Теория и расчет конических оболочек сложной геометрической структуры

Оглавление
Введение...............................................................5
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. ОБЩИЙ ВИД РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава 1. Теория тонких гладких оболочек как пространственного двумерного континуума в косоугольной системе координат................16
1.1. Вводные замечания...........................................16
1.2. Три квадратичные формы поверхности. Деривационные формулы.. 17
1.3. Уравнения равновесия. Граничные условия.....................20
1.4. Геометрические соотношения..................................24
1.5. Уравнения совместности деформаций.
Полная статико-геометрическая аналогия.......................27
1.6. Физические соотношения......................................29
Глава 2. Методы решения...............................................31
2.1. Вариационный метод приведения двумерных задач к одномерным.. 31
2.2. Вариационный подход к решению краевых задач по определению НДС оболочек, свободный от выбора депланационных координатных функций..............................................35
2.3. Метод конечных разностей повышенной точности................37
2.4. Доказательство идентичности методов криволинейных сеток и конечных разностей................................................39
2.5. Метод векторных разностей как обобщение метода криволинейных сеток...............................................45
Глава 3. Математическая модель подкреплённой конической
оболочки сложной геометрии............................................50
3.1. Геометрия срединной поверхности оболочки....................50
3.2. Геометрическая модель и гипотезы............................53
3.3. Соотношения деформаций и упругости..........................58
2
3.4. Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений........................................................62
3.5. Кинематические и статические граничные условия..............67
3.6. О выборе координатных функций...............................69
3.7. Смешанная система разрешающих дифференциальных уравнений
в обыкновенных и частных производных.........................72
3.8. Дифференциальные уравнения колебаний........................76
ЧАСТЬ ВТОРАЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ КОНСТРУКТИВНО ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ Глава 4. Прямые цилиндрические оболочки произвольного очертания ... 81
4.1. Основные соотношения теории прямых оболочек.................81
4.2. НДС цилиндрической оболочки, загруженной сосредоточенными
и распределёнными нагрузками.................................85
4.3. Кручение жёстко защемлённой оболочки с симметричным контуром.........................................................94
4.4. Стеснённый изгиб оболочки..................................102
4.5. Свободные колебания прямых цилиндрических оболочек........ 105
4.6. Точное решение краевой задачи подходом, свободным
от выбора депланационных координатных функций...............116
Глава 5. Скошенные цилиндрические оболочки с произвольным контуром сечения....................................................121
5.1. Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений.......................................................121
5.2. НДС призматической оболочки, нагруженной сосредоточенными силовыми факторами..............................................124
5.3. Свободные колебания скошенных цилиндрических оболочек 132
5.4. Решение краевой задачи с помощью уточнённого вариационного подхода...........................................139
3
Глава 6. Прямые и скошенные многозамкнутые цилиндрические оболочки некругового очертания переменной жёсткости.............145
6.1. Разрешающие уравнения и граничные условия для прямой оболочки........................................................ 145
6.2. Стеснённое кручение многосвязной цилиндрической оболочки некругового очертания............................................149
6.3. Стеснённый изгиб многозамкнутой оболочки переменной толщины..........................................................159
6.4. Призматическая оболочка с толщиной, меняющейся
по степенному закону вдоль образующей.......................165
6.5. Оболочка, заделанная по скошенному краю....................169
Глава 7. Скошенные слабоконические оболочки произвольного очертания........................................................... 178
7.1. Разрешающая система дифференциальных уравнений.............178
7.2. Приближённое аналитическое решение для оболочки
с симметричным контуром сечения.............................182
7.3. Численное решение краевой задачи в уточнённой постановке 193
7.4. Прямая слабоконическая оболочка............................202
7.5. Свободные колебания слабоконических скошенных оболочек 208
7.6. Вынужденные колебания скошенных конических оболочек 215
Заключение...........................................................221
Литература......................................................... 227
4
ВВЕДЕНИЕ
Оболочки, обладая высокой несущей способностью, минимальной материалоёмкостью, экономичностью, возможностью перекрытия больших пролетов и архитектурной выразительностью, нашли широкое применение в общем и химическом машиностроении, авиационной и ракетно-космической технике, промышленном и гражданском строительстве.
