1 Введение. Обзор литературы.
Поиск новых возможностей активного контроля упругих конструкций представляет собой важную практическую задачу, которая постоянно привлекает внимание исследователей. Необходимость снижения уровня колебаний конструкций возникает в промышленном и гражданском строительстве, машиностроении, приборостроении и т. п. Во многих случаях она связана с необходимостью выполнения технологических требований, предъявляемых условиями эксплуатации, и защиты людей от вредного воздействия вибрации. Актуальность проблемы непрерывно возрастает 8 связи с повышением быстроходности машин и ужесточением санитарных и технологических требований к допустимым уровням колебаний. Сказанное определяет практическую значимость и актуальность данного диссертационного исследования, предметом которого является активный контроль свободных и вынужденных колебаний трехслойных (сэндвичевых) пластин в вакууме и в акустической среде с учетом и без учета демпфирования.
Цель диссертационной работы состоит в ..разработке теоретической модели активного контроля вибрации таких пластги'н при помощи параметрической модуляции их жесткости в рамках концепции приспосабливающихся “динамических" материалов. Теоретической основой исследования является применение метода прямого разделения движений [4] к расчету колебаний трехслойной пластины, поведение которой описывается теорией типа Тимошенко, предложенной в [21, 47, 49].
В п. 1.1 излагается общая формулировка задачи контроля вынужденных колебаний конструкции, п. 1.2 содержит краткое описание используемой модели слоистых пластин, в п. 1.3 изложены основы метода прямого разделения движения, а в п. 1.4 описана структура работы.
1.1 Общая формулировка проблемы контроля вынужденных колебаний
конструкций
Хотя предметом данного исследования является решение нескольких частных задач теории активного контроля вибрации упругих пластин, во введении
2
представляется необходимым очень кратко остановиться на основных понятиях и методах этой теории. Разумеется, изложение этих основ не претендует на оригинальность и соответствует материалу книг [5. 11, 20] и в особенности недавно вышедшей в свет монографии [35). Эта вводная часть призвана ввести содержание диссертационной работы в контекст существующих в настоящее время подходов к контролю вибрации.
1.1.1 Основные понятия теории активного контроля колебаний.
Целью активного контроля вибрации является снижение уровня колебаний механической системы при помощи автоматического изменения ее динамического поведения. Системы активного контроля весьма разнообразны, но любая из них включает в себя устройства для измерения уровня вибрации (датчик), электронный преобразователь сигнала, поступающего от датчика и устройства, которые создают управляющее воздействие на систему. Последние в случае активного контроля вибрации можно условно разделить на чисто активные и полуактивные. Чисто активные устройства способны передавать системе механическую энергию. Примерами таких устройств могут служить электромагнитные или пьезоэлектрические возбудители колебаний. Они используются для создания "корректирующего” поля вибрации в линейной механической системе, которое снижает уровень колебаний благодаря интерференции этого поля с “исходным" полем вибрации. Полуактивные устройства ведут себя как чисто пассивные элементы, которые могут аккомулировать или рассеивать энергию колебаний. Их использование в системах активного контроля связано с тем, что их поглощающие свойства могут модифицироваться при помощи управляющего сигнала, как, например, в случае жидкости, кинематическая вязкость которой зависит от параметров электрического поля, в котором она находится.
