принципа) с принятыми кинематическими и статическими гипотезами. Во- вторых, предложен конструктивный алгоритм построения гиперповерхности начального разрушения в пространстве параметров внешнего воздействия, который сводится к однопараметрическому нагружению при сканировании по возможным направлениям. В силу того, что условия прочности для элементов композиции и армированного монослоя являются нелинейными, учитывающие различие прочностных свойств при растяжении - сжатии, доказана теорема, позволяющая исследование начального разрушения при однопараметрическом нагружении конструкции разделить на два
12
этапа. На 1-ом этапе решается серия экстремальных задач по пространственным координатам оболочки, а на 2-ом этапе - задача минимизации по разрушающим нагрузкам, соответствующих началу разрушения субструктурных элементов или каждого армированного монослоя. При этом данный алгоритм исключает итерационный процесс по параметру нагружения.
2. На основе предложенного метода проведено исследование начального разрушения жестких композитов, балок, колец, пластин и оболочек при различных условиях нагружения и закрепления. Численно показана выпуклость гиперповерхности начального разрушения, что позволяет оценивать прочность при комбинированном нагружении, определяя лишь прочность при отдельных видах нагружения.
3. Для различных конструкций получены проекты рациональной структуры по условиям начального разрушения, по удельной прочности и жесткости. Указаны границы целесообразной прочности одного из элементов композиции при заданной прочности другого, превышение которой не приводит к увеличению разрушающей нагрузки для изделия.
4. На основе метода статистических испытаний разработан подход к исследованию прочности конструкций с учетом стохастической природы параметров композитного материала, этот подход позволяет при заданном уровне значимости определять доверительные интервалы для разрушающих нагрузок и вероятности разрушения субструктурных элементов.
5. Предложен приближенный подход к исследованию процесса разрушения обо-лочечных конструкций от поперечных сдвиговых напряжений. Это позволило определить протяженность зон сдвигового разрушения от величины действующей нагрузки и оценить несущую способность изделия в зависимости от структуры армирования и механических характеристик элементов композиции.
6. Предложено дальнейшее развитие структурного анализа при исследовании определяющих соотношений, условия начального разрушения и предельного состояния мягких композитов волокнисто-сетчатого строения (в случае плоского напряженного состояния). Для этого построена механическая модель стержневого
13
типа и сформированы структурные критерии прочности, которые учитывают особенности деформирвания и разрушения мягких композитов как при кратковременном, так и при длительном нагружении.
Результаты, полученные в настоящей работе, по решению прикладных задач вошли в отчеты НГУ за 1971г., ИГ СО АН СССР за 1974-1982г.г., ВЦ СО АН СССР г. Красноярска за 1983г., ИТПМ СО АН СССР за 1985-1987г.г., НФ МТИЛПа за 1989-1990г.г., НГТУ за 1999г. переданы заинтересованным организациям и одобрены ими, в частности, ЦНИИСМ (г.Хотьково), ВНИИПИК (г.Москва).
В приложениях перечислены отчеты, которые выполнены по хоздоговорным работам, и приведены “Отзывы” и “Акты о передаче НИР” соответствующих организаций.
Теоретические разработки по расчету напряженно-деформированного состояния, прочности армированных стержней, пластин и оболочек нашли отражение в курсовых и дипломных работах студентов НГУ (на кафедре”Механика деформируемого твердого тела”) и НГТУ (на кафедре “Прочность летательных аппаратов”). Предложенная в диссертации математическая модель мягкого композита и уравнения изгиба неоднородных стержней используются в учебном процессе в рамках учебно-исследовательской работы сгудентов НТИ МГАЛП и НГТУ. Результаты этих работ докладывались на различных студенческих конференциях г. Новосибирска.
Основные положения диссертации опубликованы в [63-102].
Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность д.ф.-м.н., профессору Ю.В. Немировскому за обсуждение результатов докторской диссертации и ценные замечания, д. Т. н., профессору В.Н. Максименко за поддержку и помощь на заключительном этапе работы над докторской диссертацией, всем соавторам и коллегам, которые принимали участие при выполнении исследований по теме диссертации.
