Математическое моделирование в задачах статики и динамики конструктивно неоднородных термоупругих оболочек

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение (краткий исторический обзор по теме диссертации) 6
ГЛАВА 1. Математическое моделирование в задачах
устойчивости и колебаний для пологих оболочек и
пластин............................................... 35
§1.1. Качественное исследование связанных задач термоупругости в рамках классических гипотез теории оболочек и пластин................................... 35
1.1.1. Качественное исследование эволюционных уравнений классической теории оболочек с параболическим уравнением теплопроводности
и без учета инерции продольных перемещений ... 35
1.1.2. Качественное исследование эволюционных уравнений теории пластин с гиперболическим уравнением теплопроводности............................ 51
1.1.3. Качественное исследование эволюционных уравнений трехслойных оболочек с параболическим уравнением теплопроводности........................ 55
§ 1.2. Численное исследование связанных задач термоупругости для пологих оболочек "в перемещениях" с параболическим уравнением
теплопроводности...................................... 69
§ 1.3. Исследование сходимости одного итерационного алгоритма решения стационарных задач в теории
пологих оболочек...................................... 81
Выводы по главе............................................. 93
2
ГЛАВА 2. Неклассические модели и устойчивость многослойных ортотропных термоупругих оболочек в рамках
модифицированных гипотез Тимошенко.................... 95
§ 2.1. "Проекционные" условия движения термоупругого деформируемого твердого тела и их применение в
теории многослойных ортотропных оболочек.............. 95
§ 2.2. Примеры согласованных, асимптотически
согласованных и несогласованных моделей (теорий) многослойных ортотропных термоупругих пологих оболочек............................................. 126
2.2.1. Модели согласованные, континуальные
"в перемещениях" с учетом обжатия............. 126
2.2.2. Модели несогласованные континуальные
"в перемещениях" с учетом обжатия............... 161
2.2.3. Модели асимптотически согласованные континуальные "в перемещениях" и "смешанной" форме без учета обжатия.............................. 162
2.2.4. Модели асимптотически несогласованные континуальные "в перемещениях" и "смешанной" форме без учета обжатия.............................. 181
§ 2.3. Качественное исследование асимптотически согласованных и несогласованных моделей термоупругих оболочек..................................... 184
2.3.1. Качественное исследование эволюционных уравнений теории оболочек "в перемещениях" с параболическим уравнением теплопроводности .. 184
2.3.2. Качественное исследование эволюционных уравнений теории оболочек в "смешанной" форме
с параболическим уравнением теплопроводности . 195
3
2.3.3. Качественное исследование эволюционных уравнений уточненной теории пластин с гиперболическим уравнением теплопроводности . 213
2.3.4. Качественное исследование стационарных уравнений уточненной теории пластин.................. 220
§ 2.4. Результаты численных экспериментов по исследованию статической устойчивости многослойных ортотропных оболочек в рамках различных уточненных моделей ... 224
Выводы по главе............................................ 238
ГЛАВА 3. Обобщенные задачи дифракции в теории
конструктивно неоднородных оболочек и пластин, локально взаимодействующих с температурным полем . 241
§ 3.1. Качественное исследование обобщенных задач
дифракции для оболочек и пластин "в перемещениях" . . 242
3.1.1. Связанная обобщенная задача дифракции для термоупругой оболочки, локально определяемой в рамках обобщенных гипотез Тимошенко и гипотез Кирхгофа-Лява......................................... 242
3.1.2. Связанная обобщенная задача дифракции для термоупругой оболочки, локально определяемой в рамках обобщенных гипотез Тимошенко и гипотез Григолюка-Чулкова..................................... 260
§ 3.2. Качественное исследование обобщенных задач
дифракции для оболочек и пластин в "смешанной"
форме................................................. 274
3.2.1. Связанная обобщенная задача дифракции для термоупругой оболочки, локально определяемой в рамках обобщенных гипотез Тимошенко и гипотез Кирхгофа-Лява................................ 274
4
3.2.2. Стационарная обобщенная задача дифракции для термоупругой пластины переменной
толщины............•......................... 288
Выводы по главе........................................ 296
Заключение (основные результаты работы и краткие выводы).... 298
Литература.................................................. 302
Приложение (Заключение НПЦ "АЛМАЗ-ФАЗОТРОН" об использовании материалов докторской диссертации).................. 328
5
ВВЕДЕНИЕ
(краткий исторический обзор исследований но теме работы)
Достижения современной материальной культуры во многом определяются успехами научных исследований в области механики сплошных сред — и одно из востребованных практикой направлений таких исследований связано с математическим моделированием
различных эволюционных изменений в конструктивно неоднородных оболочках и пластинах.
Термин "математическое моделирование", в узком смысле,
подразумевает изучение объекта научных исследований с помощью компьютерных технологий — однако, в данной работе этот термин употребляется в широком смысле и подразумевает наличие четырех этапов научного исследования: первый этап — построение
математической модели объекта; второй — качественное исследование корректности построенной модели и свойств модельного объекта; третий — применение компьютерных технологий к изучению модельного объекта; четвертый — сопоставление качественных и количественных характеристик модельного объекта с реальным. Результатом математического моделирования является либо внедрение модельного объекта в прикладные исследования, либо его модификация с
последующим повторением всех четырех этапов исследования.
