Метод асимптотического расщепления в пространственных задачах деформирования слоистых конструкций

Оглавление
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Оглавление..................................................................... 2
Введение....................................................................... 7
0.1. Однослойные конструкции ........................................... 8
0.2. Многослойные конструкции............................................. 15
0.3. Цели и задачи диссертации............................................ 19
Глава 1
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ СЛОИСТЫХ СТЕРЖНЕЙ.................................. 23
1.1. Поперечный изгиб слоистой балки.......................................... 23
1.1.1. Постановка задачи.................................................. 23
1.1.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки............................ 28
1.1.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки........................ 37
1.1.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 38
1.1.5. Исследование решений уравнения изгиба.............................. 39
1.1.6. Краевые условия на торцах.......................................... 46
1.1.7. Изгиб балки под действием линейно распределенной нагрузки.......... 49
1.1.8. Изгиб балки под действием сосредоточенных нагрузок................. 50
1.1.9. Гидродинамическая аналогия распределения касательных напряжений в сечении....................................................................... 52
1.2. Слоистая балка с параллельными слоями.................................... 57
1.2.1. Техническая теория слоистой балки................................. 57
1.2.2. Слоистая балка прямоугольного сечения.............................. 61
1.3. Плоская деформация балки прямоугольного сечения.......................... 73
1.4. Сложный поперечный изгиб слоистой балки.................................. 90
1.4.1. Постановка задачи.................................................. 90
1.4.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки............................ 91
1.4.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки в специальном случае 94
1.4.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 94
1.4.5. Другой специальный случай.......................................... 94
1.4.6. Сложный поперечный изгиб. Общий случай............................. 96
1.4.7. Краевые условия на торцах.......................................... 97
1.4.8. Центр изгиба....................................................... 99
1.5. Кручение слоистых стержней.............................................. 101
1.5.1. Постановка задачи о кручении стержня.............................. 101
Оглавление 3
1.5.2. Краевые задачи в сечении слоистого стержня........................ 104
1.5.3. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости..................................................................... 110
1.5.4. Исследование решений уравнения кручения............................ III
1.5.5. Краевые условия на торцах.......................................... 114
1.5.6. Гидродинамическая аналогия распределения касательных напряжений 115
1.5.7. Кручение стержня под действием торцевых нагрузок................... 120
1.5.8. Кручение многослойной трубы....................................... 124
1.6. Действие на слоистую балку объемных поперечных сил....................... 131
1.6.1. Постановка специальной задачи...................................... 131
1.6.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки............................ 132
1.6.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки в специальном случае 135
1.6.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 136
1.6.5. Общий случай...................................................... 137
1.6.6. Краевые условия на торцах......................................... 140
1.6.7. Техническая теория балки.......................................... 140
1.7. Пограничный слой в слоистом стержне...................................... 141
1.7.1. Постановка задачи.................................................. 141
1.7.2. Пограничная краевая задача........................................ 143
1.7.3. Принцип Сен-Венана................................................. 146
1.7.4. Пограничный слой при плоском изгибе слоистой балки................. 147
1.8. Пограничный слой при кручении............................................ 153
Основные выводы и результаты, полученные в главе 1........................ 160
Глава 2
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ СЛОИСТЫХ БАЛОК..................................... 162
2.1. Продольно-поперечный изгиб слоистой балки симметричного сечении 162
2.1.1. Постановка специальной задачи..................................... 162
2.1.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки........................... 165
2.1.3. Уравнения продольно-поперечного изгиба слоистой балки. Специальный случай........................................................................ 171
2.1.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 172
2.1.5. Решение полукраевой задачи. Специальный случай.................... 172
2.1 6. Уравнения продольно-поперечного изгиба слоистой балки. Общий
случай........................................................................ 175
Оглавление
4
2.1.7. Краевые условия на торцах......................................... 176
2.2. Плоская деформация при продольно-поперечном изгибе слоистой балки 179
2.3. Сложный продольно-поперечный изгиб слоистой балки......................... 191
2.3.1. Постановка задачи................................................... 191
2.3.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки............................. 192
2.3.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки в специальном случае 194
2.3.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 195
2.3.5. Сложный продольно-поперечный изгиб. Общий случай без учета кручения....................................................................... 195
2.3.6. Общий случай продольно-поперечного изгиба стержня с учетом кручения....................................................................... 197
2.3.7. Краевые условия на торцах......................................... 197
2.3.8. Задача Митчелла-Альманзи.......................................... 198
2.4. Воздействие температуры на слоистую балку................................. 200
2.4.1. Постановка нолукраевой задачи....................................... 200
2.4.2. Первый тип решений.................................................. 200
2.4.3. Второй тип решений.................................................. 207
2.4.4. Пограничный слой.................................................... 220
2.5. Действие на слоистую балку объемных продольных сил........................ 223
2.5.1. Постановка полукраевой задачи....................................... 223
2.5.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки............................. 224
2.5.3. Плоская деформация.................................................. 227
2.5.4. Уравнения продольно-поперечного изгиба слоистой балки. Общий случай......................................................................... 228
2.5.5. Пример. (Равномерно вращающаяся слоистая консоль)................... 229
2.6. Предварительно деформированные слоистые балки............................. 232
2.6.1. Постановка полукраевой задачи....................................... 232
2.6.2. Пример.............................................................. 236
2.7. Продольно-поперечный изгиб слоистых балок из ортотронных упругих материалов..................................................................... 238
2.7.1. Поперечный изгиб слоистой ортотропной балки......................... 238
2.7.2. Продольно-поперечный изгиб слоистой ортотропной балки............. 241
2.8. Слоистая балка на упругом основании....................................... 244
2.8.1. Балка на гладком упругом основании.................................. 244
Оглавление
5
2.8.2. Балка на гладком жестком основании............................. 251
2.8.3. Поперечный изгиб балки при температурных воздействиях........... 252
2.8.4. Балка на упругом основании без проскальзывания.................. 254
2.8.5. Балка на жестком основании без проскальзывания.................. 258
2.8.6. Краевые условия на торцах....................................... 260
2.9. Кромочный эффект при растяжении и изгибе слоистой балки............... 262
2.9.1. Кромочный эффект при растяжении-сжатии слоистой балки........... 262
2.9.2. Кромочный эффект при изгибе слоистой балки...................... 273
Основные выводы и результаты, полученные в главе 2.................... 281
Глава 3
ДИНАМИКА СЛОИСТОЙ БАЛКИ.................................................... 283
3.1. Свободные поперечные колебания слоистой балки......................... 283
3.1.1. Постановка задачи............................................... 283
3.1.2. Краевые задачи в сечении балки.................................. 285
3.1.3. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 291
3.1.4. Уравнение свободных колебаний................................... 293
3.1.5. Краевые условия на торцах....................................... 294
3.1.6. Краевые задачи в сечении балки при плоской деформации........... 295
3.1.7. Свободные колебания однопролетной шарнирно-опертой балки........ 296
3.1.8.. Свободные колебания консольно-защемленной балки................ 299
3.2. Вынужденные поперечные колебания слоисгой балки....................... 303
3.2.1. Постановка задачи............................................... 303
3.2.2. Краевые задачи в сечении........................................ 304
3.2.3. Асимптотическая выполнимость трехмерных динамических уравнений теории упругости........................................................... 308
Основные выводы и результаты, полученные в главе 3..................... 312
Глава 4
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ СЛОИСТЫХ ПЛИТ................................... 313
4.1. Поперечный изгиб слоистых плит........................................ 313
4.1.1. Постановка задачи............................................... 313
4.1.2. Краевые задачи по толщине плиты................................. 318
4.1.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой плиты..................... 329
4.1.4. Компоненты вектора перемещений и тензора напряжений............. 331
4.1.5. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 333
Оглавление
6
4.1.6. Краевые условия на кромке плиты..................................... 337
4.1.7. Использование криволинейных систем координат........................ 339
4.1.8. Поперечный изгиб кольцевых слоистых плит............................ 344
4.1.9. Сравнение с точными решениями, полученными другими методами 348
4.1.10. Сравнение с решениями, полученными по приближенным теориям 355
4.2. Продольно-поперечный изгиб слоистых плит.................................. 361
4.2.1. Постановка задачи................................................... 361
4.2.2. Краевые задачи по толщине плиты..................................... 365
4.2.3. Компоненты вектора перемещений и тензора напряжений................. 377
4.2.4. Уравнения продольно-поперечного изгиба слоистой плиты............... 379
4.2.5. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 381
4.2.6. Краевые условия на кромке плиты..................................... 383
4.2.7. Уравнения продольно-поперечного изгиба. Общий случай................ 385
4.2.8. Точные решения пространственной задачи теории упругости............. 389
4.2.9. Использование криволинейных систем координат........................ 392
4.2.10. Действие сосредоточенной нагрузки.................................. 399
4.3. Пограничный слой в слоистых плитах........................................ 411
4.3.1. Постановка задачи................................................... 411
4.3.2. Потенциальный пограничный слой...................................... 412
4.3.3. Вихревой пограничный слой........................................... 417
4.3.4. Использование криволинейной системы координат....................... 421
4.3.5. Пограничный слой. Общий случай...................................... 425
4.3.6. Задача о круглой плите под действием распределенного по кромке закручивающего момента......................................................... 426
4.3.7. Задача о круглой плите под действием распределенного по кромке изгибающего момента............................................................ 430
Основные выводы и результаты, полученные в главе 4......................... 433
Заключение..................................................................... 435
Список литературы.............................................................. 440
Введение
7
Введение
Пространственная теория упругости как замкнутая теория, обладающая почти математическим уровнем строгости в постановке своих задач, сложилась в трудах Навье, Пуассона, Коши в начале XIX века (см. например, Трусделл К. [411], Тимошенко С.П. [409], Бернштейн С.А. [43], Тодхантер и Пирсон [500]). Однако, задачи пространственной теории упругости - это краевые задачи для систем уравнений в частных производных, теория которых но существу отсутствует и по нынешний день. Поэтому математические трудности, возникшие перед создателями, во многих случаях поставили под сомнение ценность новой теории. Навье [471] и Пуассон [480] - первые из исследователей, кто успешно использовал трехмерную теорию упругости, для решения задачи об изгибе круглой пластины (1821, 1829 гг.). Уже при анализе задачи об изгибе балки Пуассон, столкнувшись с трудностями, вынужден был отказаться от «царского пути» и прибегнул к введению гипотезы плоских сечений и использованию уравнений равновесия для усилий. Коши использовал трехмерную теорию упругости для решения задачи кручения призматических стержней, удовлетворительные результаты были получены только для стержней с узким прямолинейным сечением [447]. В середине XIX века Сен-Венан [385] пошел дальше своих предшественников и сумел дать исчерпывающее решение задачи об изгибе и кручении однородной консоли произвольного поперечного сечения под действием сосредоточенной нагрузки на ее торце на основе пространственной теории упругости (1847-1856). Спустя почти пятьдесят лет, на рубеже XIX и XX веков, Митчелл [467] и Альманзи [444] сумели обобщить результат Сен-Венана, на основе пространственной теории упругости ими была решена задача об изгибе и кручении однородной консоли под действием распределенной нагрузки на ее боковой поверхности, полиномиально зависящей от продольной координаты.
Вторую половина XIX и три четверти XX века называют временем расцвета научно-технической революции, т.к. именно в это время такие хозяйственные отрасли, как железнодорожный транспорт, мостостроение, судостроение, авиация, космическая техника и т.п. получили невиданное развитие. Из сказанного выше следует, что на рубеже веков и в первой половине двадцатого века темпы развития теории точного расчета упругих конструкций явно не соответствовали общим темпам развития НТР и связанным с этим стремительно нарастающим потребностям в инженерных расчетах. По-видимому, это обстоятельство в двадцатом веке послужило главным фактором в охлаждении исследователей в массе своей к точному решению задач изгиба стержней и плит в
Введение
8
пространственной постановке и обращению к более практичным методам, как правило, основанным на введении той или иной гипотезы.