В теории активного контроля вибрации (как и в самой теории колебаний) различают задачи, сформулированные для систем с конечным числом степеней свободы, и задачи для континуальных систем (систем с распределенными параметрами). В первом случае необходимо решать систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, во втором - систему дифференциальных уравнений в частных производных, которая описывает колебательный процесс во времени и в пространстве. Другими
3
словами, континуальная конструкция характеризуется не дискретным, а непрерывным распределением инерционных, жесткостных и демпфирующих свойств. Существует несколько альтернативных способов описания поведения систем с распределенными параметрами, которые соответствуют формулировке исходных уравнений. Один из них состоит в представлении поля перемещений конструкции при ее колебаниях в виде разложения по формам свободных колебаний данной конструкции (так называемый “модальный’’ подход), другой сводится к формулировке колебательного процесса в виде суперпозиции волн различного типа, которые существуют в данной конструкции (так называемый "волновой" подход). Выбор наиболее удачного способа описания вибрации, при котором требуется использование минимального числа параметров, существенно зависит от геометрии конструкции, способа ее закрепления и частоты возбуждения колебаний. Применение этих двух способов описания вибрации систем с распределенными параметрами связано с различными подходами к активному контролю колебаний. Очевидно, что первый из них связан с контролем колебаний по собственным формам конструкции. Активное уменьшение амплитуд колебаний по этим собственным формам приводит к уменьшению осредненных за период колебательных скоростей на поверхности всей конструкции и такой подход можно назвать “глобальным". В то время, как контроль колебаний по собственным формам соответствует более-менее одинаковому подавлению вибрации по всей конструкции, активный контроль распространения волн обычно применяется в тех случаях, когда необходимо следить за потоками энергии между частями составных и , возможно, неоднородных конструкций. Такие задачи возникают, например, когда в некоторой части конструкции имеется сосредоточенный источник вибрации, а особенно чувствительный к ней элемент конструкции помещен в другой ее части, причем эти две части соединены между собой сравнительно длинным элементом, по которому энергия может переноситься ограниченным числом волн. Таким образом, в активном контроле волн главным является подавление распространения вибрации, а не глобальное уменьшение амплитуд колебаний всей конструкции. Следует заметить, что подавление распространения вибрации в некоторую часть конструкции может привести к
4
большей интенсивности колебаний других ее частей и. таким образом, не способствует "глобальному” контролю.
Еще одним существенным признаком, по которому проводится классификация типов активного контроля, является наличие или отсутствие информации о характере внешнего воздействия, которое создает "исходное" поле вибрации. Если такая информация отсутствует, то сигнал, регистрируемый устройством для измерения уровня вибрации, представляет собой сумму вкладов первичного и вторичного источников, и он подается на устройство, которое создает управляющее воздействие, как feedback control input [35]. Если характер внешнего воздействия заранее известен, то вторичный источник может сразу создавать “деструктирующее" воздействие на исходное поле вибрации, и это соответствует так называемому feedforward control input.
1.1.2 Концепции “динамического" материала и “вибрационной реологии”.
В последнее время существенное развитие получили исследования, относящиеся к применению так называемых приспосабливающихся материалов (smart materials) в различных областях техники. Существо поведения такого материала состоит в том, что его реологические свойства (инерционные, жесткостные и демпфирующие) могут меняться заданным образом в соответствии с условиями внешнего воздействия на конструкцию, которая из него изготовлена. По-видимому, впервые идея применения такого материала для активного контроля распространения волн была сформулирована в [27, 28, 39, 40], а в [37, 50, 51] были представлены некоторые результаты расчетов, показавшие возможность подавления как резонансных колебаний при “модальном” контроле, так и распространения волн при "волновом" контроле. Результаты теоретического исследования контроля вибрации конструкций, изготовленный из “динамических" материалов, приведены в работах [7, 50, 51].
Контроль вибрации при помощи приспосабливающихся материалов, которые в [28] предлагается называть “динамическими”, сводится к тому, чтобы для наперед заданного внешнего воздействия создать пространственные и временные модуляции инерционных, жесткостных и демпфирующих свойств материала, подавляющие возникающие колебания. Таким образом, в соответствии с классификацией, приведенной в п. 1.1.1, использование
5
приспосабливающихся материалов соответствует активному feedforward контролю. Существенным отличием такого контроля от разнообразных вариантов, перечисленных в [35]. является то. что управляющий сигнал предназначен не для создания вторичного корректирующего поля вибрации в конструкции, изготовленной из “динамического" материала, а направлен на изменение его инерционных, жесткостных и демпфирующих свойств.
В данной работе будет рассмотрен только “модальный" контроль, хотя следует заметить, что обсуждаемый подход равным образом пригоден и для контроля распространения волн (см. (37]). При этом будет рассмотрена только модуляция жесткости, в то время как инерционные и демпфирующие свойства “динамического” материала предполагаются неизменными. Такое ограничение класса динамических материалов по сравнению с рассмотренными в [39, 40] связано с тем, что практически модуляция жесткости может быть осуществлена, например, при помощи изменения пространственной ориентации микровключений в средний слой сэндвичевой пластины, которое модифицирует его жесткость, оставляя без изменения погонную массу. Одновременная модуляция массы и жесткости в принципе возможна, но ее практическая реализация более сложна (см. [37]) и здесь рассматриваться не будет.