14
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЧНОСТИ ДЛЯ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
1.1. Физические соотношения жестких армированных материалов
Композитные материалы - это сложные гетерогенные системы, состоящие из наполнителя в виде волокон (коротких или длинных), частиц (сфер, “усов” и т.д.), внедренных в матрицу (например, полимерную или металлическую). Эти материалы характеризуются своеобразной структурой, особенности которой позволяют отличить один тип от другого. В общем, вес композиты можно условно разделить на два класса: жесткие и мягкие. Под жесткими будем понимать материалы, которые используются в качестве конструкционных. В частности, армиро-ванныые пластики: угле,- боро,- стекло,- органопластики, армированные металлы и керамика, сферопластики и т.д.. В этих материалах взаимодействие наполнителя со связующим происходит, как правило, по всей склеиваемой поверхности, что придает им большую монолитность, плотность и жесткость по сравнению с волокнисто-сетчатыми мягкими композитами (которые будут рассмотрены в главе 6).В связи с этим для жестких композитов будем рассматривать малые деформации.
Рассмотрим физически линейные соотношения, которые для термоупругих материалов в системе координатх‘ можно записать в виде [45, 103, 104] о'і = А»к1ек1 - ВЧ . (1.1.1)
Здесь х1 - система координат (в общем случае криволинейная), к которой отнесена рассматривая сплошная среда, а11 - контравариантные компоненты тензора напряжений, екі~ ковариантные компоненты тензора деформаций, Аі]кІ - компоненты тензора модулей упругости, Ви - компоненты тензора температурной жесткости, для которых из условий симметрии тензоров напряжений и деформаций имеем АчкІ = Ач1к = Аі,к1 = Ак1У , Ви = В-*к, #-приращение температуры. Здесь и
15
ниже, если не оговорено, считаем, что индексы, обозначенные латинскими буквами, пробегают значения 1, 2, 3, а греческими -1,2 и используется обычное правило суммирования по повторяющимся индексам.
Существует два подхода к определению компонент тензоров упругости, температурной жесткости и поверхности прочности композитных материалов: феноменологический и структурный. При феноменологическом подходе [19, 105-112] наряду с его простотой и надежностью, одним из существенных его недостатков является тот факт, что каждый тип анизотропии требует проведения определенной экспериментальной программы для нахождения компонент соответствующих тензоров: А,]к1 и Ви. Например, если кольцевую пластину' армировать вдоль радиусов непрерывными волокнами постоянного поперечного сечения, то плотность армирования будет уменьшаться от центра к периферии, а тем самым
А‘]к1, В^ будут зависеть от радиальной координаты. Таким образом, при феноменологическом подходе определение механических характеристик композитного материала, из которого изготовлена конструкция, в общем случае, требует проведение серий экспериментов (статистически достоверных объемов) для всех х‘, что практически невозможно реализовать и неприемлемо с экономической точки зрения. Структурный подход [106, 112-135] позволяет избежать указанного недостатка. Кроме того, при структурном подходе после решения соответствующей краевой задачи и определения напряженно-деформированного состояния конструкции можно получить и напряжения в элементах композиции. Указанные обстоятельства позволяют перейти к рассмотрению локальных эффектов в субструк-турных элементах, на границе раздела фаз, определять характер разрушения и решать конструктивно вопросы рационального проектирования изделий из композитных материалов.
При решении в комплексе столь разнообразных проблем естественно ориентироваться на математические модели, описывающие основные свойства композитов и имеющие в то же время наиболее удобный вид для последующего анализа. Поэтому в случае жестких волокнистых композитов будем использовать ос-
16
новные предположения и гипотезы модели композиционного материала из [115, 116], которые для тонкостенных конструкций имеют вид [63]:
<таД = соса°р + соа^сок оак і[ІІ, С7а3 = <3 (1.1.2)
к-\
или
а*Ф = Аа^ет -Варв, О-аЪ = Аа3*3еа3 (1.1.3)
(по а не суммировать), где
_ т
Ааааа = сосЕс /(1 -^2) + ^Х£„*(/?)4,
к=1
т
Аааа^Фа^сокЕл(1ак)ъ!рк (аФ/3),
*=1
т
Лп'2=сосЕсКІ + ус) + соаїсокЕак(11)2(ІЇ)2,
к=)
АШ2 =усо>сЕсІ(\-ус2) + соа%б)кЕак(11)2(і];)2,
к=\
т
Ваа = <0сЕсас /(I- у2с) + ео0£сокЕакаак(1?)2 ,
к= 1
В12 = <уя X акЕакаак (!к )2 .
