Исследование взаимодействия пьезокерамических элементов с упругими волноводами

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................
1 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГИХ ВОЛНОВОДОВ С ПОВЕРХНОСТНЫМИ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ.....................................
1.1 Уравнения и краевые задачи динамической теории упругости для сред с плоскопараллсльными границами
1.2 Уравнения и краевые задачи динамической теории »лек-троуиругости.......................................
1.3 Постановка краевых задач для упругих волноводов с поверхностными полосковыми иьезоэлементами...........
1.3.1 Постановка задач на основе уравнений теории упругости ..........................................
1.3.2 Постановка задач на основе технических моделей волноводов......................................
2 ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫМИ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ В
УПРУГИХ ВОЛНОВОДАХ.................................
2.1 Матрица Грина упругого волновода...............
2.2 Сведение краевых задач для упругих волноводов с поверхностными полосковыми иьезокерамическимн элементами к системам интегро-дифференциальных уравнений .............................................
2.3 Сведение краевой задачи для системы шпчтро-дифферсициальных уравнений к системе уравнений Винера-Хопфа.......................................
2.4 Представления волновых полей, возбуждаемых полосковыми источниками ................................
2.4.1 Представление волнового ноля в упругом слое в виде суперпозиции нормальных мод....................... 41
2.4.2 Асимптотические представлении объёмных и реле-свских волн в упругом полупространстве............... 43
2.5 Энергии упругих волн, возбуждаемых полосковыми источниками .............................................. 44
2.5.1 Энергия нормальных мод......................... 45
2.5.2 Энергия объёмных и релеевских воли............. 40
к 3 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ИНТЕГРО-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.............................. 4У
3.1 Схема Галсркнна..................................... 49
3.2 Метод бесконечных систем............................ 52
3.2.1 Сведение задачи к бесконеноП системе линейных алгебраических уравнений............................... 52
# 3.2.2 Сведение бескопеиой системы линейных алгебраи-
ческих уравнений к асимптотически эквивалентной конечной........................................ 50
3.3 Оценка эффективности предложенных методов 57
3.3.1 Схема Галёркина................................ 58
3.3.2 Метод бесконечных систем....................... 00
3.4 Сравнение численных результатов с результатами других исследований........................................ 03
3.4.1 Упруги!*! слой................................. 03
^ 3.4.2 Упругое полупространство........................ 05
' 4 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛОСКОВЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИ-
ЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ С УПРУГИМИ ВОЛНОВОДАМИ 07
4.1 Дисперсионные свойства упругого слоя и упругого слои
с пьезокерамической пленкой ........................ 07
3
#
4.2 Резонансные свойства упругого слоя с поверхностным полосковым ньезоэлементом и характер распределения поступающей в слой энергии по модам......................... 71
4.3 Дисперсионные свойства упругого полупруострапства и упругого полупространства с иьезокерамической плёнкой. Резонансные свойства упругого полупространства е поверхностным полосковым иьозоэлементом и их связь с резонансными свойствами аналогичной системы для
упругого слоя........................................ 81
5 ФОРМИРОВАНИЕ НАПРАВЛЕННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ВЫБРАННЫХ ВОЛН В УПРУГОЙ СРЕДЕ СИСТЕМОЙ ПОЛОСКОВЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ ....................................................... 87 ;■
5.1 Методы формирования направленного излучения выбранных нормальных мод упругого слоя..................... 87 у
5.1.1 Максимизация амплитуд излучения заданного набора нормальных мод................................... 87
5.1.2 Максимизация контрастности излучения ........... 88
5.1.3 Условия полного гашения........................ ДО)
5.1.4 Группа источников с одинаковым распределением базисных нагрузок..................................... 91
5.2 Направленное излучение нормальных мод (рунной поверхностных пьезокерамических накладок................... 93
5.2.1 Построение базисной системы нагрузок............ 93
5.2.2 Создание направленного излучения группой поверхностных пьезокерамических источников .... 94
5.2.3 Приближённые формулы для создания направленного излучения........................................101
•1
#
5.2.4 Влияние расположения и размеров пьсзоисточннков
па эффективность направленного излучения .... 100
5.3 Формирование направленного излучения объёмных
волн в упругом полупространстве....................112
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................114
#
#
5
В настоящее время вес более широкое применение получают электромеханические системы с пьезокерамическими возбудителями упругих воли, выполненными в виде гибких поверхностных накладок или внутренних прослоек волноводных структур. Примером здесь могут служить оболочечные конструкции аэрокосмических изделий, снабженные системой сенсоров, системы активного виброгашения в салоне автомобиля или в помещении, системы прецизионного позиционирования, работающие па упругих поверхностных волнах и др. К преимуществам использования пьезокерамических пластинок относятся их лёгкость, гибкость и относительная дешевизна, поэтому конструкции, снабженные системой распределенных иьезоксрамических датчиков или вибровозбудителей, относят к смарт-структурам [82|.