Основополагающие работы по формированию математических моделей конструктивно неоднородных оболочек и пластин принадлежат таким ученым как И.Г.Бубнов, С.П.Тимошенко, В.З.Власов, Т.Карман,
B.В.Новожилов, Х.М.Муштари, К.З.Галимов, Н.А.Алфутов,
C.А.Амбарцумян, А.Н.Андреев, В.Н.Бакулин, В.Г.Баженов,
A.Е.Богданович, В.В.Болотин, Н.А.Буяков, А.Т.Василенко, В.В.Васильев,
B.Е.Вериженко, И.И.Ворович, Э.И.Григолюк, М.С.Ганеева,
Я.М.Григоренко, В.Г.Карнаухов, Ю.Г.Коноплев, В.И.Королев,
В.А.Крысько, Н.Д.Кузнецов, В.А.Лазько, Н.Ф.Морозов, H.H.Москаленко, Ю.В.Немировский, Ю.Н.Новичков, И.Ф.Образцов, В.Н.Паймушин, Б.Л.Пелех, В.В.Пикуль, В.Г.Пискунов, А.П.Прусаков, Б.Е.Победря, И.Н.Преображенский, А.О.Рассказов, А.Ф.Рябов, В.С.Сипетов, А.В.Саченков, А.Г.Терегулов, И.Г.Терегулов, В.П.Тамуж, ГІ.Е.Товстик, К.Ф.Черных, H.A.Шульга, Р.Кристиансеи, Э.Рейсснер и др. Итогом деятельности нескольких поколений ученых являются различные дискретные и континуальные модели оболочек, при этом, в последнее время отчетливо наблюдается объективная тенденция к отказу от построения "универсальной" двумерной модели в пользу построения моделей, воспроизводящих лишь некоторые количественные и качественные характеристики оболочек. Проявление такой тенденции наблюдается и в теории многослойных оболочек: дискретные модели целесообразно применять при исследовании НДС оболочек, а континуальные — при исследовании устойчивости. Кроме того, проведенные исследования убедительно показали необходимость учета сдвиговых напряжений и обжатия при построении моделей многослойных оболочек.
Результаты проведенных исследований, касающиеся многослойных оболочек и уточненных теорий оболочек, с достаточной полнотой изложены в обзорах Григолюка Э.И., Когана Ф.А. [78], Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцова И.Ф. [94], Г'ригорснко Я.М., Василенко А.Т. [83], Григолюка Э.И., Сслсзова И.Т. [81], Григорснко Я.М., Гуляева В.И. [85], Кубенко В.Д., Ковальчука П.С. [160], а также в монографиях Амбарцумяна С.А. [19,20], Болотина В.В., Новичкова Ю.Н. [33], Васидзу К. [39], Галимова К.З. [68], Григолюка Э.И., Чулкова П.П. [82], Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратовой Н.Д. [84], Григолюка Э.И., Куликова Г.М. [79], Перцева А.К., Платонова Э.Г. [206], Родионовой В.А. [230], Бердичевского В.Л. [28], Алфутова H.A., Зиновьева П.А., Попова Б.Г. [18], Пискунова В.Г., Вериженко В.Е. [213], Пикуля В.В. [210],
7
Рассказова А.О., Соколовской И.И., Шульги H.A. [227], Пискунова В.Г., Вериженко В.Е., Присяжнюка В.К., Сипетова B.C., Карпиловской B.C. [212], Вольмира A.C. [51-54], Крысько В.А. [155], Бакулина В.H., Образцова И.Ф., Потопахина В.А. [25], Григолюка Э.И., Мамая В.И. [80], Векуа И.Н. [43], Воровича И.И. [55], Хорошуна Л.П., Козлова С.В., Иванова Ю.А., Кошевого И.К. [263] и др.
Касаясь конкретного содержания полученных результатов выделим следующие положения: 1) согласно Воровичу И.И. [57] методы сведения трехмерных задач теории упругости к двумерным распадаются на три группы — метод гипотез, аналитический метод и асимптотический метод; 2) метод гипотез характеризуется физической наглядностью и возможностью непосредственного использования основных уравнений термодинамики для сплошной среды — подчеркнем, что для соблюдения "физической корректности" метод гипотез следует рассматривать только по отношению к вариационным уравнениям термодинамики, напротив, аналитический и асимптотический методы могут иметь в своей основе как трехмерные дифференциальные уравнения теории упругости (возможно и в обобщенной форме) [43, 249], так и вариационные уравнения [28]; 3) согласно Григолюку Э.И., Когану Ф.А. [78], теория слоистых оболочек развивается в двух основных направлениях — к первому направлению относятся работы, в которых для вывода уравнений применяются кинематические гипотезы для каждого отдельного слоя (дискретные модели), а ко второму те, в которых вывод уравнений дается на основе гипотез, привлекаемых для всего пакета слоев в целом (континуальные модели); 4) в рамках метода гипотез возможен максимальный учет априорной информации (экспериментальных и расчетных данных) об особенностях НДС неоднородных оболочек; 5) наличие в многослойных оболочках "мягких" и "жестких" слоев [33] приводит к необходимости учета сдвиговых напряжений и обжатия; 6) гипотезы, определяющие НДС многослойных (неоднородных) оболочек, в общем, сводятся к определению бесконечномерных аппроксимаций (но конечномерных по
выделенной ’’поперечной" переменной), определяющих функций -----------
наиболее популярными аппроксимациями продольных компонент вектора перемещений являются многочлены первого и третьего порядков, относительно "поперечной" переменой (конечно, используются многочлены и более высоких порядков [212]); 7) модели разных авторов отличаются, во-первых, эвристическими посылками, оправдывающими сделанный выбор аппроксимаций, а, во-вторых, методикой получения разрешающих уравнений [19, 20, 23, 28, 33, 74, 79, 82, 106, 202, 210, 212, 227, 261,262].
Остановимся подробнее на некоторых публикациях последних лет. В работе Паймушина В.Н., Луканкина С.А. [203], с помощью аппарата бескомпонентных тензорных преобразований выводятся уравнения нелинейной дискретно-структурной теории среднего изгиба многослойных оболочек с жесткими несущими слоями и трансверсально-мягкими заполнителями, имеющими переменную толщину с большой изменчивостью; при выводе основных уравнений к несущим слоям привлекаются гипотезы Киргхгофа-Лява, а для заполнителей — усредненные (по толщине слоя) соотношения трехмерной теории упругости.
В работе Хомы И.Ю. [262] получены уравнения обобщенной теории оболочек с начальными напряжениями — в основе методики разложение искомых (определяющих) функций в ряд Фурье по полиномам Лежандра относительно поперечной координаты.
В работе Каплунова Ю.Д., Нольде Е.В. [105] рассмотрена упругая тонкая оболочка при действии поверхностной нагрузки — с помощью асимптотического анализа трехмерных динамических уравнений теории упругости определяется область параметров задачи, при которых нельзя пренебречь влиянием поперечного обжатия.
В работе Андреева А.Н. [22] проведен сравнительный анализ результатов расчета собственных частот и форм колебаний слоистых
9
упругих композиционных оболочек вращения, найденных на основе классических и нсклассических дифференциальных уравнений движения — отмечается, что неучет поперечных сдвиговых деформаций приводит к завышению расчетных значений собственных частот, притом тем большему, чем больше порядковый номер определяемой частоты и чем больше номер рассматриваемой окружной гармоники.
