Основы и задачи теории неоднородного упругопластического тела

9
ОГЛАВЛЕНИЕ
Сір.
ВВЕДЕНИЕ................................................... з
ГЛАВА I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕОДНОРОДНОГО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА.............................. 10
§1.1. КРАТКИЙ ОБЗОР И СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ...................10
§ 1.2. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ..............................14
§1.3. МОДЕЛЬ, ИНТЕРПРЕТИРУЮЩАЯ ПОВЕДЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО
УПРУГОПДАСТЙЧЕСХОГО МАТЕРИАЛА..............................18
§1.4. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ НЕОДНОРОДНОГО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА.................................22
ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАШТЕД^АДИАЛШО
НЕОДНОРОДНОГО УПРУГОГО ТЕЛА............................... 32
* » » ,•
§2.1. БЕСКОНЕЧНЫЕ И ЛОКАЛЬНЫЕ Ф уЖЦЙИ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ.
ПРЕИлГТЦЕСТВО ЛОКАЛЬНЫХ ФУТЗКЦИЙ. *........................32
§ 2.2. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ
МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ Е{г) ....’..............................36
§ 2.3. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ НЕМОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ Е(г)................................42
ч /
5 2.4. ПОЛУАНАЛИТЕЧЕСХИЙ МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКПИй Е\г) И <Т5 (г) ПО ЗАДАННОЙ ДИАГРАММЕ И СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ Е(г).................................................45
ГЛАВА ІІК ЗАДАЧИ ТЕОРИИ НЕОДНОРОДНОГО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА.................................. 53
§ 3.1. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ НЕОДНОРОДНОГО МАССИВА С
ПОЛОСТЬЮ............................................... 53
§3.2. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
ГРАНИЦАМИ.................................................73
§3.3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ УПРУГОПДАСТИЧЕОСОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ
НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА С ОТВЕРСТИЕМ .V ......................89
§ 3.4. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСШЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ.................95
з
ГЛАВА Г/. УПРУТОГЬТАСТИЧЕСКЙЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ С ЛОКАЛЬНОЙ РАДИАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ
НЕОДНОРОДНОСТЬЮ................................................................ 121
§4.1. ТРИ РОДА ПЛАСТИЧЕСХСЙ НЕОДНОРОДНОСТИ И СПОСОБЫ ИХ
СПИСАНИЯ Б ОСЕСИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ.......’..•......................................121
§ 4.2. КРАТКИЙ ОБЗОР ПЛОСКИХ У11Г>ТОШЕАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
И СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА.............................. .............................;.130
§ 4.3. ПЛОСКАЯ УПРУГОПЯАСТИЧЕСКАЯЗАДАЧА ДЛЯ ТЕЛА С КРУТОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ЛОКАЛЬНОЙ РАДИАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ
неоднородности..........;....................................................... 135
§4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ПЛОСКОЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ С ЛОКАЛЬНОЙ РАДИАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ ... 153 §4.5. УПРУ1ОПЛАСТИЧЕСХ0Е СОСТОЯНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ ТОЛСТОСТЕННОЙ ИСКРИВЛЕННОЙ ОБОЛОЧКИ........................................................... 159
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА....................................................................... 168
§ 5.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОГО
ТЕЛА............................ ."...V'.........................................168
§5.2. ПЛОСКАЯ УПРУГОПЯАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПЛАСТИЧЕСКИ
НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ..........................................175
§5.3. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ ПЛАСТИЧЕСКИ
НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРА И СФЕРЫ.....................................................193
§5.4. УП?УГОПЛ.4СТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОГО ПЛАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕРАВНОМЕРНОГО
ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ.................................................................204
§5.5. УПРУГОПДАСТЙЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОГО ПЛАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА...................216
ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................ 231
ЛИТЕРАТУРА..................................................235
4
Актуальность. При построении любой, феноменологической теории прочности вводится предположение об однородности тела. Между тем во многих реальных телах механические свойства распределены неравномерно (изменяются по координатам). Эхи тела могут иметь первоначальную неоднородность механических свойств (горно-строительное производство, технология изготовления тала: литье, поверхностная обработка н т.д.) или могут приобрести ее в процессе эксплуатации (воздействие агрессивных соединений, радиационное облучение и др.). Зачастую элементы конструкций и сооружений, состоящие нз таких неоднородных материалов, работают в условиях предельных значений действующих нагрузок. Б связи с этим возникает острая необходимость создания модели неоднородного упругопластического тела, позволяющей производить расчет неоднородных тел. испытывающих предельные нагрузки.
