Численное решение квазистатических задач физической мезомеханики материалов и конструкций

2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.............................................. 7
ГЛАВА 1. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ СТРУКТУРНОНЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ И ОбОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК И НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ 30
1.1. Введение..................................30
1.2. Вариационно-разностная схема решения квазистатических задач..........................32
1.2.1. Вариационное уравнение Лагранжа для задач инкрементальной теории пластичности.............32
1.2.2. Вариационная постановка задачи устойчивости неконсервативных систем.........................37
1.2.3. Аппроксимирующие соотношения для пространственных производных в трехмерных и двумерных задачах...............................40
1.2.4. Система вариационно-разностных уравнений для расчета напряженно-деформированного состояния неоднородного материала.........................53
1.2.5. Система вариационно-разностных уравнений и алгоритм расчета критических нагрузок и форм потери устойчивости ортотропных оболочечных конструкций.....................................56
1.3. Численный метод решения динамической задачи 61
1.4. Расчет температурного поля на основе дифференциальной постановки задачи теплопроводности................................64
3
1.5. Вариационно-разностный метод решения задачи теплопроводности....................................69
1.6. Заключение.....................................73
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ.....................75
2.1. Введение.......................................75
2.2. Определяющие соотношения линейной вязкоупругости......................................79
2.3. Определяющие уравнения для пластического материала с упрочнением и накоплением повреждений.........................................82
2.4. Касательная линеаризация определяющих соотношений.........................................88
2.4.1. Касательная линеаризация определяющих соотношений термоупругопластической среды с упрочнением и накоплением повреждений...............89
2.4.2. Касательная линеаризация определяющих соотношений упруговязко/пластической среды для изотермических задач (последовательное соединение элементов)..........................................90
2.4.3. Касательная линеаризация определяющих соотношений упруговязко/вязкопластической среды для изотермических задач (параллельное соединение элементов)..........................................91
2.4.4. Линеаризованные определяющие соотношения для частного случая моментной среды.....................92
2.5. Заключение.....................................96
ГЛАВА 3. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ: СРАВНЕНИЕ С ИЗВЕСТНЫМИ РЕШЕНИЯМИ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ........................
97
3.1. Введение.
97
3.2. Расчет напряженно-деформированного состояния изотропных и ортотропных оболочек со сложной формой меридиана на основе соотношений теории
3.3. Результаты тестирования алгоритмов решения трехмерных задач упругой устойчивости гладких изотропных и слоистых композитных оболочек 112
3.3.1. Расчет критических нагрузок и формы потери устойчивости изотропных цилиндрических оболочек под равномерным внешним давлением..............112
3.3.2. Трехмерные расчеты критических нагрузок и форм потери устойчивости цилиндрических и конических оболочек при осевом сжатии...........................117
3.4. Результаты тестирования метода и алгоритма решения задач упругой устойчивости подкрепленных изотропных оболочек.............................122
3.5. Расчет цилиндрических оболочек с заполнителем в геометрически и физически нелинейной постановке задачи...............................................128
3.5.1. Расчет устойчивости оболочки с заполнителем с учетом геометрической нелинейности: осесимметричная задача...............................129
3.5.2. Расчет устойчивости и начального закритического поведения оболочки с заполнителем с учетом геометрической и физической нелинейности
упругости
100
(плоская задача).............................133
3.6. Заключение....................................140
ГЛАВА 4. ДВУМЕРНЫЕ И ТРЕХМЕРНЫЕ РАСЧЕТЫ
ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЕФОРМАЦИЙ В НЕОДНОРОДНЫХ НА МЕЗОУРОВНЕ МАТЕРИАЛАХ ПРИ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ........................................142
4.1. Введение......................................142
4.2. Модель линейно вязкоупругого материала........145
4.2.1. Модельные расчеты однородного материала 145