*=1
^а3=2Єс/«с=Вс/К(1 + ^)>
= ОА)^*3 ,©к =пкЕкІ(АЕИа),11 =С0Бук,12к = эт^, (1.1.4)
/г = 1,2,.../?),©, =!-©„;
(0/< - удельная интенсивность армирующих волокон &-го семейства в плоскости армированного слоя,
Рк - площадь поперечного сечения элементов армирования,
Пк - количество волокон на отрезке АР (рис. 1.1.), ка - толщина слоя с армирующими волокнами,
соа - интенсивность слоя с армирующими волокнами по толщине конструкции, па - количество этих слоев в характерном элементе,
V с
Рис. 1.1. Схема элемента армированной оболочки.
18
ц/* (0 < у/к <тг)’ угол между волокнами £-го семейства и направлением х1,
Ес, ус - модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала связующего,
&ак ' М°ДУЛЬ Юнга материала армирующих волокон к-го семейства, ас,аак - коэффициенты линейного теплового расширения материалов связующего и армирующих элементов к-го семейства, в - приращение температуры.
Здесь и в дальнейшем величины с индексом ‘V’ относятся к связующему, а с индексом “а “ к армирующим волокнам. При этом, как и в [115, 116], считается, что элементарный объем композита (изображенный на рис.1.1.) состоит из изотропного связующего с внедренным в него армирующим слоем. Кроме того, принимается, как, например, [19, 62,136], что при изгибе тонкостенных армированных конструкций (типа стерженей, пластин и оболочек) поперечными напряжениями сг3 можно пренебрегать по сравнению с остальными, а поперечные сдвиговые напряжения в соответствии с [115, 116] воспринимаются только слоями изотропного связующего (слои с армирующими волокнами являются абсолютно жесткими на поперечный сдвиг).
Напряжения и деформации в связующем и армирующих элементах подчиняются закону Дюамеля - Неймана, который с учетом указанных предположений можно записать в виде [63]:
= Ес(еаа + Усерр ) /0 -У2с)~ ССсЕс9 /(1 - Уе) (а * /3) ,
=£>12 /(1 + 0,0-?3 = 2Ссе|,,е'з = ев,/а>с; (1.1.5)
аак = Еакеак ~ аакЕак&• еак = епЙ)2 +^еП^к + е22(!к)2> (1.1.6)
(*=1,2,...,/и).
Указанные соотношения позволяют по известному напряженно-деформированному состоянию конструкции определять напряжения в армирующих элементах и связующем. Это обстоятельство дает возможность сформулиро-
19
вать критерий разрушения армированной конструкции с учетом разрушения суб-структурных элементов компози та: волокон и связующего.
Приведенные формулы для волокнистого композита имеют довольно простой вид, и, как будет показано далее, в ряде случаев их использование дает хорошее согласие с экспериментальными данными. При необходимости дальнейших уточнений, например, двумерности напряженного состояния в волокнах, могут быть использованы и другие более сложные модели, в частности, рассмотренные в [112, 118, 126, 130, 131, 134, 137-140]. Однако следует иметь в виду, что соответствующие формулы для компонент тензоров А'*ш уВи будут значительно сложнее, а это существенно затруднит анализ разрушающих нагрузок и тем более построение рациональных проектов для конструкций из композитных материалов.
1.2. Формулировка кинематических и статических гипотез
Будем рассматривать конструкции типа оболочек, криволинейных панелей, плоских пластин и криволинейных стержней из жестких композитов. Тонкой оболочкой, как обычно, считаем трехмерное тело, для которого один размер, называемый толщиной, много меньше любого другого характерного размера поверхности. Очертание оболочки определяется ее лицевыми поверхностями, которые обозначим £ + и 5", и совокупностью боковых поверхностей2Г. Область пространства, заключенную между поверхностями £ + , £“ и ^обозначим /2. Кроме того, введем регулярную поверхность 5 такую, что из любой точки области /2 на поверхность 5 можно опустить нормаль, пересекающую 5 лишь в одной точке. Не уменьшая общности и для определенности будем считать, что 5 с /2. В дальнейшем поверхность £ будем называть отсчетной поверхностью оболочки.