Современные тонкостенные конструкции, как правило, очерчены сложными, в общем случае кусочно-гладкими поверхностями. Поэтому построение их расчётных моделей тесно связано с исследованием оболочек сложной геометрии. Степень их разработки в отличие от достаточно исследованных оболочек простейших канонических форм значительно отстаёт от запросов инженерной практики. Этим, видимо, объясняется тот факт, что при создании новых типов геометрически сложных пространственных конструкций значительное место ещё занимают экспериментальные исследования и дорогостоящие натурные испытания. Ясно, что создание прикладных методов расчёта таких оболочек является одной из наиболее актуальных проблем, с решением которой связаны экономия материалов в промышленном производстве, повышение эксплуатационной надёжности и снижение себестоимости инженерных сооружений. Решению этой проблемы в рамках принятого объекта исследования и посвящена данная работа.
К настоящему времени общая теория оболочек разработана достаточно полно и представлена в известных монографиях [6, 60, 62, 63, 64, 69, 114, 122, 124, 130, 158, 162, 173] и др. Кроме того, в современной научной литературе имеются многочисленные статьи, материалы съездов, конференций, симпозиумов, посвящённые их теоретическим и экспериментальным исследованиям; обширная библиография по вопросам прочности, устойчивости и колебаний содержится в опубликованных
5
обзорах [71, 117, 118]. Из методов математической физики, эффективно используемых в решениях задач, следует отметить вариационные, асимптотические, комплексного преобразования, конформного отображения и др., из численных и экспериментальных - МКЭ, МКР, тензометрические, фотоупругости и голографической интерферометрии. Но в достаточно полной степени разработана проблема расчёта оболочек лишь простейших канонических форм: цилиндрических, конических,
тороидальных и сферических. Однако современные оболочечные конструкции часто представляют собой комбинацию простых форм или очерчены сложными, в общем случае кусочно-гладкими поверхностями. Кроме того, наряду со сложным очертанием срединной поверхности, такие оболочки могут иметь переменную жёсткость, скошенность, подкрепления и другие особенности.
Применение геометрически сложных оболочек диктуется функциональным назначением изделия, конструктивными и аэродинамическими требованиями, необходимостью размещения оболочки в регламентированном объёме, приданием сооружению архитектурной выразительности, снижением металлоёмкости и т.д. Корпуса космических, надводных и подводных кораблей, фюзеляжи и крылья самолётов, покрытия спортивных и зрелищных сооружений представляют собой оболочки сложных форм самой различной геометрии. Исследование этих объектов связано со значительными математическими и техническими трудностями, обусловленными высоким порядком дифференциальных уравнений в двумерной области. Причём коэффициенты этих уравнений являются функциями координат сложного вида. Отмеченные трудности ограничивают возможности аналитического исследования некоторых типов оболочек и требуют привлечения численных методов, ориентированных на применение ЭВМ.
Остановимся на публикациях, имеющих непосредственное отношение к разрабатываемой теме. Начнём с работ, касающихся методов
6
исследования. Наряду с известными [60, 69, 114, 124] работами, в которых рассматриваются методы асимптотического интегрирования уравнений в частных производных, отметим [183], в которой содержится обзор работ, связанных с применением этих методов к решению алгебраических уравнений и задач теории пластин и оболочек. Здесь же предложен подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Обсуждается решение одномерных сингулярных проблем применительно к задачам устойчивости и колебаниям тонких оболочек. Анализируется применение асимптотических методов к уравнениям в частных производных. Рассматриваются вопросы нелинейного деформирования тонких оболочек.
В монографии [129] рассмотрены асимптотические методы регулярных и сингулярных возмущений, осреднения, ВБК, возмущения формы границы и размера области. Обсуждаются методы возмущения вида граничных условий, составных уравнений, аппроксимаций Паде и синтеза напряжённого состояния. Рассматриваются вопросы, связанные с применением асимптотических методов к расчёту конструкций типа пластин и оболочек.
Наряду с асимптотическими методами широкое применение получил метод комплексного преобразования уравнений [124, 125], позволивший решить многие трудные задачи для классических оболочек, в том числе и конических оболочек переменной толщины [81].
