ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.............................................................3
1. Современное состояние прикладной теории пластин и анализ существующих теорий.................................................6
1.1. Классическая теория.............................................8
1.2. Уточнённые теории............................................. 13
1.3. Метод минимизации невязок решения общих уравнений..............17
1.4. Метод разложения по толщине....................................20
1.5. Асимптотические методы.........................................22
1.6. Предлагаемая теория............................................23
2. Основные уравнения теории упругости анизотропного тела..............25
3. Теория пластин средней толщины......................................29
3.1. Аффинное преобразование........................................29
3.2. Основные соотношения для напряжений и деформаций...............35
3.3. Вариационный принцип возможных перемещений.....................42
4. Осесимметричная задача изгиба круглой трансверсально - изотропной пластины в цилиндрических координатах..............................62
5. Анализ полученных результатов.......................................82
5.1. Изгиб квадратной ортотропной пластинки под действием синусоидальной нагрузки.............................................82
5.2. Изгиб круглой жёстко защемлённой по конкуру трансверсально изотропной пластины под действием равномерно распределённой нагрузки............................................................86
5.2.1. Жёстко защемлённая пластинка.............................86
5.2.2. Свободно опёртая по контуру пластинка....................92
5.3. Анализ краевого эффекта........................................96
5.3.1.Прямоугольная пластинка...................................96
5.3.2. Круглая пластинка........................................97
6. Оценка пределов применимости уточнённых теорий......................98
Заключение........................................................... 104
Библиографический список..............................................107
Приложение 1 ..............................*..........................119
Введение
Задачи прочности, устойчивости и колебания пластин издавна привлекали внимание многочисленных исследователей. Тонкие пластины, а также пластины средней толщины находят исключительно широкое применение в конструкциях самых разнообразных инженерных сооружений. По этой причине создание надёжных совершенных конструкций зависит от уровня развития теории пластин средней толщины. Если раньше теория пластин и оболочек решала в основном задачи рационального проектирования инженерных конструкций из готового материала, то сейчас не меньшую роль играют вопросы оптимального проектирования и изготовления материала конструкций. Путём вариации различных материалов, входящих в состав пластинки или оболочки, их взаимного расположения но толщине создаются конструкции, обладающие высокими эксплуатационными характеристиками и оптимальной стоимостью.
В связи с широким применением в последние годы анизотропных материалов, а анизотропными в большей или меньшей степени являются практически все конструкционные материалы, в современной технике особый интерес представляют исследования в области теории анизотропных пластинок. Многочисленные результаты, полученные в этой области, были обобщены и систематезированны в монографиях известных советских учёных С. Г. Лех-ницкого «Анизотропные пластинки», посвящённой классической теории анизотропных пластинок [78], и С. А. Амбарцумяна «Теория анизотропных пластинок» [11], в которой рассматриваются различные уточнённые теории анизотропных пластин.
Характерной чертой большинства уточнённых теорий является то, что в математическом отношении они являются лишь вторым приближением к объекту, если при этом в качестве первого приближения считать теорию, основанную на г ипотезах Кирхгофа - Лява. Эти теории могут быть применены
3
для получения первой поправки к основному напряжённому состоянию, даваемому классической теорией, и но сути дела представляют собой некоторые приёмы учёта влияния поперечных сдвигов и нормального напряжения стг. Величина этой поправки растёт вместе с соотношениями типа Нв/013 (I = 1» 2) или Ь/а и может стать значительной для сильно анизотропных или для толстых пластин. Попытки построения теории анизотропных пластин в более высоких приближениях обычно приводят к сильному усложнению разрешающих уравнений - число уравнений увеличивается в некоторой пропорциональной зависимости с числом приближений и решение их становится весьма затруднительным.
К настоящему времени развит целый ряд вариантов теорий, базирующихся на различных гипотезах. Общая теория анизотропных пластин и оболочек отсутствует. Неизвестна область наиболее рационального использования тех или иных вариантов теорий.
В настоящей работе предлагается техническая теория ортотроиных пластин средней толщины иного рода. Отличительной особенностью предлагаемой теории является возможность построения решения в любом приближении, причем, начиная с третьего приближения и выше, число разрешающих уравнений остаётся постоянным, а структура их оказывается рекуррентной. Такая природа получаемых уравнений данной теории достигается путём использования при построении приближений для перемещений точек пластинки точных интегралов теории упругости по координате, нормальной срединной плоскости пластины.