Радиус - вектор Я любой точки М еП можно представить в виде[141]:
Я = г(х1 ,х2) + х3 п(х19х2) , (1.2.1)
где х' - система координат, нормально связанная с поверхностью З. Тогда равенства
3 3 , I 2 i -“12*
x= 0, xJ =h (x 9x ), x =h {x ,x ) определяют, соответственно поверхности
S, S+, S~и так как S с Г2, то h±(x\x2) - неотрицательные функции своих аргументов.
Если на поверхности S координатными линиями т! = const, д:2 ^const являются линии кривизны, то получим выражения для компонент метрического тензора [141]:
gn =g'2 =0,gaa =(l-kax3)aaa,gaal/gaa, (1.2.2)
где ka - главные кривизны, аар и Ьар - коэффициенты 1-ой и 2-ой основных квадратичных форм отсчетной поверхности S.
Дифференцируя обе части неравенства (1.2.1), получим вектор-функции
— 3- — - дг - дп — дЯ .
Я а — Г а + X Па , Я 3 — Я {fa ~ ->Па — ^Яа —----------) , (1.2.3)
дха дха Зса
составляющие локальный базис рассматриваемой координатной системы. На основании формулы Вейнгартена [141]:
Па=-Ь^гр=-ЬсфгР (1.2.4)
и в соответствии с определением коэффициентов первой и второй основных квадратичных форм поверхности S [141] имеем
аар=ара=гагр , Ьар=Ьра=-гапр=-пагр (1.2.5)
Вектор - функции га от гауссовых параметров х' , х2 в соответствии с условиями
- -в в
биортогональности гаг = 8иа определяются следующими выражениями:
ra = aaf5гр {aafi = г*/ ; S%- символ Кронекера). (1.2.6)
В силу ортогональности векторов г * и /?, га и /г, па и п имеем очевидные равен-
21
Поскольку один размер оболочки - ее толщина, много меньше других размеров, при выводе уравнений равновесия в теории оболочек пользуются различными приемами редукции (по координате х3 ) трехмерной задаче к двумерной [142-148]. Такая редукция заметно упрощает математическую задачу, уменьшая число независимых переменных на единицу.
Конструкции из армированных материалов при деформировании под нагрузкой обладаюг рядом специфических особенностей. В частности, ослабленным сопротивлением поперечному сдвигу и существенным влиянием структуры армирования на поведение конструкции. Поэтому для таких конструкций гипотезы Кирхгофа - Лява не всегда применимы.
Поведение анизотропных плоских стержней, оболочек и пластин при различных упрощающих предположениях, позволяющих учитывать влияние поперечного сдвига, было исследовано во многих работах, результаты которых нашли отражение в [9,11,14,18,19,45,62-67,125,136,143,148-174].
Результаты по исследованию напряженно-деформирванного состояния плоских анизотропных брусьев (в виде балок, плоского кругового кольца, его части или разрезного кольца), находящихся в обобщенном плоском напряженном состоянии под действием усилий, распределенных на краях, приведены в [9, 11, 14, 18, 45, 151, 154, 155, 162]. В этих работах напряженно-деформированное состояние определялось с помощью функции напряжений, которая в зависимости от характера нагружения представляется в виде полиномиальных рядов, либо с помощью рядов Фурье. Следует отметить, что , хотя в указанных работах задачи решаются в рамках плоской задачи теории упругости (т.е. учитываются поперечные сдвиговые и нормальные напряжения), однако полученные решения удовлетворяют граничным условиям лишь на криволинейных сторонах стержня (в случае балок это соответствует длинным сторонам). На концах стержня точно удовлетворить граничным условиям, вообще говоря , не удается. Напряжения на торцах в зависимости от способа их закрепления, приводятся лишь к силе и моменту, уравновешивающие внешнюю нагрузку. Кроме того, решения в [9, 11, 14, 18, 45, 151, 154, 155, 162] за исключением простых случаев нагружения и закрегшения, полу-
22
чены в виде рядов достаточно сложной структуры. Поэтому их использование в практических инженерных расчетах при относительно произвольных условиях нагружения и закрепления оказывается затруднительно.
В [169] предлагаются подходы к решению задач статики слоистых анизотропных цилиндрических оболочек в пространственной постановке лишь при некоторых видах граничных условий на торцах оболочки, которые допускают разделение переменных путем разложения искомых величин в двойные тригонометрические ряды.
