Устойчивость процесса деформирования системы объект с высокорасположенным центром тяжести-упругопластическое основание

2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение........................................................... ;........................................................ 5
1. ОБЗОР ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ И ЕЕ СВЯЗИ С ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НАВЕДЕННОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ........................................... ............................ 15
1.1. Концепция поиска бифуркационной критической нагрузки упругопластических систем с • наведенной неоднородностью................................... :.................. 15
1.2. Особая точка процесса деформирования упруго-пластических систем
с наведенной неоднородностью; ............................... 19
1.3. Критическая траектория минимального значения параметра внешнего воздействия ......;.............. ;................. ■ 23
1.4. Обзор задач бифуркационной устойчивости с учетом неоднородности свойств деформируемой среды .......................... 26
1.4.1. Задачи устойчивости с учетом неоднородности свойств деформи-руемой среды.....................:............................ 26
1.4.2. Понятие упругого, эквивалента в задачах устойчивости с учетом наведенной неоднородности ............................. ;.......... 36
2. ИНКРЕМЕНТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ СИСТЕМЫ «СООРУЖЕНИЕ -СЛОЙ ОСНОВАНИЯ» С УЧЕТОМ НАВЕДЕННОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ СЛОЯ ОСНОВАНИЯ..................................... 40
2.1. Основы инкрементальной теории наведенной неоднородности оснований......................................................... 40
2.2 Инкрементальные физические соотношения для плоской задачи
в условиях нагружения основания................................ 43
2.3. Инкрементальные физические соотношения для плоской задачи в условиях развития наведенной неоднородности основания............... 47
3
2.4. Инкрементальная модель на базе уравнений равновесия Навье 50
2.5. Инкрементальная модель на базе вариационного метода
В.З.Власова ........................................................................................................... 52.
3. БИФУРКАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ «ОБЬЕКТ С ВЫСОКОРАСПОЛОЖЕННЫМ ЦЕНТРОМ ТЯЖЕСТИ - УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ОСНОВАНИЕ»
С УЧЕТОМ НАВЕДЕННОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ СЛОЯ ОСНОВАНИЯ:..................................................... 55
3.1. Постановка задачи и сравнительный анализ деформативности и устойчивости на примере простейшей системы «высокий объект - основание»................................................. 55
3.2. Уравнения бифуркационной устойчивости системы «объект с высокорасположенным центром тяжести — упругопластическое основание»........................................................ .67
3.2.1. Бифуркационная устойчивость на базе уравнений равновесия . Навье............................................................. 67
3.2.2. Бифуркационная устойчивость на базе модели вариационного метода В.З Власова /....: 72 •
• . . * I
3.3. Численная реализация поиска особой точки процесса деформирования системы «объект с высокорасположенным, центром тяжести - упругопластическое основание» ....................... 75
3.3.1. Бифуркационная устойчивость упругой системы................ 75
3.3.2. Бифуркационная устойчивость неупругой системы и системы с наведенной неоднородностью слоя основания......................... 87
3.4. Задачи бифуркационной устойчивости на неоднородном нелинейно
деформируемом основании ....................................... 100
3.4.1. Расчет докритического напряженно-деформированного состояния системы «объект с высокорасположенным центром тяжести - упругопластическое основание»............................................ 102
4
3.4.2.. Расчет критической нагрузки системы в процессе нагружения............................................................ 107
3.4.3. Расчет критической нагрузки системы в условиях развития наведенной неоднородности основания................................ 112
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ.................... 118
ЛИТЕРАТУРА..................................................... 119
ПРИЛОЖЕНИЕ
5
ВВЕДЕНИЕ
Основы теории упругой устойчивости в механике заложены в XVIII-IXX веках Л.Эйлером, Ж.Лагранжем, Дж. Брайаном, Ф.С.Ясинским и относились к бифуркационной постановке. Важным результатом такого подхода является переход от решения нелинейных дифференциальных уравнений равновесия (либо движения) к изучению некоторых свойств этих уравнений, позволяющих судить об устойчивости и неустойчивости системы.
Теория устойчивости при пластических деформациях берет свое начало в трудах Ф. Энгессера, Т. Кармана, которые распространили подход Эйлера на упругопластические системы. Указание на необходимость рассмотрения процессов деформирования при решении задач неупругой устойчивости появляется в работах Ф.Шенли и Т. Кармана в середине XX века. Наиболее существенные результаты в развитии теории устойчивости упругопластических систем были получены Р. Хиллом, Е. Стоуэллом, В.Д. Юношниковым, A.A. Ильюшиным, Э.И. Григолюком, В.Г. Зубчаниновым и рядом других ученых.