В работе Гуртового А.Г., Пискунова В.Г. [88] рассмотрена проблема сравнительного анализа уточненных моделей слоистых ортотропных пластин — на базе предложенной методики "вариационного сопоставления" оцениваются две континуальные модели изгиба пластин с ортотропными слоями. Однако, в предлагаемой методике заложен "дефект", связанный с тем, что сопоставляются свойства (в смысле включения одного в другое) одной модели по отношению к другой, но не по отношению, например, к исходным трехмерным моделям, основным уравнениям термодинамики сплошной среды или экспериментальным данным.
В работе Пискунова В.Г., Рассказова A.A. [214] построена сдвиговая модель (теория "второго приближения") для многослойных пологих оболочек, позволяющая рассчитывать НДС существенно неоднородных по слоям оболочек с повышенной податливостью поперечному сдвигу. Известно, что гипотезы о квадратичном распределении поперечных сдвигов в слоях не учитывают, с требуемой точностью, неоднородности распределения деформаций по толщине пакета [20, 84, 213, 227], поэтому в модели используются новые аппроксимации тангенциальных перемещений и поперечных касательных напряжений: эвристической посылкой гипотез для напряжений служит вид касательных напряжений, получаемый из трехмерных уравнений равновесия пологих оболочек с учетом тангенциальных компонент тензора напряжений для модели [227] "первого приближения"; соответственно, гипотезы для перемещений определяются с помощью соотношений Коши и закона Гука для полученных касательных напряжений (в полученной модели закон
10
распределения перемещений по толщине определяется многочленом пятой степени относительно "поперечной" переменной). Построение итоговых уравнений равновесия и граничных условий производится с помощью вариационного уравнения Рейсснера. Обратим внимание на. следующее обстоятельство: промежуточным этапом в методике
построения моделей "первого" и "второго приближения" является использование трехмерных уравнений равновесия для аппроксимаций определяющих функций, но, в общем, эти аппроксимации не являются решением указанных уравнений, следовательно, требуется обоснование возможности их применения (заметим, что аналогичная проблема возникает во многих работах [19, 210, 212]).
13 серии работ Васильева В.В., Лурье С.А., Шумовой Н.П. [40, 41, 171] определяются энергетически согласованные модели балок, пластин и оболочек. Анализ этих работ показывает, что по сути авторы добиваются совпадения проекционных уравнений Бубнова-Галеркина для трехмерных уравнений теории упругости (соответственно определяющих балки, пластины и оболочки), с уравнениями Эйлера-Лагранжа, для вариационного уравнения Лагранжа, при заданной аппроксимации компонент вектора перемещений относительно "поперечной" переменной (в классы "совпадающих уравнений" входят как уравнения равновесия, так и граничные условия) — найденные "условия совпадения" реализуются через "условия согласования" для коэффициентов при "поперечной" переменной в аппроксимациях. Следствием полученных результатов является весьма примечательный факт: дополнительная априорная информация об аппроксимациях определяющих функций, реализуемая через "условия согласования" и наполняющая, с одной стороны, физическим содержанием проекционные уравнения Бубнова-Галеркина (эти уравнения теперь определяют необходимые условия экстремума для функционала потенциальной энергии), и формальным математическим смыслом уравнения Эйлера-Лагранжа с другой ("привязывая" эти уравнения непосредственно к исходным трехмерным
уравнениям равновесия) — ведет к уточнению получаемых количественных результатов.
В работах Пикуля В.В. [208-209] исследуется проблема приведения уравнений теории упругости к двумерным уравнениям механики оболочек — одним из центральных моментов в предлагаемой методике выступает условие ортогонализации (ранее "минимизации" [210]) невязки приближенного представления поперечных компонент тензора деформаций. В связи с этим отметим такое обстоятельство: при формировании "невязки" автор использует трехмерные уравнения упругости и получает аппроксимацию сдвиговых компонент тензора напряжений в виде многочлена относительно "поперечной" переменной, однако, порядок этого многочлена не совпадает с порядком многочлена, определяющего заданную аппроксимацию сдвиговых компонент тензора деформаций (например, достаточно сравнить аппроксимации (2.2) и (3.6) из работы [209]), но тогда используемое "условие ортогональности", в общем, не является таковым (условие (2.3) из [209]) даже для однородных оболочек (используемое "условие ортогональности" может "связывать" не ортогональные по сути элементы) — тем более это требует дополнительного обоснования для неоднородных по толщине оболочек, так как в этом случае одно из слагаемых в невязке может определяться многочленом сколь угодно большого порядка (все зависит от характера неоднородности).
В работах Вериженко В.Е., Пискунова В.Г., Присяжнюка В.К., Табакова П.Я. [44, 45] обобщается методика, описанная в монографиях [212, 213], на случай динамической теории многослойных оболочек и пластин — эвристической посылкой гипотез для сдвиговых компонент тензора напряжений служит вид таких напряжений, получаемый из трехмерных уравнений движения пологих оболочек с учетом тангенциальных напряжений для классической модели в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, ‘ с последующим определением на их основе перемещений. Отличительной особенностью получаемых моделей оболочек является зависимость компонент вектора перемещений и
12
тензора напряжений от динамических факторов — сил инерции в нормальном и тангенциальном направлениях, инерции вращения; при этом, итоговые компоненты тензора напряжений определяются путем подстановки найденных компонент тензора деформаций в закон Гука, а уравнения движения следуют из вариационного уравнения Рейсснера. В работе Ганеевой М.С., Каюмова P.A., Косолапова Л.А. [72] приводятся результаты сравнения двух моделей оболочек вращения, с учетом сдвига и геометрической нелинейности (теория Тимошенко), при исследовании НДС — отмечается, что на результаты расчета по различным теориям влияет вид нагрузки.
В работе Бабича Н.Ю, Семенюка Н.П. [24] произведен анализ погрешности, сопровождающей модели оболочек типа Тимошенко в задачах устойчивости и сделан вывод, что такие модели могут использоваться для оболочек из композиционных материалов, если механические характеристики слоев не отличаются более, чем на порядок.