4.2.2. Локализация вязкоупругих деформаций в неоднородных на уровне мезоструктуры полимерных композиционных материалах..........................153
4.3. Сравнение результатов квазистатических и динамических расчетов в двумерной и трехмерной постановке задачи на основе идеально упругопластической модели среды....................162
4.4. Численное моделирование деформации материалов с учетом неустойчивой ветви "с-е" диаграммы..........170
4.4.1. Деформация скальной породы при двухосном сжатии.............................................170
4.4.2. Накопление повреждений в условиях знакопеременного циклического нагружения...........175
4.5. Модельные расчеты упругопластической деформации мезообъема с ограниченным числом систем скольжения.........................................180
4.6. Заключение.............................187
ГЛАВА 5. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОСТАТОЧНЫХ
ТЕРМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В
6
МЕТАЛЛОКЕРАМИКЕ С УПРОЧНЯЮЩИМИ ЧАСТИЦАМИ........................................190
5.1. Введение......................................190
5.2. Результаты тестовых расчетов поля температуры...193
5.2.1. Проверка алгоритма расчета поля температуры по
явной схеме решения задачи теплопроводности....193
5.2.2. Тестовые расчеты температурного поля
вариационно-разностным методом...............194
5.2.2.1. Одномерная задача о распространении температурной волны...............................196
5.2.2.2. Двумерная задача о распространении температурной волны в анизотропном материале.........................................199
5.2.2.3. Выбор шага по времени при расчете температуры вариационно-разностным методом....................201
5.3. Структура, механические свойства и диаграммы нагружения компонентов металлокерамики с упрочняющими частицами ТІС и сплавами ХН77ТЮР и ХН65МВ в качестве связки................203
5.4. Локализация деформаций и повреждений в металлокерамике с разными материалами связки при охлаждении в воде.................................215
5.5. Влияние градиента температуры при охлаждении на остаточные напряжения и особая роль поверхности материала.........................................228
5.6. Заключение...................................234
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................237
ЛИТЕРАТУРА...............................................239
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
265
ВВЕДЕНИЕ
Эта работа выполнена в рамках направления «Физическая мезомеханика материалов», которое развивается в последние десятилетия под руководством В.Е. Панина [1-8] в ИФПМ СО РАН и признано актуальным и перспективным в работах российских и зарубежных ученых С.В. Гольдина [9], Ю.Г. Яновского, И.Ф. Образцова [10], Ю.И. Мещерякова [11], Дж. Си [12], К. Чамиса, С.К. Митала [13], Г.П. Остермайера [14], С. Йошиды [15], 3. Шмаудера, Е. Соппы, Г. Фишера, И.-Л. Лю [16-17] и др.
Первый принципиальный шаг, подготовивший автора к принятию основных идей этого направления, был сделан при реализации пространственного (трехмерного) подхода теории упругости и устойчивости к решению задач проектирования оболочечных конструкций из анизотропных композиционных материалов. Интересом к этим задачам автор обязан В.А. Колдунову
и А.Н. Кудинову [18]. В работах И.Ф. Образцова [19], С.А.
\
Амбарцумяна [20], Д. Бушнелла [21], А.М. Гузя, И.Ю. Бабича [22], И.А. Биргера, Я.Г. Пановко [23], и многих других показано, в частности, что вследствие анизотропии физико-механических свойств слоистых композитов для моделирования поведения даже тонкостенных конструкций из таких материалов не всегда пригодно простое перенесение геометрических гипотез классической теории изотропных однородных оболочек: требуется учет эффектов межслоевого сдвига и неоднородности материала по толщине конструкций. Отсюда вытекает актуальность и необходимость расчета даже относительно тонких композитных оболочек с пространственных позиций теории упругости. Ряд исследований в этом направлении выполнен в работах Ильгамова М.А., Иванова
В.A., Гулина Б. В. [24], H.A. Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г. Попова [25], В.В. Кабанова, П.П. Железнова [26], И.Н. Молчанова, B.C. Дейнеки, Л.Д. Николенко [27,28], А.Н. Гузя, И.Ю. Бабича, И.Н. Гаращука [22,29] и других. Данная работа отличается тем, что последовательно реализуется единая вариационно-разностная схема решения трехмерных квазистатических задач прочности и устойчивости композитных конструкций. Трехмерный подход и вариационная постановка задачи позволяют естественным образом реализовать расчет слоистых оболочек и оболочек с заполнителем с учетом зависимости свойств от координат.