Решения задач с помощью одинарных и двойных тригонометрических рядов представлены в [188, 194, 195], а в [10, 12, 187] - методом малого параметра и асимптотического интегрирования. В упрощённой постановке, когда подкреплённая оболочка интерпретируется как балка, тонкостенный стержень или анизотропная пластина, получены решения в [12, 13, 56, 57]. Причём в [12] безмоментная коническая оболочка предполагается скошенной типа кессона стреловидного крыла.
7
Многие статические и динамические задачи теории оболочек решены хорошо известным методом Канторовича-Власова [62], позволяющего привести систему дифференциальных уравнений в частных производных к системе уравнений в обыкновенных производных. Дальнейшее своё развитие этот метод получил в работах [127, 130] применительно к расчёту подкреплённых оболочек скошенного типа. В постановке [130] крыло, фюзеляж и оперение летательного аппарата трактуется как подкреплённая коническая оболочка произвольного очертания. Рассмотрены также подкреплённые конические оболочки кругового очертания.
Из экспериментальных методов отметим методы фотоупругости [4, 76, 116] и голографической интерферометрии [98, 193]. Причём последний, как наиболее точный, позволяет решать задачи для оболочек сложных форм и проверить корректность тех или иных применяемых гипотез, в том числе и общепринятых гипотез Кирхгофа-Лява.
Обратимся к работам, касающимся расчёта оболочек. В монографии [147] выполнен расчёт геликоидальных, торсовых и псевдосферических оболочек, а также оболочек в форме поверхностей Монжа, циклических поверхностей и оболочек в форме отсеков циклид Дюпена. В зависимости от типа оболочки основные соотношения построены как в линиях главных кривизн, так и в криволинейных косоугольных координатах. Монография [73] посвящена решению задач устойчивости составных оболочек вращения, НДС и колебаниям трубчатых оболочек, обсуждаются также оболочки минимальных поверхностей. Основные соотношения теории тонких оболочек представлены в тензорной форме.
В работах [67, 68] для расчёта оболочек применён метод конечных элементов, а в статьях [102 — 106] развит сплайновый вариант МКЭ. В [163] при помощи функций комплексного переменного решена задача о кручении полого стержня с поперечным сечением типа профиля Чаплыгина-Жуковского, а в [176] построено приближённое решение для цилиндрической оболочки, защемлённой по косому срезу. При расчёте
8
краевого эффекта использованы известные [62] уравнения В.З. Власова. К [176] примыкает и статья [83], где решается задача о стеснённом кручении тонкостенного стержня с однозамкнутым профилем произвольного очертания. Причём стержень трактуется как цилиндрическая оболочка, жёстко заделанная в концевых сечениях.
Из динамических задач отметим работы по собственным колебаниям оболочек классических форм [9, 14, 16, 20, 55, 70, 120, 157, 166, 190, 192, 196, 197], где решения строятся на основе рассмотренных выше методов: МКЭ [165], асимптотического интегрирования [55, 120] и т.д.
Голографические методы исследования приведены в [98, 174] и других работах этих же авторов.
В предлагаемой работе объектом исследования является коническая оболочка с прямолинейной образующей, то есть нулевой гауссовой кривизны. Имея скошенность, одно- или многосвязный опорный контур произвольного очертания, переменную толщину и площадь поперечного сечения продольного подкрепляющего набора, то есть, сложную геометрическую структуру, такая оболочка представляет собой универсальную расчётную модель различных типов тонкостенных конструкций, например, стреловидного крыла летательного аппарата.
В силу наличия переменной толщины собственно оболочки система разрешающих дифференциальных уравнений содержит переменные коэффициенты. Однако для прямых оболочек эту систему удалось проинтегрировать точно в рамках принятых гипотез, для скошенных -приближённо с применением аппарата специальных функций.
Из различных типов граничных условий в решениях задач отдано предпочтение жёсткому защемлению оболочки по косому срезу, не совпадающему с линиями главных кривизн, при свободном другом. Силовые воздействия предполагаются произвольными, в том числе и сосредоточенные в свободном концевом сечении.
9
Численные расчёты, выполненные на ЭВМ, представлены графически. Достоверность результатов исследования обеспечивается корректной в рамках принятых гипотез математической постановкой задач, сравнительным анализом аналитических и численных решений, предельным переходом к численным результатам для оболочек постоянной толщины, известным из литературы, а также сравнением с экспериментальными исследованиями других авторов [7].
