Математическое моделирование волновых явлений в дисперсных средах

Введение............................................................... 5
ГЛАВА I ОБОБЩЁННО-РАВНОВЕСНАЯ МОДЕЛЬ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЫ
1.1 Основные соотношения модели........................................22
1.1.1 Изоэнтропа н ударная адиабата многокомпонентной смеси......... 22
1.1.2 Дифференциальные уравнения модели............................. 29
1.2 Одномерные нестационарные течения дисперсной среды.................34
1.2.1 Характеристики и условия совместности бинарной смеси с одним несжимаемым компонентом..................................................... 34
1.2.2 Характеристическое уравнение многокомпонентной смеси.......... 40
1.2.3 Изоэнтроппчсские течения дисперсной среды и инварианты Римана. 47
1.2.4 Распад произвольного разрыва в многокомпонентной смеси........ 49
1.2.5 О корректности задачи Коши для обобщённо-равновесной модели... 57
1.3 Стационарные течения многокомпонентной смеси...................... 66
1.3.1 Интеграл Бернулли для дисперсной среды........................ 66
1.3.2 Бинарная смесь с одним несжимаемым компонентом................ 70
1.33 Смесь двух или более сжимаемых фракций......................... 75
1.4 Численные методы расчёта течений дисперсной среды..................80
1.4.1 Метод характеристик для обобщённо-равновесной модели.......... 80
1.4.2 Примеры расчётов течений, выполненные методом характеристик... 94
1.43 Метод С.К.Годунова для дисперсной среды....................... 103
1.4.4 Модификации Колгана, Копчёнова-Крайко для двухфазной среды... 115
ГЛАВА II ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЕНООБРАЗНЫХ СРЕДАХ
2.1 Моделирование в рамках равновесной модели пены................... 120
2.1.1 Основные соотношения модели и сравнение с другими моделями нены 120
2.13 Отражение воздушной ударной волны от слоя иены................ 129
2.1.3 Особенности взаимодействия воздушных ударных волн со вспененными полимерами......................................................... 140
2.1.4 Распространение и взаимодействие уединённых волн (солитонов) в пенах... 145
2.1.5 Сильные сферические и цилиндрические ударные волны в дисперсной
среде...............................................................151
2.1.6 Истечение дисперсной среды в вакуум.............................. 157
2.1.7 Течение типа Прандтля-Майера для дисперсной среды................ 164
2.1.8 Сверхзвуковое течение дисперсной среды около конуса.............. 169
2.1.9 Распад разрыва в дисперсной среде при различной симметрии движения.... 175
2.2 Моделирование в рамках дискретной модели пены......................... 182
2.2.1 Основные соотношения модели...................................... 182
2.2.2 Преломление воздушной ударной волны слоем пены.................... 188
2.23 Отражение воздушной ударном волны от слоя пены..................... 199
2.2.4 Волны разгрузки в пенах........................................... 208
ГЛАВА III ВОЛНЫ В ПУЗЫРЬКОВЫХ жидкостях
3.1 Равновесная модель пузырьковой жидкости............................... 214
3.1.1 Основные соотношения модели....................................... 214
3.1.2 Сравнительный анализ равновесных моделей пузырьковых жидкостей 216
3.1.3 Прямые и отражённые ударные волны в пузырьковых жидкостях......... 220
3.1.4 Регулярное отражение ударной волны от преграды в пузырьковой жидкости............................................................... 223
3.1.5 Течение пузырьковой жидкости около клина.......................... 230
3.2 Взаимодействие ударных волн с пузырьковыми экранами 234
3.2.1 Автомодельное решение для ступенчатой нагрузки.................... 234
3.2.2 Численные расчёты для протяженной волны........................... 240
3.2.3 Падение короткого импульса на экран............................... 242
3.2.4 Действие ударной волны на экран, расположенный у преграды..........245
3.2.5 Взаимодействие воздушных ударных волн со слоем пузырьковой
жидкости........................................................... 247
3.2.6 Взаимодействие ударной волны с экраном из крупных пузырей......... 249
3.3 Удар капли (струи) пузырьковой жидкости о преграду.................... 251
3.3.1 Одномерные расчёты................................................ 252
3.3.2 Удар по жесткой преграде с присоединённым скачком уплотнения...... 256