По сравнению с задачами изгиба в задачах кручения составных стержней в пространственной постановке были достигнуты более законченные результаты, которые представлены в монографиях Мусхелишвили [266], Арутюняна Н.Х., Абрамяна Б.Л. [25] и Лехницкого [240].
Если характеризовать в целом процесс развития методов расчета стержней и плит на изгиб и другие виды нагружений, то можно сказать следующее. При построении математических методов исследования напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций (стержней, пластин, оболочек) исследователи всегда стремились свести решение трехмерных задач к совокупности решений некоторых более простых двумерных и одномерных задач. При этом, учитывая малый размер в поперечном направлении, авторы различными способами стремились избавиться от поперечной координаты, сводя проблему к решению краевых задач в плане (для пластин) или вдоль оси (для стержней). Способов понижения размерности решаемых задач разработано такое количество, что их детальный анализ далеко выходил бы за рамки допустимых объемов представляемой диссертации тем более, что анализ таких способов приведен в серии монографий Агаловяна Л.А. [2], Александрова А.Я. и др. [8-9], Алехина В.В., Аннина Б.Д., Колпакова А.Г. [12], Алфутова H.A., Зиновьева П.А., Попова Б.Г. [14], Амбарцумяна С.А. [16], Андреева А.Н., Немировского Ю.В. [23], Болотина В.В., Новичкова Ю.Н. [48], Вайнберга Д.В., Вайнберга Е.Д. [60], Васильева В.В. [65], Векуа И.Н. [76], Власова В.З., Леонтьева H.H. [83], Горынина Г.Л., Немировского Ю.В. [143], Григолюка Э.И., Куликова Г.М. [167], Григолюка Э.И., Селезова И.Т. [169], Доннелла Л.Г. [192], Кильчевского H.A. [211], Лехницкого С.Г. [239-241], Лурье А.И. [247], Образцова И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианова И.В. [303], Огибалова П.М., Колтунова М.А. [304], Пикуля В.В. [322-323], Рассказова А.О., Соколовской И.И., Шульги H.A. [362], Ржаницына А.Р. [368], Тимошенко С.П., Войновского-Кригера С. [405], Филина А.П. [417], Reismann Н. [483] и обзоров Александрова А.Я., Куршина Л.М. [10], Альтенбаха X. [15], Болотина В.В. [47], Васильева В.В. [66], Вериженко В.Я., Пискунова В.Г., Присяжшока В.К., Табакова П.Я. [77], Вериженко В.Я., Присяжшока В.К. [78], Воровича И.И. [92-93], Воровича И.И., Шленева М.А. [98], Григолюка Э.И., Когана Ф.А. [165], Григолюка Э.И., Куликова Г.М. [168], Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцова И.Ф. [193], Зверяева Е.М. [202], Куршина Л.М. [233], Немиша Ю.Н., Хомы И.Ю. [298], Пикуля В.В. [324], Пискунова В.Г., Рассказова А.О. [327], Тетерса Г.А. [404], Рейсснера Е. [488]. Поэтому схематически разделим существующие подходы на четыре основных класса и дадим краткий обзор и
Введение
9
анализ исследований, примыкающих к рассматриваемым в диссертации вопросам исследования напряженно-деформированного состояния стержней и пластин.
0.1. Однослойные конструкции
Первый класс. К первому классу отнесем работы, связанные с разложением искомых функций в специальные ряды по поперечным координатам и построением на их основе бесконечной системы дифференциальных уравнений с бесконечным числом неизвестных функций. Родоначальником этого направления является Пуассон [480]. Присоединяя к полученной системе уравнений граничные и начальные условия, полученные из условий исходной задачи путем аналогичной процедуры разложения в ряды по заданным функциям, приходим к корректно поставленной задаче, точное решение которой связано с не меньшими трудностями, чем решение исходной трехмерной задачи. Поэтому для получения практических результатов (приближенных решений) обычно ограничиваются удержанием конечного числа членов ряда и соответствующих конечных систем уравнений. При использовании степенных рядов такой подход рассматривался в работах Бердичевского В.Л., Коца Л.Я. [42], Кильчевского H.A. [210-211], Муштари Х.М. [267], Немировского Ю.В. [271], Тсрегулова И.Г. [400].
Понятовский В.В. для построения уравнений равновесия и соответствующих краевых условий изотропных, анизотропных, трансверсально-изотропных и слоистых пластин разработал подход [340-342, 344-345], основанный на использовании вариационного принципа Кастильяно при разложении тангенциальных напряжений в ряды по полиномам Лежандра по поперечной координате и интегрировании уравнений равновесия для отыскания поперечных компонент напряжений. Идея разложения искомых функций по полиномам Лежандра по-видимому впервые была предложена Векуа И.Н. [74], в обобщенном виде изложена в монографии [76] и получила развитие в ряде работ его учеников и последователей [38, 72, 73, 106, 125-127, 173, 181-183, 198, 227, 425-427, 432, 434,439].
Главным недостатком методов разложения по поперечной координате является существенное повышение порядка основных разрешающих систем дифференциальных уравнений при увеличении количества удерживаемых в разложениях слагаемых, что приводит к необходимости преодоления значительных математических трудностей при попытке получения решений в высоких приближениях, что во многих случаях обесценивает прикладное значение таких теорий. Реальные решения обычно получаются при построении нулевого и первого приближений.
Введение
10
Еще один способ приведения трехмерной краевой задачи к двумерной основан на символическом методе А.И.Лурье [247], который позволяет получить широкий класс частных решений, удовлетворяющих неоднородным граничным условиям на лицевых поверхностях и однородные решения, удовлетворяющие условиям отсутствия напряжений на лицевых поверхностях. Путем комбинации этих решений удается с той или иной степенью точности добиться удовлетворения граничных условий на боковых поверхностях конструкции. Для однородных однослойных изотропных и анизотропных плит этот метод применялся в работах [7,93, 96, 210,242, 246, 299, 353]. Близким к этим методам является метод начальных функций [82, 85-86], сущность которого состоит в представлении искомых напряжений и перемещений через напряжения и перемещения на отсчетной (начальной) поверхности и сводится к нахождению шести двумерных функций. При этом порядок разрешающей системы уравнений меняется и существенно нарастает с увеличением числа удерживаемых в разложениях членов. В работах [116, 331-333] разработаны варианты итерационных процедур уточнения теории, при которых на каждой итерации определяется не только вектор перемещения отсчетной поверхности, но и закон распределения перемещений по поперечной координате. В результате получаются гипотезы приведения, тождественно удовлетворяющие трехмерным уравнениям теории упругости и всем граничным условиям, принятым на данной итерации. На следующей итерации производится разложение вектора перемещений и уточнение его компонент. В работах Горбачева В.И., Победри Б.Е., Симакова В.А. [118-123] разработан операторный метод, который применяется как к неоднородным анизотропным однослойным полосам, так и к неоднородным анизотропным пластинам. В частных случаях метод позволяет получать точные решения.
Все вышеупомянутые подходы полезны тем, что теоретически они открывают возможность получения сколь угодно точных решений соответствующих трехмерных задач. Однако практическая реализация этих подходов технически сложна, не увязана с общими и единообразными методами решения возникающих краевых задач и реализована лишь при решении простейших конкретных задач.
Второй класс. Основной поток исследований, которые доведены до разработок методов решения широкого круга прикладных задач относится к другому классу, который связан с методами различных упрощений на основе принятия некоторых эвристических предположений-гипотез. Методы, основанные на этих подходах, как правило, не содержат регулярного процесса уточнения решения. В них трехмерная задача теории упругости попросту заменяется некоторой приближенной двумерной задачей, степень приближения которой в общем случае заранее не установлена и не ясна. Общий класс исследований,
Введение
11
связанных с таким подходом, будем кратко называть классом гипотез. В рамках этого класса будем говорить далее о пластинах, учитывая, что задача о стержнях (балках) прямоугольного сечения в рамках таких подходов эквивалентна задаче цилиндрического поперечного или продольно-поперечного изгиба пластин. Первые исследования в этом направлении связаны с именами Бернулли, Эйлера, Софи Жермен, Кирхгофа [212,463] и опирались при построении разрешающих уравнений на следующие основополагающие гипотезы:
а) Прямолинейные волокна пластинки перпендикулярные к отсчетной плоскости до деформации, остаются после деформации прямолинейными и перпендикулярными к деформированной срединной поверхности и не изменяют при этом своей длины (гипотеза Кирхгофа-Лява).
б) Нормальные напряжения на эквидистантных площадках настолько малы, что ими можно пренебречь но сравнению с другими напряжениями (приближение плоского напряженного состояния). При использовании этих гипотез задача сводится к решению неоднородного бигармонического уравнения (уравнение С. Жермен) для одной разрешающей функции-прогиба. Это позволило разработать удобные аналитические и численные методы решения для широкого круга практических задач поперечного и продольно-поперечного изгиба, колебаний и устойчивости пластин различной формы при широком спектре условий закрепления и статических граничных условий. Соответствующая теория в настоящее время излагается практически во всех монографиях по теории упругости и теории пластин. Ее принято называть классической теорией пластин. Ввиду простоты она была обобщена на случай анизотропных, биметаллических и полиметаллических пластин [16, 60, 164-169, 192-193, 224, 230-231, 239, 272, 292, 304, 321-323, 334, 405, 483] и оказалась удобным инструментом для решения обратных задач рационального и оптимального проектирования [34,65,292,297,359].
С момента своего возникновения и по настоящее время классическая теория подвергается критике вследствие присущих ей внутренних противоречий. Например, совместное выполнение гипотез а) и б) приводит к нарушению закона Гука для поперечных нормальных и касательных напряжений. Чтобы избавиться от этих противоречий обычно предлагается считать теорию пригодной не для традиционного упругого материала, а для искусственного трансверсально-изотропного материала с бесконечными модулями упругости поперечного сжатия и поперечного сдвига. Такое приближение можно принять для материалов, подвергающихся специальным методам облучения, прокатки или поверхностного наклёпа [24, 243]. Тем не менее, даже в рамках таких положений в некоторых случаях классическая теория обладает неприемлемыми
Введение
12
противоречиями и парадоксами. Например, очевидно, что при формулировке краевых статических условий на кромке пластины будем иметь шесть граничных условий, тогда как разрешающее уравнение имеет четвертый порядок. Установлено также, что классическая теория дает серьезные сбои в окрестностях локализованных воздействий. Детальный анализ недостатков и парадоксов классической теории пластин, установленных к настоящему времени, содержится, в частности, в работах [13, 66-70, 112-113, 199-200, 202,298,387,502].