Целью работы является разработка основ теории неоднородного уп-ругопласшческого тела и решение ряда задач теории неоднородного упру-гопластического тела.
Научная новизна работы определяется следующими основными результатами:
1.Разработана модель неоднородного уттругопласгаческого тела и получены основные соотношения теории неоднородного упругопластического тела
2,Подучен класс точных решений разрешающих уравнений радиально неоднородного упругого тела для локального монотонного и немонотонного, а также произвольного распределения модуля упругости. Разработан по-
луанаднтнческий метод восстановления радиальных функций мехашгтеских
*• ♦
свойств по заданным диаграммам через сообщенные полдномы.
3.Решеи ряд задач теорий неоднородного упруготшастческого тела. Среда них: задача для неоднородного массива с полостью, задачи с несколькими неизвестными границами и плоская задача для неоднородного тела с отверстием. Для плоской задачи разработан соответствующий алгоритм решения, получены я исследованы линеаризированные соотношения плоской задачи теории неоднородного упругопластического тела, а также найдены оригинальные классы решений разрешающих уравнений.
4.Решены упругопласыгческне задачи для тел с отверстием, вокруг которого образована локальная зона радиальной пластической неоднородности. Среди них: плоская задача для тела с круговым отверстием (задача типа Галина), задача для толстостенной искривленной трубы.
З.Разраоотаяа модель пластически неоднородного тела (лпрутопласпгческого тела с приобретенной пластической неоднородностью) н получены основные соотношения теории пластически неоднородного тела. Решен ряд задач теорин пластически неоднородного тела. Среди них: плоская задача для тела с крутовым отверстием, одномерные задачи для толстостенных цилиндра н сферы, задача для толстостенного кругового цилиндра под действием неравномерного наружного давления., задача для толстостенного эллиптического цилиндра.
Достоверность научных результатов обеспечивается корректностью математических постановок задач, применением строгих аналитических методов МДТТ, совпадением полученных решений в предельных к частных случаях с известными решениями задач.
Практическая ценность. Разработанная модель неоднородного упругопластического тела позволяет списывать реальное поведешіе неоднород-
ныл тел в условиях предельных значений действующих нагрузок. В рамках
e s
рассматриваемого тела оказываются легко-объяснимыми такие явления, как преждевременное разрушение неоднородных толстостенных оболочек (монолитных кренен. о и с адных колонн), зональная дезлнтег р зцня горных пород вокруг скважин и подземных сооружений. Принятая модель неоднородного упругопластического тела может послужить основой расчета различных неоднородных элементов конструлоцш и сооружений в строительстве, нефтегазовой, горнодобывающей л других отраслях проыьзшяенности.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: VI Всесоюзном семинаре «Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород» (Новосибирск, 1991); 2 и 4 Международном симпозиуме по бу/рению разведочных скважин е осложненных условиях (Санкт-Петербург, 1992 и 1998); Международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (.Алма-Ата, 1992); III и IV Симпозиуме «Устойчивость н пластичность в механике деформируемого твердого тела» (Тверь, 1992 и 1998); Научной сессии АН РК, по проблема рззвтггия механики и машиностроения в Казахстане (Алма-Ата, 1992); 8 Международной конференции по механике разрушения материалов, ICF-8 (Киев, 1993); Научной конференции «Механика и ее применения» (Ташкент, 1993); Международной кокферен-щш «Проблемы механики н технологии» (Бишкек, 1994); I International Symposium on Thermal Stresses - TS’95 (Хамамацу, Япония 1995); Всероссийской научно-практической конференции «Новые высокие технологии н проблемы реструктурирования и приватизации предприятий» (Екатеринбург,
1995); Всероссийской научно-технггческой конференции «Проблемы нефтегазового комплекса Россию) (Уфа, 1995); IX Конференции по прочности и пластичности (Москва, 1996); Международной научно-технической конфе-
рекцни «Проблемы к перспекіивьх развитая науки н техники Казахстана» (Актау, 1996); Первом международном конгрессе «Новые высокие технологии для нефтегазовой промышленности и энергетики будущею» (Тюмень,
1996); International Symposium «Prediction and Performance in Rock Mechanics» ISRM’96 (Турин, Италия, 1996); 1 Республиканском съезде по теоретической и прикладной механике (Алматы, 1996): Международной научной конференции по механике горных пород (Алмазы, 1997); Казахстанско-росспйской нау'чно-праклиеской конференции «Математическое моделирование научно-технодотаческих гг зколопгческих проблем в нефтегазовой промышленности» (.Алматы, 1997); 1 Международной каучко-лрактической конференции «Буренке л крепление скважин в осложненных условиях континента л морского шельфа» - Бурение-98 (Алматы, 1998); семинарах проф. Ю.В.Немировского (ИТПМ СО РАН, 1993-1994); семинарах акад. Е.И.Шемякина (МГУ. 1995-1996); семинарах проф. М.Т.Алимжанова (ИММаш МН-АН РК, 1993-1998).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 32 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пш глгзу заключения н списка литературы. Работа содержит 254 страницы машинописного текста и 34 рисунка. Список литературы включает 195 наименований.
