Коротковолновые методы реконструкции дефектов сложной формы в упругих телах

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. РАСЧЕТ ФОКУСИРУЮЩИХ ПОЛЕЙ ПРИ 25
ПЕРЕХОДЕ ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
§1.1 Постановка задачи 30
§1.2. Метод решения 33
§1.3. Численные результаты. Оценка применимости 41
преобразователей в форме двух пластин с различными углами раскрытия для фокусировки ультразвуковых волн ГЛАВА 2. ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ 57
ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О РЕКОНСТРУКЦИИ ДЕФЕКТОВ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ В ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
§2.1. Постановка обратной задачи дифракции в
коротковолновом приближении 61
§2.2. Определение амплитуды рассеяния при нормальном отражении в упругой среде 62
§2.3. Зависимость между амплитудой обратного рассеяния и гауссовой кривизной поверхности отражателя 67
§2.4. Сведение обратной задачи к проблеме
Минковского
§2.5. Приведение задачи определения формы поверхности по известной гауссовой кривизне к нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка
§2.6. Двумерный случай. Сведение задачи к линейному дифференциальному уравнению ГЛАВА 3. РЕКОНСТРУКЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ДЕФЕКТОВ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ ЧЕРЕЗ ОПОРНУЮ ФУНКЦИЮ по ИЗВЕСТНОЙ АМПЛИТУДЕ ОБРАТНОГО РАССЕЯНИЯ §3.1. Существование и единственность решения §3.2. Описание численного алгоритма. Сведение к матричному нелинейному уравнению §3.3. Примеры реконструкции дефектов в виде тел вращения
§3.4. Реконструкция цилиндрических дефектов с различным сечением ГЛАВА 4. РЕКОНСТРУКЦИЯ ВЫПУКЛОЙ ОБОЛОЧКИ ДЕФЕКТОВ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ ПО ИЗВЕСТНОМУ ВРЕМЕНИ ПРИХОДА ОТРАЖЕННОЙ ВОЛНЫ
§4.1. Некорректность задачи восстановления выпуклой оболочки отражателя по времени прихода
4
§4.2. Использование кубических сглаживающих сплайнов 99
§4.3. Примеры реконструкции дефектов 102
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 109
ЛИТЕРАТУРА 110
5
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность решения задач высокочастотной дифракции обусловлена бурным развитием ультразвукового неразрушающего контроля, медицинской томографии, акустической микроскопии, сейсмологии и геофизики. Задачам распространения и дифракции линейных упругих и акустических волн посвящена обширная литература. Хочется отметить исследования, ставшие уже классическими - монографии В.А.Бабешко и О.Д.Пряхиной [9], В.А.Бабешко, Е.В.Глушкова, Ж.Ф.Зинченко [7], В.М.Бабича и В.С.Булдырева [10], Л.М.Бреховских и О.А.Година [17], Р.Б.Ваганова и Б.З.Кацеленбаума [18], И.И.Воровича и В.А.Бабешко [23],
И.П.Гетмана и Ю.А.Устинова [28], В.Т.Гринченко и В.В.Мелешко [32], А.Н.Гузь, В.Д.Кубенко и М.А.Черевко [33],
И.Н.Ермолова [37, 38], О.Ю.Жария и А.Ф.Улитко [42],
A.A.Золотарева, О.Д.Пряхиной, М.Г.Селезнева и А.В.Смирновой [43], М.Ш.Исраилова [45], Г.Кайно [46], Д.Колтона и Р.Кресса [48], Ю.А.Кравцова и Ю.И.Орлова [50], В.Д.Купрадзе [51],
JI.J1.Ландау и Е.М.Лифшица [53], Р.Миттра и С.Ли [56],
Н.И.Мусхелишвили [57], В.Новацкого [59], В.З.Партона и П.И.Перлина [60], Г.И.Петрашеня [61], В.Б.Поручикова [65],
B.М.Сеймова [69], В.М.Сеймова, А.Н.Трофимчука и
6
0.А.Савицкого [70], Е.Скучика [72], А.Г.Угодчикова и
Н.М.Хуторянского [80], В.А.Фока [83], Х.Хенла, А.Мауэ и К.Вестпфаля [84], Е.Л.Шендерова [85], К.Аки и П.Ричардса [2],
A.G. Ramm [87], J.Krautkramer, H.Krautkramer [102], работы -
B.M.Александрова и В.Г.Буряка [3], Ю.Л.Газаряна [27],
1.D.Achenbach, A.K.Gautesen [86], D.Colton, R.Kress [91], F.A.Lee [103], Y.H.Pao, C.C.Mow [106, 107], посвященные волновым процессам в неограниченных средах и в телах конечных размеров. Можно отметить несколько традиционных направлений при решении данных задач.