Предлагаемая работа состоит из двух частей.
В первой части выполнено обобщение известной теории [146] тонких оболочек на случай неортогональной криволинейной системы координат, позволяющее учесть постановку граничных условий по линиям, не совпадающим с главными кривизнами оболочки. Дан анализ выбора метода исследования рассматриваемых оболочек. Доказана идентичность метода криволинейных сеток [73] и метода конечных разностей, дано обобщение метода криволинейных сеток. В развитие работы [130] в общем виде построена математическая модель подкреплённой конической оболочки сложной геометрической структуры.
Вторая часть работы посвящена решениям статических и динамических краевых задач на основе [130]. Предложен новый подход, свободный от произвола выбора депланационных координатных функций и опирающийся на интегрирование депланационного дифференциального уравнения в частных производных. Рассмотрены призматические, цилиндрические, конические оболочки с произвольным контуром поперечного сечения, переменной жёсткости, защемлённые по линиям главных кривизн и скошенному краю. Предложенная математическая модель является достаточно универсальной и может быть использована в расчётах прямых и стреловидных крыльев летательных аппаратов при рассмотренных граничных условиях, а также и иных объектов сложной геометрии при постановке других граничных условий. Достоверность полученных решений проверена предельным переходом к
10
решениям для оболочек постоянной толщины [130] и численным решением двухточечных краевых задач.
Обратимся к содержанию отдельных глав диссертации.
В первой главе в отличие от традиционного подхода сведения трёхмерной задачи к двумерной, статические и геометрические зависимости теории тонких гладких оболочек получены с позиции взаимодействия погонных сил и моментов в пространственно-искривленном двумерном континууме, что является определённым обобщением известной теории Э.Рейсснера [146] на случай неортогональной криволинейной системы координат. При этом учёт нормальных к срединной поверхности моментных составляющих позволяет получить полную статико-геометрическую аналогию в смысле соответствия между собой статических и геометрических величин и уравнений с конкретным физическим истолкованием некоторых формально введённых в классической теории величин.
Во второй главе предложено уточнение известного вариационного подхода [130], позволяющего получить разрешающую систему в виде шести обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих смещениям контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, и одного дифференциального уравнения в частных производных, отвечающего за депланационные смещения того же контура. Доказана идентичность методов криволинейных сеток и конечных разностей, а также дано обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей).
В третьей главе на основе [130] построена математическая модель подкреплённой конической оболочки произвольного очертания. На основе вариационного принципа Лагранжа получены естественные граничные условия и разрешающая система обыкновенных уравнений, а в уточнённой постановке смешанная система в обыкновенных и частных производных. Приведена общая система разрешающих дифференциальных уравнений, описывающих неустановившееся движение конической оболочки произвольного очертания при воздействии аэродинамических сил и заданной внешней нагрузки.
П
Четвёртая глава, относящаяся ко второй части работы, посвящена расчёту прямых цилиндрических оболочек некругового очертания, переменной жёсткости как в продольном, так и в поперечном направлениях, жёстко защемлённых по одному торцевому сечению при свободном другом. Рассмотрены стеснённое кручение и изгиб оболочек с симметричным контуром, а также их свободные колебания. Получены таблицы собственных частот колебаний прямых оболочек при различных геометрических параметрах конструкции.
Пятая глава содержит решения краевых задач для скошенных цилиндрических оболочек с произвольным контуром сечения. Особенностью их расчёта является то обстоятельство, что разрешающая система уравнений не распадается отдельно на две подсистемы, одна из которых описывала бы изгиб, вторая - кручение. Получены собственные частоты и формы свободных колебаний призматических оболочек скошенного типа. При этом численные решения задач выполнены методом конечных разностей повышенной точности и методом двойной (ЗЯ-итерации над матрицей Хессенберга, приведённой к верхней почти треугольной форме методом Хаусхолдера.
В шестой главе рассматриваются краевые задачи по определению НДС прямых и скошенных многозамкнутых оболочек переменной жёсткости с произвольным контуром поперечного сечения. Решения получены в специальных функциях. Приведены графические зависимости распределения напряжений в тонкостенных конструкциях при стеснённом кручении распределенным и сосредоточенным на свободном торце моментами, а также при изгибе распределённой нагрузкой и сосредоточенной силой. Исследовано влияние на НДС оболочки различных законов изменения её толщины вдоль образующей.