Важным шагом в осмыслении этого подхода к исследованию устойчивости было привлечение теории бифуркаций А. Пуанкаре. В каждой точке бифуркации процесса деформирования нарушается единственность этого процесса (ветвление). Бифуркация еще не означает потери устойчивости, дальнейшее деформирование может идти по различным ветвям (как устойчивым, так и неустойчивым). Для устойчивых ветвей деформирование теоретически продолжается до точки бифуркации Пуанкаре. Точкой бифуркации Пуанкаре является точка процесса, для которой бесконечно малое возмущение вызывает катастрофический рост перемещений.
Однако первая в истории процесса точка бифуркации (а не точка бифуркации Пуанкаре) заканчивает период единственности процесса деформирования и в этом се значение в изучении устойчивости. Эта точка бифуркации может быть определена при рассмотрении идеальной модели. В реальных объектах всегда присутствуют несовершенства, а значит уже за первой точкой би-
фуркации для реального объекта нельзя гарантировать, по какой именно ветви реализуется его послебифуркационное поведение. Это является основанием для формирования концепции неупругой устойчивости, заложенной Ф.Шенли и развитой В.Д. Юношниковым - концепции продолжающегося нагружения. Математически эта концепция сводится к исследованию обобщенной задачи о собственных значениях дифференциальных операторов.
Впоследствии теория бифуркаций, была обобщена Рене Тома как «теория катастроф» и нашла приложение не только в механике и классической физике, но и оптике, химии, биологии, психологии и социологии.
Одной из первых работ, положивших начало исследованиям бифуркаций исходного процесса деформирования упругопластической идеальной системы, склонной к явлению потери устойчивости стала работа Шенли [100]. Затем в работах В.Д.Клюшникова [55] был развит подход Шенли с концептуальной точки зрения. Им введено понятие «упругого эквивалента», позволяющего формализовать бифуркационный критерий устойчивости при пошаговом процессе нагружения в упругопластической области деформирования. Физические . соотношения записываются при этом в скоростях или в приращениях.
В дальнейшем в работах В.К. Иноземцева, Н.Ф.Синевой такой подход к исследованию устойчивости был развит и применен для нового класса задач, а именно для упругопластических сред с наведенной неоднородностью. Сплошная среда в этих задачах представляет собой упругопластический материал, физико-механические свойства которого изменяются в процессе деформирования под влиянием внешних факторов. Для моделирования изменяющихся свойств нагруженной среды в работах В.В.Петрова, В.К.Иноземцева, Н.Ф.Синевой была построена теория наведенной неоднородности, представляющая процесс деформирования как взаимосвязанный процесс изменения физико-механических характеристик и напряженно-деформированного состояния упругопластического материала конструкции. Теория нелинейных процессов деформирования сплошных сред с пластическими свойствами должна предполагать учет исто-
рии деформирования. В условиях развития наведенной неоднородности деформируемой среды при описании деформирования с позиций теории процессов необходим не только учет истории деформирования, но и учет истории развития наведенной неоднородности (деградации свойств), эти процессы взаимосвязаны. Учет истории деформирования и деградации возможен при построении инкрементальной модели. В этом случае уравнения модели записываются относительно приращений. В дальнейших исследованиях В.К. Иноземцева рассмотрена проблема устойчивости сооружения с высокорасположенным центром тяжести на деформируемой фундаментной плите, взаимодействующей с упругопластическим слоем основания в условиях развития наведенной неоднородности среды основания [31, 32], где был применен бифуркационный подход. При этом основой для построения математической модели физически нелинейного основания с наведенной неоднородностью явилась модель В.З. Власова-
Н.Н. Леонтьева [37-42]. В ее основе лежит принцип возможных перемещений Лагранжа. Проблемным для такой модели слоя основания является вопрос о выборе аппроксимирующих функций по толщине слоя основания. В [11] H.H. Леонтьев отмечал, что аппроксимирующие функции этого метода «должны выбираться в соответствии с конкретным содержанием задачи и с нашими представлениями о возможном характере распределения перемещений по высоте основания». Так, например, для слоя основания небольшой мощности H.H. Леонтьевым предлагается аппроксимировать вертикальные перемещения но толщине слоя по линейному закону. Если горизонтальными перемещениями пренебречь нельзя, то для достаточно тонкого слоя, закрепленного от горизонтальных перемещений по подошве, также рекомендуется принимать линейную аппроксимацию горизонтальных перемещений. H.H. Леонтьевым делается вывод о том, что, выбирая различные аппроксимирующие функции, можно получить различные приближенные модели упругой среды основания. Естественно, что для неупругих задач, тем более для задач бифуркационной устойчивости с учетом наведенной неоднородности основания априорное представление о ха-
8
рактерс распределения перемещений по толщине слоя будет «весьма схематически характеризовать работу» основания [11]. Для этих задач желательно построить модель, свободную от необходимости задавать возможный характер распределения перемещений по объему среды основания. Примером такой модели может служить модель, объединяющая уравнения равновесия Навье и уравнения равновесия конструкции, рассмотренная А.С.Зиновьевым [21]. Для решения задач бифуркационной устойчивости тела с высокорасположенным центром тяжести, взаимодействующим с упругим основанием, эта модель применялась в [21].