Когда этот первый шаг был сделан, стало окончательно ясно, что и его недостаточно в случае моделирования поведения конструкций из композитов. Известно (см., например, работы И.А. Биргера, Я.Г. Пановко [30], A.C. Вольмира [31], В. В. Кабанова [32], A.B. Кармишина, В.А. Лясковца, В.И. Мяченкова, А.Н. Фролова [33], P.C. Теннисона [34]), сколь велико для однородных изотропных оболочек влияние геометрических несовершенств формы (локальных вмятин) и обусловленное ими расхождение найденных теоретически и экспериментально измеренных критических нагрузок. Известно также, что учет геометрической нелинейности в теории, улучшение техники эксперимента и качества испытуемых изотропных оболочек позволили в итоге добиться хорошего согласования теоретических предсказаний и экспериментальных данных. Для композитных оболочек ситуация сложнее. Хотя реализация пространственного подхода и учет нелинейных эффектов дают улучшение в согласовании результатов расчета и экспериментальных данных по прочности и устойчивости композитных оболочек, но далеко не всегда в той степени, чтобы его можно было считать достаточно хорошим. Результаты
9
исследований, например, К. Кедварда, Е. Спайера, Р. Арнольда [35], С.О. Джанхотова, В.А. Киреева, Н.Т. Кулагина [36] и др. устойчивости композитных оболочек подтверждают вывод Дж. Си [37]: «...Практическое применение композитов в ответственных конструкциях основано на умении моделировать их поведение с учетом структурной неоднородности. Недостаточно просто анализировать свойства композитов с помощью механики анизотропных и неоднородных сплошных сред. ...Если процесс повреждения материала не проанализирован надлежащим образом, то результаты испытания образцов окажут мало пользы при проектировании конструкций из композита, поскольку образец из композита, по-видимому; можно рассматривать как самостоятельную конструкцию» (курсив наш — О. Ч.). Учитывая технологические трудности изготовления композитов (см., например, работы В.А. Калинчева, М.С. Макарова [38], справочники под ред. Дж. Любина [39], В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского [40]), следует отметить, что для композитных конструкций важны не столько несовершенства формы макроскопического характера, сколько особенности и дефекты внутренней структуры. Известен ряд работ по моделированию поведения композитов с учетом особенностей внутренней структуры (см., например, работы Ю.В. Немировского, Б.С. Резникова [41], С. Цая, X. Хана [42] Р. Роуладса [43], Р.Л. Фойе [44], М. Онами и др. [45]). В преобладающей степени теоретические работы основаны на анализе поведения отдельных предельно идеализированных элементов композита типа «волокно — упругая матрица» или модели ортотропного слоя, а также регулярной структуры композита. Данная работа в этом плане отличается тем, что применение пространственного подхода и численного метода решения нелинейных трехмерных квазистатических задач позволяет
исследовать эффекты концентрации напряжений, локализации упругих и пластических деформаций, а также накопления повреждений в материале с учетом неоднородности и нерегулярности реальной структуры на масштабах, сопоставимых с размерами отдельных волокон и упрочняющих частиц в композитах или зерен поликристаллических металлов. По-видимому, подходом, наиболее близким к этому, является разработка дискретноструктурных моделей композитов и дискретно-вариационного метода решения пространственных нелинейных динамических задач в работах В.Д. Кошура, Ю.В. Немировского [46].
К выводам о недостаточности исследований пластических деформаций в рамках макроскопического описания пришли А. Н. Мохель, Р. Л. Салганик, С. А Христианович [47, 48], которые предложили новый масштабный уровень описания пластичности металлов, назвав его полумикроскопическим.
Через призму этих представлений нетрудно принять выработанные как синтез механики, континуальной теории дислокаций и материаловедения основные идеи В.Е. Панина [8] о том, что
1)ключ к пониманию особенностей макроскопического поведения под нагрузкой реальных материалов следует искать на новом по сравнению с обычными микро - и макроуровнями — мезоскопическом масштабном и структурных уровнях, так как даже в макроскопически однородных и изотропных металлах процессы деформации внутри материала развиваются крайне неоднородно;
2) макроскопическая деформация любого материала есть результат самоорганизации большого числа структурных элементов разных масштабов, а также границ раздела, при внешних воздействиях;
11
3) пластическая деформация и разрушение есть, в конечном счете, результат локальной потери устойчивости кристаллической решетки, структурных элементов мезомасштаба, (зерен, волокон и т. п.) и, наконец, глобальной потери устойчивости макроскопических объемов материала.
