Оглавление
Глава Л. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЖЕСТКОСТЕЙ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН И БАЛОК
1. Вариационные принципы для жестокостей неоднородной пластины
2. Вариационные принципы для жестокостей неоднородной балки .
Глава В. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ СТРУКТУРЫ. УСРЕДНЕННЫЙ ПОДХОД
I. Введение метод усреднения для напряженных композиционных материалов
1.1 Модель напряженного упругого тела
1.2 Метод усреднения в механике композитов
1.3 Метод усреднения в механике напряженных композитов
1.4. Усреднение конструкций
D.2. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
2.1. Усреднение в теории упругости композитов с начальными напряжениями
2.2. Слоистые тела с начальными напряжениями
2.3. Усреднение упругих конструкции с начальными напряжениями
2.4 Усредненные характеристики напряженных композитов и конструкций В.З. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ
3.1. Напряженная пластина (2-D модель)
3.2. Напряженная пластина (3-D модель, начальные напряжения в плоскости)
3.3. Напряженная пластина (3-D модель, моменты начальных напряжений).
3.4. Напряженная пластина (3-D модель, начальные усилия сравнимые с упругими постоянными материала пластины)
3.5. Мембрана (2-D модель)
3.6. Мембрана (3-D модель)
3.7. Напряженная пластина с системой контактов (3-D модель)
В.4. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ СТЕРЖНИ, БАЛКИ И СТРУНЫ
4.1. Напряженная балка (2-D модель)
4.2. Напряженная балка (3-D модель, осевые начальные напряжения)
4.3. Напряженная балка (3-D модель, моменты начальных напряжений).
4.4. Струна (1-D модель)
4.5. Струна (3-D модель)
4.6. Напряженная балка с системой контактов (3-D модель).
Глава С. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УСРЕДНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Усреднение в задаче термоупругосги для балки периодической структуры
2.Усреднение в задаче термоупругости для пластины периодической структуры
3. Усредненная модель для пластины с актуаторами 4 Усредненная модель для балки с актуаторами
5. Применение метода усреднения для расчета стержневых конструкций типа пластин и балок
Глава П. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ И ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С ЗАДАННЫМИ ХАРАКТЕРИТИКАМИ
0.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С ЗАДАННЫМИ ХАРАКТЕРИТИКАМИ
1.1. Задача проектирования для слоистых композитов с заданным набором усредненных характеристик
1.1. Усредненные характеристики
1.2. Некоторые формулы для вычисления усредненных характеристик
1.3. Усредненный критерий прочности
1.4. Задача проектирования
1.5. Условие разрешимости
1.6. Задача проектирования с учетом прочности
1.7. Задача проектирования наиболее прочного композита
1.8. Метод решения ЗВК в общем случае
Н.2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С УЧЕТОМ ТЕРМОУПРУГИХ СВОЙСТВ
2.1 .Усредненные характеристики
2.2. Формулы для вычисления усредненных характеристик
2.3. Возможные значения усредненных характеристик
2.4. Усредненный критерий прочности для термоупругой задачи
2.5. Задача проектирования
2.6. Случай у^сопэ!
Г>.3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С ЗАДАННЫМИ УСРЕДНЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Усредненные характеристики
3.2. Усредненный критерий прочности
3.3. Задача проектирования композита с заданными усредненными упругими характеристиками
3.4. Задача проектирования с учетом локальной прочности
3.5. Метод решения ЗВК
3.6. Проектирование с учетом прочности связующего
3.7.Примеры
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Основы асимптотической теории усреднения были заложены в работах Дюво (1979), Babuska (1976), Sanchez-Palencia (1980), Marino и Spagnolo (1969), Tartar (1977), Bensoussan et я/.(1983), Бахвалов и Панасенко (1989). Доказательство возможности замены рассмотрения композиционных материалов однородными - усреднение, было одном из основных результатов математической теории усреднения.
При рассмотрении композитов возникают две задачи:
1. Первая - описать композит как единый материал (ясно, что он исходно не таков). Это - описание на макроуровне (собственно задача усреднения)
2. Вторая - описать начальные напряжения в фиктивном материале. Это -задача описания на микроуровне. Она также относится к задачам усреднения, так как целью является выразить локальные напряжения через усредненные величины.
Представляется, что решение задач, а попытки их решения предпринимались неоднократно, найдено в методе усреднения. Этот хорошо обоснованный (часто - на математическом уровне строгости) метод адекватен задаче и вопросам, задаваемым по отношению к композитам регулярного строения. Метод также прозрачен с механической точки зрения, и многое математическое выкладки метода имеют механическую интерпретацию.