С целью избавления от таких парадоксов исследователи пошли по пути смягчения некоторых гипотез классической теории. Соответствующие теории принято называть неклассическими теориями. Первые исследования в этом направлении для балок и пластин были выполнены С.П.Тимошенко [405-406, 407, 499], который в рамках гипотезы а) отказался от требования сохранения нормальности прямых поперечных линий (гипотеза прямых линий). Соответствующая теория носит название теории Тимошенко и свое полное изложение нашла в работах [51, 101, 102-103, 189, 319-321, 420]. Использование этой теории в ряде случаев даёт лучшее соответствие прогибов и частот колебаний экспериментальным значениям по сравнению с классической теорией [196, 418], но не избавляет от многих противоречий. В частности дает большие отклонения в зонах закреплений и сосредоточенных нагрузок [201]. Поэтому многие исследователи идут по пути дальнейшего смягчения гипотез путем учета обжатия и искривления нормали к недеформируемой поверхности [13, 16, 18, 21-23, 46, 66-70, 102-103, 129-131, 169, 174— 185, 199, 202, 292, 322, 326, 420, 436, 479, 484-488]. При всем многообразии указанных вариантов, отметим следующее: самый низкий порядок разрешающих уравнений, получающихся при таком подходе будет шестым, что позволяет избавиться от несоответствия между порядком разрешающих уравнении и количеством задаваемых на краю силовых характеристик. Уравнения такого типа принято называть уравнениями типа Э.Рейсснера, впервые последовательно установившего такое соответствие [484-485], проведшего анализ их особенностей и получившего на их основе ряд аналитических решений [486-488]. Анализ и обзор полученных к настоящему времени решений на основе теорий типа Рейсснера содержится в ряде обзоров и специальных статей [15-16,23,26,66, 99,101,108,175,199].
Характерное для этих теорий обстоятельство заключается в том, что их уравнения относятся к классу сильно «жёстких систем» дифференциальных уравнений, характеризующихся наличием двух типов решений: медленно меняющихся,
определяющих основное состояние и быстро изменяющиеся в окрестностях краев и скачков нагрузок решений. Как известно, наличие быстро изменяющихся по координатам
Введение
13
решений вызывает большие трудности при реализации численных методов расчета и требует разработки специальных алгоритмов устойчивого численного счета (см. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. [23]). Именно поэтому, несмотря на существующие в ряде работ [13, 66, 69, 502,199,202,327,483] рекомендации по использованию при расчетах пластин теорий типа Рейсснера вместо классической теории, большинство исследователей опирается на последнюю. С одной стороны, учёт деформаций поперечного сдвига и обжатия в тонких однородных пластинах необходим только в специальных случаях и практически не уточняет результатов в традиционных задачах расчета пластин (например, при шарнирном опирании). С другой стороны, наличие резко выраженных краевых моментов при использовании ряда стандартных вычислительных процедур и программ может приводить к существенным ошибкам и создавать ложные оценки степени уточнения.
В то же время в работах [108, 112-114] Гольденвейзер А.Л. отмечал, что недостатком теории Рейсснера является то, что «она исходит из гипотез, отражающих явления, происходящие вдали от края пластинки и в связи с этим в краевой зоне может давать результаты, далёкие от действительности». В дальнейшем А.П. Прусаков [354] на основе энсргоасимптотичсского метода подтвердил это мнение, показав, что напряжения в заделке пластины средней толщины значительно превосходят те, которые даёт теория Рейсснера. Поэтому усилия по построению специальных численных и аналитических методов прямого интегрирования уравнений Рейсснера являются мало продуктивными.
Третий класс. Третья группа работ по сведению трёхмерных уравнений теории упругости тонкостенных конструкций (балок, пластин и оболочек) к двумерным уравнениям связана с асимптотическими методами интегрирования. Возникающие в этом методе (вследствие наличия малого геометрического параметра - отношения поперечного размера к размеру в плане) сингулярно-возмущенная краевая задача разделяется на две отдельные задачи: а) задача для основного напряженно-деформированного состояния; б) задача для погранслоя с последующим сращиванием найденных решений при помощи краевых и начальных условий. При построении регулярного решения в уравнения, граничные и начальные условия подставляются представления искомых величин в виде степенного ряда по малому параметру и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра. При этом для каждого приближения соблюдается полное соответствие между порядком уравнений и числом поставленных условий. Общая теория асимптотических методов представлена в работах [30, 35, 59, 71, 185, 225, 244, 256, 265, 269]. Применению асимптотических методов в области механики твердого тела посвящены работы Бахвалова Н.С., Опанасенко Г.П. [37], Ванина Г.А. [61], Зино И.Е.,
Введение
14
Троппа Э.А. [204], Ивлева Д.Д., Ершова Л.В. [206], Ильина А.М. [207]. Развитию асимптотических методов в теории балок, пластин и оболочек посвящены работы Агаловяна J1.A. [1-4], Агаловяна Л.А., Геворкян P.C. [5], Агаловяна M.JI. [6], Назаренко
H.A., Воровича И.И. [31], Бутенко Ю.И. [52-57], Волоха К.Ю., Горшкова A.A. [88], Воронина И.И. [93], Воровича И.И., Кадомцева И., Устинова Ю.А. [95-96], Воровича И.И., Малкиной О.С. [97], Гольденвейзера А.Л. [108-115], Горынина Г.Л. [133-141], Горынина Г.Л., Каменцева Д.В. [142], Горынина Г.Л., Немировского Ю.В. [143-162, 285-287, 455, 473], Гузя А.Н., Немиша Ю.Н. [171], Гусейн-Заде М.И. [177-180], Елисеева В.В. [195], Колпакова А.Г. [220], Назарова С.А. [268], Никольской H.A., Проскуры A.B. [300], Образцова И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианова И.В. [303], Понятовского В.В. [343, 346-347], Роменской Г.И., Шлснева М.А. [371], Рябенкова Н.Г. [373], Сапонджяна О.М. [375], Саркисяна С.О. [380-382], Устинова Ю.А. [413-415], Шойхета Б.А. [440].
Преимущество такого подхода заключается в том, что уточнение регулярного решения осуществляется намного легче, чем в случае иных способов решений, так как для этого приходится лишь соответствующее число раз решать бигармонические уравнения типа уравнений классической теории пластин. Однако одним лишь этим решением невозможно описать все разнообразие условий, возникающих при закреплении торцов балок и кромок пластин. Для этого необходимо иметь принципиально иное решение -погранслойнос и изучить степень его изменения при движении от краёв или точек разрыва нагрузок вглубь конструкции. В связи с этим в последние десятилетия активно развиваются работы по изучению, обоснованию и обобщению принципа Сен-Венана. Отметим здесь, в частности, работы [2, 41, 140, 150, 187, 306, 375, 385, 449]. Асимптотический метод позволил установить, что принцип Сен-Венана является справедливым для однородных балок, полос и пластин из изотропных и ортотропных материалов для широкого спектра краевых условий. В то же время установлено [2], что применение асимптотических методов для балок и пластин, изготовленных из материалов с ярко выраженной анизотропией может приводить к неверным результатам.
Для теории пограничного слоя в балках и плитах следует особо отметить пионерские работы Папковича П.Ф. [316-318] и Лурье А.И. [246], в которых были заложены ключевые идеи построения пограничных решений, хотя и без использования современной терминологии. Эти идеи получили свое развитие в работах Воровича И.И. и его учеников [7, 92-98, 413-415]. Для слоистых балок произвольного очертания и слоистых плит с произвольным расположением слоев соответствующая теория построена в работах Горынина Г.Л., Немировского Ю.В. [143,150,160,162].
Введение
15
Асимптотический метод во всех его вариантах оказывается полезным средством построения уточненных прикладных теорий [2,143,483, 490].
Четвертый класс. Для анализа напряженно-деформированного состояния пластин и стержневых элементов в рамках классических и нсклассических подходов широко используются также численные методы, такие как метод конечных разностей, конечных элементов, дискретной ортогонализации и другие. Наличие быстро изменяющихся по координатам решений вызывает большие трудности при реализации численных методов расчета. Эти затруднения особенно возрастают при уменьшении относительной толщины пластины, учете ослабленного сопротивления поперечным сдвигам и обжатию, вызывающих увеличения показателя изменяемости краевых эффектов и ухудшающие обусловленность систем уравнений применяемых методов и их сходимость. В связи с этим для каждого типа основополагающих уравнений приходится находить специальные схемы дискретных разбиений, гарантирующих определенную уверенность в достижении достоверных результатов. Это обстоятельство приводит к тому, что разработка численных методов решения неклассических задач поперечного и продольно поперечного изгиба развивается гораздо медленнее, чем создание новых вариантов теории. Не останавливаясь на анализе различных вариантов численных схем, который можно почерпнуть из упомянутых выше монографий и обзорных статей, отметим здесь ряд полезных работ, связанных с привлечением наиболее популярного ныне метода конечных элементов [203, 254, 257-261, 290-291, 296, 348, 473], в которых обсуждаются вопросы, связанные с диспропорцией в требованиях к аппроксимациям тангенциальных и поперечных перемещений, с построением эффективных высокоточных элементов, построением автоматизированных процедур триангуляции плоских областей со сгущением и разрешением узлов и эффективных численных схем интегрирования двумерных краевых задач с большими градиентами решения.
0.2. Многослойные конструкции
Описанные выше четыре основных подхода к построению решения задач иапряженно-деформирования пластин и стержней, относились к однослойным конструкциям. К современным конструкциям предъявляются многообразные и очень жесткие требования по обеспечению необходимых качеств по материалоёмкости, экономическим показателям, теплопроводности, жесткости, кратковременной и длительной прочности, виброзащите, звукопоглощению, радиационной и коррозионной стойкости и другим, которые никакой материал в рамках однослойной конструкции обеспечить не может. В связи с этим в течение последних пятидесяти лет активно
Введение
16
развиваются подходы к расчету и анализу поведения многослойных конструкций. Существующие к настоящему времени технологические приемы позволяют соединять практически без ограничений материалы различной природы: дерево, пластмассы, резины, металлы, бетоны, графиты в любых сочетаниях. В частности, здесь можно отметить технологии склейки, сварки взрывом, диффузионной сварки, холодного и плазменного газодинамического напыления [8, 190, 214, 222, 224, 230-231, 310, 363]. В ряде случаев конструкция из однородного материала может приобрести неоднородные свойства (стать слоистой) вследствие специальных способов поверхностной обработки: глубокого пластического деформирования при прокатке, дробеструйной обработки, магнитно-ультрозвуковой наплавки, электронно-дуговой наплавки и др. [24,190,243]. Учитывая, что слоистые конструкции используются в качестве несущих элементов наиболее важных объектов аэрокосмической, судостроительной и машиностроительной техники и в современных объектах стройиндустрии, становится понятным тот громадный интерес, который проявляют специалисты отечественной и мировой науки к развитию теоретических подходов и численных методов расчета слоистых конструкций. Развитие теории многослойных конструкций идет практически теми же путями, что и теории однородных конструкций. Это естественно, поскольку любой вариант теории многослойной конструкции должен сводиться при определенных предельных переходах к однородным конструкциям. Поэтому выполненные к настоящему времени исследования можно также разделить на четыре вышеупомянутых группы. По мере развития теории слоистых конструкций анализ ее достижений находил отражение в обзорах [10,15,33,46-47, 102-103, 165, 169, 193, 222, 233, 272, 298, 325, 327, 404, 464, 480, 488] и монографиях [8, 14, 16, 23, 48, 143, 224, 239-240, 297, 320, 323]. Проведенный анализ развития теории слоистых конструкций показывает, что хотя число публикаций по рассматриваемой проблеме измеряется тысячами, но распределение их по вышеупомянутым четырем группам далеко неравномерно. Работы, касающиеся использования координатных и асимптотических рядов для приведения многоконтактных пространственных задач теории упругости к более простым двумерным задачам, исчисляются единицами и носят разрозненный характер [1-6, 52-57, 333, 343, 346-347, 381-382, 413]. Подавляющее число исследований по слоистым конструкциям связано с методом гипотез. Их, в свою очередь, можно разбить на два больших подкласса, названных в обзоре Пискунова В.Г., Рассказова А.О. [327] соответственно дискретно-структурными и непрерывно-структурными теориями слоистых конструкций. Для дискретно-структурных моделей характерно использование различных кинематических гипотез (типа Кирхгофа-Лява, Тимошенко, Рейсснера и др.) для жестких и мягких слоев при выполнении требований сплошности
Введение
17
пакета. Разрешающие системы уравнений дискретно-структурных теорий многослойных пластин при различных вариациях дополнительных упрощающих положений были получены в работах [8,26,32,46-48,77-78,166,168-177,255,323,349,352,450,464,505]. Выбор системы кинематических гипотез для слоистых конструкций определяется деформативными и геометрическими параметрами слоев и является достаточно широким. В рамках такого подхода можно достаточно точно аппроксимировать поле перемещений каждого слоя и описать тонкие эффекты, связанные с локальными особенностями деформирования отдельных слоев. Однако реальное решение конкретных задач при большом числе слоев связано с большими, иногда непреодолимыми трудностями. Дело в том, что порядок разрешающих систем уравнений при таком подходе зависит от числа слоёв и быстро нарастает как с увеличением слоёв, так и с усложнением аппроксимаций кинематических характеристик. Следует также отметить, что всякое изменение структуры пакета слоёв требует изменения системы гипотез, соответствующей модификации разрешающей системы дифференциальных уравнений и пересмотра процедуры её численного интегрирования, что вносит в расчет дополнительные трудности и затрудняет выбор рациональных конструктивных схем. Возможно, поэтому в литературе практически отсутствуют публикации численных исследований напряженно-деформированного состояния слоистых конструкций (с числом слоёв большим трёх) выполненных в такой постановке. Обстоятельные обзоры с классификацией принимаемых гипотез и критическим анализом получающихся результатов содержатся в работах [168, 327], что позволяет не останавливаться здесь на анализе большого количества конкретных публикаций этого направления.