з
3.3Л Косой улар сферической капли пузырьковой жидкости по деформируемой
преграде..................................................... 258
3.3.4 Численное моделирование удара.............................. 263
3.4 Взаимодействие ударных волн с каплями пузырьковой
жидкости........................................................ 268
3.4.1 Дифракция воздушной ударной волны на сферической капле пузырьковой жидкости......................................................... 268
3.4.2 Численное моделирование взаимодействия ударной волны с отдельными каплями пузырьковой жидкости..................................... 274
3.4.3 Взаимодействие воздушной ударной волны с капельным экраном. 279
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................................................292
ЛИТЕРАТУРА........................................................ 295
4
Введение
В настоящее время для ряда отраслей современной техники актуальна проблема подавления мощных ударных или детонационных волн. Внимание к этой проблеме обусловлено необходимостью создания надежных средств защиты, обеспечивающих безопасность труда и технологического оборудования. Один из возможных способов решения проблемы снижения импульсного воздействия ударных волн связан с использованием экранирующих свойств пенообразных (на жидкой основе) или пеноподобных, например, из пенополиуретана, экранов. В частности, пенные среды находят широкое применение для гашения ударных волн при сварке взрывом, при проведении демонтажных работ взрывным способом, угледобыче. В последнем случае пена, покрывающая поверхность угля, не только снижает давление взрывной волны, но и улавливает угольную пыль, уменьшая вероятность её взрыва. В целом пена может понизить давление при взрыве на 90% [105]. Отметим также эффективность применения п>гзырьковых экранов, которые используются для защиты от действия мощных подводных волн [55, 162]. Вместе с тем, используемые в литературе модели в ряде случаев не позволяют с приемлемой точностью рассчитать волновые процессы в подобных средах, поэтому разработка новых моделей является актуальной проблемой. Заметим, что в пенных или пузырьковых средах отсутствует скольжение (в малом объеме) компонентов смеси относительно друг друга. Передача возмущений в подобных средах обусловлена взаимной деформацией компонентов смеси.
Цель работы, направленная на решение фундаментальной проблемы из области механики гетерогенных сред, а именно, - на разработку обшей теории движения односкоростных многокомпонентных гетерогенных смесей, связана с построением математических моделей среды, адекватно описывающих поведение многокомпонентных смесей, включая разработку эффективных численных методов расчёта многомерных течений. Исследование волновых процессов в пузырьковых, пенных, капельных системах и других подобных структурах, актуальное как с практической, так и с научной точек зрения, составляет важное направление в рамках указанной проблемы.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
5
• формулировка модели в наиболее общей форме в виде замкнутой системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей движение односкоростных гетерогенных смесей, состоящих из произвольного числа сжимаемых и несжимаемых фракций, которую в дальнейшем будем называть обобщённо-равновесной моделью;
• изучение общих свойств уравнений модели, к которым относятся локализация областей устойчивости решений по отношению к малым возмущениям в начальных данных, а также вопросы, связанные с однозначной разрешимостью задачи Коши;
• поиск аналитических решений уравнений модели;
• разработка эффективных численных алгоритмов для расчёта нестационарных пространственных течений многокомпонентных сред;
• применение разработанных аналитических и численных методов к решению конкретных задач, описываемых уравнениями обобщённо-равновесной модели, и, в частности, к пенным и пузырьковым средам.
В значительном числе работ при описании волновых процессов в дисперсных средах используются уравнения совершенного газа [4 - 5, 25, 28 - 30, 120, 160, 163, 190], в которых вместо показателя адиабаты та у рассматривается обобщенный показатель адиабаты смеси Г, определяемый или из теоретических соображений, или из эксперимента. При этом возникают различного рода грудности, которые не всегда удаётся разрешить.