Отмстим что для композитов, особенно для композиционных балок и пластин и пористых материалов, разница между композиционным материалом и многоэлементной конструкцией теряется. Например, решетчатая балка может быть рассмотрена как балка, сделанная из некоторого однородного материала. Применение асимптотического метода усреднения дает возможность рассмотреть "композиционный материал" и "композиционную конструкцию” исходя из традиционных подходов. В этой связи не будем делать различия между "композиционным материалом" и "композиционной конструкцией ".
В практике выделяют несколько основных типов конструкционных элементов: (а) твердые тела и пространственные конструкции, (Ь) пластины и мембраны, (с) балки, стержни, и струны. В настоящее время методы усреднения известны для всех типов конструкционных элементов.
Задача предсказания усредненных характеристики композита исходя из характеристик его компонентов рассматривается как прямая задача (задача расчета композита). Обратная к ней задача формулируется в виде: управляя микроструктурой композита создать материала с заданными усредненными характеристиками. При этом оказывается, что технология композиционных материалов является не только одним из возможных путей создания материалов с заданными свойствами, но в значительной мере и исчерпывает возможные пути создания новых материалов на механическом (не молекулярном) уровне.
На основе метода усреднения были разработаны прикладные и инженерные методы для исследования композиционных материалов и конструкций, которым, в значительной мере и посвящена данная работа (см. Аннин, Каламкаров, Колпаков, Партон (1993), Kalamkarov и Kolpakov
(1977)).
Дадим краткий обзор теоретических работ, посвященных композиционным материалам.
Обзор следует начать с феноменологической модели. Из бытовой и инженерной практики известно, что материалы, сделанные из разных компонентов (бетон, дерево, армированные пластики, и т.п.), и различные неоднородные конструкционные элементы (перфорированные и сетчатые пластины, решетки и т.п.) могут рассматриваться как однородные и их технические постоянные можно измерять как постоянные однородных материалов. Для этого характеристики материалов определяются на образце большом в сравнении типичным размером компонентов. Это -подход в рамках феноменологической модели композита, см. например, Christensen (1991), Композиционные материалы. Т. 1-7 (1974-78), Работнов (1965.1979), Jones (1975). Выписав задачу теории упругости для напряженного тела с этими постоянными и начальными напряжениями, определенными из решения задачи теории упругости, получаем модель напряженного композиционного тела. Феноменологические модели не учитывают явно неоднородность структуры. В то же время неоднородность структуры шрает определяющую роль в механике композитов. Прежде всего, это касается прочности.
Другой широко используемый подход можно назвать методом гипотез. Модели в этом случае основаны на введении a priori предположений о напряженно-деформированном состоянии компонентов композита. Модели этого типа учитывают неоднородность композита. Успешное применение аналогичных подходов (например, классические гипотезы Kirchhoff-Love или Тимошенко и Войновский-Кригер) - весомый довод в пользу метода гипотез. Комбинация механической наглядности с возможностью экспериментальной проверки гипотез служит основой для ряда широко применяемых моделей и методов инженерного расчета композиционных материалов и конструкций. В то же время, отрицательная сторона метода тоже хорошо известна. Автору модели следует угадать неизвестную информацию, что не всегда удастся. Метод гипотез широко использовался в расчетах композиционных пластин и балок (см. [Sendeckyj (1974), Chou (1989), Пшеничное (1982), Болотин, Новичков (1980)) и при моделировании композитов (см. например Коппьев, Овчинский (1977), Соколкин, Ташкинов. (1994), Полилов (1975), Уржумцев (1972), Огибалов, Суворова (1965)). На основе комбинирования краевых задач, статистических методов и разного рода гипотез был предложен ряд методов для расчета усредненных характеристик композитов (см. Болотин, Москаленко (1968), Ломакин (1965), Шермергор (1977), Новожилов (1970), Васильев (1988))
Плоские структуры периодического строения были исследованы методами теории функции комплексных переменных (Ван Фо Фы (1971), Григолюк, Филынтинский (1970)).
В 1970-80 годах был разработан и применен к анализу композитов метод усреднения. Применение метода усреднения дало много результатов как теоретического, так и практического значения. Основные направления этого метода представлены в работах [Bensoussan et al. (1978), Лионе
(1978), Иосифьян, Олейник, Панасенко (1982,1983), Sanchcz-Palcncia (1980), Tartar (1977), Бахвалов и Панасенко (1989), Панасенко, Резцов (1987)), см. также [Победря (1984), Олейник, Иосифьян, Шамаев (1990)] . В указанных книгах и статьях содержится обширная библиография.
Рассматриваемые в диссертации вопросы - усреднение упругих композиционных материалов и конструкций является традиционным для
чс.-
теории усреднения. В то же время ряд практически важных вопросов оставался не затронутым в предыдущих исследованиях.