Работа посвящена разработке основ и решению задач теории неоднородного упрутспластпческого тела.
В первой главе рассмотрена модель неоднородного угфугопластігче-ского тела. Рассматриваемая модель неоднородного упругопластического тела представляет собой развитие в направлении прочностных теорий, опирающихся ка положения теории пластичности. Вместе с тем эта модель
имеет особенносш. не укладывающиеся в существующие рамки представлений теории пластичности.
Вторая глава посвящена математическому описанию радиально неоднородного упругого тела. В главе получены классы тогшьтх решений основного уравнения для локальных монотонных и немонотонных функций модуля упругости. Предложен подуаналигачесіош метод восстановления функции механических свойств по заданной диаграмме и получен соответствующий класс точных решений.
В третьей главе решены задачи теории неоднородного упругопластического тела: задача да неоднородного ^дрсива. с полостью., задачи с несколькими неизвестными границами и плоская задача для неоднородного тела с отверстием. Эти задачи отличаются новизной* постановок, возможных только в рамках предложенной модели неоднородного тела. В этих работах разработаны новые алгоритмы решений, развиты новые анаяитиче-ские методы исследований, получены оригинальные классы решений разрешающих уравнений, проанализированы качественные эффекты, обусловленные фактором неоднородности механических свойств.
Четвертая глава посвящена решению упруїшастїіческих задач для тел с отверстием, вокруг которого образована локальная зона радиальной пластической неоднородности. Разобрана плоская задача для тела с круговым отверстием (задача типа Галина.) и задача для толстостенной искривленной трубы.
Наконец, в пятой главе, разработана модель пластически неоднородного (упрутопластнческого тела с приобретенной пластической неоднородностью) л получены основные соотношения теории пластически неоднородного тела. Здесь же решен ряд задач для пластически неоднородного тела: плоская задача для тела с круговым отверстием, одномерные задачи для
о
ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦНЛНКдр* п СфбрЫ. 323243 ДЯЗ ТО Л СТОСТЕННОГО Круглого ДК" лкндра под действием неравномерного наружного давления, задача для толстостенного элшшшческого цилиндра.
Б заключений представлены основные результаты нсследовашш.
10
ГЛАВА I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕОДНОРОДНОГО
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА
§ іЛ. Кратний обзор и состояние проблемы
К настоящему времени разработано достаточно много теорий прочности сплошных материалов л материалов с развивающимися трещинами. Все многообразие математических моделей прочности можно классифицировать по признак)-* определяющих понятии, на которым они базируются. Среди существующих теорий прочности можно отметить термодинамическую теорию прочности, основанную на использовании законов термодинамики неравновесных систем іД-Я.Ккялбаев [87]. Г.Никодис, И.Пркгожнн [126]); кинетическую теорию прочности, рассматривающею разрешение тела как кинетический термсфлтау^щіскньш процесс (С.Н.Журкоз [72]: і л .лихвинскшт [106]); коншнуалькую теорию разрушения, согласно которой пластическое деформирование рассматривается как результат множества сдвигов (скольжений) по площадкам различных ориентаций (САХристиановия [148, 158], ВІІШемякин [125], РЛ.Сзлгазшк 148]); мшс-ро дефектную теорию прочности, в которой ответственными за разрешение тела считаются концентраторы напряжений типа трещин, включении и других микроскопических дефектов (АГриффитс [177], Г.Ирвин [182], Е.Орован [189], . ГП.Черепанов [164], М_Я.Леонов [100], В.Б.Панаскж [131]).