В предлагаемой модели принято, что движение каждой фракции описываются уравнениями газодинамического типа, поэтому общее количество уравнений модели пропорционально числу фракций в смеси. Рассматриваемая модель односкоростной многокомпонентной среды является более совершенной по сравнению, например, с моделью Ляхова [89 - 93], в рамках которой в процессе вычислений остаются неизвестными текущие значения истинных плотностей составляющих смеси, а также их объёмные доли. В рассматриваемой модели за счет добавления соответствующих дифференциальных уравнений упомянутые выше переменные оказываются известными, что позволяет, например, при дальнейшей модификации модели, учесть межфазный теплообмен и возможные фазовые превращения. Кроме того, в модели Ляхова ударные переходы рассчитываются приближённо, так как при их описании используются изоэнтропиче-
6
ские соотношения. В обобщённо-равновесной модели отсутствуют какие-либо дополнительные параметры, которые вводятся в ряде других моделей для согласования расчётных и экспериментальных данных. Например, в модели пены из [29] используется параметр то - характерное время тепловой релаксации смеси, определяемый из взрывною эксперимента.
При исследовании рассматриваемых в работе задач используются аналитические и численные методы. Первые имеют ограниченную сферу приложения, так как используемые в работе уравнения достаточно сложны и липгь в отдельных случаях решение удаётся получить в виде квадратур, или же свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой существенно проще исходной. Заметил!, что с увеличением числа фракций в смеси задача с математической точки зрения становится всё более сложной и те приёмы, с помощью которых задача сводилась к автомодельной, зачастую оказываются неприменимы. Это относится, например, к задаче о распространении сильной ударной волны по дисперсной среде при натичии симметрии движения. Численные методы являются более мощным и универсальным средством исследования. Метод конечных разностей, в основном используемый для численного решения уравнений модели, состоит в сведении исходной задачи к системе алгебраических уравнений и их последующего решения, что является достаточно трудоёмкой процедурой. Решение конечноразностных уравнений лишь в предельном случае измельчения сетки переходи! в решение исходной системы дифференциальных уравнений, однако, вследствие ограниченности ресурсов ЭВМ, предел этот никогда не достигается и приходится довольствоваться численными решениями, полученными на достаточно «грубых» сетках. Численный эксперимент, как и физический, позволяет получать лишь дискретные наборы интересуемых параметров, не устанавливая между ними функциональных зави-симостей и, следовательно, не может заменить аналитических методов. Вычислительный эксперимент может существенно сократить потребность в физическом эксперименте, а в некоторых случаях и заменить его.
Научная новизна и значимость результатов диссертационной работы состоит в следующем.
1. Предложена обобщённо-равновесная модель гетерогенной среды, сформулированная в виде замкнутой системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая течения односкоростных мно-
7
покомпонентных смесей, состоящих из произвольного числа сжимаемых и несжимаемых фракций. Показано, что система уравнений обобщённоравновесной модели даже в простейшем случае бинарной смеси относится к квазигиперболическому типу.
2. Разработана модификация метода характеристик применительно к квазиги-перболической системе квазилинейных уравнений. Для ряда многокомпонентных сред локализованы области корректности задачи Коши.
3. Показана возможность применения уравнений обобщённо-равновесной модели для адекватного описания ударно-волновых процессов в водно-воздушных иенах, вспененных полимерах, пузырьковых жидкостях, которая по основным параметрам превосходит использующиеся для этих целей модели Рудингера, Кэмпбелла-Питчера, Ляхова, Паркина-Гилмора-Броуда.
4. Получено полное решение задачи Римана для общего случая смеси с произвольным числом сжимаемых и несжимаемых фракций. Для бинарной гетерогенной смеси сжимаемых сред получены точные решения задач, являющихся аналогами решений Буземана, Прандтля-Майера в классической газодинамике. Решены такие автомодельные задачи как истечение дисперсной среды в вакуум, распространение сильного ударного скачка в двухфазной среде при различной симметрии движения.