В главе А рассмотрены вариационные принципы для усредненных жесткостей неоднородных пластин и балок. Получены вариационные принципы и аналоги оценок Фойгхта-Рейса-Хилла для жесткостей пластин и балок). Вариационные принципы всегда были тесно связаны с теорией усреднения (см. например Bruno (1991)), но аналогичных исследований ранее предпринималось только для жесткостей трехмерных тел (Reuss (1929),Voigt (1899), Willis J.R. (1977,1981), Hashin, Shtrikman (1963), Francofort, Murat (1986), Milton, Kohn (1988), Бердичевский (1975,1977)), a не пластинок и балок.
В главе В произведен вывод уравнений напряженных композиционных тел и конструкций из трехмерной задачи теории упругости для напряженного тела. Получены все основные модели теории упругости (композиционное тело, пластина, мембрана, балка) для неоднородных структур. Для неоднородных структур многие классические понятия, на которых базируется теория напряженных структур (нейтральные оси и поверхности, поперечные сечения и моменты и усилия в них) оказываются не связанными с какими то механическими реалиями. При анализе задач выяснилось, что место дополнительных усилий (возникающих при анализе деформации напряженного тела) занимает понижение симметрии локальных определяющих соотношений для напряженного упругого тела. Для однородных структур имеется полное согласие с классическими моделями. Тела с начальными напряжениями рассматривались многими авторами (см. библиографию в [Гузь 1986]. Что касается напряженных композитов, результаты в данной области ограничиваются исследованиями Гузя (1986,1975), посвященными волокнистым и слоистым композитам, причем основные результаты получены для слоистых композитов. Замечания Гузя (1986,1975) о (в современных терминах) о том, что усредненная задача не является задачей теории упругости, в общем случае не могут быть ни опровергнуты, ни подтверждены. В общем случае усредненная задача не является задачей теории упругости. В случае если напряжения имеют нулевое среднее - является. Прогресс в исследовании задачи и болсс полном ее исследовании связан как раз с применением
метода усреднения. Сказанное относится к трехмерным напряженным композитам. Результаты, касающиеся вывода моделей напряженных пластин, мембран, балок и струн из трехмерных уравнений теории упругости неоднородного тела не имеют аналогов.
В первых четырех разделах главы С рассматриваются задачи пластин и балок, характеризующиеся “сильными” изгибами. Такие изгибы возникают, например, в термоупругой задаче (неоднородная пластинка может “скрутиться в трубочку”). Аналогичные эффекты возникают и при рассмотрении тел с актуаторами (силовыми элементами). Усреднение задач проведено на основе введения нового члена (позволяющего учесть “сильные” изгибы) в традиционные разложения. Последний раздел посвящен формулировке задачи усреднения балок и пластин в терминах теории сопротивления материалов. Такая формулировка не всегда возможна, но для тех случаев, где она возможна, представляется весьма удобной для проведения расчетов.
Глава D содержит полное решение задач проектирования слоистых и высокомодульных волокнистых композитов с заданными деформационно прочностными характеристиками. Эта задача традиционно привлекала внимание, как механиков, так и математиков (см. Gurdal, Haftka, Hajela (1999), Образцов, Васильев, Бунаков (1977)) и, несмотря на это, не имела решения. Больший прогресс был достигнут в решении задач оптимального проектирования. Основой решения задач проектирования, помимо асимптотического метода, послужило решение так называемой задачи о выпуклых комбинациях, связанной с задачами неотрицательных решений систем линейных уравнений (Черников 1968 ) и вычислительной геометрией (Preparata, Shamos. (1985)).
Материал изложен с разной степень подробности. Подробное изложение произведено в частях А и В, содержащих результаты, опубликованные только в периодических изданиях. В остальных частях изложены основные результаты и некоторые иллюстрирующие примеры. Это связано с наличием монографий (Аннин, Алехин, Колпаков (1988), Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО АН СССР; Аннин, Каламкаров, Колпаков, Партон (1993), Новосибирск, Наука; Kalamkarov, Kolpakov (1997) Wiley, Chichester, New York), освещающих эти вопросы в деталях.
Представленные результаты обоснованы на различных уровнях строгости. Результаты, представленные в частях А (вариационные принципы) и D (задачи проектирования), имеют полное математическое обоснование. Результаты, представленные в частях В и С, получены на основе использования формальных асимптотических разложений. Применение этих разложений показывает высокую достоверность получаемых на их основе результатов (многие разложения имеют математическое обоснование). Для однородных тел полученные в данной работе результаты полностью согласуются с известными решениями.
Публикации по теме диссертации
Полученные автором результаты изложены в трех монографиях
1. В.В. Алехин, Б.Д. Аннин, А.Г.Колпаков Синтез слоистых материалов и конструкций. Новосибирск. Ии-т гидродинамики СО АН СССР. 1988.
2. Б.Д. Аннин, А.Л. Каламкаров, А.Г.Колпаков, В.З.Партон Расчет и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций. Новосибирск. ВО “Наука”, 1993.