В обзорах Григоренко Я.М., Гуляева В.И. [85] и Кубснко В.Д., Ковальчука П.С. [160] рассмотрены исследования в области нелинейных задач теории оболочек и методов их решения. Из сделанных авторами выводов отметим следующие: 1) необходима разработка общих
методологических подходов к построению адекватных нелинейных расчетных динамических моделей оболочек; 2) актуальной представляется проблема расчета колебаний с большими прогибами при учете различных типов нелинейности; 3) перспективными продолжают оставаться задачи о хаотических колебаниях оболочек при детерминированных вибрационных воздействиях на них — в теоретическом плане необходимо глубже изучить влияние как линейного, так и нелинейного демпфирования оболочек на механику хаоса, области его существования, сценарии перехода от регулярных режимов к нерегулярным, спектральные свойства.
Многие методологические приемы, используемые для обоснования корректности математических моделей оболочек, разработаны в трудах
отечественных математиков и механиков: С.Л.Соболева, В.Н.Кондрашова,
С.М.Никольского, О.А.Ладыжснской, М.М.Вишика, И.И.Воровича,
С.Г.Михлина, Н.Ф.Морозова и др. При этом, центральным понятием в обосновании стало понятие обобщенного решения краевых задач, тесно связанное с вариационными уравнениями в механике сплошных сред. К настоящему времени для краевых задач, определяющих классические модели оболочек (в рамках гипотез Кирхгофа-Лява), исследованы многие вопросы о существовании и единственности решения. Что касается нелинейных задач теории пологих оболочек, то здесь в первую очередь следует отметить выдающиеся работы И.И.Воровича [55-66], методика которых лежит в основе подавляющего числа работ по указанной тематике — в своей монографии [55] И.И.Ворович сформулировал основные нерешенные проблемы математической теории оболочек, из которых выделим следующие (имеющие отношение к тематике данной диссертационной работы): 1) построение математической теории краевых задач для вариантов оболочек типа Тимошенко, Рсйсснера, учитывающих, наряду с геомегри ческой нелинейностью, сдвиговые напряжения; обоснование приближенных методов; 2) выделение класса нелинейных краевых задач математической физики, для которого априорная оценка решения может быть дана развитым в книге [55] методом. Фундаментальные результаты в этом же направлении получены
Н.Ф.Морозовым [181-185], который впервые исследовал вопросы единственности и обобщенной диссипативности для нелинейных задач теории пологих оболочек и пластин.
Различные подходы к обоснованию и решению нелинейных краевых задач классической теории оболочек представлены в работах Ляшко А.Д. [173-174], Качуровского Р.И. [113], Ляшко А.Д., Карчевского М.М. [175], Волошановской С.Н., Заботиной Л.Ш., Карчевского М.М. [50,101,110], Сьярле Ф., Рабье П. [249], Ж.-Л.Лионса [169], Дубинского Ю.А. [92-93], Скрыпника В.И. [242], Сьярле Ф. [248], Дюво Г., Ж.-Л.Лионса [96], Березовского А.А., Жария Ю.И. [29] и др. Остановимся на некоторых
публикациях последних лет.
В работе Карчевского М.М. [109] разрешимость геометрически нелинейных моделей непологих оболочек, в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, доказывается с помощью аналогов теоремы о неявной функции. В работе Тимергалиева С.Н. [252] исследована разрешимость сформулированной И.И.Воровичем [55] задачи о свободной пологой оболочке, не подчиненной никаким геометрическим граничным условиям — методика исследования основана на решении задачи в деформациях. В серии публикаций Седенко В.И. [233-236] исследованы вопросы единственности и существования классических решений начальнокраевых задач для уравнений Маргера-Власова в нелинейной теории колебаний пологих оболочек — основным инструментом доказательства служат оценки типа неравенств вложения. Отметим, что результаты Седенко В.И. являются важным и естественным обобщением результатов И.И.Воровича [58] и Н.Ф.Морозова [184]. В работе Воровича И.И., Лебедева Л.П. [63] рассматривается общая краевая задача нелинейной теории упругих оболочек среднего изгиба в рамках гипотез Кирхгофа-Лява и доказывается непрерывность зависимости неособого решения задачи от малых возмущений размеров и формы оболочки, а также от малых изменений частей границы, вдоль которой реализуется тот или иной вид краевых условий. Следствием полученного результата является возможность обоснования сходимости метода конечного элемента, когда граница области не является многоугольником. В работе Лебедева Л.П. [168] доказаны теоремы разрешимости для нелинейных краевых задач о равновесии пологих оболочек, срединная поверхность которых имеет устранимую особенность.
Исследование корректности уточненных моделей оболочек является, согласно И.И.Воровичу [55], во многом открытой проблемой. В этом направлении, особенно для нелинейных задач, получены отдельные результаты — отметим ряд публикаций. В работе Пантелеева А.Д., Медведева Н.Г. [205] изучается коэрцитивность оператора в случае
линейной теории трехслойных пологих оболочек с легким заполнителем и внешними слоями из ортотропного материала. В работах Власова В.Ф., Юркевича A.A. [47, 48] исследована разрешимость и единственность решения краевых задач, определяющих условия равновесия трехслойных оболочек (модель Григолюка-Чулкова [82]) несимметричной структуры с трансверсально изотропным заполнителем и несущими изотропными слоями — используется система уравнений в "смешанной" форме. На базе вариационного метода (используемый функционал определяет обобщенную энергию трехслойной оболочки), теми же авторами [4^] исследована разрешимость и получены оценки собственных чисел системы стационарных нелинейных уравнений Григолюка-Чулкова в "смешанной" форме. В работе Григолюка Э.И., Власова В.Ф., Юркевича A.A. [76] исследована разрешимость граничных задач равновесного состояния трехслойных оболочек с жестким заполнителем (передающим поперечный сдвиг) — как для уравнений равновесия в "перемещениях" (при этом используется методика доказательства из работы Воровича И.И., Лебедева Л.П. [64]), так и для уравнений в "смешанной" форме (используется вариационный метод). В работе Голованова А.Н. [73] исследована разрешимость и единственность решения нелинейных уравнений движения пологих трехслойных оболочек в "смешанной" форме (модифицированная модель Григолюка-Чулкова); в основе доказательства — метод компактности [169]. В работе Карчевского М.М., Ляшко А.Д., Паймушина В.Н. [111] рассмотрены вопросы существования и единственности критических точек смешанного функционала, определяющего — как уравнения Эйлера-Лагранжа — уравнения равновесия и кинематические условия сопряжения слоев по тангенциальным перемещениям на границах их контакта, для многослойных оболочек с трансверсально-мягкими заполнителями (для несущих слоев использованы гипотезы Кирхгофа-Лява в рамках геометрически нелинейной теории среднего изгиба, а для заполнителя используется модель трансверсально-мягких слоев); кроме того показано,
16
что линеаризованная задача на собственные значения имеет вещественный чисто дискретный спектр. Отметим, что вопросы разрешимости линейных граничных задач для пластин Рейсснера рассмотрены в монографии Морозова Н.Ф. [181].