5. Предложены модификации метода «распада разрыва» первого и повышенного порядков точности, предназначенные для расчета течений, описываемой уравнениями обобщённо-равновесной модели.
6. Разработана дискретная модель пены, эффективность которой продемонстрирована на решении разнообразных задач по взаимодействию акустических, ударных и волн разрежения с пенообразными средами.
7. Аналитически и численно изучено взаимодействие ударных волн с прямыми и обратными пузырьковыми экранами. Решена задача о прохождении ударной волны экрана из пузырей, чьи размеры соизмеримы с толщиной экрана.
8. В рамках обобщённо-равновесной модели численно исследована задача распада разрыва в дисперсной среде для течений, обладающих симметрией движения. Показано, что в зависимости от начальных условий распада в области течения возникает различное число вторичных ударных скачков. Выявлены причины их формирования.
8
9. В рамках обобщённо-равновесной модели аналитически и численно изучено явление удара капель пузырьковой жидкости по жёстким и деформируемым преградам. Показано, что в ряде случаев необходимо учитывать окружающий каплю воздух, который может существенно изменить картину взаимодействия. Изучено влияние концентрации газа в жидкости на параметры растекающейся капли.
Ю.Решена задача о регулярном отражении воздушной ударной волны от сферической капли пузырьковой жидкости. В рамках обобщённо-равновесной модели численно изучено воздействие сильных ударных волн на одиночные, имеющие различные геометрические формы, капли пузырьковых жидкостей.
11.В рамках различных моделей, описывающих течение жидкости в каплях, численно исследована задача взаимодействия сильной ударной волны с капельным экраном. Показано, что в слу чае падения ударной волны на экран, состоящий из капель вспененной жидкости, режим течения качественно отличается от варианта экрана из капель, в которых отсутствуют газовые включения.
В целом в диссертации разработаны теоретические положения, которые можно квалифицировать как новое достижение в развитии механики гетерогенных систем. Сформулированные выше утверждения выносятся автором на защиту.
В первой главе в разделе 1.1 приведено описание обобщённо-равновесной модели гетерогенной среды. Представлены основные соотношения модели, дифференциальные уравнения модели в различных координатных системах. Выбор дифференциальных уравнений модели многокомпонентной среды неоднозначен, но чрезвычайно важен. Например, в работе [186] используется иной набор уравнений. При описании ударного сжатия многокомпонентной смеси в обобщённо-равновесной модели использовано аддитивное приближение [115], впервые предложенное А.Н.Дреминым, И.А.Карпухиным [58], согласно которому' каждый компонент смеси сжимается по индивидуальной ударной адиабате. Для ряда смесей с сильно различающимися степенями сжимаемости фракций принцип аддитивности может нарушаться в случаях, когда межкомпонентным взаимодействием пренебречь нельзя. Для подобных сред в работах
В.Н. Николаевского [104], Г.А.Богачева [8], В.Н.Охитина, В.В.Мартынова 1108]
9
предложены методики расчёта ударных адиабат смесей, учитывающие объёмное и вязкое взаимодействие, которые также могут быть включены в обобщённо-равновесную модель.
В п. 1.2.2 рассмотрены одномерные нестационарные течения дисперсной среды, найдены характеристики и условия совместности для бинарной смеси с одним несжимаемым компонентом, с двумя сжимаемыми фракциями, а также для общего случая многокомпонентной смеси.
В п. 1.2.3 рассмотрены изоэнтропические течения в однородных многокомпонентных смесях и введены инварианты Римана. Показано, что волны Ри-мана, распространяющиеся в однородных смесях, обладают теми же свойствами, что и простые волны в однофазной газодинамике.