Седьмая глава содержит решения краевых задач по определению НДС скошенных и прямых конических оболочек переменной жёсткости произвольного очертания. Приближённое аналитическое решение для оболочки с симметричным контуром выражается через гипергеометрические функции,
12
численное решение в уточнённой постановке получено методом ортогональной прогонки краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Приводится сравнение результатов, полученных по приближённому аналитическому решению и численно. Показано, что в скошенных конических оболочках как постоянной, так и переменной толщины, краевой эффект имеет место по обоим концам; в плоскости заделки — вследствие стеснения депланации и в концевом сечении — вследствие коничности. Причём величина нормальных напряжений в поперечных сечениях оболочки в значительной мерс зависит от её безразмерной толщины. Рассмотрены свободные колебания некруговой конической оболочки переменной толщины, заделанной по скошенному краю, определены собственные частоты и получены формы собственных колебаний. Решены задачи вынужденных колебаний рассматриваемых тонкостенных конструкций. Результаты численных расчётов, выполненных по универсальной единой программе, табулированы и представлены графически.
В заключении даётся анализ теоретических исследований и рекомендации по их использовании в НИИ, конструкторских бюро и проектных организациях.
На защиту выносятся следующие положения:
^ обобщённый вариант теории тонких упругих гладких оболочек [146] на случай пространственной неортогональной криволинейной системы координат;
^ получение на основе предложенного варианта теории полной статикогеометрической аналогии в смысле соответствия между собой статических и геометрических величин и уравнений с конкретным физическим истолкованием некоторых формально введённых в классической теории величин;
^ доказательство идентичности методов криволинейных сеток и конечных разностей;
^ обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей);
13
S новый подход к решению краевых задач статики и динамики геометрически сложных оболочек, свободный от произвола выбора депланационных координатных функций вариационного метода [130];
S аналитические решения с применением аппарата специальных функций задач по определению НДС прямых и скошенных, одно- и многосвязных, цилиндрических и конических оболочек переменной жёсткости при воздействии на них сосредоточенных и распределённых силовых факторов;
S разработка и реализация на ЭВМ универсального алгоритма расчёта НДС, свободных и вынужденных колебаний оболочек сложной геометрии;
S качественный и количественный анализ работы оболочек переменной и постоянной толщины, численная оценка приближённых аналитических решений;
S рекомендации по использовании результатов исследований в проектных организациях и конструкторских бюро.
Апробация работы. Основное содержание работы доложено на XIV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Тбилиси, 1987), международных конференциях по теории оболочек и пластин: XVI (Нижний Новгород, 1994), XVIII (Саратов, 1997), XX (Нижний Новгород, 2002); международных конференциях «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 1998 и 2000); международных научно-практических конференциях «Высокие технологии в экологии» (Воронеж, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002 и 2003); всероссийской XXXI научно-технической конференции «Актуальные проблемы современного строительства» (Пенза, 2001); второй всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении» (Воронеж, 2001); школах-семинарах «Современные проблемы механики и математической физики» (Воронеж, 1994) и «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002).
Работа доложена на кафедре теоретической механики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета (Воронеж, 2002),
14
на расширенном заседании кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета (Саратов, 2002), на городском семинаре по механике деформируемого твёрдого тела при кафедре механики Казанского государственного университета (Казань, 2003).
Публикации. Основное содержание диссертации представлено в 40 научных статьях [23 - 48, 84 - 97]. В совместно опубликованных статьях лично автору принадлежит выбор методов исследования, получение аналитических и численных решений, создание алгоритма и анализ полученных результатов.
15
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ТЕОРИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. ОБЩИЙ ВИД РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ТОНКИХ ГЛАДКИХ ОБОЛОЧЕК КАК ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВУМЕРНОГО КОНТИНУУМА В КОСОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
1.1. Вводные замечания
Известны различные методы построения вариантов теории оболочек, опирающихся на те или иные допущения. В данной работе, в отличие от традиционного подхода сведения трёхмерной задачи к двумерной, статические и геометрические зависимости получены с позиции взаимодействия погонных сил и моментов в пространственно-искривленном двумерном континууме. При этом основные соотношения теории оболочек обладают значительной общностью и имеют компактный вид. С помощью некоторых преобразований и упрощений эти соотношения сводятся к уравнениям классической теории.