3. A.L. Kalamkarov, A.G.Kolpakov Analysis, design and optimization of composite structures. John Wiley&Sons, Chichester, New York, Weinheim, Brisbane, Singapore, Toronto, 1997.
И болсс чем 60 статьях (см. список статей автора в разделе «Литература») и трудах конференций
Результаты, представленные в диссертации, докладывались, в частности, на следующих конференциях:
Пятый Всесоюзный, съезд по теор. и прикл. механике. Алма-Ата 1981. Шестой Всесоюзный съезд по тсор. и прикл. механике. Ташкент 1986. Шести национален конгресс по теоретична и приложна механика. Варна. 1989
Second World Congress on computational mechanics. 1990. Stuttgart, FRG.
13th World Congress on Numerical и Applied Mathematics. 1991,Dublin, Ireland..
1UTAM Symp on Theor. And Numerical Methods in Continuum Mech. Porous Materials, Stuttgart, Germany, 1999
Second World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization. Zakopane, Poland. 1997. 3
The third European Conf Numerical Mathematics and Advanced Application. Jyvaskyla, Finland, 1999.
Conf. European Chapter on Combinatotial Optimization. 2001. Bonn. Germany First SIAM-EMS Conference “Applied Mathematics in our changing world”. Berlin. 2001. Germany
А. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЖЕСТКОСТЕЙ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН И БАЛОК
Здесь вариационные принципы и двусторонние оценками для неоднородных пластин и балок периодической структуры получены на основе асимптотического метода и анализа функционалов Лагранжа и Кастильяно для функционалов ЯЗ. Неоднородность пластинок и балок может возникнуть как результат неоднородности материала или геометрии. Для монолитных тел возможен только первый случай.
Известно [см. Bensoussan, Lions, Papanicolaou, 1978], что сильно-неоднородное тело можно рассматривать как однородное, если размер неоднородностей мал. Это однородное (называемое усредненным) тело описывается усредненными определяющими уравнениями.
Усредненные постоянные связаны с микроскопическими вариационными принципами. Для усредненных постоянных монолитных тел вариационные принципы выводились многими авторами [см. Sendeckyj (1974), и Nemat-Naser, Hori (1993)]. Вариационные принципы позволяют получать оценки эффективных (усредненных) жесткостей. Некоторые хорошо известные оценки представлены в [Francfort, Murât. (1986); Milton (1990); Milton, Kohn (1968); Nemat-Naser, Hori (1993); Willis (1977,1981)].
Вариационные принципы и оценки следует выводить из трехмерной задачи теории упругости без добавочных гипотез. С этой целью сначала надо связать задачу теории пластин или балок с трехмерной задачей теории упругости в области малой толщины или малого диаметра. Эта связь осуществляется путем использования результатов асимптотических теорий, связывающих трехмерную задачу теории упругости в областях малой толщины или малого диаметра с одномерными и двумерными предельными задачами.
Одним из результатов проведенного анализа является получение аналога «вилки Хилла» (или оценок типа оценок Фойгхта и Рейса) для жесткостей неоднородных балок и пластинок. Вариационные принципы могут быть
использованы как для получения оценок, так и для численного вычисления жесткостей.
А.1 Вариационные принципы для жестокостей неоднородной пластины АЛЛ Постановка задачи
Задача нахождения усредненных характеристик тесно связана с вариационными принципами [см. Sendeckyj (1974), Hashin (1983), Nemat-Naser, Hori М. (1993)] Francfort, Murat F. (1986), Milton,Kohn (1988)].
Традиционный (для теории усреднения) метод нахождения жесткостей пластинки основан на решении краевой задачи (так называемой ячеечной задачи) и вычислении жесткостей через ее решение. Здесь представлен другой метод вычисления жесткостей пластинки - через минимальные/максимальные значения некоторых функционалов. Два этих метода прямо связаны (примерно так же, как связаны краевые задачи и соответствующие им экстремальные принципы). Представленные ниже вариационные принципы для жесткостей выводятся из метода, основанного на решении краевой задачи (см. [Callierie (1984), Kohn, Vogelius (1984), Панасенко, Резцов]).
Выводить вариационные принципы для пластины следует непосредственно из трехмерной задачи теории упругости (без каких либо гипотез). Это можно сделать, используя метод усреднения для пластин, развитый в работах [Callierie (1984), Kohn, Vogelius (1984), Панасенко, Резцов].
Фиг. Al
Рассмотрим линейно упругое тело, полученное периодическим повторением ячейки периодичности (ЯП) Р£ в плоскости Ох1х2. Обозначим характерный размер ЯП через г. При е-»0, трехмерное тело стягивается к двухмерной области Э в плоскости Ох 1X2 - пластинке (см. Фиг. А1).