На основе этих представлений в данной работе был сделан переход от анизотропных конструкций, как одного из объектов исследований, к численному моделированию упругопластических деформаций и процессов накопления повреждений в новом объекте — мезообъеме структурно-неоднородного материала в том плане, как это понятие сформулировано в работах В.Е. Панина [1-8] и заложено в основу расчетов П.В. Макарова и др. [49-51]. Из известных определений понятия «структура материала» принято следующее определение [52]:
«Микроструктура кристаллических материалов определяется типом, структурой и числом фаз; числом, геометрическими характеристиками (размер, форма и т. д.) и топологическим распределением областей отдельных фаз, их поверхностей раздела».
Каждая область отдельной фазы рассматривается как элемент мезоструктуры материала, для которого применимо континуальное описание.
Границы раздела фаз (зерен, блоков, монокристаллов) представляются в виде поверхностей, на которых выполняются условия непрерывности перемещений. Вариационная постановка задачи механики структурно-неоднородных сред, которая выражает интегральные законы сохранения, делает это условие достаточным для удовлетворения необходимых условий непрерывности на границах раздела.
12
Межфазные границы рассматриваются как самостоятельный элемент структуры с известными свойствами.
Под мезообъемом [1-8, 49-51] структурно-неоднородной среды подразумевается некоторый объем материала, состоящий из нескольких разнородных элементов: монокристаллов, материала матрицы и упрочняющих частиц, «основного» материала и инородных включений, разных фаз одного и того же вещества.
На уровне мезоструктуры материал может проявлять себя как неоднородный вследствие анизотропии свойств и разной ориентации структурных элементов.
Таким образом, с позиций механики неоднородность материала может проявляться как различие механических и теплофизических характеристик структурных элементов: модулей упругости, пределов текучести, ориентации главных осей анизотропии элементов структуры, коэффициентов термического расширения, теплоемкости, теплопроводности и других характеристик, определяющих тот или иной тип механического поведения материала под нагрузкой. Без такой расшифровки понятие «структура» с точки зрения механика бессодержательно.
Приведенные принципы физической мезомеханики подразумевают необходимое условие — учет математической моделью существенной нелинейности отклика материала на нагрузку и решение задач устойчивости. Перспективность такого подхода показана, например, в работах В.М. Корнева, Л. И. Разворотневой [53, 54], где на основе анализа устойчивости состояния равновесия материала в вершине трещины установлены критерии хрупкого разрушения с учетом эффекта Ребиндера.
Для моделирования механического поведения мезообъемов структурно-неоднородной среды требуется развитие новых методов
и подходов, математического аппарата и соответствующих методов численного решения задач мезомеханики. Среди этих подходов условно можно выделить подходы, основанные на методах механики анизотропных неоднородных сред, теории калибровочных полей, которая развивается в работах Ю.В. Гриняева, В.Л. Попова, Н.В. Чертовой, Е.Е. Слядникова [1, 2, 55-59, ], дискретные методы моделирования, разрабатываемые С.Г. Псахье, С.Ю. Коростелевым, С.И. Негрескулом, А.Ю. Смолиным [60-62], И.Ф. Головневым, Е.И. Головневой, В.М. Фоминым, А.А.Коневым [63-64], А.Ф. Ревуженко [65] и др. В рамках механики структурно-неоднородных сред большое значение имеет развитие методов решения квазистатических задач, так как значительная часть экспериментальных исследований свойств материалов проводится в квазистатических условиях. Между тем, квазистатические методы моделирования таких процессов с явным учетом неоднородности мезоструктуры развиты еще недостаточно.
Актуальность и новизна темы, таким образом, определяется актуальностью и новизной подхода и объектов исследования — конструкций из неоднородных композитных материалов и мезообъемов структурно неоднородных сред, а также потребностью в изучении методами математического моделирования квазистатических процессов деформирования таких объектов.
Цели исследования:
1.Изучение методами численного моделирования критических состояний равновесия анизотропных конструкций под действием квазистатических нагрузок на основе трехмерной постановки задач теории устойчивости упругопластических тел.