Множество приложений такие системы находят в задачах дефектоскопии слоистых волноводов, где требуется формировать направление излучение одной выбранной нормольной моды в заданном частотном диапазоне |8, 9, 00, 63, 90]. Они могут быть легко смонтированы па уже существующие волноводные элементы конструкции, и в силу своей лёгкости и гибкости слабо меняют её механические свойства. Волны в волноводе возбуждаются при этом касательными контактными напряжениями, возникающими на поверхностях пьезоэлемситов при их продольной деформации иод воздействием поперечного электрического поля. Управление излучением осуществляется изменением управляющих полей (путём изменения напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлемситов).
При разработке емарт-матсриалов и проектировании соответствующих электромеханических систем большое значение имеет создание математических моделей, адекватно описывающих протекающие в них волновые процессы. Так как поверхностные пьезокерамичоские элементы
часто используются для наблюдения за состоянием тонкостенных элементов конструкции, в первую очередь были изучены низкочастотные изгпбные и продольные колебания, возбуждаемые ими в балках, пластинах и оболочках [54], [56] - [59], [61], [83], |85|, [88], [89] (см. также обзоры в [54, 62, 79]). В этих моделях действие пьезоэлементов моделируется парами сосредоточенных сил, приложенных к концам областей их контакта с упругим телом (pin-force model). Величины сил вычисляются исходя из геометрических и физических свойств волновода и пьезоэломентов.
è
В некоторых моделях учитывается также влияние частоты колебаний и инерционные эффекты в накладках [62], [71] - |73], |92|.
Этот подход позволяет работать с первыми двумя фундаментальными модами (изгибиой и продольной) упругого волновода и даст достаточно простое и физически наглядное описание происходящих в нём волновых процессов. Тем не мспсс, область применимости таких моделей ограпнче-» на низкочастотным диапазоном, где характерные длины воли значитель-
но больше толщины волновода. Имеются две основные причины для такого ограничения. Во-первых, сами технические модели балок, пластин и оболочек работают только в низкочастотном диапазоне и по позволяют учесть всего набора воли, возникающих в волноводе. Отчасти этот недостаток можно преодолеть, используя для волновода полную систему уравнений теории упругости [64|, |79] - [81]. Во-вторых, инженерные расчеты проводятся, как правило, путем простой суперпозиции полей, возбуждаемых каждым элементом в отдельности, без учета их взаимпо-* го влияния и распределения контактных напряжений (сосредоточенные
источники), что даст удовлетворительные результаты только на низких частотах, а во многих практически важных случаях приводит к значительным искажениям характеристик.
Для преодоления этих ограничений требуется использовать более
#
7
сложные модели как для волновода (упругий слой, полупространство, пакет слоев и так далее), так и самих пьезоэлсментов п строго учитывать их взаимодействие. Последнее можно достичь путём использования метода конечных элементов (МКЭ). Это, однако, сопряжено с существенными вычислительными затратами, и, что более важно, существенно затрудняет получение физически ясной и наглядной картины волновых явлений, происходящих в системе (например, распределения энергии, поступающей в волновод от источников, по распространяющимся в нём нормальным модам). Кроме того, классическая схема метода конечных элементов неприменима в случае неограниченных упругих тел, так как предполагает дискретизацию по всей пространственной области, занимаемой волноводом. Это ограничение преодолевается введением специальных поглощающих границ, бесконечных элементов (например, полосовых элементов, преложенных в (74] -176|) или использованием гибридных схем, сочетающих в себе конечиоэлементную дискретизацию в ограниченной области волновода с разложениями но нормальным модам (77,78|.