Тензор упругих постоянных имеет вид а-к1(х/е),где аик1(у)периодичны по (уру2)е8. Здесь у=х/е локальные переменные; У=£1Ре={у=х/е: хеРЕ} ЯП в локальных переменных, 8 - проекция У на плоскость Оу,у2 (см. рис. А1). Предполагается, что выполнены условия:
Е: ар(у) < М для любой уеУ, ар(у)е^еи > ш I е^|2 для любых уеУ и е^е-, где 0<т,М<оо не зависят от уеУ и е~=ер.
Известно [СаШепе (1984), КоЬп, Ус^еНш (1984), Панасенко, Резцов], что жесткости А аРу5 можно вычислить так: решается ячеечная задача (ЯЗ)
в¥ (А1ЛЛ)
(ацк|(У)№Р’'к,1+(-1 )''Уъат(У'»пГ° на г 1 N° У(у) периодична (у1,у2)е$.
Обозначения: ^-д/ду-; п - нормаль к границе У. Латинские индексы принимают значения 1,2,3; греческие -1,2.
После решения (А1.1.1), жесткости вычисляет по формуле А"Цг8ар=<(-1)’УзИ(^к.М^Р>(-1 )у/аг6ар(у))> (А 1Л .2)
где 8Н= 1,8^0 если кф
о=(тс5 Б)1 | бу - среднее по ЯП У
у
2
Формула (А 1.1.2) дает изгибные жесткости А арарПри у=ц=1, оф=у8; перекрестные жесткости А1аРар при у+р=1, <хр=у5; и жесткости в плоскости пластины А°арар при у=р=0, сф=у8.
[СаШепе (1984)] для цилиндрической пластины получил формулу А’'Ч1г5ар=<аии(у)(Н%1+(-1 УУз%№> СА1.1.3)
представляющую жесткости в виде значения квадратичного функционала. Покажем что (А 1.1.3) сохраняется и для нецилиндрических пластин, выведя
(A 1.1.3) из (A 1.1.1), (A 1.1.2). Умножая (A 1.1.1) на N^j, интегрируя по частям с учетом краевых условий и условий периодичности из (А 1.1.1), получим
0=<a,jk,(y)(N“ V(-1 jVaWN’V (A 1.1.4)
Сложив (A 1.1.4) с (A 1.1.2), получаем (A 1.1.3).
Л.1.2. Вариационные принципы и оценки для изгибных жесткостей.
Наша цель - исходя из ячеечной задачи (А 1.1.1) и формулы (А 1.1.4), получить выражение жесткостей в виде некоторого экстремального принципа.
Рассмотрим А2арар, даваемые (А1.1.3) при v=p=l, ар=у6. Установим связь между функционалами Лагранжа и Кастильяно для задачи (А 1.1.1), и жесткостям, даваемыми (А 1.1.3).
Функционал Лагранжа для (А 1.1.1) при v=p=l, оф=у6 есть Ju(u)=l/2<2y3ajjcl()(y)uij - ауц(у)и^ик,> (Al.2.1)
Он рассматривается на множестве возможных перемещений V={u<=H (Y) : u(y) периодична по у,,y2eS } (А1.2.2)
Введем (пока - формально) функционал Кастильяно J0(CT)=)/2<a'VJk|(y)crijakl+2aapy3+y3iat,!iafi(y)> (А.1.2.3)
где а !ук1 - тензор обратный к вуМ, и рассмотрим множество допустимых напряжений
2={aij(y)6L6CY): ащ=0 в Y, (А1.2.4)
сгу11|=0 на Г,, a-rij периодичны но y,,y2sS}
Предложение 2.1. При выполнении условия Е имеем max„eV Ju(u)=mineeI Ja(o) (А 1.2.5)
значение задачи (А1.2.5) равно Ju(Na 1), где Nap* - решение (А1.1.1).
Доказательство. При выполнении условия Е функционал Ju(u)- сильно выпуклый [Ekeland, Tcrnam (1976)] на {ueV: <u>=0}. Тогда задача Ju(u)-> max ugV (А1.2.6)
имеет единственное решение на {иеУ: <и>=0) и (А1.1.1) есть уравнение Эйлера для (А1.2.6). Следовательно, N° 1 - решение (А1.2.6) и шахиеУ1и(и)=
Функционал Кастильяно (А 1.2.3) при выполнении условия Е также сильно выпуклый [Еке1апс1, Тешат (1976)].Тогда задача Д0(а)-> пип а« €2 (А1.2.7)
имеет единственное решение, удовлетворяющее уравнению { (®умДО°И+а®ар(У)К<1у =0 ДЛЯ любой (А1.2.8)
У
Рассмотрим напряжения, соответствующие решению задачи (А 1.1.1)
а'ц=а0к|(У)ыаР1к,1 - Уэаиац(У) (А1 -2.9)
и проверим что они - решение (А1.2.7). Проверим, что напряжения (А1.2.9) принадлежат 2 и удовлетворяют (А 1.2.8).