Начиная с середины XX века наблюдается стремительное развитие механики сопряженных полей, то есть таких разделов механики сплошных сред, в которых учитывается взаимодействие полей различной физической природы — предпосылкой такого развития явились прикладные исследования в области авиационной, космической, электронной и ядерной техники [14, 25, 193, 240]. Остановимся подробнее на задачах взаимодействия температурного и деформационного полей.
Впервые задачу теории упругости с учетом температурных напряжений описал J.M.C. Duhamel [9], который, также впервые, ввел в уравнение теплопроводности член, учитывающий взаимосвязь изменения объема и температуры исследуемого тела. Однако дальнейшие исследования, в течение более чем 100 лет, велись в основном по двум непересекающимся направлениям — теории теплопроводности и теории температурных напряжений. В работах Г.Карслоу и Д.Егера [108],
А.В.Лыкова [172], А.И.Вейника [42], С.С.Кутателадзе [164]. Л.А.Коздобы [141], Н.И.Мусхелишвили [187], А.Д.Коваленко [140], В.Новацкого [196] описаны различные вопросы становления теории теплопроводности и температурных напряжений.
Определяющее значение для становления методологических основ термоупругости имеет феноменологическая термодинамика необратимых процессов, одним из источников которой явилось обобщение идей Навье по решению задач гидродинамики вязких жидкостей. Фундаментальную роль в теории необратимых процессов сыграли работы Л.Онсагера, сформулировавшего общий принцип наименьшего рассеяния энергии [95]. Дальнейшее развитие этой теории связано с работами голландско-бельгийской школы (И.Пригожин, С.дсГроот, II.Мазур и др.). И.Пригожин предложил новый общий принцип наименьшего производства энтропии,
оказавшийся более удобным для решения прикладных задач. Венгерский физик И.Дьярмати [95] решил вопрос о соотношении между принципами Онсагера и Пригожина и получил интегральные формы этих принципов. Основные положения (и глубокие обобщения) термодинамики сплошных сред изложены в работах Седова Л.И., Цыпкина А.Г. [237-240], Ильюшина
A.A. [102], Новацкого В. [196], Толмачева В.В., Головина А.М., Потапова
B.C. [254], Колтунова М.А., Кравчука A.C., Майбороды В.П. 1145] и др.
В 1956 году вышла работа М.Вио [I, 32], где впервые, на базе термодинамики необратимых процессов, дано обоснование основных соотношений и уравнений линейной теории связанной термоупругости. При таком подходе твердое деформируемое тело рассматривается как термодинамическая система, находящаяся в условиях локального квазиравновесия, то есть принимается такое допущение: для всякого физически малого подобъема исследуемой системы справедливы удельные соотношения равновесной термодинамики [83, 95, 196J.
Уравнение баланса для энтропии такой системы позволяет записать обобщенное уравнение теплопроводности, в котором учитывается взаимосвязь температурного и деформационного полей. Уровень исследований связанных и несвязанных задач термоупругости в значительной степени отражен в монографиях Новацкого В. [194-196], Грибанова В.Ф., Паничкина Н.Г. [75], Подстригача Я.С., Ломакина В.А., Коляно Ю.М. [222], Мотовиловца H.A., Козлова В.И. [186], Ьакулина В.Н., Образцова И.Ф., Потопахина В.А. [25]. Остановимся на некоторых публикациях. В работе Козлова В.И. [142] рассмотрена задача о тепловом ударе для линейных связанных уравнений термоупругости пластины в рамках модели Кирхгофа-Лява. В качестве метода решения использовалось преобразование Фурье. Итогом исследований явилось подтверждение эффекта затухания термоупругих колебаний при учете "эффекта связанности". Отметим отсутствие в работе гипотез о распределении температурного поля по толщине пластины.
В серии работ [3-5] решены, с помощью преобразования Фурье,
различные линейные связанные задачи для оболочек вращения, при этом, на базе обычных упрощений теории тонких оболочек (приняты гипотезы о линейном распределении температурного поля по толщине оболочки) трехмерное уравнение теплопроводности сведено к системе двумерных. Предположение о линейном законе распределения температуры по толщине оболочки использовали: Швец Р.Н., Лунь Е.И. [265], при выводе уравнений связанной линейной задачи термоупругости для ортотропных оболочек в рамках модели типа Тимошенко; Флячок В.М. [257], при формулировке вариационного принципа для динамической связанной задачи анизотропных оболочек; Болотин В.В., Новичков Ю.Н. [33], при решении задач для многослойных конструкций и др. В публикации Швеца Р.Н., Флячка В.М. [267] получены, с учетом кубического распределения температуры по толщине, теоремы единственности, взаимности и вариационный принцип для связанной линейной задачи термоупругости анизотропных оболочек. Различные методы сведения трехмерной задачи теплопроводности для тонкостенных элементов конструкций к двумерной, проанализированы в сообщении Подстригала Я.С., Чернухи Ю.А. [223]. В монографиях Подстригала Я.С., Швеца Р.Н. [224] и Коваленко А.Д. [140] изложены термодинамические основы линейных связанных задач термоупругости для тонкостенных элементов конструкций, описаны основные методы решения и приведена библиография. Отметим, что исчерпывающая библиография по задачам термоупругости на 1980 год приведена в справочнике [147, 148]. Вопросам термоустойчивости пластин и оболочек, с учетом геометрической нелинейности, посвящена монография Огибалова II.М., Грибанова В.Ф. [201]. В работе Сипстова B.C. [241] исследованы двумерные и трехмерные модели слоистых анизотропных пологих оболочек и пластин при комплексом термосиловом воздействии. В монографии Ганеевой М.С. [71] изучена термосиловая задача в геометрически и физически нелинейной теории нетонких и тонких оболочек. В статье Немировского Ю.В., Самсонова В.П., Шульгина A.B.