Решаются задачи поперечного изгиба прямоугольной ортотропной пластины и осесимметричная задача изгиба круглой трансверсально изотропной пластины. Вводится эталонное пространство, позволяющее дать оценку пределов применимости уточнённой теории.
Анализируя результаты, полученные при решении реальных инженерных задач изгиба анизотропных пластин, предлагается метод оценки точности решений, полученных как по рассматриваемой в данной работе теории,
4
так и по любой другой технической теории анизотропных пластин. Даётся численная оценка пределов применимости уточнённой теории.
Хотя эго и не является основной темой научной работы, получена вполне пригодная для практического применения техническая теория анизотропных пластин. Не претендуя на то, что эта теория лучше других описывает напряжённо-деформированное состояние изгибаемых анизотропных пластин, а результаты, полученные на её основе не дают наивысшую точность решения, автор отдаёт ей предпочтение, так как предположения, положенные в основу этой теории представляют интерес как с физической, так и с математической точки зрения. Представленная здесь теория может представлять интерес для машиностроения, кораблестроения, строительства и для других отраслей современной техники. Она может служить пособием для инженеров, конструкторов, научных работников, студентов старших курсов и других специалистов, сталкивающихся в своей работе с теоретическими и прикладными вопросами расчёта анизотропных пластин.
Определение грани, разделяющей традиционное классическое решение и аппарат уточнённой теории, при решении конкретных задач позволяет зачастую отказаться от математически довольно сложного решения технической теории и получить результаты с приемлемой для инженерной практики точностью даже “вручную”, не прибегая к помощи вычислительной техники.
5
1. Современное состояние прикладной теории пластин и анализ существующих теорий.
До недавнего времени основным инструментом при проектировании оболочных конструкций являлся аппарат классической теории. Известно, что классическая теория строится на основании группы допущений, которые носят название гипотез Кирхгофа - Лява, которые вырождаются в гипотезы плоских сечений и ненадавливаемости волокон друг на друга [30, 31]. В силу принятых допущений классическая теория не способна учитывать поперечные деформации сдвига и самоуравновешивающие силы, а значит, и местные возмущения напряженного состояния. До тех нор, пока основным конструкционным материалом оставалась малоуглеродистая сталь и другие высокопластичные материалы, применение классической теории при проектировании оболочных конструкций (далее ограничимся лишь рассмотрением пластин, что соответствует теме работы) не вызывало серьёзных возражений. Благодаря высокой пластичности такие материалы легко справлялись с местными возмущениями напряжённого состояния, перераспределение напряжений и, тем самым, предотвращая перенапряжение материала.
Всё изменилось после появления и широкого внедрения новых конструкционных материалов: однородных высокопрочных и композиционных слоистой структуры. Характерной особенностью высокопрочных материалов являются высокая пластичность и относительно высокая хрупкость. Из-за низкой пластичности высокопрочные материалы не справляются с задачей перераспределения местных возмущений напряжённого состояния, что приводит к перенапряжению материала, образованию трещин и, в конечном итоге, хрупкому разрушению конструкции. Слоистые материалы более восприимчивы к воздействию поперечных деформаций и самоуравновешивающих сил, чем однородные.
6
Во многих случаях инженерное сооружение проектируется исходя из условия его работы в упругой области деформирования. Казалось бы, что для практического проектирования таких сооружений можно использовать аппарат теории упругости, тем более что теория упругости удивительно точно описывает напряжённо-деформированное состояние упругих тел. Однако даже применительно к однородным телам многие задачи теории упругости в точной постановке до сих пор остаются нерешёнными. В этот класс задач входит и теория поперечного изгиба и устойчивости пластин. Основная сложность здесь заключается в учёте самоуравновешенных сил. По мере удаления от торцовых поверхностей самоуравновешенные силы настолько быстро уменьшаются, что определить их с достаточной точностью практически не представляется возможным. Находится лишь относительно медленно изменяющаяся часть этих сил, которая легко определяется прикладными теориями. Если же принять во внимание, что трудоёмкость решения уравнений теории упругости на несколько порядков выше трудоёмкости решения уравнений любой прикладной теории, то становится ясно, что даже при современном уровне развития вычислительной техники для проектирования инженерных сооружений более предпочтительным является аппарат прикладной теории. Всё вышесказанное не означает, что теория упругости оказывается бесполезной для создания аппарата, предназначенного для проектирования и расчёта пластин. В силу высокой точности уравнений теории упругости решения, полученные на ее основе, могут служить эталоном точности для прикладных теорий.