В то же время имеется возможность получить с одной стороны физически наглядное описание волновых полей (как в упрощённых инженерных моделях), с другой - такую же строгую количественную информацию как при использовании МКЭ. Такую возможность даёт интегральный подход, основанный на использовании интегральных представлений волновых нолей, возбуждаемых в упругом волноводе поверхностными нагрузками. Использование этих представлений совместно с условиями контакта упругого тела и пьсзоэлемситов и учёт специфики задачи (малая толщина пьсзоэлемситов в сравнении с характерными длинами волн, распространяющихся в системе) позволяет свести её к краевой задаче для системы интегро-диффсрсициальных уравнений относительно
8
неизвестных контактных напряжений под пьезоэлементами и продольных смещении их точек. После нахождения неизвестных контактных напряжений волновые ноля, возбуждаемые в системе, рассчитываются при помощи интегральных представлений. Структура подынтегральных выражений в последних такова, что позволяет эффективно построить решение в виде суперпозиции воли, распространяющихся в волноводе.
Свойства интегральных уравнений, возникающих при решении контактных задач теории упругости, к настоящему времени достаточно подробно исследованы [11] - [15]. Разработаны эффективные методы их решения и накоплен богатый опыт решения конкретных практических задач [39, 40).
Таким образом, подход, основанный на использовании интегральных представлений, даст удобный инструмент для качественного н быстрого количественного анализа электромеханических систем с тонкими пьезо-
# электрическими возбудителями (и сенсорами). Следует В 'ГО же время отметить, что практическая его реализация связана с использованием достаточно сложного математического аппарата, поэтому к настоящему времени имеется сравнительно небольшое число примеров его использования для решения задач контактного взаимодействия ньезоактуаторов с упругими структурами |7, 37, 55, 70, 84, 91, 87]. Во всех указанных работах в качестве модели волновода рассматривается упругое полупространство. Проблема создания моделей электромеханических систем, работающих с волноводами конечной толщины (слой, пакет слоев), осно-
* ванных па реализации интегрального подхода, до последнего времени оставалась открытой!.
Таким образом, возникает необходимость разработки новых математических моделей, с существенно более широким диапазоном применимости, чем у традиционных инженерных подходов. В частности, необходим
*
9
учет высших мод упругого волновода и строгое описание динамического контактного взаимодействия с ним гибких деформируемых накладок.
Разработка отвечающей указанным требованиям модели для системы полосковых пьезоактуаторов на упругом слое или полупространство и является главной целью настоящей работы. Вспомогательными, но представляющими самостоятельный интерес задачами являются:
1) формулировка и разработка эффективных методов решения возникающих при этом краевых задач динамической теории упругости;
2) реализация разработанных методов в виде пакетов программ для быстрого параметрического анализа характеристик моделируемых систем;
3) исследование применимости традиционных и разрабатываемых моделей;
4) исследование волновых (резонансных) эффектов, принципиально недоступных в рамках традиционных, упрощённых моделей;
5) построение эффективных алгоритмов выбора управляющих параметров группы иьезоэлсментов, реализующих требуемые режимы излучения.
Диссертационная работа проводилась в рамках выполнения проектов РФФИ 03-01-00520, 04-01-00801, 00-01-90007 и ШТАЭ 05-1000008-7979.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, общим объёмом 120 стр., включающим в себя 02 рисунка п 92 наименования литературных источников.
В первой главе диссертации приводятся используемые в дальнейшем вспомогательные сведения теории упругости и элоктроупругости, дастся постановка краевых задач для упругого слоя и полупространства