Напряжения (А 1.2.9) принадлежат 2 в силу того, что 1 - решение (А1.1.1).
Подставив (А1.2.9) в (А1.2.8)и проинтегрировав по частям, получаем \ №Р\д3<1у= - I №р1ал^у + | №Р';Т|^у + | Ы^'^^ёу (А 1.2.10)
Г У Г, у
Правая часть (А1.2.10) равна нулю потому что ц-еХ, см. определение
(А 1.2.4).
Чтобы завершить доказательство, надо проверить что
^и(^ар1)=^<,(аик1(у)^а 1к,!"Узауар(У)) тк> чго т0 же самое» 4X0 справедливо равенство
ЧХ1а(И , лхтИР1 хт0^1
^УзЗ^п^ и-аик|(У^ иы к.1>=
=<а'1№|(у)(ои+у3а^р(у))(ом+а|£|аР(у))> (А1.2.11)
Полагая а(3=уб , р=у=1 в (А 1.1.4), получаем
<Уза,]Ор(У)№Р1,-0 - ада(у)№р,цН“Р,|(,1>=0 (А 1.2.12)
Подставляя (А1.2.12) в (А1.2.11), получаем
<Узао.р(У)№Р'3> = <аик1(у)№р,и№1Ик,|>
Это - равенство, верное в силу (А 1.2.12). Следовательно, (А 1.2.11) тоже верно.
Теперь можно получить вариационные принципы для изгибных жестокостей.
Из (А 1.1.3), (А 1.2.1) при ар=7б,у=д=1 получаем
А сфар -<Уз ) (А1.2.13)
Из предложения 2.1 и (Л 1.2.13), имеем
л2аРар=<Уз2ааРаР(У)>'2таХи6 ЛИ (А1 *2’14)
А\т=<Уз\м(У)>-2т<^ ^(<*)
Это - два вариационных принципа (один - в терминах перемещений, другой - в терминах напряжений) для изгибных жесткостей неоднородной пластинки.
Для произвольных иеУ, <Туб£ получаем из (А 1.2.14) двустороннюю оценку
<Уз2ааРар(У)>-2',и(и) 2 ^арар ^ <УзЧрс,р(У)>-2^(^) (А 1.2.15)
Замечание. С учетом (А 1.2.2) правую часть (А 1.2.15) можно записать в виде
а'сРоР ^ <-а'1ик|(У)сти°к|-2оарУз> (Л1.2.16)
А.1.3. Вариационные принципы для жесткостей в плоскости пластинки.
Жесткости в плоскости А°арар даются (А1.1.3) с ар=у8. Можно
повторить выкладки из п. 2 с у=р=0 и получить вариационные принципы для А°арар. Приведем окончательный результат.
Функционал Лагранжа для задачи (А1.1.1) с у=р=0 имеет вид 5и(и)=1/2<2а|]ар(у)ии- а^,(у)и^ик|> (А1.3.1)
Он рассматривается на V (А 1.2.2).
Функционал Кастильяно есть ^(«)=1 /2<а',ик,(у)агистк1+2стар+аарар(у)> (А1.3.2)
Он рассматривается на 2 (А1.2.4).
Предложение 3.1. При выполнении условия Е для функционалов (А1.3.1), (А1.3.2)
тахиєУ ^и(и)=тіпое2 5а(я) (А1.3.3)
Значение задачи (А1.3.3) равно Зи(^Р°).
Используя предложение 3.1 получаем А0аРаР=<а<:1()ар(У)>-2тахиеУ;Ги(и) (А1.3.4)
А0арор=<аараР(у)>-2т1пае2; .Ца)
Это - два вариационных принципа (один - в терминах перемещений, другой - в терминах напряжений) для изгибных жесткостей неоднородной пластинки.
Для произвольных иєУ, <7у€2 получаем из (А1.3.4) двустороннюю оценку
<аарар(У)>‘2^и(и) ~ А арар ^ <аарар(У>>-2-,а(°) (А1.3.5)
Замечание. Правую часть (А1.3.5)можно записать в виде
А°„ра0 > <-а'ІІИ(у)стіістк1-2стар> (А 1.3.6)
А.3.4. Вариационный принцип для несимметричных жесткостей.
На основе вариационных принципов для жесткостей в плоскости и на изгиб можно получить вариационный принцип для несимметричной жесткости.
Несимметричные жесткости А арар даются (А1.1.3) при у+ц=1, сф=у6. Для получения вариационного принципа введем функционал Зи(ч)=1 /2<2(у3+Ь)а0оЄ(у)ии - ада (у)и,3икГ> (А1.4.1)
где Ь - произвольное число.
Решение задачи
}и(и)->тах, иєУ (А1.4.2)
есть
(А1.4.3)
где №^у(у=0,1) - решение (А 1.1.3).