Среди феноменологических теорий прочности наибольшее развитие получили теории, базирующиеся на представлениях теории пластичности. Существует целый ряд частных теорий пластичности. К их числу можно
отнести деформационные теории пластичности, которые описывают близ-кие пути простого нагружения и использую однозначную связь межу/ напряжениями зі деформациями (деформационная теория Генки-Надаи [121,180], теорию малых уирутопдастичестатх деформаций ААГІтьктпша [79,80]. В общем случае однозначной связи между/ напряжениями и деформациями при пластическом деформировании не существует и поэтому используют связь между напряжениями и приращениями (ігакрементами) лда-стзтческой деформации. Это положение используется в инкрементальных теориях пластичности (таких как теория идеальной пластичности Прагера-Хилла [181,190] и Д.Д.Ивдева [76], теория пластичности грунтов Друккера-Прзгера [179], теория линейно упрочняющегося пластического тела, разработанная АЮ.Йшлинским [81] н Ю.И.Кадзшєенчєм-В.В.Новожиловым [82]. теория анизотропно упрочняющегося пластического тела, развитая Д.Д.Ивлевыы и Г.И.Быковцевым [77]). Общим признаком всех этих теорий является использование ассоциированного закона течения и посту/лата неотрицательности работы на замкнутом цикле нагружения (постулата устойчивости Друккера 178,185]).
Вышеупомянутые теории описывают регулярную пластичность. Вместе с лит развивались теории в рамках концепции предельных поверхностей, где текущую точку нагружения постоянно сопровождает особенность типа гнперконуса (сингулярная особенность). Для таких теорий справедлив постулат В.Койт ера [183]. Здесь можно отметить, например, сингулярную теорию Дж.Сандерса [152]. В последнее время активно пропагандируется направление пластичности, не опирающееся на кони.етщию предельных поверхностей. В нем удается описать единым уравнением всю траекторию нагружения, в связи с чем теории этого направления обозначены термином аналитическая пластичность. Среди них можно выделить теорию упруго-
-*
сгн КБаланиса, аналитическую теорию пластичности -В.Д.Клюцшикова [88,39].
При построении любой феноменологической теории Прочности вводится предположение об однородности тела Между тем БО многих реальных телах механические свойства распределены неравномерно: Эти тела могут иметь первоначальною неоднородность механических свойств (горно-строительное производство, технология изготовления тела: литье, поверхностная обработка и т.д.) хеш могут приобрести ее в процессе эксплуатации (воздействие агрессивных соединений, радиационное облучение и др.). Зачастую элементы конструтщшї н сооружений, состоящие из таких неоднородные материалов, работают в условиях предельных значений дейетвую-щнх нагрузок. В связи с этим возникает острая необходимость создания мо-делн неоднородного утшутопластического тела, позволяющей решать задачи дтз неоднородных тел, подверженных предельным нагрузкам.
Если расчет неоднородных тел за пределами упругости сопряжен с определенными трудностями, то в задачах, допускающих упругое деформирование неоднородных тел с успехом используется теория упругости неоднородных тел. В настоящее время она представляет'собой развитую область механики деформируемого твердого тела (МДТТ), имеющую многочисленные приложения в строительстве к различных отраслях промышленности. Разнообразие упругих неоднородных материалов весьма значительно и главным фактором, определяющим методы решения задач теории упругости неоднородных тел, является тип функции, описывающей изменение упругих свойств. По этому признаку можно выделить три основных направления в теории упругости неоднородных тел: теория упругости случайно неоднородных тел; теория упругости структурно неоднородных (кусочно од-
13
неродных) тел л теория упругости непрерывно неоднородных тел. Каждое из этих направлений имеет свою область приложений и характеризуется определенной спецификой применяемых математических методов исследований.