В [174] трехмерные уравнения теории упругости приведены к конечной системе двумерных уравнений пластины при использовании усеченных рядов по координате х3 для поперечных компонент тензора деформации. При этом приближенно удовлетворяются соотношения закона Гука (в среднеквадратическом приближении) и краевые условия на торцах (из условия равенства работ).
В работах [153, 156, 158, 164, 166, 172] использовались гипотезы С П. Тимошенко, которые хотя и учитывают поперечные сдвиговые напряжения, но граничным условиям (в каждой точке поверхности конструкции) для этих напряжений не удовлетворяют. Поэтому использование уравнений изгиба, основанных на указанных гипотезах, могут привести в ряде случаев к погрешностям при определении поперечных сдвиговых напряжений, которые являются наиболее опасными для конструкций, армированных высокопрочными волокнами.
В качестве основного предположения в [62,136] используется статическое условие: задается закон распределения поперечных касательных напряжений,
удовлетворяющих граничным условиям на поверхности £+,5'“. Однако в смысле вариационного равенства уравнения равновесия, полученные в [62,136], не всегда согласованы с наличием тех связей, которые диктуются принятыми гипотезами. Это приводит, как будет показано в следующих главах, к существенному изменению распределения напряжений в окрестности краев конструкции. Кроме того, в рамках этого подхода не удается реализовать вариант жесткой заделки края оболочки.
23
В [163] получены уравнения равновесия и граничные условия, основанные на кинематических гипотезах, которые соответствуют заданию закона изменения всех компонент перемещения по толщине оболочки. Эти соотношения позволяют учитывать влияние как поперечного сдвига, так и поперечное обжатие. Последнее обстоятельство значительно усложняет разрешающую систему уравнений.
Как показывают результаты экспериментов [1, 4-7, 17, 19, 21-24, 175], именно разрушение от поперечных сдвиговых напряжений во многих случаях лимитирует несущую способность конструкций из композитных материалов. Учет обжатия влияет на напряженно-деформированное состояние конструкции значительно меньше, чем учет поперечных сдвигов [19, 136]. В связи с этим в качестве кинематических гипотез примем такие, которые позволяют учитывать как искривление нормали, так и поперечные сдвиговые напряжения, удовлетворяющие необходимым граничным условиям на лицевых поверхностях оболочки, в виде [63,68,176]:
«« =Г(*3)'“«й(*'>*2), «з = Що(х\х2). (1.2.8)
/=0
Будем считать также, что напряжения а33 « уста3. Учитывая (1.2.8) представим вектор смещений точек оболочки и{щ,и2> щ } в виде:
и =ио +х3иа1га +(хг)2иа2га +(х3)3иа3га . (1.2.9)
Здесь 7/о{цю>м20>^зо}" вектор смещений отсчетной поверхности 5.
Перейдем к рассмотрению деформации оболочки, ковариантные компоненты которой определяются следующим образом [141]: е{. - - gij), где ко-
вариантные компоненты метрического тензора для деформированного пространства, отнесенного к недеформированному базису [141]:
g*j = Я*я) (Я1=яГ/<&,). (1.2.10)
Радиус-вектор точки в деформированной оболочке Я = Я + Ц о .
Подставляя в данное выражение (1.2.1), (1.2.9) и дифференцируя, получим:
Яа = га +х3па + дУ о I дха + х3 д(и г^)1 дх3 +
24
+ (л*'>)2д(Цр2гР)/<к2 +(*3)3д(и)/дха ,
(1.2.11)
—* —
Я з = « + «„] г“ +2*3иа2га +З(д:3)2ыв3/-0Г>
где д110/дха и д{ир 1 )I ска определяются следующим образом:
д11ь1дха =(^аир0-ЬраиЪ0)гР +{ди30/дх2 +Ь^и^)п ,
д(и^/)!дха = Vaг//?i/ +Ь%и/}1п. (1.2.12)
Здесь и в дальнейшем Уа- символ ковариантных производных на поверхности Б [141]. Подставляя (1.2.12) в (1.2.11), а затем в (1.2.10), получим:
= \га +Х3па -ьмаи20гм + (&и30/дха +Ь£и/10)п+'£(х3ууаи / +
»- /=0
ёа{)
+ 1.(х3уь£и ,п
/=1
Гр +х3пр -Ь//3и30г + (За зо / дх^ +Ьгриу0)п + + 1](х3У^р«^ +’Е(хЪУЬ^иг,я],
ёаЗ 3
3
Га +х3Па -Ьмаи30г * +(ди)0/дха +Ь£им0)п + '£(х'3ууаир,г'‘ +
- И
<=0
+ К*3 У
/*1
/л
л + г (иу1 + 2х3иу2 + З(дс3)2иу3)1.