В данной диссертации предлагается распространить эту модель, записанную в форме соотношений теории наведенной неоднородности, на задачи бифуркационной устойчивости систем «объект с высокорасположенным центром тяжести - упругопластическое основание». Рассматривая проблему устойчивости с позиций теории бифуркаций процессов, покажем, что этот подход применим к оценке устойчивости сооружения с высокорасположенным центром тяжести на деформируемой фундаментной плите, взаимодействующей с неупругой средой основания, которая описывается уравнениями равновесия Навье. В данном случае строится математическая модель системы, объединяющая абсолютно жесткое тело, расположенное на деформируемой плите, взаимодействующей со средой основания в условиях развития наведенной неоднородности сплошной среды основания. Неоднородность деформационных свойств среды основания возникает вследствие различного рода природных и техногенных воздействий на нагруженное основание. Наиболее распространенный вид такого воздействия - изменение уровня влажности по причинам природного и техногенного характера [31]. К техногенным воздействиям относится локальное термическое воздействие, имеющее место, например, для оснований фундаментных плит стекловаренных печей [43-45]. На деформационные свойства оснований фундаментов промышленных химических, нефтеперерабатывающих предприятий, могут оказывать воздействие различные технические (в
том числе агрессивные) жидкости. Воздействия такого рода наводят неоднородность деформационных свойств, как по объему основания, так и с течением времени.
Поэтому исследования данной работы актуальны не только с теоретической, но и с практической точки зрения.
Отметим некоторые существенные особенности принятой постановки проблемы исследования, которые характеризуют сложность научной задачи.
Исследования этого класса задач устойчивости требуют построения математической модели системы, в которой наряду с вертикальными перемещениями учитываются и горизонтальные перемещения точек деформируемой среды основания. При этом гипотезы, априорно задающие возможный характер распределения перемещений по объему основания должны не вводиться.
Также необходимо, чтобы физико-механические свойства основания определялись с учетом физической нелинейности и наведенной неоднородности. Численный анализ математической модели с двумя видами нелинейности должен производиться с учетом истории нагружения и истории изменения физикомеханических свойств деформируемой среды основания.
При формулировке критерия бифуркационной устойчивости необходимо учесть, что нелинейная система «объект с высокорасположенным центром тяжести - упругопластическое основание» может потерять устойчивость как в процессе нагружения, так и в процессе развития наведенной неоднородности деформируемой среды основания.
Именно таким исследованиям посвящена настоящая диссертация.
В первой главе обсуждается принятая концепция устойчивости упруго-пластических систем с наведенной неоднородностью. Констатируется, что бифуркационная «критическая нагрузка» («критическая траектория») системы «сооружение - слой основания» может быть найдена как первая в истории особая точка процесса деформирования упруго-пластической среды с наведенной неоднородностью. При этом в условиях развития наведенной неоднородности
10
нагруженной системы в качестве критерия устойчивости выступает не критическое значение параметра нагрузки, а критическая траектория изменения параметра внешнего воздействия. Приводится обзор задач бифуркационной устойчивости с учетом развивающейся неоднородности свойств деформируемой среды конструктивных элементов, решенных ранее. В этой главе показаны уравнения состояния эволюционного типа и линеаризованные уравнения краевой за-
• »
дачи для системы «сооружение - основание», изложена методика расчета вертикальных перемещений среды основания на базе модели Власова-Леонтьева.
Во второй главе изложены основы инкрементальной модели наведенной неоднородности среды основания для системы «объект с высокорасположенным центром тяжести — упругопластическое основание». Модель излагается для физических соотношений плоской задачи в условиях нагружения и в условиях развития наведенной неоднородности физико-механических свойств среды основания. Приведены два варианта инкрементальной модели деформирования среды основания: в первом в качестве условий равновесия принята модификация вариационного метода В.З.Власова, распространенная для неупругих неоднородных сред [Ю], во втором - уравнения равновесия Навье.
Третья глава посвящена задачам бифуркационной устойчивости процесса деформирования системы «объект с высокорасположенным центром тяжести -упругопластическое основание» с учетом развития наведенной неоднородности деформационных свойств среды основания. Выполнено компьютерное моделирование поиска особой точки процесса деформирования системы, решен ряд модельных задач бифуркационной устойчивости. В частности, осуществлен расчет бифуркационной критической нагрузки в процессе шагового нагружения и расчет бифуркационной устойчивости системы в условиях развития наведенной неоднородности основания.
Таким образом, достигнута цель работы: разработка методики исследования бифуркационной устойчивости процесса деформирования системы «объект