При построении непрерывно-структурных теорий слоистых конструкций авторы используют единую кинематическую гипотезу для всего пакета слоев, обеспечивающую сплошность конструкции с частичным или полным обеспечением реальной податливости материалов на поперечные сдвиги и обжатия. Вывод разрешающих систем уравнений опирается при учёте принятых кинематических гипотез на вариационные принципы Лагранжа или Рейсснера. При этом получаются непротиворечивые с точки зрения вариационных принципов варианты систем дифференциальных уравнений слоистых пластин и оболочек, различающиеся между собой по структуре, широте охвата учитываемых факторов и границами применимости. В этом случае устанавливаются системы внутренних усилий, соответствующие принятым геометрическим моделям деформирования и формулируются соответствующие корректные краевые усилия. Хотя порядки разрешающих систем уравнений в этом случае также нарастают по мере усложнения принимаемых кинематических гипотез, достоинство такого подхода состоит в
Введение
18
том, что при принятии некоторой кинематической гипотезы, порядок разрешающей системы уравнений далее не зависит ни от числа слоев, ни от их трансформации, что существенно упрощает разработку численных схем решения и позволяет расширить множество решаемых задач. С общей характеристикой работ этого направления, включающей в себя оценку пределов применимости используемых кинематических и статических гипотез можно ознакомиться в работах [21-23, 101-103, 167, 193, 357, 362 и др.]. В [255] разработан метод, объединяющий дискретно-непрерывно-структурные подходы к построению математической модели слоистых плит. На его основе конструкция по толщине разделяется на полосы (однородные или слоистые), объединенные условиями контакта. Пакет полос рассчитывается на основе дискретно-структурного подхода. Такой метод позволяет учесть структурные особенности элементов слоистого пакета и увеличить точность результатов, приблизив их к данным трехмерного решения. Сравнительный анализ результатов расчета слоистых конструкций с использованием различных вариантов двумерных непрерывно-структурных моделей выполнен в работах [17-18, 21-22, 49, 313, 350, 388, 482 и др.]. Такой сравнительный анализ ввиду оправданного и неизбежного появления многих «уточненных» вариантов уравнений слоистых конструкций позволяет выявить характер и степень влияния трансверсальных деформаций, уточнить взаимные границы пригодности прикладных двумерных уравнений и в их рамках выделить наиболее простые и достаточно надежные (с вычислительной точки зрения) подходы к анализу поведения слоистых конструкций. Однако уверенный выбор того или иного из упоминаемых вариантов приближенных неклассических теорий многослойных стержней и пластин должен опираться на всесторонние сравнения с расчетами многоконтактных задач теории упругости кусочно-однородных и кусочно-неоднородных тел и на сравнение с прямыми экспериментами, выполненными над конструкциями.
Экспериментальные исследования. Достоверность теоретических построений всегда подвергается независимой экспертизе путем сравнения результатов расчета с экспериментами. Если классические теории для однородных пластин и стержней в течение последних двух веков подвергались многочисленным и разнообразным экспериментальным проверкам, то количество целевых экспериментальных исследований по проверке неклассических вариантов теорий однородных и слоистых стержней и пластин не столь велико, не носит характера всесторонних испытаний и ожидает еще своих исследователей. Приведем здесь обзор некоторых испытаний, относящихся к предмету, исследуемому в данной монографии. Наиболее полное описание результатов экспериментальных исследований для трехслойных балок и пластин с легкими заполнителями можно почерпнуть в источниках [8-9, 27, 51, 99, 224, 307-308, 361-362,
Введение
19
370, 397]. Приведенные в них экспериментальные данные отличаются достаточной полнотой и обстоятельностью описания. В испытуемых трехслойных конструкциях в качестве обшивок (жестких слоев) использовались металлы, а в качестве заполнителей (легких или мягких слоев) - пенопласты и органическое стекло. Испытывались свободно-опертые балки при воздействии равномерно-распределенных нагрузок [308], синусоидально распределенных нагрузок [9], сосредоточенных сил [27]. В [9] приведены также экспериментальные данные но изгибу трсхслойных свободно-опертых по контуру пластин при равномерно распределенной поперечной нагрузке. В [308] представлены результаты опытного определения частот колебаний шарнирно-опертых трехслойных балок и пластин. Результаты экспериментов по изгибу коротких защемленных по краям двутавровых балок при нагружении сосредоточенной силой описаны в [99]. Сравнительные данные испытаний трехслойных шарнирно-опертых и защемленных балок-полос приведены в монографии [224]. Экспериментальные данные показывают необходимость построения неклассических вариантов теории изгиба слоистых балок и плит, особенно в случае несимметричных структур сечения и существенного отличия материалов слоёв. Экспериментальные данные для пластин несимметричной структуры с числом слоев больше трех для случаев статического и динамического изгибов приведены в работах [361-362].
Решение многоконтактных краевых задач теории упругости на сегодняшний день (за исключением единичных частных и искусственных случаев) не представляется возможным. Существенного прогресса здесь можно было бы добиться за счет разработки процедуры расщепления общих пространственных уравнений многоконтактных краевых задач кусочно-однородных и кусочно-неоднородных тел. Однако, несмотря на неоднократные указания в необходимости разработки такого направления в различных обзорных статьях, начиная с середины прошлого века [98, 167, 169 и др.] попытки продвижения в этом направлении до сих пор носили разрозненный характер единичных исследований для некоторых частных ситуаций [2, 52, 110, 197, 247, 268, 344, 346, 365, 444,467].
03 Цели и задачи диссертации
Краевая задача теории упругости для однородного тела включает в себя (Васидзу К. [64]):
1) систему уравнений равновесия
Введение
20
У=1
где еар - компоненты линейного тензора деформаций,
3) соотношения Коши для линейного тензора деформаций
стар = Шар + 2цеар. 0=Ееп.
(2)
(3)
4) краевые условия на всей поверхности тела либо для поверхностных нагрузок яа
В постановке (1)-(5) доказаны теоремы существования и единственности решения (Новацкий В. [301]). Однако в такой постановке удается получить точное решение задачи теории упругости лишь в очень немногих и подчас искусственных случаях.
Пространственная задача теории упругости в постановке Сен-Венана. Для задач изгиба и кручения стержней очень часто на торцевых поверхностях вместо распределенного поля сил (4) задаются интегральные характеристики этого поля - усилия, а вместо распределенного поля перемещений (5) - их некоторая интегральная характеристика (например, среднее перемещение). Для пластин - тоже самое задается на их кромке. Это делается с целью упрощения задачи. Такая постановка тесно связана с именем Сен-Венана, именно в такой постановке им была решена задача об изгибе консоли (Сен-Венан Б. [385]) и было дано правдоподобное обоснование такого подхода в виде знаменитого принципа Сен-Венана. В дальнейшем пространственную задачу теории упругости, для которой условия (4) или (5) на некоторых участках поверхности тела заменены интегральными равенствами, будем называть пространственной задачей теории упругости в постановке Сен-Венана. Очевидно, что для такой задачи в отличие от краевой задачи теории упругости отсутствует единственность искомого решения. Поле напряжений, возникающее при решении задачи теории упругости в постановке Сен-Венана, по определению будем называть основным напряженным состоянием для краевой задачи теории упругости. Соответствующее поле перемещений будем называть основным полем перемещений для краевой задачи теории упругости.
М;
либо для заданных перемещений
(4)
иа=и°, а = {х,у,г}.
(5)
Введение
21
Введенная терминология своим главным основанием имеет то обстоятельство, что все теории балок и пластин, основанные на введении гипотез, фактически стремятся приблизиться к решению не краевой задачи теории упругости, а задачи теории упругости в постановке Сен-Венана. Таким образом, такая постановка задачи фактически существует, однако терминологически не фиксирована.
Решение задачи в постановке Сен-Венана в общем случае отличается от решения краевой задачи, их разность будем называть пограничным решением. Принцип Сен-Венана утверждает, что это решение быстро убывает при удалении от торца - для балки, и при удалении от кромки - для пластины.
Целью диссертации является изложение и обоснование нового метода решения пространственных задач теории упругости в постановке Сен-Венана, таких как задача продольно-поперечного изгиба и кручения слоистых стержней и задача продольнопоперечного изгиба плит для достаточно широкого класса действующих нагрузок. Достижение данной цели включает в себя решение следующих задач:
• Обоснование и применение метода к задачам продольно-поперечного изгиба слоистых стержней произвольного поперечного очертания. Выявление класса поверхностных, объемных, температурных и иных нагрузок, при которых метод дает точное аналитическое решение данной задачи.
• Обоснование и применение метода к задачам кручения слоистых стержней произвольного поперечного очертания. Выявление класса поверхностных нагрузок, при которых метод даст точное аналитическое решение данной задачи.
• Изучение возможности применения данного метода к задачам продольно-поперечного изгиба слоистых стержней, лежащих на упругом или жестком основаниях.
• Изучение возможности применения данного метода к задачам свободных и вынужденных колебаний слоистых стержней.
• Обоснование и применение метода к задачам продольно-поперечного изгиба слоистых плит с произвольным расположением и числом слоев. Выявление класса поверхностных нагрузок, при которых метод дает точное аналитическое решение этой задачи.
• Изучение возможности применения данного метода к решению задач о действии сосредоточенных нагрузок на слоистые плиты.
• Изучение возможности применения данного метода к объяснению явления кромочного эффекта в слоистых композитах.