2Развитие вариационно-разностного метода решения квазистатических задач инкрементальной теории пластичности и
14
вязкоупругости применительно к мезоскопическому уровню; теоретическое изучение этим методом закономерностей развития упруговязкопластических деформаций в мезообъемах структурнонеоднородных материалов с учетом действия нестационарных температурных полей, эффектов концентрации напряжений, локализации деформаций и накопления повреждений на неоднородностях структуры.
В работе были поставлены следующие основные задачи.
1. Модификация вариационно-разностного метода решения квазистатических задач инкрементальной теории пластичности для проведения расчетов на прочность и устойчивости в упругой и пластической области деформирования конструкций из анизотропных материалов; разработка компьютерных программ для проектирования конструктивно неоднородных анизотропных оболочек вращения (в том числе, подкрепленных ребрами жесткости) и проведение расчетов по оценке прочности и устойчивости этих конструкций с целью внедрения в практику проектировочных расчетов.
2. Модификация вариационных постановок и методов решения двумерных и трехмерных квазистатических задач вязкоупругости и инкрементальной теории пластичности как задач локальной потери сдвиговой устойчивости для моделирования механического поведения мезообъемов структурно-неоднородных сред.
3. Изучение процессов локализации упругих, упругопластических и упруговязкопластических деформаций, эффектов концентрации и релаксации напряжений в мезообъемах материалов, неоднородных на уровне мезоструктуры.
4. Моделирование процессов развития в структурно-неоднородных материалах остаточных упругих и пластических деформаций,
i 15
f
концентрации напряжений и накопления повреждений в процессах, связанных с высокотемпературными воздействиями; исследование на этой основе остаточных термических напряжений и деформаций в материалах упрочняющих покрытий.
Эта последняя задача важна в связи с проблемой начального состояния материала, которая уже давно поставлена механиками (см., например, работы Л.И. Седова [66], И.А. Алфутова [67], В.А. Лихачева, В.Г. Малинина [68]). С этой точки зрения приведенное выше определение структуры материала, принятое в материаловедении, можно дополнить: структура материала
определяется всей предысторией его создания (кристаллизация, термическая и механическая обработка и т. д.) и деформирования, которая «записана» материалом в виде полей локализованной деформации и напряжений.
На последующих этапах нагружения эти поля будут проявляться как начальные напряжения и деформации, способные предопределить эффекты локализации деформаций и разрушение материала. Отсюда, в частности, вытекает актуальность и значимость исследований остаточных (после того или иного воздействия на материал) напряжений и деформаций. Этими же факторами предопределяется и актуальность, и значимость развития и применения математических и физических моделей, в которых учитываются параметры исходного, «ненулевого», деформированного состояния.
Научная новизна работы заключается в следующем.
1. Разработана модель и модифицирован вариационно-разностный метод моделирования механического поведения под действием квазистатических нагрузок изотропных и композитных оболочечных конструкций на основе пространственного подхода теории
16
упругости и инкрементальной теории пластичности; на этой основе, в частности, в результате трехмерных расчетов, без принятия априорных допущений о виде смежных форм равновесия, получены критические нагрузки и формы потери устойчивости таких конструкций.
2. Разработаны двумерные и трехмерные модели, а также модифицирован вариационно-разностный метод расчета упруговязкопластических деформаций как задачи о локальной потере сдвиговой устойчивости мезообъемов структурно неоднородной среды (с явным учетом неоднородности) под действием квазистатических нагрузок и нестационарных тепловых полей.
3. Предложена численная модель квазистатических процессов релаксации напряжений и развития деформаций ползучести в однородных полимерных материалах и неоднородных композициях на их основе с явным учетом различий физикомеханических характеристик структурных составляющих.
4. На основе разработанных методов решения связанных задач термопластичности получены оценки степени локализации упругих и пластических деформаций, концентрации остаточных напряжений, эффектов локального накопления повреждений в мезообъемах металлокерамики с упрочняющими частицами после высокотемпературных воздействий.
Достоверность и обоснованность научных положений подтверждена сравнением с экспериментальными данными, аналитическими и численными решениями И.А. Биргера [23, 30], A.B. Кармишина и др. [33], В.В. Кабанова [32], Y. Tomita, A. Shindo [69], Р.