Следует отметить, что “динамические” материалы обладают ярко выраженными адаптивными свойствами, позволяющими в зависимости от условий возбуждения изменять параметры модуляции жесткости. Например, если необходимо устранить резонансные эффекты в поведении пластины возбуждаемой, скажем, на низшей частоте собственных колебаний, то, как будет показано в п. 3.2, нужно задать определенную пространственно-временную модуляцию жесткости. Если та же конструкция оказывается в условиях резонансного возбуждения на другой (например, третьей или четвертой) резонансной частоте, то соответствующая модификация пространственно-временной модуляции ее жесткости позволит и в этом случае существенно снизить амплитуду колебаний пластины.
Название “динамические” материалы указывает на то, что их функционирование предполагает использование так называемых "скрытых" степеней свободы (соответствующих микроструктуре материала), движение по которым и делает возможным изменение реологии на макроуровне. В
б
случае, который рассматривается в данной работе, микродвижения соответствуют стационарным колебаниям элементов среднего слоя сэндвичевой пластины. Эти колебания характеризуются амплитудой и частотой, которые, как показано в [27], определяют поведение пластины. Таким образом оказывается, что жесткостные свойства пластины характеризуются не только геометрическими и жесткостными параметрами слоев пластины, но и этими двумя параметрами скрытого движения, которые в [27, 28] предложено называть параметрами “вибрационной реологии”.
1.2 Теория трехслойных пластин.
В современной технике широко используются конструкции, изготовленные из слоистых микро-неоднородных материалов - например, в судостроении, самолетостроении, в железнодорожном и автомобильном транспорте. Причиной этого является удачное сочетания высокой прочности и жесткости таких конструкций со сравнительно малым их весом. Естественно, что необходимость обеспечения надежности эксплуатации транспортных средств, изготовленных из слоистых микро-неоднородных материалов, потребовала создания теоретических моделей для описания их статики и динамики. Следует заметить, что вопросы динамической прочности и вибро-акустических характеристик таких конструкций имеют особую важность в связи с тем, что в подавляющем большинстве случаев необходим анализ их динамического нагружения.
Наиболее распространенным вариантом структуры слоистого материала является как называемая сэндвичевая структура, когда между двумя достаточно тонкими, жесткими и плотными лицевыми слоями располагается толстый, относительно податливый и легкий слой наполнителя. Теория статического деформирования таких пластин изложена в [2, 6, 18, 21, 25, 26, 54]
Главной характерной особенностью деформирования Сандвичевых пластин является возникновение значительных сдвиговых деформаций в наполнителе, что делает необходимым обобщение гипотезы прямой нормали, принятой в классической теории тонких пластин и оболочек.
7
Динамическое поведение сэндвичевых пластин было рассмотрено в ряде сравнительно недавно опубликованных работ [32, 33, 42. 45]. В работах (42, 45] использован «прямой» подход, заключающийся в том, чтобы составить уравнения теории упругости для каждого слоя по отдельности и решить их вместе с условиями совместности деформации слоев. Очевидно, что, хотя такой подход в принципе дает возможность получить точное решение задачи о распространения волн в сэндвичевых пластинах, в действительности он излишне громоздок и требует введения в рассмотрение некоторых систем базисных функций, по которым раскладывается искомое решение. Кроме того, представляется очевидным, что любое изменения структуры пластины (например, введение дополнительного слоя) требует полного пересмотра всего решения. Значительно более перспективным поэтому представляется альтернативный подход (21, 47-50], в котором использование некоторых кинематических гипотез позволяет перейти к анализу гомогенизированной модели сэндвичевой пластины, которая имеет некоторые дополнительные (по отношению к классической Кирхгоффовской теории) степени свободы. Естественно, что такой подход накладывает определенные ограничения на характер внешнего воздействия, реакция на которое может быть адекватно описана при его использовании (например, частота внешней силы не может быть слишком высока). Однако при этом достигается значительно большая общность подхода по отношению к возможным изменениям структуры пластины и упрощается процедура решения.