Введение
22
Данный метод назван его авторами, Горыниным Г.Л. и Немировским Ю.В., в монографии [143] методом асимптотического расщепления. Такое название связано с главным свойством метода - расщеплением исходной трехмерной задачи теории упругости в постановке Сен-Венана на одномерные и двумерные задачи, которые существенно проще исходной. Расщепление становится возможным благодаря двум основным идеям: первая - строится формальное асимптотическое решение
пространственной задачи теории упругости, вторая - неизвестные вектор-функции перемещений и тензор-функции напряжений ищутся в виде степеней дифференциальных операторов от некоторых функций и рассматриваются как независимые величины. При реализации первой идеи обычно используют понятие асимптотического ряда. Однако это понятие оказалось слишком узким для решения рассмотренного класса задач, поэтому вместо него в диссертации используется более широкое понятие асимптотической последовательности. Вторая идея ранее использовалась в завуалированном и половинчатом виде (например, в работах Доннелла [192] и символическом методе Лурье [247]), однако систематическое развитие и анализ получила только в вышеупомянутой монографии [143] и работах [133-142, 144-162, 285-287, 455, 472]. Метод является существенно новым, поэтому закономерно возникает целый ряд новых понятий: полукраевая задача, номинальный порядок дифференциального уравнения, номинальное линейное подмногообразие решений, линейное многообразие асимптотически расщепленных приближений, характеристические функции вектора перемещений и тензора напряжений, характеристические жесткости (сдвиговая, изгибная и пр.) и другие.
Все задачи решаются в геометрически и физически линейной постановке. Слоистые конструкции считаются состоящими из слоев с упругими изотропными свойствами, быть может, непрерывно меняющимися внутри слоя. Лишь в двух параграфах рассматриваются ортотроиные материалы.
В диссертационной работе кроме метода асимптотического расщепления разработана теория пограничных решений для слоистых стержней и разработаны элементы теории пограничных решений для слоистых плит. Данные разделы имеют вспомогательное значение, т.к. без учета пограничных слоев результаты, полученные методом асимптотического расщепления, подчас приводят к парадоксальным ситуациям. Для разрешения подобных парадоксов и были разработаны соответствующие разделы теории пограничного слоя.
1 I Поперечный изгиб слоистой балки
23
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ СЛОИСТЫХ СТЕРЕЖНЕЙ
->
г
х
Рис. 1.1.1 Слоистая балка под действием поперечной нагрузки
1.1. Поперечный изгиб слоистой балки
1.1.1. Постановка задачи
Рассмотрим стержень с неизменным по длине поперечным сечением, имеющим произвольное очертание симметричное относительно координатной прямой Ох и состоящим из произвольного числа армированных упругих слоев, выполненных из различных изотропных материалов (рис. 1.1.1, 1.1.2). Граница между слоями в сечении не обязательно прямолинейна, а может быть произвольной кривой, в том числе и замкнутой (рис. 1.1.2). Для краткости изложения упругие продольные стержни, посредством которых осуществлено армирование, также будем называть слоями. В традиционных теориях изгиба стержней в качестве отсчетиой поверхности обычно выбирают плоскость, проходящую через нейтральную ось. Это приводит к некоторым ограничениям на выбор материалов и формы сечения слоев. Чтобы избежать подобных ограничений, выберем начало координат на верхней поверхности стержня (см. рис. 1.1.1). Слои нумеруем сверху вниз, 1- номер текущего слоя, я - число слоев. На боковой поверхности стержня
действуют распределенные поперечные нагрузки qx, чу в направлении осей х и у соответственно и распределенная продольная нагрузка с\г. Пусть их,иу,и2- перемещения точек стержня в направлении осей х, у, г соответственно; («ТаЦ - компоненты тензора
\
Глава
і
у _____
1. 1. Поперечный изгиб слоистой балки
24
напряжения на 1-ом слое; [аап]- - скачок контактных напряжений, действующих на границу раздела ыю и ,)*-го слоев в направлении а, а = {х,у,г}; пх, пу - компоненты вектора единичной нормали к поверхности балки либо к границе раздела слоев, А,8,Ц| -упругие постоянные Ламе для каждого слоя с симметричным распределением относительно плоскости хОг, внутри слоя они могут непрерывно меняться.
II I 1 I I I I I I ч*
Рис. 1.1.2. Поперечное сечение армированной слоистой балки под действием
поперечной нагрузки.
Пусть и - характерное значение для перемещения их, Ь - высота стержня
(линейный размер вдоль оси х) и Ь - его длина (линейный размер вдоль оси г), Ё -характерное значение модуля Юнга. Будем рассматривать только такие стержни, для которых величина
б = Ь/Ь (1.1.1)
является малым параметром. Перейдем к безразмерным переменным и функциям, для простоты не меняя их обозначения:
х <-> х/Ь, у о у/Ь, г <-> г/Ь, иа <-> иа/и, А^ <-» А.1у/Е, оц]/Ё,
аоср „ Р ~ Ёи
Я« Р<->-гг. О = —, (1.1.2)
о сг И а Ь
где Р - сосредоточенная нагрузка.
Требуем выполнения уравнений равновесия внутри стержня и на его поверхности всюду за исключением торцов:
а = {х,у.г|; (1.1.3)
ах ду дг
(стах )| пх "®" сху )| пу = Яа » а = {х,у,г}. (1.1.4)
На границе между слоями стержня контактные напряжения ахп, ауп и агп должны быть непрерывны:
1 1 Поперечний изгиб слоистой балки
25
Одновременно с тем на границе между слоями стержня должны быть непрерывны перемещения:
где еар - компоненты линейного тензора деформаций.
При простом поперечном изгибе будем считать, что продольная нагрузка отсутствует, поперечная нагрузка действует только вдоль оси симметрии сечения и сама является симметричной относительно нее:
Очевидно, что при выполнении равенств (1.1.8) кручение отсутствует, слоистый стержень работает только на изгиб и в дальнейшем будет именоваться слоистой балкой.
Определение 1.1.1. Задачу о нахождении поля перемещений її,, удовлетворяющего уравнениям (1.1.3)—(1.1.8) внутри балки и на ее границе будем называть полукраевой, так как существуют участки граничной поверхности балки (се торцы), на которых краевые условия временно не заданы.
Определение 1.1.2. Пусть дано дифференциальное уравнение Цїї(?),е) = 0,
асимптотическим решением (далее - ф.а.р.) этого уравнения, если существует монотонная
то будем говорить о формальном асимптотическом решении полукраевой или краевой задачи соответственно.
(иа^=(ча),. І,І = М>а = {х,У,2}.
(1.1.6)
Считаем, что материал каждого слоя подчиняется закону Гука:
(Ы.7)
Ях(х>У) = Ях(х“У), Яу =0, qz =0.
(1.1.8)
функциональную последовательность
будем называть формальным
неограниченно возрастающая функция ш(п) такая, что для любого п выполняется
равенство
(*)
При этом элемент последовательности
будем называть формальным
асимптотическим приближением решения уравнения с точностью Если
равенство, аналогичное равенству (*), выполняется для части или всех краевых условий,
Если
/ I Поперечный изгиб слоистой балки
26
Примем для перемещений точек балки на каждом слое следующие правила аппроксимации:
(их)|п)(г,Е) = и|)П)(г)+ £и*к 6 и° е2к, (иу)[п)(г,е)= Еиа ~-Л°к'~е2к’
• • бг 1 к=1 йг
к«1
(»г);п)(г,е)=-(х-с0)^е+іи^к -е2к+|
(1.1.9)
где п- порядковый номер правила аппроксимации (номер асимптотического приближения); г- радиус-вектор точки; її[п*(г,є) - аппроксимация вектора перемещения;
Сф - некоторая константа; и^г) - функции прогиба в направлении оси х; число к -характеристический номер (меняется в пределах от 1 до номера асимптотического приближения п); и*к(х,у), и^к(х,у), и*к(х,у) - характеристические функции
векторного поля перемещений в поперечном сечении балки.
Будем считать, что функции прогиба и^г) равняются средним перемещениям
точек поперечного сечения в поперечном направлении:
1 Л
иоП)(2) = -1КиЛП>(г)<Н%
1-1=1 р,
(1.1.10)
где Р, Р, - площадь поперечного сечения балки и площадь і -го слоя поперечного сечения
балки соответственно. Из формул (1.1.1), (1.1.10) следует выполнение равенств
$
£/и1*к(х)у)<1Р = 0,к = 1,п. '*>р,
(1.1.11)
Компоненты линейного тензора деформаций в безразмерных переменных имеют вид
її бих и би у її би. її Гбиу и би биЛ
Схх н бх 0» 1, ду дг ’ Уху - ь бх ду) ,Ух£ ь { бх бх у
Ууг
(1.1.12)
2 *' ах. ^ 9 л/* ^ 2
Вычислим компоненты линейного тензора деформации для перемещений (1.1.1) в соответствии с формулами (1.1.12):
1 1 Поперечный изгиб слоистой балки
27
мпЧ*
1 Пк=1
5иа , 5и*к1 с12ки<">
Эх Эу сіг2к
и п аиПк чЧ> Ь ы 5х dz2k
и-1-!
( / п-1
чк=Ч
V 5и'к и к+^
ду
с12к+1и<п>
с12п+1и<п>
(\г
„2к+1
0 є2к+1 + иу ~2п+|
«,п ^2п+1
ипЧ
п-1
к=1
дх
<(2к+Чп)-,п‘
ТШЇГ1 +и'.п-^2п+!Г£
СІЯ
(1.1.13)
Для компонент тензора напряжений потребуем выполнения равенств
1Л с12ки^ . ./_ч п-1
к=1 ‘ Эг'" ы
п-1
02
(О..)“ - «.Р« м.
к=! аг
(1.1.14)
В формулах (1.1.14) использованы характеристические функции тензорного поля напряжений в поперечном сечении балки (тар)^, которые связаны с характеристическими функциями векторного поля перемещений следующим образом:
(*Л2) = -(*-|+2^Хх-Со) + *1
аи^+^і
Эх ду
Ы2)=*.
-(х-с0) +
аиу
, N
1.1
ду
Ы2)=>.
-(х-с0) +
дх
+ (2-,+2р,)^і. (іхуї2к) = Рі
дх ду
(^)12к>=(?-.+2м.)и ;к_,+х,
ы* | аиук
Эх Эу
ы!!к)=
Г
И?,ы +
ду
* чэихк
+ (я.| + 2ц,)—— Эх
. (^Г+|)=ц.
. ы2к+,)^
5и,к X
——+и\
дх а
V Зи?к
и*+1Г
Ы!к)-
иьк-1 +
эих
і,к
Эх
к \
/, Л
+ (\{ + 2ц,)—
ду
, к = 1,п.
(1.1.15)
Подставим формулы для напряжений и деформаций (1.1.13)—(1.1.14) в закон Гука и воспользуемся равенствами (1.1.15), тогда легко убедиться, что соотношения закона Гука
1. 1 Поперечный изгиб слоистой балки
28
для нормальных компонент тензора напряжений (<^хх ыл) и касательных компонент (аху)!п> выполняются тождественно, а для поперечных касательных компонент (оа2){п) и нормальных компонент (ан)|л^ только приближенно
(«а2)!л)-М,(уа,)|п) = -М,и“п ае {х,у}(
(аа)|п)-(х1+2И,)[еи)|п)-Х1(е„)<п)-Х1(е„);п) = Чха)рп)^е2п. (1.1.16)
Предположим, что поперечная распределенная нагрузка на боковой поверхности балки представлена в расщепленном виде
Чх (Г, г) = $ (Г)рх (г), ДО (Г) (1Г = 1, (1.1.17)
г
где Г- множество граничных точек поперечного сечения балки; ^(Г) - функция
распределения нагрузки по периметру сечения; рх(2) “ суммарная нагрузка в поперечном сечении, для нее, как это следует из формул (1.1.17), справедливо равенство
Р*(2)=К(1Г.
Г
Из равенства (1.1.14) для компоненты (сгхх)|п^, формул (1.1.17) и соотношений на
поверхности (1.1.4) следует, что выполняется дифференциальное равенство, связывающее суммарную поперечную нагрузку и функцию прогиба:
к=1 дт.