Методы теории упругости случайно неоднородных тел основаны на описании неоднородностей свойств материала различными случайными (стохастическими) функциями (этому посвящены работы В.А.Ломакина [110], В.В.Болотика [55], АР.Ржаницына [141], В.Ы.Шейнлна [166], Т.Д.Шермергора [172]). В теории упругости структурно неоднородных тел., слоистых и композиционных материалов, неоднородность описывается кусочно-постоянными функциями (здесь большое значйше имеют работы С.П. Тимошенко [156], СААмбарцумяйа . [39]/ .Н.Х.Арупоняна [48], Э.И.Григолюка [64], С.С.Грпгоряна [65],. Ю.В.Немнровского [123],
В.С.Ннкшшша [124]). Методы теории упругости непрерывно неоднородных тел опираются на использование непрерывных и дифференцируемых функции координат, ма этом же основаны методы теории пласттгшосш непрерывно неоднородных тел - области, развивающейся параллельно, но независимо от первой. Вклад в развитие методов этой теории внесли работы
Г.Б.КолЧкна [91], ВАЛомакина [109], С.Г.Лехницкого [103],
*
М.Т.Алимжанова [34,35], Б.З.Аиуснна [40,41], Ю.М.Либермака [104], АМ.Лкнькова [105], Г.Г.Литвннского [107,108], С.Г.Мшстнна. В.Ольшака [129], й.К.Преображенского [136], Я.Рыхлевского, В.С.Саркисяна [149], ГАТолоконникова и др.
14
£ і,2. Основные лоесположения
V •
Объектом наших исследований является мшфонеоднородное тело с механическими свойствами, вменяющимися по координатам. Эю непрерывно неоднородное тело (в дальнейшем неоднородное тело). Оно описывается непрерывными! и дифференцируемыми функциями координат.
При исследовании неоднородных тел большинство авторов рассматривало только деформационную неоднородность (при решении уіфзлих задач) или только прочностную неоднородность (при решении утфугопласш-ческих задач). При этом прочностная неоднородность зачастило рассматривалась как вторичный фактор, обусловленный различной степенью разрушенности материала в пластической зоне. Между тем, согласно множеству экспериментальных данных, практически все неоднородные тела характеризуются неравномерным распределением как. прочностных, так н деформационных свойств.
Робкие попытки одновременного учета деформационной и прочностной неоднородности ігредпринглгіалнсь в работах В.Ольшака [129], И.Б.Баклашова и БАКартозия [50] при решении‘отдельных задач. Б этих задачах прочностные и деформационные свойства тела задавались различными и независящими друг от друга фуылщяыи координат. Хотя решения задач доводились до конечных выражений, они, по существу, не затрагивали физической сущности упругопластяческого деформиробания, а потому не представляли никакой практической ценности. Причина такого поверхностного подхода заключается в том, что авторы задач распространяли взаш\іонезаві!симость самих прочностных и деформационных свойств на
независимость их распределения друг от друга При вазнмонезавиезшом
(непропорциональном) распределении прочностных и деформационных
свойств неоднородное тело представляет собой систему с внутренними на-
*
пряжениями. Значит, слезет рассматривать неоднородное тело с прямо пропорциональным распределением прочностные: и деформационных свойств. Состояние такого тела полностью определяется внешними нагрузками. Как показывают многочисленные экспериментальные исследования (опыты В. С.Ленского [ 101 ], С. Т.Кокобеевского, Дж. Уилъсона и Р.Бертренц Б.Геитвуда, Ф.Капа [129] для консгрукщтонных материалов; исследования О.А.Бзнконурова н Н.П.Ерофеева [49], В.А.Борнсовца [57, 5S], В.Т.Гяупхко [62], АЛІСавкча [146], В.В.Смирнякова [151] для геоматериалов) прямо тети почти прямо пропорциональное распределение прочностных и деформационных свойств имеет о о льштше ть о искусственно неоднородных тел, воз-никших в процессе производства изготовления или эксплуатации. Это не-гомсгенные тела. Напротив, естественно неоднородные тела (составные материалы, многокомпонентные среды) имеют непропорциональное распределение прочностных и деформационных свойств. Это гетерогенные тела. Таким образом, в дальнейшем рассматриваются яегомогеяные тела н иекяю-чаются из рассмотрения гетерогенные тела.
Фактор пропорциональности прочностных и деформационных свойств тела является существенным при построении модели неоднородного упру-голластического тела т.е. модели, позволяющей решать задачи для неоднородные тел за пределом упругости. Такая модель приобретет- законченный вид, если мы установим характер упругопластических свойств тела в каждой его точке. Будем полагать, что в каждой сбоєй точке тело характеризуется идеальными \пр\тошіастическими свойствами.
16
Итак, модель неоднородного упрутопластнческого тела включает следующие основные предположения:
1) механические свойства тела являются непрерывными и дифференцируемыми функциями координат .*/(/ < 3) и параметров нагружения устанавливающих зависимость механических свойств от граничных условий
«л = <**(*/ау). •£ =
2) прочностные (сгу) и деформационные (Я) свойства тела, распределены прямо или почти прямо пропорционально, в каждой точке имеют место соотношения
ъ(ч*Х]) = с^2,Ху)41'ь^).