С. Теннисона [34], С.О. Джанхотова, В.А. Киреева, Н.Т. Кулагина [36], Р. Кристенсена [70], А. Драгона, 3. Мруза [71], М.М. Немировича-
17
Данченко, Ю.П. Стефанова [72], по устойчивости и прочности изотропных и анизотропных оболочек, деформации полимерных материалов и керамик, горных пород. Для проверки достоверности результатов моделирования мезообъемов структурно-неоднородных сред (для этих задач нет аналитических решений) проводились сравнительные расчеты четырьмя разными методами решения этих задач в квазистатической и динамической постановке.
На защиту выносятся:
1. Трехмерная численная модель критических состояний упругого и упругопластического равновесия оболочечных конструкций, а также результаты расчета критических нагрузок и форм потери устойчивости как этапа в моделировании процессов самоорганизации нелинейных деформируемых систем при нагружении.
2. Двумерные и трехмерные вариационно-разностные модели квазистатических процессов развития и локализации вязкоупругих и пластических деформаций в мезообъемах структурнонеоднородных материалов под действием квазистатических нагрузок.
3. Двумерная вариационно-разностная схема решения связанной квазистатической задачи инкрементальной теории термопластичности для неоднородных на уровне мезоструктуры материалов, учитывающая зависимость физико-механических и теплофизических характеристик структурных компонентов от температуры.
4. Результаты исследования квазистатических процессов локализации упругих и пластических деформаций, концентрации термических напряжений и накопления повреждений в металлокерамических материалах для упрочняющих покрытий при
18
высокотемпературных воздействиях; остаточные термические напряжения, локальное накопление микроповреждений означают зарождение новых структурных элементов — концентраторов напряжений мезомасштаба.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 205 наименований, приложения. Общий объем 272 стр.
В первой главе модифицированы следующие методы решения квазистатических задач механики деформируемого твердого тела для моделирования механического поведения структурнонеоднородных материалов:
1. Вариационно-разностный метод расчета напряженно-деформированного состояния структурно-неоднородных материалов при квазистатических нагрузках в двумерной и трехмерной постановке.
2. Метод расчета ортотропных конструктивно неоднородных оболочечных конструкций на прочность и устойчивость в области упругих и упругопластических деформаций.
3. Конечно-разностный метод решения этих задач в динамической двумерной и трехмерной постановке, который подобен методу, описанному В. Ф. Нохом [72], М.Л. Уилкинсом, С. Френчем, М. Соремом [74, 75], но отличается от них в силу применения инкрементальной теории пластичности, других моделей среды и видоизмененных аппроксимирующих соотношений.
4. Явная и неявная (вариационно-разностная) схема расчета нестационарных температурных полей для решения двумерных задач термопластичности.
5. Вариационно-разностный метод расчета вязкоупругих и вязкоупругопластических деформаций в неоднородных материалах.
19
Эти методы и разработанные на их основе алгоритмы и компьютерные программы позволяют решать перечисленные задачи в геометрически и физически нелинейной постановке.
Метод расчета основан на вариационных уравнениях механики в форме Лагранжа (см., например, работы С.Г. Михлина [76], Ф.Л. Черноусько, Н.В. Баничука [77], В.В. Болотина [78, 79], В.Л. Бердичевского [80], К. Васидзу [81], Л. А. Розина [82], O.A. Ладыженской [83], Н.П. Абовского, Н.П. Андреева, А.П. Деруги [84]) и принципе М. Био [85] для задач теплопроводности. Такой подход широко применяется как в теоретических работах по численным методам, так и для расчета конструкций. В работах Б.Д. Аннина, В.М. Садовского [86,87] показано, формулировка условий пластичности в виде вариационных неравенств является основой для построения эффективных алгоритмов расчета больших упругопластических деформаций при динамическом нагружении.