[192] предложен вариант расчетной модели термоупругого деформирования слоистых оболочек из композиционных материалов — на базе полученных эволюционных уравнений связанной задачи термоупругости, исследуегся процесс выпучивания цилиндрической трехслойной оболочки при апериодических силовых и температурных воздействиях. В статье Пикуля В.В. [211] предложен дифференциальный аналог смешанного функционала Рейсснера для термоупругих оболочек, однако конкретные модели таких оболочек не построены. Исследованию геометрически и физически нелинейных связанных задач термоупругости посвящены работы Крысько В.А., Сопенко A.A., Егурнова Н.В. [97, 159].
В работе Конюхова A.B., Жигалко Ю.П., Бережного Д.В. [150] отмечается, что использование метода конечных элементов в связанной задаче термоупругости может приводить к жесткой системе обыкновенных дифференциальных уравнений — для решения таких систем предлагается использовать метод трапеций.
Учет членов тепловой инерции в уравнении теплопроводности приводит к новой модели динамической термомеханики — обобщенной и предполагает конечную скорость распространения тепла. Исследованию задач обобщенной термомеханики посвящена монография Подстригича Я.С. и Коляно Ю.М. [221], в которой изложены основы теории, дано решение ряда практических задач, отмечены эффекты учета конечной скорости распространения тепла (в частности отмечено, что при движении плоской гармонической волны в неограниченном термоупругом слое наблюдается, с ростом частоты, значительное влияние конечной скорости распространения тепла на относительное приращение фазовой скорости) и приведена библиография по указанным вопросам. В статьях Новацкого В. [193, 195] обсуждаются проблемы связанной термоупругости,
термодиффузии и электромагнитотермоуиругости на базе модифицированного закона Фурье. В работе Швеца Р.Н. и Лопатьева A.A. [265] изучены особенности динамических процессов при высоких частотах на основе линейных трехмерных уравнений обобщенной
20
термомеханики, в частности, исследование распространения плоской гармонической волны (с использованием асимптотического разложения для выражений корней характеристических уравнений) показало, что при частоте колебаний меньшей некоторой характеристической частоты исследуемого материала, можно использовать параболическое уравнение теплопроводности. В статье Коляно Ю.М. и Штера З.И. [149] при получении связанных уравнений обобщенной термомеханики для анизотропных тел использованы методы идентификации, закон сохранения энергии и постулат Клаузиуса-Дюгема. Публикация Кильчинской Г. А. [114] посвящена распространению принципа наименьшего принуждения Гаусса на уравнения обобщенной термомеханики. В статье Коляно Ю.М. [146] выведены уравнения обобщенной термомеханики термочувствительных однородных и кусочно-однородных массивных тел, а также тонких пластин и оболочек.
В работах Барана В.П., Г'рилицкого Д.В., Мокрика Р.И. [27] и Мокрика Р.И., Пырьева Ю.А. [179, 180] проведен анализ различных динамических моделей линейной термоупругости с точки зрения удовлетворения их принципу причинности. В частности, последние две публикации, уточняя результаты первой, позволяют надеяться на физическую целесообразность рассмотрения связанной динамической задачи термоупругости с параболическим уравнением теплопроводности.
В статьях [6, 7] исследуется возможность аппроксимации решения исходной связанной задачи термоупругости некоторыми вспомогательными, в общем не связанными задачами.
Отметим, что в связанных задачах термоупругости оболочек и пластин пока нет работ, выявляющих границы применимости классических и уточненных моделей. Близкой, к указанной тематике, является работа Рогачевой H.H. [229] о свободной термоупругой оболочке, где показана неудовлетворительность гипотезы Кирхгофа о неизменности длины нормали при нелинейном законе изменения температурного поля по толщине.
Значительный интерес в последние 30 лет вызывают исследования в области термовязкоупругости [103, 107, 217, 219, 220], что диктуется широким использованием в технике полимерных материалов. Важные результаты в области связанных задач термовязкоупругости получены в работах Побсдри Б.Е. [215-220], Воровича И.И. и Сафроненко В.Г. [67], Булгару O.E. [38], Громова В.Г. и Мирошникова В.П. [86] и др. В статье Победри Б.Е. [216] получены основные соотношения связанной термоупругости для ряда конкретных сред, в том числе с учетом физической нелинейности и термовязкоупругости, доказано существование классического решения полученной системы уравнений, решена задача о простом растяжении теплоизолированого стержня и задача о полом цилиндре, армированном снаружи тонкой упругой оболочкой. В монографии Карнаухова В.Г. [107] описан широкий класс связанных задач термовязкоупругости, включая задачи теории пластин и оболочек с учетом как физической, так и геометрической нелинейности и приводится обширная библиография по указанным вопросам (там же обсуждаются различные численные методы решения поставленных задач). В монографии Энгельбрехта Ю.К. и Нигула У.К. [269] исследованы, на базе лучевого метода, нелинейные волны деформации в упругой, вязкоупругой и термоупругой средах. Там же проведен анализ влияния физической и геометрической нелинейности на процесс распространения волн в задачах связанной термоупругости. Отмечается, что основная трудность непосредственного исследования уравнений, полученных на основе пространственно-временного описания, связана с исключительной сложностью имеющих математических моделей связанной термоупругости. В работе Нсмировского Ю.В. [191] построена теория термочувствительных слоистых полиармированных оболочек.