где с - константа материала, К(лу, % /), близкая к единице функция «отклонения»;
3) в каждой точке тело характеризуется идеальными упругошгастнче-скимн свойствами.
Согласно первому н третьему предположениям, одноосное напряженное состояние неоднородного тела описывается одним графиком о- = о- (г-),
состоящим из наклонного отрезка (лтшетшоупругое состояние) п горизонтального отрезка (ндеальнопластнческое состояние), причем этот графите в процессе развития пластической зоны непрерывно изменяет свое положение. Согласно второму предположению изменение положения графика О- = СГ (5) происходят по пути, близкому к ВерТИКаЛЬНОМУ. Отклонение от
ВврТИКаЛИ предопределяется функцией Н{ X/, X } ) (рис. 1.1). Другие пути
изменения графика а=а (V) исключаются (например, на рис 1.2
17
(непропорциональное распределение дрочностных и. ^ефорнащгонкш:
Ч'я *.,/
свойств) пли на рнс. 1.3 (изменяются только прочностное свойства}).
Рис. 1.1
Рнс. 1.2
Рнс. 1.3
Пределы применимости рассматриваемой модели определяются применимостью второго предположения о пропорциональности механических свойств целого материала
Модель неоднородного упругопластического тела представляет собой развитие в направлении прочностных теорий, спирающихся на положения теории пластичности. Вместе с тем зта 'подель имеет особенности, не укладывающиеся в существующие рамки представлений теории пластичности. Эти особенности рассматриваются ниже. Кроме того, задачи теории неоднородного упрутопяаешческого тела отличаются новизной постановок, новыми алгоритмами решений, дальнейшим развитием акашггнческих методов исследований, появлением оригинальных классов решений разрешающих уравнений.
18
£ 1.3. Модель, интерпретирующая поведение неоднородного упругопластического материале
Рассмотри модель, йнтерпреіїфующую поведение непрерывно неоднородного утфугопластического материала. Такой моделью может служить пружина с элементом сухого трения, расположенном на шероховатой поверхности, причем шероховатость меняется от одного положения элемента к другому (ряс.1.4). Сила Р соответствует действующему напряжению,
перемещение элемента - необратимой деформации. Примем для простоты »«1.
О пружине необходимо сказать особо. Она должна характеризовать непрерывное изменение упругих свойств при переходе элемента из одного положения в другое (рис. 1.5).
Напряженное состояние пружины описывается простой формулой
Ру = с\М\
где Ру - величина упругой силы; \М\ - удлинение пружины; с - коэффициент жесткости (или просто жесткость) пружины, характеризующий (щая) ее упругие свойства.
Й8У//І
Рис. 1.4
19
F
Рис. 1.5.
-4 £
гас. «.о.
Пока пружина способна растягиваться, коэффициент ее жесткости не меняется. Ка рис. 1.5 такому состоянию пружины прп неподвижном элементе соответствует участок 01. Точка I на рисунке характеризует состояние пружины, утратившей способность растягиваться.
Состояние пружины в данном случае запишется в виде
^пах = с\М
шах;
Положим, что элемент при Р = начал перемещаться, следова-
тельно коэффициент жесткости пружины с сохраняется. При уменьшении нагрузки [ Р < Ру1ах ] элемент останавливается и состояние пружины
вноеь будет описываться точкой на участке 01.
Допустим теперь, что значения Р = Ру*3* недостаточно для перемещения элемента. Чтобы сдвинуть элемент с места потребуется сила Р > Ру12Х . Поскольку возможности пружины удлиняться исчерпаны,
20
большие нагрузки она будет воспринимать через увеличение, жесткости с. Если при некотором значении F\ > /у1ах элемент начал движение, то коэффициент жесткости пружины принимает новое значение с\ (q > с):
Р\ =ci(A^maxj.
На рисунке 1.5 ого состояние пружины отмечено точкой L\. Здесь принципиально важным является момент, когда нагрузки начинают уменьшаться. Если пружина “помнит” свою первоначальную жесткость с, то при уменьшающейся нагрузке состояние пружины повторит свой путь OLL\
в обратном направлении - L\LQ.