Неотъемлемой чертой использованного в данной работе подхода является применение инкрементальной теории. Это означает, что каковы бы ни были определяющие соотношения среды, предполагается, что они могут быть линеаризованы в малой окрестности некоторого актуального состояния равновесия (не обязательно — устойчивого). Это делает подход довольно универсальным. В частности, расчетные схемы задач пластичности без больших затрат модифицируются и для моделирования поведения вязкоупругих композитов. С целью проведения расчетов на основе упрощенной модели развития пластических сдвигов в отдельных активных системах скольжения в пределах монокристаллических элементов структуры материала, вариационные уравнения и расчетная схема модифицированы для учета несимметрии тензора напряжений.
Описаны два способа получения конечно-разностных аналогов вариационных уравнений. Первый основан на представлении основного элемента разностной сетки — шестигранного прямоугольного параллелепипеда — в виде составного элемента, который может быть двояким образом собран из пяти тетраэдров. Такое разбиение может оказаться полезным для повышения точности описания границ раздела в неоднородных материалах. Второй способ основан на межэлементных аппроксимациях пространственных производных, предложенных В.А. Колдуновым и др. [18] для расчета тонкостенных оболочек. В обоих случаях, эти соотношения представляют собой право— или левосторонние разности, которые на равномерных сетках приводят к схемам второго порядка точности по пространственным переменным и первого порядка по времени (в динамических задачах).
Кроме вариационных методов реализован конечно-разностный метод решения трехмерных и двумерных динамических задач на основе дифференциальных уравнений движения. Такой подход также очень широко используется и развит для задач ударноволнового нагружения и разрушения, например, в работах В.Ф. Куропатенко, И.Р. Макеевой [88], H.H. Анучиной [89], А.И. Гулидова, И.И. Шабалина [90], H.H. Белова, А.И. Корнеева, А.П. Николаева, В.Г. Симоненко [91, 92], A.B. Герасимова, P.A. Кректулёвой [93, 94], В. А. Горельского, С.А. Зелепугина, Т.М. Платовой, И.Е. Хорева, Н.Т. Югова [95, 96], моделирования волновых процессов в средах с трещинами и анизотропных средах в работах В.А. Гридневой, М.М. Немировича-Данченко, Ю.П. Стефанова [72, 97] и др. Применение методов решения трехмерных задач сдерживается огромным объемом вычислений. Тем не менее, ряд интересных результатов решения динамических и квазистатических задач получен, например,
21
в работах [22, 26, 96], работах А. Георгиева, С. Маргенова, М. Нейчевой [98], В.Г. Баженова, А.И. Кибец, Ю.И. Кибец [99].
Для решения связанных задач термопластичности в условиях нестационарных температурных воздействий использованы два разных подхода, которые отличаются методом решения задачи теплопроводности. В первом случае для расчета температурного поля использована явная разностная схема, основанная на дифференциальной постановке задачи теплопроводности. Методы решения этих задач развиты в работах А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, Е.С. Николаева, И.М. Соболя [100-101], Г.И. Марчука [103], В.П. Ильина [104], В.Н. Попова [105] и др.
Другой метод, модификация которого реализованна в данной работе, основан на вариационной постановке как деформационной части связанной задачи термопластичности, которая описывается вариационным уравнением Лагранжа [81], так и задачи теплопроводности. В этом случае для расчета температурного поля в деформируемом твердом теле также использована вариационная постановка задачи теплопроводности, основанная на принципе М. Био [85].
Вторая глава посвящена выводу линеаризованных определяющих уравнений модели упруговязкопластической и термоупругопластической среды. По классификации моделей среды, которая рассмотрена Д. Коларовым., А. Балтовым, Н. Бончевой [106], это уравнения типа уравнений Малверна-Пэжины.
В общем случае модель способна описывать эффекты релаксации напряжений, развитие обратимых деформаций ползучести при напряжениях ниже предела текучести, релаксацию напряжений и ползучесть с изменившейся скоростью, а также рост необратимых пластических деформаций при напряжениях выше
22
этого предела. Как частные случай обобщенной модели можно рассматривать модель линейно вязкоупругого материала (соответствующая интегральным уравнениям обобщенной модели Максвелла); идеально упругопластическую модель; модель упрочняющейся среды с накоплением повреждений, которая модифицирована для учета значительных различий кривых течения многих материалов в условиях одноосного растяжения, сжатия, действия гидростатического давления, влияния температуры. Развитие этих моделей имеет существенное значение при решении задач на мезоуровне, когда явно учитываются структурные элементы и перечисленные эффекты ярко проявляются.
