Моделирование механических свойств наноструктурированных сред на основе континуальной модели адгезионных взаимодействий

РЕФЕРАТ
Отчет 161 с., 52 рисунка, 3 таблицы, 126 источников.
Ключевые слова: композиционные материалы, моделирование
многомасштабное, взаимодействия адгезионные, наноструктуры, нановключения, градиентные модели, теория пластин Кирхгоффа, поверхностное натяжения, поверхностные модули.
Объектом исследования являются современные подходы к моделированию наноструктурированных сред и наноразмерных объектов, основанные на классической и градиентной теории упругости с учётом спектра когезиных и адгезионных эффектов.
Цель работы: Построение и исследование прикладной континуальной модели адгезионных взаимодействий в применении к прогнозу механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микро- и нановключениями, керамических материалов). Решаемой задачей работы также является учёт неклассических эффектов (масштабных эффектов, адгезионных свойств, полей дефектов, локальных эффектов в распределении напряжений и др.) при моделировании свойств наноструктурированных материалов, демонстрация возможности адекватного и достоверного описания механических свойств данных материалов в рамках предлагаемых континуальных моделей и разработка методов идентификации неклассических параметров модели.
2
СОДЕРЖАНИЕ
Реферат......................................................................2
Содержание...................................................................3
Ведение......................................................................6
Обзор литературы.............................................................8
1. МОДЕЛИРОВАНИЕ АДГЕЗИИ В РАМКАХ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА.............................................................. 21
1.1. Вариационная формулировка математических моделей сред на основе «кинематического» вариационного принципа....................................21
1.2. Построение модели классической теории упругости на основе «кинематического» вариационного принципа.....................'................................22
1.3. Модель адгезии в рамках классической теории упругости................24
1.3.1. Структура тензора поверхностных модулей........................... 26
1.3.2. Трактовка поверхностных модулей....................................28
1.3.3. Постановка модели с учётом адгезии в рамках классической теории упругости. Определяющие соотношения модели с адгезией..................................30
1.4. Модель Янга-Лапласа..................................................32
1.5. Модель неидеальных (пружинных) поверхностей..........................33
1.6. Построение модели адгезии в рамках несимметричной теории упругости 36
1.7. Структура тензора поверхностных модулей и канонический вид поверхностной потенциальной энергии в рамках несимметричной теории........................37
1.8. Деформации тонкой пластины. Аналогия поверхностных и объёмных модулсй.38
1.9. Модель общей теории сред с сохраняющимися дислокациями...............41
1.10. Модель Аэро-Кувшинского. Обобщённая гипотеза Аэро-Кувшинского 46
1.11. Частные модели сред с сохраняющимися дислокациями...................47
1.11.1. Прикладная модель межфазного слоя................................. 47
1.11.2. Тензор поверхностных модулей в рамках прикладной теории межфазного слоя.48
1.11.3. Прикладная теория межфазного слоя с учётом адгезии. Двумерная, двойная плоская и одномерная постановка модели..-...................................51
1.11.4. Модель адгезии в пористых средах..................................52
1.12. Теорема о единственности решения задачи теории упругости с учётом адгезии.57
2. ПРИКЛАДНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С УЧЁТОМ АДГЕЗИИ...........................60
2.1. Одномерная контактная задача градиентной теории упругости с адгезией.. 60
2.1.1. Задача на растяжение и на сдвиг. Решение...............................60
2.1.2. Метод энергетического осреднения. Физический смысл градиентного параметра. .....................................................................63
2.1.3. Метод энергетического осреднения в модели N-фрагментов.................65
2.1.4. Метод асимптотического осреднения. «Пружинная» аналогия для адгезионных эффектов. 66
2.1.5. Метод Эшслби (метод трёх фаз)..........................................68
2.1.6. Сравнение методов осреднения. Результаты численных экспериментов.. 69
2.1.7. Допустимые значения параметра адгезии. Повреждённая адгезия............71
2.1.8. Трактовка «повреждённой» адгезии с точки зрения молекулярной динамики в рамках одномерной модели...............’........................................74
2.2. Моделирование механических свойств пол и кристаллических мелкозернистых материалов на основе известных экспериментальных данных.........................83
2.3. Задача о нагружении бесконечного слоя с учётом поверхностного натяжения. 85
2.3.1. Постановка задачи.................................................... 85
2.3.3. Проверка сходимости обратного преобразования Фурье.....................88
2.4.Двойная плоская постановка задачи о слое конечной длины с адгезионноактивными поверхностями. Сравнение с моделью Янга-Лапласа. Уравнение мсниска.89
2.5. Собственные формы в задаче о деформировании полупространства.