В п. 1.2.4 приведено полное решение автомодельной задачи о распаде произвольного разрыва для общего случая многокомпонентной смеси, состоящей из произвольного числа сжимаемых и несжимаемых фракций. В рассматриваемой модели, в отличие от моделей [63, 65, 80, 85, 101 - 102, 106 - 107}, учитывающих скоростную неравновесность компонентов смеси, ударные волны и волны разрежения, движущиеся по разные стороны контактной границы, не «расщепляются» на ряд распространяющихся друг за другом волн.
В п. 1.2.5 обсуждается вопрос о корректности задачи Коши для обобщённо-равновесной модели. Для корректности задачи Коши помимо однозначной разрешимости, что показано в п. 1.4.1, необходимо локализовать области устойчивости решений но отношению к малым возмущениям в начальных данных. При исследовании на устойчивость использовался метод элементарных волновых решений [73]. Для ряда многокомпонентных систем определены границы устойчивости решений по отношению к малым возмущениям в начальных данных. Из приведённых в п. 1.2.5 данных также следует, что система уравнений обобщённо-равновесной модели, описывающая одномерное течение смеси из грех и более компонентов, относится к смешанному типу (в противовес газодинамическим, которые являются гиперболическими). Линейный анализ, проведённый в разделе позволяет локализовать области квазигиперболичности используемой системы уравнений.
10
В разделе 1.3 исследуются стационарные течения многокомпонентной смеси. В п. 1.3.1 приведён интеграл Бернулли для дисперсной среды. Модификация интеграла Бернулли применительно к обобщённо-равновесной модели многокомпонентной смеси в литературе не описана, поэтому рассмотрены такие связанные с ним вопросы, как расчёт критических параметров, максимально возможных скоростей и параметров торможения.
В п.п. 1.3.2 - 1.3.3 рассматривается смссь двух или более сжимаемых фракций. Показано, что для бинарной смеси с одним несжимаемым компонентом при М > /, то есть в случае сверхзвуковых течений, характеристическое уравнение имеет пять корней, один из которых троекратный. Этот последний корень 4- VIII определяет характеристическое направление Лу/Лх = д, совпадающее с направлением перемещения частицы среды. Отмечено, что при реализации метода характеристик вдоль линий тока вместо дифференциальных условий совместности, которые удовлетворяются тождественно, необходимо использовать определённые алгебраические выражения. При рассмотрении смеси из двух сжимаемых фракций показано, что характеристическое уравнение имеет все действительные корни в случае, если число Маха превосходит критическое значение М,, которое, в отличие от однофазной газодинамики или бинарной смеси с одним несжимаемым компонентом, может быть как меньше, так и больше единицы.
В разделе 1.4 рассмотрены численные методы расчёта течений для обобщённо-равновесной модели дисперсной среды. В п. 1.4.1 представлен метод характеристик, предназначенный для расчета одномерных нестационарных течений. Для простоты рассмотрена бинарная смесь. Так как один из корней характеристического уравнения кратный, система уравнений модели не относится к строго гиперболическому типу (система гиперболична, если все корни характеристического уравнения действительны и различны), поэтому подход классического метода характеристик, описанный для двухфазных сред в работах [182 — 184], был модифицирован. Особенност ь случая, когда характеристическое уравнение имеет кратный корень заключается в том, что в характеристическом направлении = и все условия совместности удовлетворяются тождественно. Вместе с тем, на «траекторной» характеристике справедливы определённые ал-
п
гебраические соотношения, заменяющие дифференциальные соотношения совместности строго гиперболической системы уравнений. Поэтому задача Коши ;1ЛЯ односкоростной модели, несмотря на наличие у характеристического уравнения кратного корня, оказывается однозначно разрешимой. Приведены конечно-раз ностные соотношения, реализующие итерационную процедуру Массо, с использованием которых в п. 1.4.2 выполнен ряд расчётов различных течений дисперсной среды.