Подставляя (А1.4.3) в (А1.4.1) и пользуясь предложениями 2.1,3.1, можно получить равенство
Л'\
А а[)с,р+2ЬЛ аВаР+Ь А арар =<ас.рар(У)>Ь * 2->и(>’+) (А1 -4.4)
где Ли(и) дастся (А1.4.1).
Из (А1.4.4), (4,2), получаем 2 12 0 2 А аРаР+2ЬА арар+Ь А аРаР =<аарар(>')>11 ' 2пШХцеУ .(„(и) (А1.4.5)
Можно получить двойственный (типа Кастильяно) вариационный
принцип
2 12 0 2 А ар<,р+2ЬА аРа|)+Ь А ара[1 =<аа[вд(у)>Ь - 2ттвеЕ 10(сг) (А1.4.6)
где
Уо(°)=1 /2<а',ик1(У)ацак1+2сар(Уз+Ь)+(Уз+Ь)Чрс,р(У)> (А1.4.7)
Это - пара вариационных принципов для выражения
2 1 2 0 А арар+^А арар+^ А ар«р- ИсПОЛЬЗуЯ ВЭриаЦИОННЫС ПрИНЦИПЫ (А 1.4.5),
(А 1.4.6), можно вычислить несимметричные жесткости, если жесткости в плоскости пластины и изгибные жесткости уже известны.
Из (А1.4.6), (А 1.4.7) можно получить двустороннюю оценку 2 2 1 2 0 2 <аарор(У)>Ь -2^(и)2 А арар+2ЬА аРаР+Ь А арар^ <аарар(у)>ь ^„(о) (А 1.4.8)
А.3.5. Примеры. Приведем некоторые оценки, следующие из полученных вариационных принципов.
5.1. Оценка сверху.
Положив в (А 1.2.15), (А 1.3.5) и (А 1.4.8) и=0 (ясно, что ОеУ), получаем а2ср«Р * <УзЧрс1р(У)> (А 1.5.1)
А арар - ^арар^у)5"
2 12 0 2
А аРаР+2НА арар +Ь А аРаР * <а аРаР(У)>Ь
Рассмотрим пластинку сделанную из изотропных материалов. Выразив аароФ чеРез модуль Юнга Е(у) и коэффициент Пуассона у(у), можно записать (А 1.5.1) в виде
Л2„ааа < <Уз2(1^(у))Е(у)/(1-2у(у))( 1 +у(у))>, а=1,2 (А1.5.2)
а21212 ^ <Уз2',(У)Е(У) /(' *2у(у))( 1 + у(у))> ,
А°аааа 5 <(1 ^(у))Е(у)/(1 -2у(у))(1 +У(у))>,
А°,212 й <у(у)Е(у)/(1 -2у(у))(1 + у(у))>
л2аааа+2Ьл1аааа+Ь2А0аоаа2<(1-У(у))Е(у)/(1-2у(у))(1+У(у»>Ь2 2 12 0 2 А 1212+2ЬА 1212 +Ь А |212<<у(у)Е(у)/(1-2\'(у))(1+У(у))>Ь
Оценка (А1.5.2) - аналог оценки Фойгхта [Voight (1889)].
5.2. Оценка для пластинки с плоскими поверхностями. Оценка снизу. Рассмотрим неоднородную пластинку с плоскими свободными поверхностями. Рассмотрим тензор напряжений вида:
«„-С.#/, (А1.5.3)
а;3=0
где Сар - произвольные постоянные, ар (а,р=1,2) фиксированный индекс, п -произвольное число.
Для даваемых (Л 1.5.3) жесткостей имеем о^=5ісфрСаруп3^=0 в У, и, принимая во внимание что п=(0,0,1) имеем на Гг Тогда, ОуЄІ, и
можно использовать напряжения (А1.5.3) в оценках (А1.2.16) и (А1.3.6). Для напряжений (А 1.5.3) правые части (А 1.2.16) и (А 1.3.6) принимают вид
-СЛ<а'х^Уз2" > + 2Со(1<у3"+> (А1.5.4)
у=0 для (АІ .2.16) и у=1 для (А1.3.6).
На Сх5 пет ограничений. Тогда, можно максимизировать (А 1.5.4) относительно С%5. Уравнение Эйлера для (А1.5.4) имеет вид -Сц,<а-'АіЛ2П> + 5хпгбр<у3"+У> =0 (А 1.5.5)
Решение (А1.5.5) есть
Сцу=<а"'итаРУ32П>"'<>'3П+'' > (АІ .5.6)
где <а цуарУ3 > - тензор обратный <а хаарУ3 >. Подставляя (А 1.5.6) в (А1.5.4), получаем оценку
2у -і 2п -і п+у 2
А арар * <3 арарУз > <у3 >
Рассмотрим полученную оценку при п=0. Это - случай однородных
напряжений - случай Рейса [Кєіібб (1929)]. При у=0 получаем аналог
оценки Рейса для пластинки
А арар ~ <а арар> ОМ.5.7)
для жесткостей в плоскости пластинки.