/
Волнообразование. Идентификация параметров адгезии............................95
2.6. Теория тонких пластин с учётом адгезии...................................99
2.6.1. Модель Кирхгоффа с учётом поверхностных эффектов.......................99
2.6.2. Модель Кирхгоффа тонких пластин в рамках прикладной модели межфазного слоя. 104
2.6.3. Цилиндрический изгиб шарнирно-опёртой пластины с учётом адгезии. Оценка неклассических эффектов........................................................108
2.6.4. Модель Тимошенко пластин с адгезией. Общая постановка. 114
2.7. Прикладные модели композитов со сферическими и цилиндрическими включениями с учётом межфазного слоя, масштабных и адгезионных эффектов
(модифицированный метод Эшелби)..............................................116
2.7.1. Оценка механических свойств межфазного слоя...........................117
4
2.7.2. Определение эффективных характеристик композита,, армированного-
сДеоическими и нилиштическими вюпочениями 120«
2.7.3. Определение эффективного модуля объемной деформации композита со
сферическими вюпочениями 124
2.7.4. Определение эффективного модуля сдвига композита со сферическими
нановключениями 125
2.7.5. Примеры численного моделирования эффективных свойств композитов со
сферическими пановключенями 127
2.7.6. Моделирование эффективных характеристик композита с волокнистыми
нановключениями: 129
2.7.7. Объёмное нагружение в плоскости поперечного сечения волокон (определение эффективного объёмного модуля)................................................ 130
2.7.8. Сдвиг в плоскости поперечного' сечения волокон. (Определение эффективного модуля сдвига поперёк волокон)..................................................132
2.7.9. Сдвиг в направлении оси волокон (определение эффективного модуля сдвига вдоль волокон). 133
2.7.10. Задача об одноосном растяжении- вдоль оси цилиндра (определение эффективного модуля Юнга и эффективного коэффициента Пуассона композита).... 135
2.7.11. Примеры численного моделирования эффективных свойств волокнистых
композитов в рамках модифицированного метода Эшелби.........................138
2.7.12. Оценка достоверности приближённой модели. Сравнение с точным решением для эффективного модуля объёмных деформаций..................................141
I
2.7.13. Влияние межфазного слоя на распределение напряжений в представительном фрагменте композита..........................................................143
2.7.14. Моделирование . влияния- волокон с покрытиями и волокон,
модифицированных углеродными «усами»........................................145
Заключение................................................................. 151
Список литературы............................................................152
5
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время существует несколько подходов к построению моделей сред с учётом свойств поверхностей (адгезионных свойств). Во-первых, существует подход к моделированию адгезионных (поверхностных) взаимодействий в рамках механики деформированного твёрдого тела основанный на введении дополнительных определяющих соотношениях на поверхности сред. В моделях такого типа предполагается, наличие поверхностных напряжений, связанных с деформациями дополнительными определяющими соотношениями. При этом поле перемещений и деформаций в среде сохраняется непрерывным. По заданным физическим соотношениям строится потенциальная энергия, которая включает в себя дополнительную поверхностную часть, связанную с поверхностными напряжениями.
С другой стороны, в настоящее время развивается вариационный подход к построению моделей континуальных сред и, в том числе, моделей адгезии, основанный на «кинематическом» вариационном принципе. Данный подход позволяет по заданным кинематическим связям в объёме среды и на поверхности определить вид объёмной плотности лагранжиана модели, в предположении линейности процессов. Определяющие соотношения модели следуют из формул Грина, как условия существования потенциальной энергии. Постановка задачи и естественные граничные условия следуют из условия стационарности лагранжиана. Отметим, что в моделях адгезии, аналогично с классическим обобщённым законом Гука, физические соотношения на поверхности вводятся (или следуют из общего вида потенциальной энергии), как линейные соотношения между соответствующим типами деформаций и напряжений. Коэффициенты пропорциональности в данных соотношениях называются поверхностными модулями.