В и. 1.4.3 описан модифицированный метод С.К.Годунова, предназначенный для расчётов как одномерных, так и многомерных задач, и использующий в качестве основного элемента задачу распада произвольного разрыва, рассмотренную в п. 1.2.4. Заметим, что метод С.К.Г одунова при расчёте волн разрежения менее точен, чем метод В.Ф.Куропатенко [84], однако более удобен для рассматриваемых в работе задач.
В п. 1.4.4 приведена модификация Колгана для двухфазной среды. Использование модифицированной схемы С.К.Годунова первого порядка точности, базирующейся на кусочно-постоянном распределении параметров в пределах ячейки, приводит к сильному размыванию ударных волн и контактных разрывов. Для того, чтобы увеличить точность расчётов целесообразно исполъзо-вагь схемы повышенного порядка точности. Увеличение порядка аппроксимации схемы достигалось за счёт замены кусочно-постоянного распределения параметров на кусочно-линейное, когорое использовалось в сочетании с принципом минимальных значений производных. Основные конечно-разностные соотношения, с использованием которых проводится пересчёт с текущего временного слоя на следующий, тс же, что и для схемы первого порядка точности. Корректируются данные, предшествующие решению задачи о распаде произвольного разрыва. Кроме того, описана конечно-разностная схема для уравнений модели, имеющая также второй порядок аппроксимации и по временной переменной, полученная с использованием подхода, развитого в работе [75] для газодинамических уравнений.
Во второй главе на базе описанной в главе Г обобщённо-равновесной модели гетерогенной среды изучены волновые явления в пенообразных и пснопо-добных средах. Экспериментально динамика распространения ударных волн в
12
пенообразных средах исследовалась в [10 - 17, 163]. Из теоретических работ, в которых изучались волновые явления в пенных средах, отметим [46, 94], основанные на односкоростной модели двухфазной среды Рудингера [181], в которой иена рассматривалась как псевдогаз со скорректированными на присутствие конденсированной фазы параметрами. В п. 2.1.1 показаны преимущества обобщённо-равновесной модели над моделью Рудингера. В частности отмечено, что полученные в рамках последней модели значения давления в отражённой от жёсткой преграды ударной волне, оказываются существенно выше наблюдаемых в эксперименте.
В п. 2.1.2 детально исследована начальная стадия отражения воздушной ударной волны от слоя пены. В отличие от моделей эффективного газа [120], Ляхова [90], Рудингера [181], Паркина-Гилмора-Броуда [110] обобщённоравновесную модель можно использовать для расчётов течений двухфазных сред во всем диапазоне содержания газа в смеси - от пузырьковых жидкостей до газожидкостных систем во вспененном состоянии. Для ряда задач это особенно важно. В частности, при расчёте отражения сильной воздушной волны от стенки при наличии на преграде пенной прослойки степень сжатия пены может быть столь велика, что её на стадии сжатия следует отнести к категории пузырьковой жидкости. Если используется обобщённо-равновесная модель дисперсной среды, то удаётся корректно рассчитать весь процесс отражения ударной волны. Изучено влияние типа газа в пузырях пены на параметры отражённых ударных волн. Резуль таты расчётов сопоставлены с эксперимен том.
В п. 2.1.3 изучено распространение и взаимодействие уединённых волн (солигонов) в пенах. При этом рассматривались не только волны сжатия, но и разрежения. Отмечено, что расчёты, выполненные в рамках обобщённоравновесной модели дисперсной среды, существенно лучше коррелируют с экспериментом, чем по другим моделям.
В п. 2.1.4 в рамках обобщённо-равновесной модели изучены особенности взаимодействия ударных волн со вспененными полимерами и, в частности, с пенополиуретаном. Подобная задача также рассматривалась в [111]. В работе [48] для этих целей применялась модель Рудингера, а в [36], - модель, в которой вместо уравнения неразрывности для полиуретана, использовалось некоторое
13
алгебраическое соотношение. Показано, что результаты расчетов, полученные в рамках обобщённо-равновесной модели, совпадают с экспериментальными данными в случаях, пока ячейки вспененного полимера не разрушены ударной волной, то есть в условиях отсутствия скольжения газа относительно полимера.