Удерживая, в отличие от классических теорий, в векторах погонных моментов составляющие, направленные по нормали к срединной поверхности, а в векторах изгибной деформации соответствующие им компоненты кручения, получена полная статико-геометрическая аналогия теории тонких оболочек. Под полнотой подразумевается то, что каждой статической величине соответствует геометрическая и каждому однородному уравнению равновесия - уравнение совместности деформаций. В известных теориях оболочек компонентам поперечной сдвиговой деформации по нормали к срединной поверхности не ставятся в соответствие какие-либо компоненты статических величин, а поперечным сдвиговым силам соответствуют некоторые формально вводимые величины. В предлагаемом варианте эти величины также
16
присутствуют, но имея конкретный физический смысл, - это нормальные к срединной поверхности компоненты вектора изгибной деформации. Соотношения упругости помимо традиционной скалярной формы представлены также и векторными равенствами.
Построение теории оболочек как двумерного континуума выполнено для общего случая в пространственной косоугольной системе координат, что повлекло за собой применение аппарата тензорного анализа.
1.2. Три квадратичные формы поверхности. Деривациоипые формулы
Приведём некоторые зависимости, относящиеся к дифференциальной геометрии поверхностей, необходимые в дальнейшем при построении предлагаемой теории оболочек. Эти соотношения подробно излагаются в соответствующих курсах, а также во вводных главах фундаментальных монографий [6, 60, 64, 69, 131, 173] по теории оболочек с некоторыми различиями в обозначениях. Поэтому формулы данного параграфа даны как справочные без подробного вывода.
Итак, пусть некоторая параметризованная поверхность задана уравнением
г =Г(а\а2),
где а\а2 - косоугольные гауссовы координаты. При этом проекции вектор-функции г точек поверхности в декартовой системе координат задаются непрерывными однозначными функциями
л: = х(а\а~\ у = у(а\а2\ г = г(а\а2).
Как известно, координатные векторы
г1 = дг / да (/ = 1,2)
вместе с ортом нормали
п = Г\*г2/4а
образуют основной базис в любой точке поверхности; 4а - А1Л2 ьтх, АХ,А2 -параметры Лямэ, х ~ Угол между гх и г2.
17
Первая квадратичная форма поверхности определяется равенством I = dfdr = (ds)* = A? (da')* + 2 anda'da* + A\(da*f,
(1.1)
где
Л,2=П'П = a12=V?2=A^2COS^
ЙХ
г дх ' r dz ' 2
<да] > [да') <йа‘,
йх йс _ йу ду + dz dz
А2 =?2 -?2 =
да1 йа2 да' йа2 йа1 йа2 2 ( ду V ( & n2
(1.2)
йа'
йа'
+
чйа2
Физический смысл Л, и А2 состоит в том, что они являются коэффициентами пропорциональности в формулах, связывающих дифференциалы длин дуг координатных линий с дифференциалами самих криволинейных координат
dsl=Aldax9 ds2-A2da2. (1.3)
Площадь бесконечно малого четырёхугольного элемента поверхности,
ограниченного координатными линиями a}-const и а' + da] = const, а2 = const и а2 + da2 = const, определяется равенством
da = 4ada'da2. (1.4)
Вторая квадратичная форма поверхности задаётся выражением
II - bu(da')2 + 2b]2da]da2 + b22(da2)2, (1.5)
где коэффициенты by определяются равенствами
д2х д2у d2z
(Йа1)2 (да')2 (Йа1)2
rwfixrj 1 дх ду dz
4а 4а да' да' да'
дх ду dz
да2 да2 да2
18
. І -г я ?12'(?|Х?2)_ 1 "12 “ "21 “ Г\2 * п ~~ Г~ ~~ Г~
ыа Vа
д2х д2у д22
да]да2 да'да2 да]да2
дх ду_ дг
дГ да1 до?