Одна из задач диссертации состоит в сравнении описанных двух подходов к построению моделей адгезии и демонстрации возможностей вариационного подхода к построению энергетически согласованных обобщённых моделей сред с учётом адгезии, учитывающих наиболее полный спектр поверхностных взаимодействий.
В рамках диссертации будут рассмотрены прикладные вопросы моделирования эффективных механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микро- и наноструктуро, керамик).
6
В первом разделе диссертации изложены теоретические' аспекты теории адгезии. Продемонстрирован вариационный подход к построению континуальных энергетически-согласованных моделей адгезии. Получены вариационные формулировки известных моделей адгезии (модель поверхностного натяжения и • «пружинная» модель). Показано, что модель поверхностного натяжения, построенная с использованием гипотезы Янга-Лапласа является частным случаем «обобщённой» модели адгезии. Также продемонстрирована техника построение градиентной модели межфазного слоя с учётом адгезии. Показано, что в рамках градиентной модели адгезионные эффекты являются следствием учёта нолей дефектов в объёме среды и адгезионная градиентная модель полностью включает в себя классическую модель адгезии, при этом расширяя ес на учёт адгезионных эффектов по нормали к поверхности. Также в первом разделе изложен физических смысл и тракговка адгезионных модулей, показана их аналогия с классическими физическими модулями.
Во втором разделе диссертации рассмотрены важные с прикладной точки . зрения модельные задачи с учетом адгезии. Проведено исследование прикладной континуальной модели адгезионных взаимодействий в применении к прогнозу механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микро- и нановключениями, керамических материалов). ’ Продемонстрирована возможность адекватного описания свойств наноструктрированных сред в рамках континуальных моделей с учётом адгезии. Доказывается, что известные ранее модели адгезии являются частным случаем общей модели адгезии и могут быть получены на основе предельного перехода. Исследуется влияние адгезионных параметров на эффективные свойства гетерогенных структур. Определены допустимые значение поверхностных модулей. Проведено моделирование эффекта отклонения от закона Холла-Петча в отношении жесткостных свойств мелкозернистых материалов. Показана согласованность исследуемой модели с молекулярной динамикой. Проведена идентификация параметров на основе методов МД. Показано, что в рамках одномерной модели с учётом адгезии возможно моделирование угла мениска и эффекта волнообразования на поверхности твёрдых тел. Данный эффект предложен для идентификации адгезионных свойств. Проведено качественное исследование моделей тонких пластин с учётом адгезии. Построена модель Кирхгоффа тонких пластин в рамках градиентной теории межфазного слоя. Решена задача •
цилиндрического изгиба адгезионных пластин в рамках различных теорий адгезии и установлена возможность моделирования свойств ультра-тонких пластин и структур типа графена. Предложена приближённая модель учёта масштабных, градиентных и адгезионных эффектов. Показана достоверность данной модели и проведено численное моделирование механических свойств композитов с наноразмерными включениями.
В нижеследующем разделе приведён обзор основных работ, относящихся к тематике диссертации.
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Поверхностные свойства и энергия поверхностного взаимодействия являются одним из ключевых факторов, определяющих характеристики и свойства наноструктурированных материалов (композиты с микро- и наноразмерными включениями, слоистые структуры, тонкие плёнки, покрытия и др.) используемых в современном машиностроении.
Построение моделей сред с учётом свойств свободных и внутренних межфазных поверхностей является важной задачей, решаемой, в настоящее время, с помощью различных подходов, таких как: термодинамическая теория поверхности, теория упругости с учётом поверхностных взаимодействий, градиентная теория упругости, контактная теория упругости, трибология, физика и химия поверхности и
др.