При у=1 оценка для пластинки симметричного строения принимает тривиальный вид А2арар>0, в силу того что <у3>=0. Первый нетривиальный случай - у=1, п=1. Для него получаем оценку
А2арар * <а'ирсруз2>"'<уз2>2 (А1.5.8)
Оценка (А 1.5.8) - оценка "типа Рейса" для изгибньтх жесткостей. Рассмотрим пластинку, сделанную из изотропных материалов. В этом случае оценки (А1.5.7), (А1.5.8) принимают вид А2асгаа ^ <у32>2/<Уз2/Е(у)> а= 1,2 А2|2!2 г <уз2>2/<уз2(1+у(у))/Е(у)>,
аааа
> 1 /<1 /Е(у)>,
А°|2і2 ^ 1/<(1+у(у))/Е(у)>.
5.3. Однонаправленные пластинки.
Пусть ЯП - цилиндр с осью параллельной оси Оу,, см. рис.А2.
В этом случае п,=0 на Г1 , и напряжения вида стп*0, Оу=0 если ц^П,
2
принадлежат £. Рассмотрим жесткость А 11П. Правая часть уравнений (А 1.2.16) и (А 1.3.6) принимает вид
<-ст,|2/Е(у)-2а11у3У> (А1.5.9)
у=0 для (А 1.2.16) и у-1 для (А 1.3.6).
у
Уравнение Эйлера для (А1.5.9) имеет вид -ап/Е(у)-у3 =0. Его решение
есть а,|в-Е(у)Уз'г. Подставляя это решение в (А 1.5.9), получаем
Л2,,,, > <Е(>0Уз2> . А°„,, > <Е(у)> (А 1.5.10)
Интересно, что оценками типа Фойгхта являются в рассматриваемом случае оценками снизу.
000000/
Фиг.А2. Пример цилиндрической ЯП: оребренная
волокнами.
армированная
5.4. Числовой пример
Имеем оценку для плоской пластины
<у3У/<Уз2/Е(у)><А2, ,„< <у32( I - у(у))Е(у)/(1 -2у(у))( 1 ^(У))>
Для Е=сопб1, у=сопб1 (однородная пластина) на графике приведены
2 2 2
значения оценок и жесткости, деленные на <у3 > /<у3 /Е(у)>. Как видно, ширина вилки увеличивается с ростом коэффициента Пуассона.
верхняя оценка •
♦ V
Рассмотрим слоистую пластину. Генерировалась случайная слоистая структура (симметричная относительно срединной поверхности ) из 400 слоев и для нее подсчитывались оценки и точное значение жесткости по
2_ 2
формуле <у3 Е(у)>/(1-у ). Коэффициент Пуассона V при этом менялся от 0 до 0.45. Значения модуля Юнга случайно генерировались из множества {1,2,3,4,5}. Результаты расчетов приведены ниже для двух слоистых структур.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
нижняя точное верхняя НИЖНЯЯ точное
оценка значение оценка V оценка значение
2-060 2.640 2.640 0.00 1.863 2.480
2.060 2.647 2.654 0.05 1.863 2.486
1.902 2.482 2.513 0.10 1.991 2.573
1.902 2.514 2.595 0.15 1.991 2.606
1.902 2.560 2.731 0.20 1.991 2.654
1.902 2.621 2.949 0.25 1.866 2.656
1.752 2.527 3.096 0.30 1.866 2.736
1.752 2.621 3.691 0.35 1.866 2.838
1.752 2.738 4.929 0.40 1.866 2.964
1.752 2.884 8.724 0.45 1.953 3.116
верхняя
оценка
2.480
2.493
2.605
2.690
2.831
2.988
3.352
3.996
5.336
9.426
А.2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ ЖЕСТКОСТЕЙ НЕОДНОРОДНОЙ БАЛКИ
Здесь вариационные принципы и двусторонние оценки для жесткостей неоднородной балки периодической структуры получаются на основе асимптотического метода и анализа функционалов Лагранжа и Кастильяно для функционалов ЯЗ.
Традиционный (для теории усреднения) метод нахождения жесткостей балки основан на решении ячеечной задачи и вычислении жесткостей через ее решение. Здесь представлен метод вычисления жесткостей балки через минимальные/максимальные значения некоторых функционалов. Два этих метода прямо связаны. Представленные ниже вариационные принципы для жесткостей выводятся из метода, основанного на решении краевой задачи.
Вариационные принципы и оценки следует выводить из трехмерной задачи теории упругости без добавочных гипотез. С этой целью сначала надо связать задач}' теории балок с трехмерной задачей теории упругости в области малого диаметра. Это проделано в [Колпаков ПММ 1991 ].
Фиг.АЗ
- Київ+380960830922