где Ч(х2к> (к = 1,п) - некоторые константы. В дальнейшем будет показано, что выполнение
равенства (1.1.18) накладывает некоторые ограничения на класс суммарных нагрузок рх, для которых может быть получено точное решение полукраевой задачи (1.1.3)-(1.1.8). Однако, он достаточно широк, например, включает в себя полиномиально заданные нагрузки. Класс же нагрузок, для которых может быть получено асимптотическое решение этой задачи, еще шире.
1.1.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки
Для характеристических функций тензорного поля напряжений и связанных с ними характеристических функций векторного поля перемещений потребуем выполнения следующих равенств:
во внутренних точках поперечного сечения балки
І. 1. Поперечный изгиб слоистой балки
29
»„)!!>,4,,Р 0
/ м 4 Чг)3* ПРИ k = 1’ i = l.s,ae{x,y};
при k = 2,n,i = l,s; (1.1.19)
на боковой поверхности балки
M2k) = q(x2k)fx4(n. (т„ур° = °. (x„z)Pk+,) = 0 , к = 1,п,
(^ncx)Jm) =(xx«)|m)nx +(т>цУт)пу;
(1.1.20)
на границах между слоями
(.„f’-lvf’, (..f-(vf. (vf*11
Ч*-Ч*. u;,.u;,, k-u, i, j - (і, з]. <i.i.2d
Следует отметить, что для однородной консоли системы уравнений в сечении, подобные системам (1.1.19), были получены в работах Митчелла [467] и Альманзи [444] в 1900 г. путем разложения компонент тензора напряжения и поверхностной нагрузки в степенные ряды по продольной координате z. В литературе задача о нахождении трехмерного напряженного состояния однородной консоли под действием поверхностно распределенной нагрузки получила название задачи Митчелла - Альманзи (см. работы Г.Ю.Джанслидзе [188], А.И.Лурье [248,249], Г.М.Хатиашвили [423]).
Установим полезное свойство краевых задач (1.1.15), (1.1.19)—(1.1.21), для этого умножим третьи уравнения систем (1.1.19) на (x-Cq) и проинтегрируем их по частям по поперечному сечению балки, используя при этом краевые условия и условия сопряжения слоев (1.1.20М1.1.21):
(Gj2k+,) = (lJ(2k), (1-1.22)
где введены интегральные характеристики для характеристических функций тензора напряжений
І І Поперечный изгиб слоистой балки
30
(оир|2к+,) = -11М2Ы)с,Р- (1*){2к)=-Х ^-с0Хти)рк>]аР, к = 1,п. (1.1.23) 1-1 г, 1=1^
Величины (овР)М, (1„)(2к) будем называть характеристическими сдвиговыми и
изгибными жесткостями слоистой балки соответственно.
Краевые задачи в ссчснии балки при к = 1. Исследуем вопрос о разрешимости краевой задачи (1.1.15), (1.1.19Н 1.1.21) при характеристическом числе к = 1. Проинтефируем систему уравнений (1.1.19) по сечению и учтем краевые условия и условия сопряжения слоев (1.1.20)—(1.1.21), тогда второе уравнение превращается в тождество 0 = 0, а первое и третье принимает вид
$
ЧІ2)=0, 11(ти)|% = 0.
»-1 ь
(1.1.24)
Выполнение равенств (1.1.24) является необходимым условием разрешимости краевой задачи (1.1.19)—(1.1.21) при к = 1.
Подставим формулы (1.1.15) в систему (1.1.19) при к=1:
_3
дк
д_
дк
—(х-с„)+
к
ду
/ ж
+(>.,+2р|)—^
Зх
д +—
ду
Т'
дк ду
-(Ч+ЗщХх-СоЭ+Ч
\* д / ч 5U.ll
+— ду /. А., к -(х-с0)+—7 ок
Зх ду
ду
дк ду
3 +—
дк
М.
дк
д
+—
ду
И,
=0,
=0,
(1.1.25)
и^.+
ду
= 0.
Система (1.1.25) с учетом выполнения краевых условий и условий сопряжения слоев (1.1.20)- (1.1.21) при к = 1 распадается на две задачи.
Первая задача для к = 1: система уравнений
(
д X.

дк 1
, ч /
3
дк Ні
> 1 Ч
-(х-с0) +
«її
ду
+ (?., +2Ц|)
зих
«Л
дк
ду
П.
дк ду
дк ду
N*1 д ( / ч, \ би^1
+ ду / _ ч V "(х-с«)+ * ч /
+ (Я., + 2ц,)— ду
= 0, = 0;
(1.1.26)
условия сопряжения на фаницс между слоями
и};, = ии=М,
1.1 Поперечный изгиб слоистой балки
31
-(х-с0)+
дх ду
ду
пх +
, чзи.х
+ (Х, + 2ц,)—^
пх+М,
ЫЪ < <■
дх ду
= 0,
К
-(х-с„) +
зи,.і
Эх
+ (Х1+2М,)^
ау
ПУ
= 0; (1.1.27)
краевые условия на боковой поверхности
—(х-с0) +
эиу
, \
1.1
ау
+(^і+2^ і)
дх
"х+И,
дх ду
п.. =0,
-(х-с0) +
V V
аи..і
Эх
+ (^-1 + 2ц, )~т~ ду
Пу+Ц,
ах ау
пх =0, І = 1,8.(1.1.28)
Подставим формулы (1.1.15) во второе равенство (1.1.24):
а
I/
‘“1р,
-(Л1+2м,Хх-с0) + Х|
6? = 0.
(1.1.29)
ах ду
Краевая задача (1.1.26)—(1.1.29) является интегро-дифференциальной краевой задачей с неизвестными функциями и*|, 11^, и неизвестной константой Со» Задача (1.1.26)—(1.1.28) - это аналог плоской задачи теории упругости, заданной на поперечном сечении балки, с неизвестными «перемещениями» и*|, и*| и некоторыми «объемными»
и «поверхностными» силами, действующими в направлении оси х, причем часть этих сил распределена по границе между слоями. По-видимому, данная задача имеет решение при произвольном поперечном сечении балки и произвольном параметре с0 (Мусхелишвили [266]). Уравнение (1.1.29) служит для определения параметра с0. Каждая из функций из сформулированной задачи может быть определена только с точностью до константы, так как краевые условия заданы с помощью производных от этих функций. Для нахождения константы для функции 11*| следует использовать равенство (1.1.11):
Е/их1(х;У)ар=о.
1=1 Р,
(1.1.30)
І 1 Поперечный изгиб слоистой балки
32
Для нахождения константы для функции II*, необходимо использовать свойство
симметрии сечения и приложенных нагрузок относительно плоскости Огх, из которого следует равенство
и*,(х,0) = 0, 1 = 1,5. (1.1.31)
Вторая задача для к = 1: уравнение
~(К +2ц,Хх-с0) + Х1
аи?, ] д Гаиг, —'±+—- +— и, ——
дх ду дх дх
+ и.д
д + —
ду
иГі+^і
ду
1 = 1,8;
условия сопряжения на границе между слоями
и1.+
ду
пу+ц}
дх
+ и
J.l
Пх = Л,
и?.-«*
ду
(
Пу+Ц,
дх
+их
і.і
и;.=и?,1, и = [1,5];
краевые условия на боковой поверхности
/ \ /
ги?,,
И.
ду
Пу+М,
дх
пх =0, І = 1,5.
= 0,
(1.1.32)
пх,
(1.1.33)
(1.1.34)
Краевая задача (1.1.32)—(1.1.34) (вторая задача) решается на основе первой задачи (1.1.26)—(1.1.29). Уравнение (1.1.32) представляет собой уравнение Пуассона на
неизвестную функцию и*,, необходимым условием разрешимости всей краевой задачи
является ранее полученное уравнение (1.1.29). Функция и*, определяется из этой краевой
задачи с точностью до единственной константы, значение которой будет определено из условий разрешимости первой задачи при к = 2.
На каждом слое удобно ввести упругие константы, модули Юнга Е( и коэффициенты Пуассона V,, которые связаны с упругими постоянными Ламе соотношениями:
м-
у,Е,
Е,
(1.1.34а)
(Г-гу.Хиу,)’ Ц,"2(1 + У,)’ Х,+2ц, 1 -V, ‘
Для последующих рассуждений удобно привести упругие характеристики для некоторых конструкционных материалов в таблице 1.1.1.
1 1 Поперечный изгиб слоистой балки
33
Таблица 1.1.1
Наименование материала Модуль упугости, МПа Коэффициент Пуассона
Сталь углеродистая 2,1 *103 0,24-0,30
Сплавы алюминия 0,72*105 0,26-0,36
Медь (1,15-1,бГЮ5 0,31-0,34
Чугун (1,0-1,3)*105 0,23-0,27
Бетон (0,097-0,408)* 105 0,16-0,22
Стекло 0,1 *105 0,25
Стеклопластик СВАМ 0,35*105 0,43
Резина на каучуке 8,0* 10і 0,5
Случай равных коэффициентов Пуассона. Как видно из таблицы 1.1.1 в отличие от модулей Юнга коэффициенты Пуассона отличаются для самых разных материалов незначительно, поэтому особый интерес представляет собой случай балки из материалов с одинаковыми коэффициентами Пуассона (см. табл. 1.1.1). Легко проверить прямой подстановкой, что для этого специального случая равных коэффициентов Пуассона во всех слоях балки
У1 = V2 =... = vs = V (1.1.35)
решением первой задачи (1.1.26)-(1.1.28) являются функции
у2 . (х"со)2
2 +
+ С,
, и>;, =уу(х-с0).
(1.1.36)
Константа С0 определяется из равенства (1.1.30)
1 $ г и г,
У2 (х-с0)2^ 2 2
(1.1.37)
Из формул (1.1.36) после их подстановки в выражения (1.1.15) следуют выражения для характеристических функций тензора напряжений:
М2) = -Е.(х-с0), (тхх)р) = (туур=(тх>,)[2) = 0, 1 = 1,5. (1.1.38)
Первое равенство (1.1.38) с учетом формул (1.1.14) означает, что для случая равных коэффициентов Пуассона продольные нормальные напряжения в первом приближении распределены по высоте балки по линейному закону. Условие разрешимости (1.1.29) с помощью последнего выражения (1.1.38) может быть преобразовано к виду, позволяющему вычислить константу с0 в явном виде
^ЦхМР/ЦЕ.ар. / <=1Р,
(1.1.38а)
1 1 Поперечный изгиб слоистой балки
34
Для второй задачи в случае равных коэффициентов Пуассона удобно ввести вспомогательные функции:
//
иг-и^+у
-^.+Сг
\\
(х-с0) +
(х-с0)
, 1 = 1,8.
(1.1.39)
Тогда справедливы равенства
V 311?,]
1,1 су = й.
VV
аи;
*
су
-+2уу(х-с0)
1 = 1,5.
Вторая задача (1.1.32)—(1.1.34) переписывается в эквивалентном виде: уравнение
(1.1.40)
гй2иг о21Г'1
----Г- +------Г
Эх'
условия сопряжения слоев
ду*
~ 2(х-С0), І = 1, Б ,
(1.1.41)
/
эи;
Эх
пх +
эи';
—±- + 2уу(х-с0) Эу
\ N Гзиг {
ПУ - Еі +
1 Эх х
/ ^ V
эи;
Эу
+ 2уу(х-с0)
и;-иг, и=М;
краевое условие на боковой поверхности
эи;
Эх
пх +
эи;
Эу
+ 2уу(х-с0)
П„ =0 , І =1,5.