Исторически, первые работы по исследованию поверхностных явлений относятся к 17-18 векам |1,2|, когда впервые было введено понятие поверхностного натяжения для жидких сред. Позднее, теория поверхностного натяжения получила развитие в работах Юнга[3], Лапласа [4], Пуассона [5] и др., на основании представлений о межмолекулярных взаимодействиях. Понятие поверхностной энергии впервые было введено Гауссом в 1830 году [6]. Классическая термодинамика поверхности была сформулирована Гиббсом в работе 1876 года [7]. Дальнейшее развитие термодинамическая теория поверхности получила в работах Шатлворта [8], Херинга[9], Орована[ 10], Каммарата[ 11] и др.
8
1
МОДЕЛЬ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ (ОБОБЩЁННЫЙ ЗАКОН
ЛАПЛАСА-ЯНГА).
Модель среды с учётом поверхностных эффектов в рамках теории упругости впервые была предложена в работах Гуртина и Мурдоха [12,13], где для учёта поверхностных эффектов были использованы модифицированные контактные условия в виде закона Лапласа-Янга.
На контактной поверхности ставилось условие, связывающее скачок в нормальных напряжениях с дивергенцией поверхностных напряжений:
[сг]я = -У6.т
где [сг] = <т2-<71 - разность напряжений на границе в контактирующих фазах; п -внешняя нормаль к поверхности; дивергенция тензора поверхностных
напряжений.
Определяющие соотношения были заданы по аналогии с классическим законом Гука в объёме среды, в виде линейного соотношений между поверхностными напряжениями и деформациями. При этом взаимодействия на поверхности характеризовались двумя поверхностными упругими модулями, и, кроме этого, в определяющие соотношения был добавлен параметр, отвечающий за поверхностное натяжение, благодаря чему из модели следовало, что на границе среды всегда присутствуют напряжения поверхностного натяжения, даже в отсутствии деформаций.
(У,і = *4 + (4 + т°)%4 + 2{ц, - т°)ер
Где г°- поверхностное натяжение среды действующее в отсутствии внешних нагрузок, А,,//, - поверхностные аналоги коэффициентов Ламе, є0,С^ - тензор
деформаций и напряжений на поверхности среды, 8у -символ Кронскера.
При этом деформации поверхности определялись, как деформации на границе среды, получаемые из решения уравнения равновесия в объёме среды, то есть на границе выполнялось условие полного контакта среды по перемещениям. В рамках описанного подхода, граничные условия отличаются от классических и включают в себя поверхностные напряжения. Упругие поверхностные постоянные не зависят от объёмных характеристик среды и являются новыми физическими постоянными
среды, которые, но своему физическому смыслу, зависят только от характера межатомных взаимодействий на поверхности среды.
Обобщённый закон Лапласа-Янга, в котором учитывается как скачок в нормальных напряжениях, так и скачок в касательных напряжениях на границе сред, был предложен в работе [14].
п • [а] • п = -т :к . ' . *
Р-[сг]-п = -Ч5т . :
Р = 1(2) -п®п - тензор проекции на поверхность контакта, /(2) - определяющий тензор второго.порядка в трёхмерном пространстве, к - тензор кривизн.
В работах [15,16] были введены определяющие соотношения на поверхности в виде тензорных соотношений между напряжениями и деформациями:
= т° + (151 и 11бГ
Где тензор поверхностных модулей. .
В случае изотропной поверхности и определяющие:соотошения записываются ввиде[15]: ' \" ' ■.
сг#=2/^+4£„.
Для изотропной поверхности, в рамках классической теории упругости тензор упругих поверхностных модулей содержит два физических модуля, отвечающих за деформации растяжения и сдвига (соответственно, и //5). Таким образом, было показано, что на поверхности возможны не только деформации^ растяжения (поверхностное натяжение), как было в термодинамической теории поверхности, но и деформации сдвига.: Более полный вариант определяющих соотношений на
поверхности был предложен- в работе. [17], где было показано, что тензор поверхностных модулей упругости для изотропной поверхности содержит в себе три постоянные, отвечаюіцих за деформации растяжения, сдвига и изгиба поверхности. В случае нессиметричной теории упругости (среда Коссера) присутствует также четвёртый поверхностный параметр, отвечающий за спиновые деформации. Поверхностные модули могуг быть как положительными,.так и отрицательными, в зависимости от свойств контактирующих поверхностей- [15]. Вычисление или экспериментальное получение значений поверхностных модулей-является отдельной важной задачей в механической теории поверхности. Примеры вычисления
поверхностных упругих модулей на основе молекулярной динамики для свободной
10
поверхности алюминия можно найти в работе [15,18]. Другой подход к вычислению поверхностных характеристик основан на их сопоставлении с характеристиками межфазного слоя конечной толщины и вычислении скачка в напряжениях или перемещениях при переходе через поверхность контакта, как разность между значениями напряжений или перемещений на границах межфазного слоя (см., например, работы [19-22]).