Разворачивая данные произведения с учетом (1.2.2)-(1.2.7) и сохраняя только линейные члены относительно смещений и их производных, получим окончательно следующие выражения для компонент тензора деформаций:
з
/=0
еаЗ = [<?г/30/&“ +*а"а0 + «а1 + 2*3"а1 + 3(^)2«аЗ [ Здесь и в дальнейшем использованы допущения [142]:
1 -ках3 = 1 V*3 е [- /Г,/? + ]
(1.2.13)
(1.2.14)
25
1.3. Уравнения равновесия и краевые условия линейной теории анизотропных оболочек ( при обобщенных гипотезах С.П. Тимошенко)
Пусть на лицевых поверхностях 5Г±оболочки постоянной толщины 2/7 действуют распределенные усилия о ** и сг соответственно. Обозначим через д4 и п орты внешних нормалей к и 5'соответственно, а через взаимно
перпендикулярные касательные орты 5±. В этом случае имеем
о-* = + +Р(» ')'*> О-31)
где
Р(т)=°±и?и/> Р(«,)=*±”М> Р(т) =<з㱫(±5у , (1.3.2)
л*, я*, /* - ковариантные компоненты ортов п~, Г1, б*; р*пп), р*„ц, ^ - нормаль-
ные и касательные напряжения на поверхностях Если в качестве отсчетной поверхности выбрана срединная и внешние усилия на лицевых поверхностях заданы в виде сг = сг33 п + сг].3/ + сг?3 , то граничные условия в напряжениях при учете (1.3.1), (1.3.2) можно записать следующим образом
о-*3
сг33
хг =±н У) ’ (1 -3-3)
з =<г»(Д*2)- (I-3-4)
х =±Л
При отсутствии обжатия распределенные нормальные усилия можно свести
1 7 ^ 1 О ^ 17 -
к равнодействующему сг0 (х ) = ег+ (* ) + сг_ (л ,д: ), которое будем счи-
тать для определенности приложенным к срединной поверхности
К краевым условиям (1.3.3), (1.3.4) на лицевых поверхностях необходимо присоединить условия на боковой поверхности £ •' в напряжениях, смещениях или смешанные. Будем предполагать, что на боковой поверхности £ действует рас-
—— 17 7 “
пределенное усилие, которое обозначим через <Т(,)Сх ) . Если /- орт нор-
мали площадки поверхности бЕ , а ^ и п -взаимно перпендикулярные касательные орты к 6Е , то имеем
<7(0 =А«)/ + Л*>5+ Ртп > О-3-5)
где рт = а^агр , Рц5) = , р0п) = <т$%; 1а^а>па - ковариантные ком-
поненты ортов /,з,л, а через Рцц, р^)» Р(ы) обозначены нормальные, продольные
и поперечные касательные напряжения, действующие на площадку с нормалью /! Учитывая (1.2.14), (1.1.3), из условий (1.3.3) определим
“«2 = 4*2, “«з =л*з ~(ди30/дха +каиа0 + иа1)/(ЗИ2) (1.3.6)
(где Яа2 = I! !{2ИАа3а3\Ла3 = Ы /(3Л2Ла3“3),Е? = а?3 ±а?3).