Для модели, характеризующей поведение, непрерывно неоднородного упругопластнческого материала такое поведение пружины неприемлемо, в связи с чем воспользуемся идеей “следящей пружины”. Согласно этой идее пружина “знает” только ту жесткость, которой в данный момент владеет (“следит” за жесткостью). Следовательно, при уменьшении нагрузки состояние пружины, владеющей жесткостью' с.\ вернется в точку О по новому
пути L\ü.
Если теперь вновь увеличивать нагрузку, то состояние растягивающейся пружины опишется участком OL\. Новое состояние максимального удлинения пружины (точка 1\ ) может быть записано следующим образом:
= cl!^max!
Предположим вновь, что состояние пружины, характеризуемое точкой £\ , уже не способно сдвинуть элемент с места. Элемент начнет двигаться
при нагрузке $2 > Р™2*, которой соответствует- новая жесткость пружины с2(с-2 > ci):
21
Ь = £2№тах\
Это состояние пружины отмечено точкой 12. 'При уменьшении нагрузки состояние Пружины вернется В ТОЧКУ О ПО участку 120.
Т.о. совокупность состояний пружины при каждом фиксированном по-ложенин элемента характеризуется отрезками ОЦ, а при переходе элемента
из одного положения б другое описывается замкнутыми ломанными линиями 01[Ц+\0. Если Н ~ 1, то участки ЦЦ+\ не будут лежать на одной
ТТГХГЧ €Г\ГТ
11ул±\&'Л1.
Идея “следящей пружины7’ является лишь косвенным отражением второго предположения для неодноро.дного тела. :
“Следящая пружина” имеет еще едко неупомянутое положительное качество. Она исключает недопустимые ситуации, возникающие при растяжении пружины из начальной точки (рис. 1.6), например, когда удлинение
пружины исчерпывается при нагрузках Ру < Л*?3* (на дасунке точка Ь )
У1
либо когда Р™ достигается при неполном удлинении пружины
* »
А£ < Ас тах (на рисунке точка X/ ).
Состояние максимально растянутой “следящей пружины" будет харак-теризоваться только точкой Ц.
£ 1.4. Основные соотношения теории неоднородного упругопластического тела
Предметом яахокх ясследозаник является макронеоднородное тело с механическими свойствами, изменяющимися по координатам. Эго непрерывно неоднородное тело (в дальнейшем неоднородное тело).
Рассматривается модель неоднородного улруголласпшеского тела со следующими предноложенняьсг:
1) механические свойства тела являются непрерывными и дифференцируемыми ф}вдзйзши координат х/(/ < 3) и параметров нагружения % •, ус-
«/ •
танавливаюнщх зависимость механических сеойств от граничных условий
о* = <гг(х/,£/), Е = е(х1?^/); (1.1)
2) прочностные \оу} и деформационные (Е) свойства тела распределены прямо или почти прямо, в-каждой точке имеют место соотношения
где с - константа материала, х|х/,2у) - близкая к единице функция «отклонения»;
3) в каждой точке тело характеризуется идеальными упругопластяче-сшш свойствами.
Первое предположение позволяет прн решении задач привлечь развитый аналитический. аппарат МДТТ, второе предположение выделяет негомогенные тела (прямо пропорциональное распределение) и исключает- из рассмотрения гетерогенные тела (непропорциональное распределение) как системы с внутренними напряжениями; третье предположение дает воз-
можностъ изучить влияние неоднородности на. состояние дела в наиболее простом виде. .7Т; г.
Энергия упругой деформации 7 * в точках тела определялся соотношением
—Г| (1 + р)<гу<гу - м(^кк)2 I (1.3)
Е1ХЬ^) • J
где сгц - компоненты тензора напряжений, и - коэффициент Пуассона.
Щг Прн изотермическом и квазистатическоэд нагружении функция пластичности / имеет вид
/7у. а*{х[.*/))“ (1.4)
Функцию (1.4) можно представить в виде
/(оу, а*[х1, Zj)) = 7 (<гу ) - й(о-,(ч. Х))).
. • • где /(ау ) - однородные функции порядка п своих аргументов.
Если функция пластичности / совпадает с пластическим потенциалом, то в точках тела работа пластических деформации пропорциональна прочностным свойствам:
сгц<1е Т= (1Х:пУ{яу ) = (1.5)
где с$£ у- компоненты тензора приращений пластических деформации; с/л
- положительный скалярный множитель.
Б неоднородных телах-изолинии прочностных свойств могуч располагаться вдоль или поперек приложенных нормальных нагрузок. В работе рассматривается второй вариант.