(1.1.42)
(1.1.43)
Краевые задачи в сечении балки при к > 2. Проинтегрируем систему уравнений (1.1.19) по сечению и учтем краевые условия и условия сопряжения слоев (1.1.20)— (1.1.21), кроме того, воспользуемся равенствами (1.1.17) и (1.1.23):
$
1Я^)|2к)^ = 0, к = 2,п, «=1^
чі2к)=(0хг)(2к'1).
1-1 р,
(1.1.44)
(1.1.45)
Выполнение равенств (1.1.44)—(1.1.45) является необходимым условием разрешимости краевых задач (1.1.19)—(1.1.21) при к = 2,п. Второе уравнение (1.1.45) в силу симметрии сечения и поперечной нагрузки является тождеством 0 = 0. Функции и£к_, 0 = 1,8) на каждом слое определены с точностью до константы, условия сопряжения (1.1.21) образуют (5-1) уравнение на них, поэтому неопределенной остается единственная константа. Уравнение (1.1.44) служит для определения этой константы. Краевая задача
І 1 Поперечный изгиб слоистой балки
35
(1.1.19Н1-1-21) с учетом формул (1.1.44)—(1.1.45) и равенств (1.1.15) распадается на две задачи.
Первая задача с характеристическим номером к>2: система уравнений
_Э_
дх
и*к-1 +
ду
+ (К1+2р,)-£-
\ э /
+ — Эу і р
і,к і,к
дх ду
+ И.
+ и*к-1
= 0,
Эх
П.
^+^к_
Эх Эу
ду
К
Ч V
и?Л-1+-
эи
і,к
Эх
+ (Х, + 2р,)
Эх
ч /
' / N
ау
+и,
уУ
иа-і+ 5у
= 0;
(1.1.46)
условия сопряжения на границе между слоями
5и*к и^к-і +—^ ,Л 1 Эу
/ чэи.хк
+ (Х1+2ц,)-^-
Эх Эу
= 0,
‘ 7 5и^кЧ
К и,л-| + ,,к
Эх
+ (Л, + 2р,)—-
Эу
Пу+Ц,
, ЗЦд
Эх Эу
= 0,
и]к=и>к, и = [!,з];
(1.1.47)
краевые условия на боковой поверхности
/
ч ч
и?,к-1 +
Эу
+(А.| +2р,)
эих
|,к
Эх
Пх+М,
Эх Эу
пу=ГхЧ(Г)(Ох2)(2Ы),
+
гид
Эх
Ч ч
+ (Х,+2ц,Ь^
Эу
Ч*к+эи;к'
Пу +|1,
Эх Эу
пх =0, і = 1,8. (1.1.48)
Подставим в уравнение (1.1.44) формулу (1.1.15) для функции (т^ )|2к^:
иІСЧ+гмОи^+х, и г,
Эх Эу
Добавим условие симметрии и уравнение (1.1.10):
<1¥ = 0.
(1.1.49)
/ 1 Поперечный изгиб слоистой балки
36
и(х,0)=0, і = I, в, £ /и *к (х,у)<ІР = О.
(1.1.50)
Первая задача (1.1.46)—(1Л.50), имеющая характеристический номер к, является интегро-дифференциальной краевой задачей на неизвестные функции и*к, иук (і = 1, б)
и неизвестную константу' для функции и£к_| (і = Кб), с точностью до которой она была определена из второй задачи с характеристическим номером (к — 1). Характеристическая сдвиговая жесткость входящая в формулы (1.1.48), находится на основе
решения второй задачи с характеристическим номером (к -1). Тем самым в соответствии с формулами (1.1.15) будут однозначно определены характеристические функции тензора напряжения (т^ «-и.
Вторая задача с характеристическим номером к £ 2 уравнение
д_
дх
мь
дх
\ /
д +— Эу
ЭДк.
ду
+ (?., +2ц|)и,2к_1 +?.,
5и,хк + еи>;к
5х
ду
= 0, (1.1.51)
условия сопряжения на границе между слоями
»і
д\
+ и
Л
Пх+М,
би^
ду
пу =Мі
аи1к х ——+и.’<к
ах а
Пх+Й,
<1
ду
^к=^,к. і.) = [1. *], краевые условия на боковой поверхности
дх
\
+и
•Л
иГк+^
,,к ду
пу =0, і = 1,$.
(1.1.52)
(1.1.53)
Решением второй задачи (1.1.51)-{1.1.53), имеющей характеристический номер к,
являются характеристические функции вектора перемещений II , 1 = 1, б , определенные с
точностью до единственной константы. Тем самым, в соответствии с формулами (1.1.15) будут однозначно определены характеристические функции тензора напряжения
(тхг)Рк+1^* (хуг)[2к+1^ 1 = 1»б. Константа для функций и*к, 1 = 1,8, находится из первой задачи (1.1.46)—(1.1.50) со следующим характеристическим номером (к + 1).
1 I Поперечный изгиб слоистой балки
37
1.1.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки
Подставим первое равенство (1.1.45) в представление для поперечной нагрузки (1.1.18):
£(о^2Ы)^пН2к=рх- (1Л-54)
к=2 dz
Уравнение (1.1.54) является обыкновенным дифференциальным уравнением на
функцию прогиба и^. Нго коэффициенты согласно формулам (1.1.23) суть интегральные
характеристики геометрии поперечного сечения балки и упругих свойств ее слоев.
Минимальное значение номера приближения п, при котором уравнение изгиба
(1.1.54) имеет смысл, равно двум. В этом случае с учетом формул (1.1.23) оно может быть записано в виде
п=2' (1Л'55)
Уравнение (1.1.55) совпадает с уравнением классической теории балки в безразмерном виде, обычно получаемым на основе гипотезы плоских сечений Бернулли (Тимошенко [406]). Для слоистой балки, у которой коэффициенты Пуассона для всех слоев
совпадают, величина e4(lx)^ в соответствии с формулами (1.1.38) и (1.1.23) совпадает с
безразмерной изгибной жесткостью балки, т.е. в этом случае использование классической теории балки оправдано в первом приближении.
При п = 3 уравнение изгиба (1.1.54) принимает вид
ФФ-тЬ*- <иэд
где р - коэффициент пропорциональности между характеристическими изгибными жесткостями 0х)(2) И (1*)(4).
Уравнение (1.1.56) совпадает с уравнением, получаемым из теории Тимошенко, учитывающей влияние сдвига. В самом деле в этой теории прогиб w для однослойной однородной балки представляют в виде прогиба wf, получаемого за счет изгиба балки, и прогиба ws, получаемого из-за наличия сдвига (Доннелл Л.Г. [192, 453], Тимошенко С.П.
1.1 Поперечный изгиб слоистой балки
38
где а - коэффициент учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по сечению, Е1- безразмерная изгибная жесткость сечения, Р - площадь сечения. Из первого и третьего равенств (1.1.57) следуют асимптотические формулы:
\у =
, аЕ1 а2 2 ,
[-——є" ИГр \УГ =
Гц 1
аЕІ а2 2 1+----------
Иц бг2
(1.1.58)
Если вторую формулу (1.1.58) подставить во второе уравнение (1.1.57), получим в точности уравнение (1.1.56):
^ + рЁ!^=.Р* ря«Е. (,.,.59)
бг бг Е1е
Следует отметить, что вопрос о нахождении коэффициента а и, следовательно, коэффициента Р для традиционной теории Тимошенко является роковым, этот коэффициент попросту подбирается посредством правдоподобных и нестрогих рассуждений и ссылок на разноречивые эксперименты (см., например, Енджиевский [196]). В отличие от этих подходов, метод асимптотического расщепления дает ясный алгоритм вычисления коэффициента р, основанный на решении пространственной задачи теории упругости, не только для однослойных однородных балок, но и для слоистых с непрерывно меняющимися упругими характеристиками внутри слоев. Для этого необходимо решить краевые задачи в сечении при характеристических числах к = 1 и
к = 2, затем посчитать характеристические изгибные жесткости (1х)^ и (1х)^ и
вычислить коэффициент Р.
Таким образом, дифференциальные уравнения основных балочных теорий и формулы для вычисления их коэффициентов получаются из пространственной задачи теории упругости в качестве первых приближений при применении процедуры асимптотического расщепления.
1.1.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости
Будем считать, что характеристические функции являются решениями краевых задач в сечении балки (1.1.19)-(1 Л .21). Подставим формулы для перемещений и напряжений
(1.1.1), (1.1.14) в уравнения полукраевой задачи (1.1.3)—(1.1.8). Уравнения (1.1.3) во внутренних точках балки выполняются тождественно для любого приближения п
І 1 Поперечный изгиб слоистой балки
39
Точно также равенства (1.1.4)—(1Л .6) и (1.1.8) выполняются тождественно. Закон Гука
(1.1.7), как уже говорилось ранее, выполняется приближенно для поперечных касательных
компонент тензора напряжений и компонент тензора напряжений (ац)[п^в соответствии с
равенствами (1.1.16), а для остальных компонент тождественно. Таким образом формулы
(1.1.1) и (1.1.14) дают приближенное решение полукраевой задачи (1.1.3)—(1.1.8). Функции
и“п(х,у) не зависят от параметра е. Из равенств (1.1.16) и (1.1.60) следует, что если
производные функции UW достаточно «слабо» зависят от параметра 8, то можно считать,
что равенства полукраевой задачи (1.1.3)—(I.I.8) выполняются асимптотически. Сформулируем это в виде утверждения.
Утверждение 1.1.1. Пусть выполняются следующие два условия: 1) краевые
задачи (1.1.19Н 1.1.21) разрешимы и 2) семейство дифференциальных уравнений (1.1.54)
имеет такие решения для которых существует такое число yw, не зависящее от п, что
d2nu<n) ! d2n+,u^ 1
выполняются условия на их производные: ^ 2„ = —O(l), - =—O(l) при
е-»О, z е [о, l], п£2. Тогда формулы (1.1.1) и (1.1.14) дают формальное
асимптотическое решение полукраевой задачи (1.1.3Н1.1.8). Причем асимптотическое приближение с номером п имеет ТОЧНОСТЬ о(82п"Х).
1.1.5. Исследование решений уравнения изгиба
Исследуем вопрос об ограниченности производных решений уравнения (1.1.54), используемых в утверждении 1.1.1. Поперечная нагрузка рх не зависит от параметра с, поэтому всегда можно найти частное решение уравнения (1.1.54), имеющее вид
(u^)=-j4>(z>e)> —= 0(1) при е -> 0 , z е [0,l], j 6 [0,+оо). (1.1.61)
8 dzJ
= 0, (1.1.62)
Запишем характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (1.1.54):
[_к=3
где X - корень характеристического уравнения. Первые четыре корня уравнения (1.1.62) равны нулю, а остальные представимы следующим образом
X, = ±—0(1) при 8 —>0, ) = 3,п. (1.1.63)
8
Следовательно, общее решение уравнения (1.1.54) имеет вид
1 1 Поперечный изгиб слоистой балки
40
ио^ = ао +а,2+а2г2 +а323 +(и|,п^)5 + е”4ф(г,б), (и^)$ = Е^е^2 +^е ^г\ (1.1.64)
где Ър cJ - произвольные константы.
Производные функции (и^п))5 в соответствии с формулой (1.1.64) сингулярно зависят
от малого параметра, причем порядок производной совпадает с модулем отрицательной степени малого параметра:
-
Л
= Ё(^)к(ь/'г±с/^) = ^гО(1), к є [О,п]. (1.1.65)
Следовательно, эти производные заведомо не удовлетворяют второму условию утверждения 1.1.1.