Фундаментальные результаты по вопросам существования и единственности решения линейных связанных задач термоупругости в трехмерной постановке получены, на базе метода потенциалов и теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, в работах Купрадзе
22
В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О. и Бурчуладзе Т.В. [161-163]. В указанных работах исследованы классические решения как внешних, так и внутренних задач термоупругости, получены условия термоупругого излучения на бесконечности, предложены эффективные подходы к численному решению связанных задач. Применению метода Бубнова-Галеркина к доказательству разрешимости трехмерной динамической связанной задаче термоуиругости в пространстве Соболева посвящена статья [13]. В публикации Новик О.Б. [197] исследована устойчивость конечно-разностной схемы для линейной связанной (т.е. рассмотрена система из гиперболического и параболического уравнений) задачи, доказано существование и единственность решения исходной системы при определенной гладкости начальных данных. Вопросы математического описания волновых явлений и доказательства существования решения задачи Коши в связанной термоуиругости рассмотрены в публикациях Смирновой М.Н., Михайловской И.Б., Новик
О.Б. [244], Михайловской И.В. и Новик О.Б. [176]. Описание работ по математическому обоснованию связанных линейных задач термоуиругости на 1970 год дано в приложении Шачнева В.А к монографии [194]. В работе Боценюка А.Н., Панкова A.A. [34] изучен, на базе метода Бубнова-Галеркина, класс абстрактных линейных систем дифференциальных уравнений, частным случаем которых является связанная задача термоуиругости для трехмерной пластины. В работах [10, 12] доказывается существование, единственность и регулярность решения задач для уравнений термических напряжений классической и обобщенной термомеханики в пространствах Соболева.
Что касается нелинейных связанных задач термоупругости, то здесь проблема корректности используемых моделей во многом открыта. Однако заметим, что методика исследования нелинейных краевых задач, изложения в трудах Воровича И.И. [58], Морозова Н.Ф. [184], Лионса Ж.-Л. [169], Темама Р. [250], Ладыженской O.A. [165, 176], Вильке В.Г. [46] и
23
др., безусловно может применяться и для указанного класса задач. Примером такого подхода к обоснованию корректности в связанных задачах термоупругости являются исследования, представленные в работах [2, 16, 119, 131]. В публикациях Дафермоса K.M. [8, 90] исследуются начально-краевые задачи для одномерных нелинейных уравнений термовязкоупругости — доказано существование "в целом" гладкого решения для системы уравнений баланса массы, количества движения и энергии.
Большое прикладное значение, особенно при оптимальном проектировании деформируемых конструкций, имеют задачи дифракции (трансмиссии) и декомпозиции для оболочек и пластин. Традиционно, под задачей дифракции (трансмиссии) в математической физике понимают краевые задачи в областях, состоящих из двух или более разнородных сред [165, 167, 170, 200], при этом, на границе раздела этих сред должны выполняться определенные условия сопряжения — как правило, эти условия гарантируют отсутствие разрывов среды и равновесие сил, действующих на границе раздела. С формальной точки зрения задачи дифракции сводятся к краевым задачам для систем дифференциальных уравнений, имеющим разрывные коэффициенты — проблемы корректности и сходимости численных методов для таких задач рассмотрены в монографиях [165, 167, 170, 200, 248, 256]. Очевидно, к классу задач дифракции относятся краевые задачи, определяющие континуальные математические модели неоднородных (в частности, многослойных) оболочек. Однако дискретные модели многослойных оболочек, в общем, не сводятся к задачам дифракции, так как в последних предполагается структурная (по типу и размерности) идентичность дифференциальных уравнений для различных сопряженных подобластей — это условие и может нарушаться для дискретных моделей. Подобные
24
модели, с нарушением условия "идентичности”, возникают при декомпозиции деформируемых конструкций на подсистемы в рамках "контактной задачи" теории упругости [77, 104, 153, 154, 189, 202, 260] и определяются на базе системного анализа исследуемой конструкции [199]. Особенно продуктивно метод декомпозиции используется при анализе конструкций с помощью метода конечных элементов [70, 199] — в этом случае он называется методом суперэлементов. Заметим, что непосредственно примыкают к задачам декомпозиции задачи, определяющие математические модели ребристых оболочек [21] и многослойных оболочек (модели Григолюка Э.И., Чулкова П.П., Куликова Г.М. [79, 82], Болотина В.В., Новичкова Ю.Н. [33]) на базе
комбинированных гипотез — однако эти задачи вырождаются в обычные задачи дифракции из-за принятия различных вариантов гипотезы "о ломаной линии".
В общем, предпосылкой использования метода декомпозиции является необходимость описания эволюции подобластей деформируемой конструкции на базе различных гипотез, учитывающих влияние геометрии, материала конструкции и локального воздействия различных физических полей [25]. Остановимся на некоторых публикациях в этом направлении. В работе [15] развита глобально-локальная конечноэлементная модель слоистой композитной пластины, при этом, аппроксимация поля перемещений производится на двух уровнях: на элементном (метод декомпозиции) и на уровне сетки. Приводятся примеры расчета слоистых пластин, содержащих подобласти, в которых существенным является трехмерное поле напряжений. В работе Колпакова А.Г. [144] отмечается существенное влияние микроструктуры термоупругой балки на ее макроскопические свойства, что приводит к необходимости дополнительного асимптотического анализа задачи
25
термоупругости в областях малого диаметра. В работе Григоренко Я.М., Василенко Л.Т. [83] рассмотрен класс задач для теории многослойных оболочек с учетом пространственных эффектов и указывается, что модели, в которых для всего пакета слоев используется единая система гипотез, с допущением идеального контакта слоев (такие модели определяют задачу дифракции), не учитывают ослабленный контакт слоев, приводящий к ухудшению их адгезионной связи. В работе Алдошиной И.А., Назарова С.А. [17] изучается явление пограничного слоя, возникающее при соединении пластин встык. Отмечается, что обычно условия сопряжения (трансмиссии) заключаются в непрерывности поперечного и продольного смещений, перерезывающей и продольной сил, а также поворота и изгибающего момента, однако, при учете новых малых параметров (в дополнение к относительной толщине пластины) могут возникать нестандартные условия сопряжения — такие условия имеют место при соединении пластин разной толщины встык и при наличии "дефектов" в пластине типа сварного шва, ребра жесткости, несквозной трещины и т.д. Приводятся результаты численного эксперимента по анализу составной конструкции громкоговорителя (допускающей декомпозицию на "толстую мягкую" и "тонкую жесткую" оболочки), подтверждающие проделанный асимптотический анализ условий сопряжения. 13 работе Емельянова Н.Г. [99] предложена схема декомпозиции деформируемой конструкции, типа многослойной оболочки вращения с учетом одностороннего характера контактного взаимодействия ортотропных слоев — для каждого слоя предлагается использовать "свои" гипотезы. Поверхности разделов слоев моделируются адгезионными прослойками с различными коэффициентами постели, с различными толщинами и характером работы на отрыв. С помощью принятой схемы декомпозиции конструкции, определяется неизвестная
26
область контакта между слоями, распределение контактного давления и НДС каждого слоя. В работе Сайтова И.Х. [231], на базе дискретноструктурной теории (метод декомпозиции), определяется математическая модель многослойной оболочки со слоями сложной геометрии — каждый слой рассматривается как изолированная оболочка сложной геометрии с соответствующей ей системой гипотез и условий сопряжения. В работе Постнова В.Л., Таранухи H.A. [225] определяется схема декомпозиции (метод модуль-элементов) оболочечных конструкций, заключающаяся в расчленении конструкции набором поперечных сечений. На базе предложенной схемы выполнен ряд практических расчетов прочности, устойчивости и НДС корпусов танкера, лихтеровоза, судов с большим раскрытием палубных люков. В последних работах Паймушина В.H., Галимова М.К., Иванова В.А., Луканкина С.А., Булашова Д.А. [69, 203, 204], Сайтова И.Х., Рахманкулова Н.У., Блинова Д.Н. [232], Якуиова Н.М., Хисамова Р.З. [270], описаны различные задачи дифракции и декомпозиции для деформируемых конструкций.