В п. 2.1.5 исследуется распространение сильных сферических и цилиндрических ударных волн в дисперсных средах. При введении автомодельных переменных уравнения обобщённо-равновесной модели привоущтся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решалась численно. Показано, что при наличии у течения осевой или центральной симметрии непрерывное решение задачи существуем лишь в некоторой окрестности ударной волны, которая замыкается вторичным ударным скачком.
В п. 2.1.6 рассмотрена задача об истечении многокомпонентной смеси в вакуум. При этом предполагалось, что полупространство /* < 0, заполненное однородной дисперсной средой, находящееся под давлением р0, отделено от области вакуума непроницаемой диафрагмой. Требуется рассчитать течение, возникающее при мгновенном разрушении диафрагмы. При введении автомодельной переменной для смеси с одним несжимаемым компонентом система уравнений в частных производных приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая допускает аналитическое решение. В случае смсси с несколькими сжимаемыми фракциями соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений приходится интегрировать численно.
В п. 2.1.7 рассмотрено плоское стационарное течение типа Прандтля-Майера для дисперсной среды. Для бинарной смеси идеального газа с одной несжимаемой составляющей из условия отсутствия вихрей в изоэнтропическом потоке получены, с привлечением интеграла Бернулли, обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие движение смеси в волне разрежения. Изучено влияние концентрации газа на параметры волны разрежения в водно-воздушной смеси.
В п. 2.1.8 исследуется автомодельное течение дисперсной среды около конуса, обобщающее известное решение Буземана для идеального газа. Выписана система обыкновенных дифференциальных уравнений для многокомпонентной смеси, выражающая закон сохранения массы и условие отсутствия вихрей за
14
фронтом ударной волны. Краевая задача для системы уравнений, удовлетворяющая граничному условию нспротскания через поверхность конуса и модифицированным соотношениям Ренкина-Гюгонио на фронте присоединённой ударной волны, приводилась к задаче Коши, интегрирование которой проводилось с использованием численного метода Руш е-Кутта. Изучено влияние концентрации газа на параметры присоединённой конической ударной волны в водно-воздушной смеси для адиабатического и изотермического вариантов обобщённо-равновесной модели дисперсной среды.
В п. 2.1.9 проведено численное моделирование распада разрыва в дисперсной среде при различной симметрии движения. Показано, что за ударными волнами умеренной силы, образующимися в результате распада разрыва в области непрерывного течения дисперсной среда могут возникать вторичные ударные скачки, количество которых зависит от начальных условий распада. Описаны процессы, обуславливающие формирование вторичных скачков в дисперсной среде.
В разделе 2.2 проведено моделирование волновых явлений с использованием дискретной модели пены, - подхода, альтернативного равновесному. В п. 2.2.1 приведены основные соотношения дискретной модели пены. По-видимому, впервые подход, близкий к использованному в работе, был применён ЛТЬоиуепт’ым [189] для приближённого описания волновых явлений в пористых телах. В дальнейшем этот же подход использовал В.Ф.Нестеренко [100]. С его помощью С.И.Лежнин, И.И.Мулляджанов, В.Е.Накоряков [88], а также Мартин, Падманабхан [96] исследовали распространение волн в газожидкостных средах в снарядном режиме течения. В дискретной модели использовано естественное представление о пене, как среды с ячеечной структурой, непроницаемой для газа. В рамках дискретной модели, используемой для одномерных расчётов, движение пленок жидкости, перемещающихся иод действием перепада давления в смежных слоях, описывалось системой из конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений. Сжатие газа между плёнками жидкости полагалось адиабатическим. Система обыкновенных дифференциальных уравнений движения жидких пленок интегрировалась совместно с газодинамическими уравнениями для прямого моделирования распространения волн в пене.