Откажемся от использования сингулярной части общего решения уравнения (1.1.54), тогда семейство всех решений этого уравнения, являющихся асимптотически пригодными в смысле утверждения 1.1.1, согласно равенствам (1.1.61), (1.1.64) имеет вид
84
цМ = а0 +а|2 + а2г2 +а3г3 +-і-ф(г,є),
^(2,8) = 0(1) при б —> 0, ге[0,1], ]е[0,+оо]. (1.1.66)
(\г]
Для его производных справедливы равенства
л2п (п) 1 Н2п+,и^ 1
д12п б бг б4
Из этих равенств следует, что семейство функций (1.1.66) удовлетворяет и уравнению
(1.1.54) и второму условию утверждения 1.1.1. На основе утверждения 1.1.1 подытожим изложенное выше:
Утверждение 1.1 2 (о формальном асимптотическом решении полукраевой задачи поперечного изгиба балки). Пусть выполнены условия:
1. Поперечные нагрузки, приложенные к боковой поверхности балки, в каждом
сечении балки пропорциональны поверхностной функции ^(Г), которая не зависит от
продольной координаты г и для которой выполняется равенство ^(Г)с1Г = 1.
г
2. Характеристические функции и*к, и*к, и*к являются решениями следующих
краевых задач в сечении балки: (1.1.26)—(1.1.31), (1.1.32)—(1.1.34), (1,1.46)—(1-1.50),
(1.1.51)—(1.1.53).
1. 1. Поперечный изгиб слоистой балки
41
3. Для каждого п дано четырехпараметрическое семейство функций и^(г,е) = а0 +а,г + а222 +а3г3 +8“4ф(г,е), где aJ - параметры 0 = 0>3), 8_4ф(2»8) -
частное решение уравнения
|2к„(п)
£ - р„. ^ .о(1)е-»0,г«[0,|]^в [0,2.],
к=2 dzJ
и где рх- суммарная поперечная нагрузка в сечении. Тогда последовательность векторов перемещений и тензоров напряжений, компоненты которых вычисляются по формулам
(1.1.1) и (1.1.14) образует четырехиараметрическое семейство формальных асимптотических решений полукраевой задачи (1.1.3)—^1.1.8). Причем каждое формальное
асимптотическое приближение с номером п имеет порядок аппроксимации о(е2п"4).
В связи с полученной структурой формального асимптотического решения полукраевой задачи (1.1.3)—(1.1.8) введем новое понятие номинального порядка, которое будет использоваться в самых разных задачах, начиная от продольно-поперечного изгиба стержней и кончая продольно-поперечным изгибом пластин.
Определение 1.1.3. Пусть дано неоднородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка. Решения однородного к нему уравнения образуют линейное пространство размерности п. Если для построения семейства точных или асимптотических решений какой-то полукраевой задачи (например, задачи (1.1.3)-
(1.1.8)) используется только часть решений однородного уравнения, образующая
подпространство размерности шпот, то будем говорить, что исходное дифференциальное
уравнение имеет номинальный порядок шпот в смысле вышеназванной полукраевой задачи.
Например, уравнение (1.1.54) имеет порядок равный п, однако для построения семейства асимптотических решений полукраевой задачи (1.1.3)-(1.1.8) в утверждении 1.1.2 используются не все его однородные решения, а только те, которые обладают ограниченными производными при стремлении малого параметра б к нулю. Эти решения образуют пространство размерности четыре. Поэтому номинальный порядок дифференциального уравнения (1.1.54) в смысле полукраевой задачи (1.1.3)—(1.1.8) всегда равен четырем независимо от его формального порядка п.
Определение 1.1.4. Пусть дано линейное пространство и в нем фиксированы некоторое линейное подпространство размерности т и некоторый элемент исходного пространства, тогда множество элементов линейного пространства, образованное
/ / Поперечный изгиб слоистой балки
42
суммированием данного элемента со всеми элементами линейного подпространства, будем называть линейным многообразием размерности т.
Определение 1.1.5. Известно, что семейство всех решений исходного дифференциального уравнения порядка п получается посредством прибавления к пространству однородных решений одного частного неоднородного решения, т.е. оно образует собой линейное многообразие размерности п. Точно также, семейство решений, применимых для решения конкретной полукраевой задачи, образует собой линейное
подмногообразие размерности шпот, которое будем называть номинальным подмногообразием решений дифференциального уравнения в смысле данной полукраевой задачи.
Иными словами, номинальный порядок шпот дифференциального уравнения в
смысле полукраевой задачи - это размерность линейного подмногообразия, которое образовано решениями исходного уравнения, используемыми для построения формального асимптотического решения этой полукраевой задачи. В силу того, что порядок дифференциального уравнения равен п и, следовательно, возрастает с каждым последующим асимптотическим приближением, начинка номинального линейного подмногообразия меняется в зависимости от номера п, однако его размерность (номинальный порядок) при этом остается неизменной. В силу принципа отбора решений при выводе утверждения 1.1.2 в номинальное подмногообразие не могут входить решения, у которых производные сингулярно зависят от малого параметра е. Таким образом, при возрастании порядка п номинальное подмногообразие каждый раз регулярно возмущается с помощью параметра е. Следовательно, можно считать, что номинальное подмногообразие при любом номере п является регулярным возмущением некоторого первичного номинального подмногообразия.
Например, номинальное подмногообразие для уравнения изгиба (1.1.54) в смысле полукраевой задачи (1.1.3Н1.1.8) с произвольным номером п является регулярным возмущением номинального подмногообразия для этого уравнения с номером п = 2, которое для этого номера совпадает с линейным многообразием всех решений этого уравнения.
Данные определения номинального порядка и номинального подмногообразия очевидным образом распространяются с одного уравнения на систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение 1.1.6. Совокупность всех решений полукраевой задачи (1.1.3)—(1.1.8) образует собой линейное многообразие М бесконечной размерности в линейном
1 1. Поперечный изгиб слоистой балки
43
пространстве вектор-функций перемещений Точно также, совокупность всех тензор-
функций, полученных с помощью закона Гука из решений полукраевой задачи (1.1.3)—
(1.1.8), образует собой линейное многообразие бесконечной размерности в линейном
пространстве тензор-функций напряжений Прямую сумму пространства вектор-
функций перемещений Ь(и) с пространством тензор-функций напряжений назовем
линейным пространством перемещений-напряжений и обозначим 1^их . Линейное
многообразие решений полукраевой задачи (1.1.3)—(1-1.8) в этом новом пространстве получается посредством прямой суммы соответствующих многообразий, обозначим его
МН.
Определение 1.1.7. Множество функций в пространстве 1^ихо\ образованное по
формулам (1.1.1) и (1.1.14) с помощью элементов номинального подмногообразия решений уравнения (1.1.54) в смысле полукраевой задачи (1.1.3)-(1.1.8), будем называть
многообразием асимптотически-расщепленных приближений М^ихв\ Правомерность такого названия следует из смысла утверждения 1.1.2. Линейное многообразие асимптотически-расщепленных приближений М^их<^ по мере возрастания номера приближения п деформируется, стремясь стать подмногообразием для многообразия М^их0^ всех решений полукраевой задачи (1.1.3)—(1.1.8). Размерность многообразия
М(пих0> совпадает с номинальным порядком шпот и не меняется при увеличении номера асимптотического приближения п.
Определение 1.1.8. Линейное многообразие м{,иха^ асимптотически-расщепленных приближений полукраевой задачи (1.1.3)-(1.1.8) с номером п будем также называть редуцированным из уравнении (1.1.54), а само уравнение (1.1.54) будем называть
определяющим линейное многообразие М(пихо) асимптотически-расщепленных приближений полукраевой задачи (1.1.3)—(1.1.8). Уравнение (1.1.54) в свою очередь является следствием введенных законов аппроксимации перемещений и напряжений
(1.1.1) и (1.1.14), поэтому можно говорить о линейном многообразии М<ихст) асимптотически-расщепленных приближений полукраевой задачи (1.1.3)—(1-1-8) редуцированным из законов аппроксимации (1.1.1) и (1.1.14) с фиксированным номером приближения п.
І 1 Поперечный изгиб слоистой балки
44
Точные решения. Рассмотрим интересный с практической точки зрения случай, когда поперечная нагрузка рх является многочленом степени то продольной переменной
Следовательно, начиная с приближения, для которого справедливы неравенства
асимптотические равенства для полукраевой задачи (1.1.3)—<1.1.8) превращаются в точные равенства. Подведем итог в виде утверждения.
Утверждение 1 1.3 (о точном решении полукраевой задачи поперечного изгиба
балки). Пусть выполнены условия утверждения 1.1.2, суммарная поперечная нагрузка рх
является многочленом степени т0 продольной переменной г и выполняется неравенство
вычисляются согласно формулам (1.1.1), образуют линейное многообразие М точных решений полукраевой задачи (1.1.3)—(1.1.8) размерности пгпот=4 в линейном
Иногда в случае полиномиальной поперечной нагрузки удается смягчить требование (1.1.67) к номеру приближения, дающего точное решение. Для этого вместо правила аппроксимации перемещений (1.1.1) введем другое правило
г. В этом случае, как следует из равенств (1.1.54) и (1.1.61), частное решение Е“4ф(г,б)
является многочленом (ш0+4)-й степени, и потому справедливы тождественные
равенства (1.1.16), у которых в правой части находятся производные —
дг
2п^(шо+5), правые части равенств (1.1.16) обращаются в тождественный нуль, т.е.
(1.1.67)
Тогда вектор-функции
компоненты которых
пространстве ііи^.
(1.1.68)
/. 1 Поперечный изгиб слоистой балки
45
которое отличается от правила (1.1.1) только добавочным слагаемым для продольных перемещений. Тогда в формулах (1.1.13) изменятся выражения для компонент (еи)[п^ и
(у02), , а остальные останутся неизменными:
Мп)4
(12и(0п) 2 Д
№
да
к=1
Ч(2и2)и<п) ,к+2
а2к+|иіп)
0 є2к+1, ає {х,у}.
2к+1
(1.1.69)
М-1 - ■ (»»»і-1 - ««м-
Точно также, в формулах (1.1.14) оставим все выражения для компонент тензора напряжений точно такими же, а для компонент (ст22)[п^ и (ааг)5п^ добавим по одному слагаемому
■ы-1
к=1 &2к ' к=Г ~‘"4 дг1
(1.1.69а)
При подстановке сдвиговых компонент из формул (1.1.69) и (1.1.69а) в закон Гука (1.1.7) легко видеть, что первое равенство (1.1.16) перестает выполняться и закон Гука выполняется тождественно. Потребуем, чтобы выполнялось неравенство 2п+2 > (ш0 +5), тогда последнее слагаемое для нормальных компонент тензора деформаций в формулах (1.1.69) зануляется, и, следовательно, нормальные компоненты тензора деформаций ничем пе будут отличаться от случая для правила аппроксимации (1.1.1). Тогда подставляя формулы (1.1.69) и (1.1.69а) в закон Гука, убеждаемся, что и второе равенство (1.1.16) перестает выполняться и закон Гука выполняется тождественно для нормальных компонент. В силу выполнения указанного неравенства уравнения равновесия продолжают выполняться тождественно. Следовательно уравнения иолукраевой задачи (1.1.3)—(1.1.8) выполняются точно. Компоненты тензора напряжений, вычисляемые по формулам (1.1.14) и (1.1.69а), в данном случае могут рассматриваться как следствие формул (1.1.68). Подведем итог.
Утверждение 1.1.4. Пусть выполнены условия утверждения 1.1.2, суммарная поперечная нагрузка рх является многочленом степени ш0 продольной переменной г и выполняется неравенство для номера приближения
ш0+1
п >•
+1.
(1.1.70)