7
1.1. Классическая теория.
История теории тонких упругих пластин насчитывает более двух столетий. Не останавливаясь на всех этапах её развития, начнём анализ с работы Кирхгофа, в которой впервые была построена математически корректная теория пластин, признанная в последствии классической теорией.
Для построения теории пластин Кирхгоф сформулировал систему гипотез, обобщающих гипотезу плоских сечений Бернулли - Эйлера на двумерную задачу. В частности, считается, что элемент нормали к срединной плоскости пластины остаётся при изгибе пластины прямолинейным и нормальным к поверхности, в которую трансформируется срединная плоскость, а также постулируется отсутствие срединной плоскости и не учитывается нормальное поперечное напряжение а2.
В результате перемещения произвольной точки пластины по осям х, у, и г представляются в виде:
д\\' д\ч
их=-г—.и у=-г—,иг=\у. (1.1)
дх ду
В исходной теории Кирхгофа учитывалась зависимость прогиба м от поперечной координаты г, связанная с коэффициентом Пуассона. Позднее, Томсон и Тет [133] дополнили систему гипотез Кирхгофа условием отсутствия поперечной нормальной деформации. При этом прогиб оказывается зависимым только от х и у, то есть \у = \у(х,у). Тогда поле перемещений (1.1) соответствует нулевым трансверсальным деформациям. Действительно, подставляя (1.1) в соответствующие геометрические соотношения
Эих Эи2 ди Эи Эи2 _ч
дъ ох дъ ду дъ
получим
Ух.г=0, Уу,2=:0, 6 г = 0 . (1.3)
8
Полная потенциальная энергия пластины, соответствующая полю перемещений (1.1), имеет вид:
U=Jji(Mxkx+Myky+MxykJ-pw
dxdy,
(1.4)
. 32w
где к,—^
. 32w
’°'W
К—2~,
дхду
М.
У % Уг
= ]аугйг, Мх = Jтxyzdz. (1.5)
~Уг -Уг ‘
Здесь р - нормальное давление, действующее на пластинку. Минимизация функционала (1.4) от функции прогиба w(x,y) позволяет получить следующее уравнение
Зх ЗхЗу Зу
(1.6)
и два естественных граничных условия, которые для края х = const имеют вид
Мб
/3\ул
Зх
= 0,
Ч /
5мх [ 2амху
Зх ду
5w = 0.
Если контур пластины имеет угловую точку, то в ней
2М 6w = 0.
(1.7)
(1.8)
Выражая в уравнении (1.6) моменты через прогиб получим бигармони-ческое уравнение изгиба пластин
DA2w = р, = + D = - Е~—
5х2 ах2 12(l-V2)
(1.9)
Следует заметить, что Кирхгоф оперировал с деформациями и не вводил интегрированных сил и моментов (1.5). В связи с этими особенностями теории Кирхгофа, вопросы о равновесии пластины, нагруженной давлением, и о физическом смысле естественных граничных условий вообще не возникали, а в окончательном варианте теории трансверсальные касательные на-
9
пряжения тхг и т>7 считались равными нулю, что вообще исключает равновесие пластины, нагруженной давлением.
Непосредственное рассмотрение равновесия элемента пластины приводит к следующим трём уравнениям
которые отсутствуют в теории Кирхгофа. Если выразить ()х и (Зу из уравнений (1.10) и подставить в уравнение (1.11), то получим уравнение (1.6) и далее - (1.9), то есть формально получаем основное уравнение теории Кирхгофа. Второе естественное граничное условие (1.7), преобразованное с помощью первого уравнения (1.10), принимает вид
Следующий шаг в разработке теории пластин был сделан Томсоном и Тэтом [133], которые ввели обобщённое поперечное усилие Кх, определяемое вторым равенством (1.10). При этом использовалась теорема статики, согласно которой распределение крутящего момента вдоль некоторой плоской кривой статически эквивалентно распределению поперечной силы, интенсивность которой равна производной от момента по дуге кривой. В результате оказалось возможным интерпретировать Кх как эффективное поперечное усилие, действие которого эквивалентно действию усилия 0Х и крутящего момента Мху, а соответствующая 2Мху в условии (1.8) оказывается сосредоточенной силой, действующей в угловой точке пластины.
(1.10)
(1.11)
Эх Эу
содержащим поперечные усилия
Ь/2
Н/2
(1.12)
Кх8ш = 0, КХ=<3Х +
ЭМ
ху
(1.13)
ду
10
- Київ+380960830922