Во-первых, это построение точных аналитических решений. Точные аналитические решения известны лишь для некоторых задач рассеяния на объектах канонической формы, которые допускают разделение переменных. Классической задачей такого рода является задача о поле точечного излучателя, расположенного на конечном удалении от плоской границы раздела двух однородных сред. Впервые эту задачу для электромагнитных волн довольно полно рассмотрел Зоммерфельд [44]. Теория, предложенная Зоммерфельдом, может быть применена при рассмотрении полностью поглощающих экранов, к излучению колеблющихся поверхностей без экрана, излучению вблизи угловых точек.
7
Точные решения были получены также в задачах дифракции для кругового цилиндра в акустической среде в виде ряда Ватсона (Хенл, Мауэ [84]), дифракции плоской волны на упругом цилиндре ( Пао [106]) и на сферической полости ( Пао [107]), дифракции цилиндрической волны на круговом цилиндре ( Ли [103]). Решения многих задач могут быть получены в квадратурах [59, 60]. Одно из наиболее полных изложений подходов, приводящих к точным решениям задач дифракции для акустической среды можно найти в монографии Скучика [72], а для задач дифракции в упругих средах - в монографиях [32, 33, 45, 65].
Следующее важное направление, возникающее при решении широкого класса задач дифракции упругих и акустических волн, состоит в сведении к сингулярным и регулярным граничным интегральным уравнениям. Математические методы решения таких уравнений описаны в монографиях Бабешко [5], Воровича и Бабешко[23], Миттра и Ли [56], Партона и Перлина [60], Сеймова [69], Угодчикова [80] и др. Применение численных методов можно найти у Бенерджи и Баттерфилда [12]. Важной особенностью данного метода ГИУ, в основе которого лежит классическая теория потенциала [51] является сведение краевой задачи в области к решению
8
регулярных и сингулярных граничных интегральных уравнений и систем меньшей размерности. Однако данное преимущество достигается за счет определенных потерь, гак как получаемые для внешней задачи уравнения неразрешимы на собственных частотах внутренней краевой задачи. Достаточно полный обзор методов, позволяющих обойти данную трудность, представлен в монографии Колтона и Кресса [48]. Однако описанные ими методы, носящие больше теоретический характер разрешения вопросов существования и единственности решения, в задачах коротковолновой дифракции неприменимы из-за уплотнения спектра резонансных частот, на которых внешняя задача перестает быть разрешимой.
Из большого числа работ, посвященных дифракции на цилиндрических препятствиях произвольных сечений, можно выделить работы Тобокмана [116, 117, 118, 119], с использованием аппроксимации Паде и метода простых итераций, начинающихся с приближенного решения Кирхгофа. Приводимые численные результаты показывают хорошие аппроксимации только для средних частот.
В коротковолновой области заслуживают внимания работы Рытова [68], Ахенбаха [86]. Дальнейшее развитие волновые задачи в областях сложной геометрии получили в работе
9
Гетмана и Устинова [28]. Метод граничных интегральных уравнений получил свое развитие в работах Ватульяна и его учеников [19, 20]. Для широкого круга задач ими сформулированы граничные интегральные уравнения первого рода с гладкими ядрами, основываясь на использовании преобразования Фурье и анализе характеристического многочлена оператора упругости на полярных многообразиях и не используя понятия фундаментальных решений. Гладкость ядер может нарушаться только на особых множествах задачи ( ребрах, углах, точках смены граничных условий ). Сочетая классические методы дискретизации метода граничных элементов с методами регуляризации удается построить дискретный аналог ГИУ 1-го рода, достаточно хорошо аппроксимирующий исходный оператор. При этом обязателен учет структуры решения на этапе дискретизации для эффективного учета окрестностей особых точек.
Для слоистых сред с каноническими полостями и упругими включениями методы ГИУ были развиты Ляпиным [54, 55].
Следующее направление связано с развитием асимптотических методов решения задач дифракции, неразрывно связанных с теорией, предложенной Кирхгофом. На основе
10
физически ясных предположений основные свойства рассеянного поля находятся без трудоемкой процедуры решения граничных интегральных уравнений. Суть теории в том, что волновое поле в отверстии и на освещенной поверхности экрана принимают равным волновому полю в падающей волне. При этом не принимаются в расчет искажения волнового поля в непосредственной близости от границы отверстия. Предполагается также, что на теневой стороне экрана потенциал скорости и его нормальная производная равны нулю, как если бы экран был полностью поглощающим для дифрагированного поля. Эта теория изначально предложенная для скалярных задач акустики, впоследствии была применена к задачам дифракции на трещинах и полостях в упругих средах [15, 89].
Теория Кирхгофа дает прекрасные результаты в случае, когда диаметр отверстия больше трех длин волн, а точка наблюдения удалена от плоскости экрана. Вблизи края решение Кирхгофа значительно отличается от точного решения.
Учет формы дифрагирующего тела возможен при более точном учете граничных условий. При этом можно дополнить значение падающего поля граничными значениями, полученными из решения Зоммерфельда [44].