Подробное обсуждение вопроса об определении поверхностных характеристик также можно найти в работах [13, 15, 23].
Начало широкого применения теории упругости с учётом поверхностных эффектов к решению прикладных задач относится к 90-ым годам двадцатого века, когда возникла потребность прогнозирования свойств микро- и наноструктурированных сред и композитов с наноразмерными включениями (фуллеренами, наноразмерными порами, углеродными нанотрубками и проч.). Приведённая выше модель, основанная на введении в качестве модифициорованных граничных условий обобщённого закона Лапласа-Янга в форме, приведённой в [14] и на добавлении определяющих физических соотношений на поверхпости [16], нашла широкое применение при моделировании наноструктурированных сред и сред с нановюночениями, так как модель позволяет учитывать масштабные эффекты [15, 24-29]. Масштабными параметрами модели являются кривизны, входящие в обобщённый закон Лапласа-Янга, и поверхностные модули, размерность которых отличается от физических модулей в объёме на масштаб длины [27]. В работе [35] приводится решение задачи об определении эффективного модуля Юнга пористого материала, и оказывается, что при учёте свойств внутренних поверхностей пор эффективный модуль зависит от размера пор. Этот результат принципиально не может быть получен в рамках классической механики композитов, где влияние пор учитывается только через их объёмное содержание в материале. В работе [27] приводятся данные по моделированию композита с нановюночениями и демонстрируется зависимость механических постоянных от масштабных параметров задачи. В статье [29] показано, что тензор Эшелби в задаче удалённого включения, погруженного в матрицу, будет включать в себя масштабные параметры, а именно кривизны контактной поверхности. Также, в [29] показано, что в отличие от классической теории упругости, при учёте поверхностных свойств, однородное
И
напряжённое состояние во включении при однородном внешнем поле напряжений реализуется только в случае включений с постоянной кривизной, а именно в сферических и цилиндрических включениях.
В работе [ 106) были получены решения в замкнутой форме для определения эффективных модулей упругости среды со сферическими включениями в рамках самосогласованного метода и метода Мори-Танака.
В работах [107,108] решались задачи динамики в применении к колебаниям нанозёрен [107] и наночасгиц [108], исследовались собственные частоты наночастиц с учётом поверхностных напряжений.
Во многих работах на основе модели с учётом поверхностных свойств решаются задачи о моделировании свойств нанообъектов. В частности, в работах [15, 24, 25, 30, 31] решается задача о моделировании упругих свойств нанотрубок с учётом свойств поверхностей.
Применение модели в области пористых материалов демонстрируется в [27, 32-
35].
Определение эффективных свойств и НДС в различных гетерогенных материалов является перспективной и важной задачей в рамках моделей с учётом адгезионных взаимодействий. В работах [109-113] определялись величины поверхностных напряжений, возникающих на границах контакта фаз в слоистых полимерных [109] и металлический [110-113] структурах.
Задачи термоупругости е учётом поверхностных свойств сред впервые бьши рассмотрены в работах [36, 37], и в дальнейшем развивались в работах [38-44]. В работе [44] решена задача об определении эффективного коэффициента термического расширения (КТР) композита с нановключениями и получена формула Левина, связывающая КТР и модули упругости композита, и соотношение Хилла для композита с волокнами (формулы связи между эффективными упругими характристиками волокнистого материала) с учётом поверхностных эффектов.