В теории, предложенной в [21] и получившей развитие в [47-50] в качестве дополнительной степени свободы бесконечно малого элемента сэндвичевой балки вводится угол сдвига между лицевыми слоями. Этот шаг по существу представляет собой естественное обобщение теории Тимошенко применительно к слоистым пластинам. Введение этой степени свободы, позволяет учитывать второй частотный спектр колебаний сэндвичевых пластин, аналогичного тому, который был детально исследован в работе [17]. Более подробно основы используемой теории сэндвичевых пластин изложены в п. 2.1.
к
1.3 Общая формулировка метода прямого разделения движений.
Метод прямого разделения движений [4, 27, 28] включает в себя два этапа. На первом этапе необходимо преобразовать исходные дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы к системе интегро-дифференциальных уравнений "вдвое более высокого порядка" относительно явных (в дальнейшем - "медленных") и скрытых (в дальнейшем - “быстрых") составляющих с выделением выражения для дополнительных (в дальнейшем - “вибрационных") сил. При этом указанное преобразование справедливо вне зависимости от темпов изменения составляющих. На втором этапе полученная система решается приближенным способом . учитывающим отличие темпов изменения быстрых и медленных составляющих. Дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы могут быть представлены в виде:
тх - Р(х.х>1) + <1)(х.хд,«1), (1-3.1)
где х- л-мерный вектор обобщенных координат, т- положительная постоянная ("масса"), о - положительный (“большой") параметр. I- медленное время, од - быстрое время, Р,Ф- п-мерные векторы сил, Г - медленная сила, Ф- быстрая сила, являющаяся периодической функцией аргумента т = оя с периодом 2л.
Вектор х представляется в следующем виде:
где X- явная (медленная) составляющая, у - скрытая (быстрая) составляющая вектора обобщенных координат. При этом предполагаем, что функция ц/ - периодическая функция т, причем:
то есть среднее значение скрытой составляющей по т при фиксированном г равно нулю. При выполнении этого условия явная составляющая X является соответствующим средним значением координаты х:
(1-3.2)
2 я
(1.3.3)
о
Х(0-(х(!,т)).
(13.4)
9
Подставим выражения (1.3.2) в дифференциальные уравнения (1.3.1), а затем прибавим и вычтем в их правых частях выражение:
1;(Х.Хлк.уд)-(ф(Х + ^,Х -ы|/Д.т)^, где
г(хх^чи)=р(х+ча+(И.1)-Ф(хх.1) -
функция, которая обращается 8 ноль при \\г = 0,ц/ = 0.
Пользуясь имеющейся свободой выбора (вместо одной неизвестной функции х введены две: X и ц/), потребуем равенства нулю некоторой группы членов получившегося соотношения, а именно:
тш = 1-'(Х.Х,»|м|/д) + Ф(Х + \jz.X + ЧМл)-(1:(Х,Х.\|>Д|/д))
. (1-3-5)
-/ф(Х + ц/, X + ц/. I,
Тогда должно выполняться уравнение:
1пХ = р(Х,Х,1) + /р(Х,Х,ч/,ч;,1))+(ф(Х+ч/,Х + 1|М,т^ (1.3.6)
Правая часть этого уравнения представляет собой результат усреднения правой части исходного уравнения по т. Полученная система интегродифференциальных уравнений эквивалентна исходному уравнению. Если имеется некоторое решение Х,1|/ этой системы, то функция х = Х + \у будет являться решением уравнения (1.3.1).
Систему уравнений (1.3.5), (1.3.6) можно также получить следующим способом. Подставим выражение (1.3.2) в исходное уравнение (1.3.1) и проведем усреднение обеих его частей по времени т. Тогда после выделения функции 1;(х,Хд) получим уравнение (1.3.5). Вычитая его из исходного
уравнения (1.3.1), придем к уравнению (1.3.6).Как было показано, например в работах (31, 52], уравнения, полученные при помощи метода прямого разделения движений, совпадают с уравнениями, которые можно получить более громоздким путем методом многих масштабов. Этот вопрос будет более подробно обсужден в п. 4.2.
ю
- Київ+380960830922