С их помощью из (1.2.8) и (1.2.13), (1.2.14) будем иметь иа =Ко+Х3иа,+(х3)2Ла2 +
+(хзУ[ла3-(ди}0/дх<‘ +каиа0 + и^)/(Зй2)], (1.3.7)
еа0 = \т
Ъ{х3У(Уаир,^риа,)+^{х3У^аЛр,^рЛа>)-/=0 1=2
-(*3)3|ул(сЦ0/ дх^ +криръ + ирх) + V р(ди 30 / дха +
+ каиао +иа\)\/(ЗЬ2)-Ьа0иЗо} » (1.3.8)
= 1/2(ди30/дха+каиа0 +иа]Х\-(х31И)2 + х3(Ла2 +3/2*3Ла3). (1.3.9)
Уравнения равновесия и естественные граничные условия получим, используя вариационный принцип Лагранжа, который записывается следующим образом [16]:
(577 = 8Е + 8А у
где 5П - вариация потенциальной энергии деформации, 8Е- виртуальная работа внешних распределенных нагрузок, действующих на лицевых поверхностях оболочки, а 8А - виртуальная работа сил, приложенных к граничной поверхности оболочки £. Для вариации потенциальной энергии деформации имеем выражение
27
8П = Я4а<кхсЫг ) (сгар8еа0 +2аа38еа3)сЫ3 = д{(- ЧаТаР + к^аНаР +
5’ -И 5
+ к р'Грз)>иро + (-УаМаР + ?аНаР + Трз)>ир1 ~\ьа0Тар + Ч/)(УаНар +
+ 7’^3)}5мзо +^3Ко +'Л(7’в/?-я^^^о +
+ (Мар - Я^]й/Я - Нарб{диЪ0 Iдхр . (1.3.11)
При выводе этого выражения использовались соотношения (1.3..8),(1.3.9), формула 1 рина и следующие обозначения:
Тар = +1ааРс1х3 ,Мар = |аа/?л-3*3 -Л -л
+/; +Л
Н“Р = | <уар{хг)г 1{Зк1)ск3, Г“3 = |ста3(1-(х3/Л)2)Л3. (1.3.12)
-Л -Л
Через Г обозначен контур, ограничивающий поверхность 6’, а бх- элемент дуги кривой Г.
Виртуальная работа 8Е определяется следующим образом
8Е = Л [ста38иа (х1,х2,/?) + ста38иа (х1 ,х2,-/?) + гг33<£м30 ]л/а8х18х2 .
з
Учитывая (1.3.6) и формулу Грина нетрудно преобразовать данное выражение к виду
Ж = Я|1?диро + 2/ЗА<5ы^1 +(1/ЗАУ/? +ст033)^зо]'/яя!г1<*:2 -
5
-1/з|/?/а Е_ .
Г
Выражение для виртуальной работы <£4 записывается так:
<£4 = Д<т/£гк1 Е (^ Е = £&3с&) ,
где сг(/) определяется соотношением (1.3.5), а
8и = 8ии)1 + 8и{Ь1з + 8и(п)п,8и(п =8иа(а , 8и(8)=8иаза , <£м(я) =^30.
Если ввести обозначения:
-И -И
28
Н? = 1/(ЗЙ2)| а^(х3)38х3 , Т0а3 = |а0а3Л3, (1.3.14)
-Р -А
ТО
Лі = ф„('Л +ігіу)а^Л/!0 + {р? ~Н?)5ир] -
Г/ м 1 (1'315)
- Н^5[ди30 Ідхр)\+ трзір8и30 \іх
Подставляя соотношения (1.3.11), (1.3.13) и (1.3.15) в вариационное уравнение (1.3.10) и учитывая, что вариации 8ир0,8ир]у8и30 в поверхностных интегралах и 8ир0.8ир1у8и30у8(ди30/дх^) в контурных интегралах независимы, приходим к системе дифференциальных уравнений равновесия элемента армированной оболочки
- V аТа^ +кр{уаНа^ +Т^3) = Е+ , (по рне суммировать), Уа(М^-Яа/?)-Г/?3 = -2!ЪЬТ1> (1.3.16) ЪсфТ1* +Чр<УаИ<Ф +Т**г + 1/3/?Е^) = -<7033
и системе граничных условий на контуре Г:
{‘ркаН* +Трз+1/ЗИ'£р-Трз}т30=0,
|Га|тар -Н<Фкр- +5гч,)а/)у^ир0 = 0 , (1.3.17)
[,а [Мар - Нар - ^ \tyty + = 0 ,
{іа [- НаР + Я о07 (у„ + аг *„ )а ру^(дизо/дхр)=0.
В последних трех соотношениях по р не суммировать. Соотношения (1.3.17) дают различные варианты граничных условий. Например, если оболочка жестко защемлена на всей боковой поверхности £ , то из (1.3.17) имеем следующие краевые условия на контуре Г:
^зо = и ро ~ ир\ ~ дию і дх^ = 0 . (1.3.18)
Если на части боковой поверхности Е'(£'иЕ" = Е) оболочка жестко защемлена, а на остальной части Е" приложены распределенные усилия, то на 1 будут выполняться условия (1.3.18), а на Г" - условия, полученные приравни-