Модель тонких пластин с учётом адгезионных эффектов в рамках теории Кирхгоффа впервые была построена в работах [17]. Вариант модели с учётом только поверхностного натяжения и без учёта изгибных свойств поверхностей был также изложен в работе [45]. В указанных статьях был впервые отмечен важный вклад адгезионных параметров в упругие свойства тонких пластин. Было показано, что при учёте адгезии видоизменяется как цилиндрическая жёсткость пластины [17] и [45],
12
так и общий вид уравнений равновесия модели [17]. При этом влияние адгезионных эффектов увеличивается именно для пластин малой толщины и становится определяющим для наноразмерных пластинчатых объектов. Модель теории оболочек с учётом поверхностных напряжений исследовалась в работах [114, 115].
Адгезионные модули являются масштабными параметрами модели, так как имеют размерность, отличную от размерности модулей упругости в объёме (Н/м) и позволяют учитывать масштабные эффекты. Закон масштабирования, в рамках модели поверхностного натяжения был получен в работах [116,117] и также обсуждался в работе [118], в применении к задаче о нановключении. Для случая нелинейной деформации с учетом поверхностных эффектов закон, масштабирования был получен в работе [119].
Существование формализма Эшслби для модели поверхностного натяжения было показано в работах [120, 121] в задачах сферического и цилиндрического включения. По аналогии с классической моделью, было доказано существование однородного поля напряжений внутри включения, обладающего собственными поверхностными свойствами, в случае наличия заданного однородного поля напряжений на бесконечности.
В работе [122], был проведён анализ влияния поверхностных напряжений на деформации вблизи эллиптической поры и было получено аналитическое решение данной задачи.
I .
Вариант метода конечных элементов с учётом поверхностных эффектов был предложен в работе [123|, где к общей потенциальной энергии среды была добавлена потенциальная энергия поверхностных деформаций. В дайной работе было проведено моделирование деформационного поведения металлов в упругой и пластической зоне, и было показано, что в случае пластичности эффекты адгезии начинают играть роль для масштабов структуры порядка десятков микрон, а в случае упругости поверхностные эффекты оказывают существенное влияние для структуры с масштабом порядка десятков наноматеров.
Модели с учётом поверхностного натяжения также применяются в рамках механики разрушения. Аналитические решения задач с трещиной в рамках модели поверхностного натяжения были получены в работах [124, 125] и было показано, что в случае учёта поверхностных эффектов, напряжения в вершине трещины остаются конечными.
Также следует отметить работу [126], где выполнен обзор по публикациями, посвящённым моделям с учетом поверхностного натяжения.
Можно отметить следующие недостатки модели поверхностных напряжений. Во-первых, с точки зрения механики сплошных сред, модель не является энергетически согласованной, так как при построении модели не вводится функционал энергии, и не записывается лагранжиан, .из которого следуют уравнения модели. Поэтому граничные условия модели не являются естественными граничными условиями, а являются искусственно видоизменёнными классическими граничными условиями, при том, что разрешающее уравнение в объёме (уравнение Эйлера) сохраняет классический вид.
Граничные условия, которые используются в модели поверхностных напряжений, обладают повышенным порядком по сравнению с классической постановкой, так как в закон Лапласа-Янга входит дивергенция от поверхностных напряжений. Поэтому разрешающие уравнения в объёме среды (которые остаются классические) и граничные условия модели являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Как будет показано далее, классические методы решения (метод разделения переменных) не позволяют построить решение такой граничной задачи, а приближённые методы (метод Ритца, метод конечных разностей) дают расходящиеся или некорректные решения. Тс решения, которые приводятся, например, в работе [27] являются «слабыми» (интегральными) решениями, так как, не определяя неизвестные функции перемещений (напряжений), авторы строят средние напряжения и деформации присутствующие в среде, через которые’ находят эффективные модули.
В недавней работе [46], проводится исследование о возможности построения «слабых» решений в рамках модели с поверхностными напряжениями. Под «слабыми» здесь подразумеваются решения, полученные на основе приближённых вариационных методов. В результате доказывается теорема существования решения в рамках модели поверхностного натяжения в случае положительных значений адгезионных параметров. Отметим, что в настоящей диссертации данный результат подтверждается численными вычислениями. Однако, будет приведён пример использования отрицательных значений параметра адгезии, в рамках модели градиентной с учётом адгезии и будет показана возможность получения решения для данной модели. Следует отмстить важный факт, что поверхностные свойства могут'
14