Несколько особое место занимают уравнения упрощенной модели пластичности, основанной на концепции развития пластических сдвигов по отдельным активным системам скольжения в зернах поликристаллических материалов.
В третьей главе разработан метод и алгоритмы расчета на прочность и устойчивость оболочечных конструкций из композитных материалов при квазистатических нагрузках в двумерной и трехмерной постановке задачи с учетом геометрической и физической нелинейности процессов деформации.
Описаны результаты расчетов напряженно-деформированного состояния, оценки прочности, устойчивости и начального закритического поведения изотропных и ортотропных оболочек вращения, а также подкрепленных оболочек и оболочек с заполнителем.
Обсуждаются результаты моделирования на основе пространственной расчетной схемы форм потери устойчивости оболочек при осевом сжатии и равномерном внешнем давлении. Эти результаты интересны, в частности, с точки зрения синергетики
(см., работы И. Пригожина, И. Стенгерс, Г. Николиса [107, 108], А.Ю. Лоскутова, A.C. Михайлова [109], Г. Хакена [110]). Образование ячеек Бенара [107-110] (классический пример теории самоорганизации нелинейных систем) во многих отношениях аналогичен потере устойчивости цилиндрической оболочки совершенной формы при осевом сжатии с образованием регулярной системы ромбовидных вмятин [31]. В данной работе подобные результаты получены на основе трехмерной постановки задачи устойчивости и решения обобщенной проблемы собственных значений.
Описаны результаты тестирования метода, алгоритмов и программ расчета напряженно-деформированного состояния, критических нагрузок, форм потери устойчивости и начального закритического поведения сферических, цилиндрических, конических оболочек, а также оболочек вращения переменной толщины со сложной формой образующей, изготовленных из изотропных и композитных материалов, оболочек с заполнителем.
Для оценки достоверности результатов моделирования были использованы данные И.А. Биргера, Я.Г. Пановко [30], В.В. Кабанова
[32], A.B., Кармишина, В.А. Лясковца, В.А. Мяченкова, А.Н. Фролова
[33], Y. Tomita, A. Shindo [69], R.S. Tennyson’a [34], С.О. Джанхотова, В.А. Киреева, Н.Т. Кулагина [36]. Показано, что предложенная модификация вариационно-разностного метода расчета изотропных и композитных конструкций обеспечивает хорошее соответствие расчетных и известных экспериментальных данных в тех случаях, когда можно пренебречь несовершенством формы конструкции и дефектами структуры материала.
Алгоритмы и комплексы программ для проектировочных расчетов подкрепленных оболочек и оболочек с заполнителем из композитных материалов, по которым проводились эти расчеты,
24
переданы на предприятия промышленности, что подтверждается 6 актами внедрения (см. Приложение ).
В четвертой главе на основе динамической и квазистатической постановки задач теории пластичности разработаны двумерные и трехмерные программы расчета деформации структурнонеоднородных материалов. Для проверки адекватности разных моделей среды реальным процессам деформации и оценки достоверности результатов численного моделирования этих процессов проведено сравнение решений основных задач, полученных различными численными и аналитическими методами, а также сравнение расчетных и экспериментальных данных.
На основе модели линейно вязкоупругой среды разработан численный метод и апробирован алгоритм расчета вязкоупругого поведения композитов. Проведено сравнение численных результатов с решением и экспериментальными данными Р. Кристенсена [70] для полиуретана. Показано, что модель и метод расчета описывает эффекты локализации деформаций ползучести (вплоть до образования шейки) и релаксации напряжений в вязких компонентах композиций с контрастными свойствами.
На основе инкрементальной теории пластичности разработаны методы и алгоритмы расчета двумерных и трехмерных квазистатических и динамических задач расчета напряженно-деформированного состояния керамических материалов с явным учетом неоднородности мезоструктуры. В рамках идеально упругопластической модели описания псевдо-пластических деформаций проведены двумерные и трехмерные расчеты процессов локализации деформаций и концентрации напряжений на неоднородностях реальной структуры циркониевой керамики, свойства и технологии получения которых изучаются в работах С.Н.