Отметим, что указанные задачи (для составных конструкций, ребристых и многослойных оболочек и т.д.), обычно не рассматриваются в рамках единого класса задач, однако, вариационные уравнения, определяющие эволюцию и равновесие деформируемых конструкций, дают почти очевидную методическую основу для их объединения в один класс — это "объединение" позволяет сформировать концепцию общего дедуктивного подхода к решению такого класса задач и выявить новые качественные свойства их решений, в первую очередь, по отношению к явлениям устойчивости и неустойчивости тонкостенных деформируемых конструкций.
В завершение обзора заметим, что проблема обоснования корректности схем декомпозиции относится к классу нерешенных проблем [260] — особенно это касается методов решения динамических задач для
27
деформируемых конструкций, подвергающихся воздействию различных физических полей.
Проведенный информационный анализ показал актуальность и необходимость исследования следующих проблем:
1) обоснование возможности построения непротиворечивых, по отношению ко всем постулатам термодинамики, неклассических моделей неоднородных оболочек, взаимодействующих с различными физическими полями;
2) обоснование корректности неклассических (уточненных) моделей термоупругих оболочек, включая исследование нелинейных связанных задач гермоу пру гости;
3) определение, на базе вариационных уравнений термодинамики сплошных сред, различных схем декомпозиции деформируемых конструкций, подвергающихся локальному воздействию физических полей; обоснование корректности используемых схем;
4) качественное и количественное сопоставление различных математических моделей неоднородных оболочек и пластин.
Цель работы. Построение неклассических математических моделей конструктивно неоднородных термоупругих пологих оболочек с дополнительным требованием инвариантности всех основных уравнений термодинамики, для конечных трехмерных объемов сплошной среды, относительно используемых приближенных уравнений состояния при независимой аппроксимации определяющих функций; исследование корректности построенных моделей, эволюционных уравнений для оболочек Рейсснера и для трехслойных оболочек Григолюка-Чулкова; обоснование сходимости численных методов и проведение на их основе численных экспериментов по исследованию устойчивости оболочек в рамках различных моделей.
Научная новизна. В работе развивается новое научное направление, связанное с разработкой теории и методов решения неклассических задач термоупругости для конструктивно неоднородных пологих оболочек и пластин.
Впервые доказана разрешимость геометрически нелинейных связанных задач термоупругости для пологих оболочек, в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, с учетом трехмерного уравнения теплопроводности параболического типа.
Впервые доказана разрешимость геометрически нелинейных связанных задач тер моу пру гости "в перемещениях" для трехслойных оболочек, в рамках гипотез Григолюка-Чулкова.
Предложены универсальные "проекционные" условия движения и равновесия деформируемых твердых тел, взаимодействующих с температурным полем. Основой "проекционных" условий являются фундаментальные постулаты термодинамики и вариационные уравнения для конечных объемов сплошной среды. Указанные условия позволяют отказаться, на этапе построения математических моделей оболочек, от использования "смешанных" вариационных уравнений при независимой аппроксимации определяющих функций.
Построены, на базе "проекционных" условий, непротиворечивые с точки зрения фундаментальных постулатов термодинамики геометрически нелинейные варианты уточненных моделей многослойных ортотропных термоупругих оболочек. При этом, эволюцию оболочек определяют неклассические системы дифференциальных уравнений различного типа и размерности.
Впервые, с помощью построенных моделей многослойных оболочек, выявлена неоднозначность в определении НДС таких оболочек — установлено, что статические условия идеального контакта слоев не
29
относятся к классу необходимых условий в континуальной теории многослойных оболочек.
Впервые исследованы вопросы существования и единственности решения для связанных и несвязанных геометрически нелинейных задач термоупругости в уточненной теории пологих оболочек и пластин Рейсснера. К изученному классу задач относятся краевые задачи, определяющие модели многослойных оболочек в рамках обобщенных гипотез Тимошенко, Пелеха-Шереметьева, Амбарцумяна, Григолюка-Куликова.
Впервые исследована частичная диссипативность эволюционных уравнений в связанных задачах термоупругости для пластин — рассмотрены классические и уточненные модели пластин. Проведенные исследования обобщают известные результаты Н.Ф.Морозова.
Определен новый класс задач в теории оболочек — обобщенные задачи дифракции — характерной особенностью которых является учет локальной, по "объему" оболочки, аппроксимации определяющих функций и локального взаимодействия с температурным полем.
Впервые доказана разрешимость связанных и несвязанных обобщенных задач дифракции для термоупругих пологих оболочек переменной толщины; тем самым, доказана корректность предложенного способа декомпозиции оболочек.
Впервые исследована сходимость метода Бубнова-Галеркина при решении линейных связанных задач термоупругости для пластин, в рамках гипотез КирхгофаЛява и Рейсснера, с учетом конечной скорости распространения тепла.
Достоверность результатов, с одной стороны, обеспечивается их полным соответствием всем основным уравнениям термодинамики для конечных объемов сплошной среды, а с другой - гарантируется
30