дх ду дг
да2 да2 да2
22 “ 22
д2х д2у д2г
(да2)2 (да2)2 (да2)2
1 дх ду дг
Га да1 да' да'
дх ду дг
да2 да2 ^ 2 оа
(1.6)
Третья квадратичная форма поверхности представляет собой квадрат дифференциала единичного вектора нормали к поверхности
III - сіп- сіп = п2{сІа] )2 +2Я, •п2<1а'с1а2 + п2(с1а2)2.
Последняя форма не является независимой, она выражается через первые две
111 = 1 К-1І К
ері
где К,Кср - гауссова (полная) и средняя кривизна поверхности соответственно.
При выводе основных соотношений потребуются формулы Гаусса-Вейнгартена дифференцирования векторов основного базиса. Эти деривационные равенства в теории поверхности являются аналогом формул Серре-Френе в теории пространственных кривых. Представим их в виде
^=гРк + Ь„п; й, = -6* 7к. (1.7)
Здесь Г* - символы Кристоффеля, определяемые равенствами
г' Л 111 "
а
А А 2
АХА{ —г- а
да
12
дй\2 дЛ} )
і л'Т7г
\да
Г —Г - — 12 “ ^ 21 “
а
Л Л2 дА1 А'А2 да2
Л2аП
да'
дл2
да1
19
Коэффициенты Ьу представлены формулами (1.6), а 6* выражаются через Ьу и коэффициенты первой квадратичной формы
6, =—(л26,, -а,26,2} Ьх =— (л, 612 “ ^12^11} а а
ь\= — (^2 ^21 “ 2^22 } ^2 = (4 ^22 ~ 2^21)
а а
Для векторов взаимного локального базиса
ЛХЙ _ 2 ЙХГ,
г = г ------1
(1.9)
Л Л
формулы, аналогичные (1.7), запишутся в виде
о'—1у*+*'я. о-10)
1.3. Уравнения равновесия. Граничные условия
Выделим бесконечно малый элемент поверхности, который будет элементом некоторой оболочки, нагруженной распределённой нагрузкой ц и моментом /я, приходящимися на единицу недеформированной площади. Пусть к четырём сторонам этого элемента приложены векторы сил и моментов АГ в соответствии с рис. 1.1 (здесь и далее ( ), = д/да').
JaM'da2 JaN'da2 Jaqda'da2 [JaN2 +{yJaN2)7da2]da' [-JaM2 + (Й2)2da2}da1
JaN2da1 -JaM2da1 -Jamda'da2 ['JaN1 +{^[aNl\xda]]da2 [*JaM} + {^[aM]\}da']da2
Рис. 1.1
При этом векторы сил и моментов можно представить в виде (ij-1,2)
q=qJrj+qnn\ т = т}п х г; + /иия. О-П)
JV' = Л^г; + б'Я; Л/' = М/;Я х г. + />'й. (1.12)
В отличие от известных теорий оболочек здесь для векторов моментов вводятся нормальные к поверхности моментные составляющие Р1.
На сторону a1 -const длиной A2da2 действует сила \laNlda2y а на сторону а] + da1 = const сила \-JaN] + (yfaN^\dax\da2. Рассматривая
приращение силовых факторов при переходе от стороны а1 = const к стороне а] +da] -const, при соблюдении принципа равенства действия и
противодействия, получим суммарную силу {^[aNx\dalda2. Аналогично,
суммарная сила , действующая на стороны а2 = const и а2 + da2 = const равна {\faN2)2da]da2. С учётом действующих на рассматриваемый элемент
внешних сил qjada'da2 условия равенства нулю главного вектора приводятся к векторному уравнению равновесия сил
21
(■JaN‘)j+-Jaq = 0. (1.13)
Рассмотрение приращений моментов при переходе от стороны а‘ = const к стороне a' + da' -const определяет главный момент
Кроме того, силы также создают моменты. При рассмотрении сторон а1 = const и a' + da' =const приложенные к ним силы определяют момент (рис.1.2)
r+ x[-JaNx + dax]da2 +r_ x(-JaNl)da2 «
«(?+ -r_)x N'Jada2 = r, x N]-Jada'da2.
r^da} ax-const ax + dax = const
Рис.1.2
Аналогично при рассмотрении сторон a2 - const и а2 + da2 = const получим
г2 х N2-fada'da2.
Окончательно условие равенства нулю главного момента всех сил и моментов с учётом внешнего поверхностного т приводится к векторному уравнению
22