15
Отражение воздушной ударной волны от слоя пены изучено в п. 2.3.3. В п. 2.3.4 рассмотрены слабые волны разгрузки в пенах, где также результаты расчётов сопоставлены с данными по модели Рудингера и экспериментом. Обсуждаются условия, ограничивающие область применения дискретной модели пены.
В третьей главе в рамках обобщённо-равновесной модели исследуются волновые явления в пузырьковых жидкостях. В п. 3.1.1 представлены основные соотношения обобщённо-равновесной модели пузырьковой жидкости. Подходы, учитывающие скоростную нсравновесность составляющих смесь фракций, описаны, например, в работах [165, 176, 180, 192 - 193].
В и. 3.1.2 на примере задачи о бегущей по пузырьковой жидкости ударной волне проведен сравнительный анализ используемой, а также ряда других равновесных моделей пузырьковых жидкостей, таких как Кэмпбелла-Питчера, Паркина-Гилмора-Броуда, Ляхова. В модели Кэмпбелла-Питчера полагается, что температура газа в пузырьках совпадает с температурой жидкости, которая считалась несжимаемой. В модели Паркина-Гилмора-Броуда принято, что процессы, происходящие в пузырях, адиабатические; жидкость полагалась несжимаемой. В модели Ляхова сжатие обоих компонентов смеси в ударной волне полагалось изоэнгропическим. Из анализа полученных в п. 3.1.2 данных делается вывод о том, что учёт сжимаемости жидкости существенен для достаточно сильных ударных волн, причём особенно важен ;щя случая малой концентрации газа в смеси. Указанный фактор ограничивает область применения и других моделей пузырьковых сред, в которых жидкость полагается несжимаемой.
В п. 3.1.3 исследованы прямые и отражённые ударные волны в пузырьковых жидкостях. Из сравнения расчётных зависимостей, полученных по адиабатическому и изотермическому вариантам обобщённо-равновесной модели с имеющимися в литературе экспериментальными данными, в разделе делается вывод о том, что в условиях развитого теплообмена между газовой и жидкой фракциями, чему способствует явление дробления пузырей в ударной волне, необходимо использовать изотермический вариант модели. В случае же затрудненного теплообмена между составляющими смеси совпадения с экспериментом можно достичь, если использовагь адиабатический вариант модели. По-
16
следний целесообразно применять и при моделировании воздействия мощных коротких импульсов давления на пузырьковые жидкости.
В п. 3.1.4 рассмотрено регулярное отражение ударной волны, распространяющейся в пузырьковой жидкости, от жёсткой или деформируемой преград. Предложен приближённый подход, основанный на принципе Гюйгенса, ранее использованный автором для однофазных сред [122 - 125], существенно упрощающий расчёты.
В п. 3.1.5 рассмотрена задача о стационарном обтекании клина пузырьковой жидкостью для режима с присоединенным скачком уплотнения. Приведены соотношения, описывающие течение. Получено выражение для предельного угла наклона присоединённой ударной волны. Результаты расчётов сопоставлены с экспериментом. Отмечено совпадение теоретических значений, полученных по изотермической модели с опытными данными. Подчеркивается, что в рамках обобщённо-равновесной модели пузырьковой жидкости удается описать все существующие экспериментальные факты, некоторые из которых до сих пор не находили рационального объяснения.
В разделе 3.2 рассмотрено взаимодействие ударных волн с пузырьковыми экранами. Известны возможности пузырьковых экранов, используемые, например, для защиты от взрывных нагрузок, которые описаны, например, в работе [55]. Взаимодействие ударной волны с пузырьковыми экранами теоретически обсуждалось в работах [47, 110]. В этих работах при анализе использовалась изотермическая модель газожидкостной среды. Однако, в условиях затруднённого теплообмена между г азом и жидкостью, например, при наличии в смеси поверхностно-активного вещества или в условиях повышенного начального давления, а также в ряде других случаев, необходимо использовать адиабатический вариант модели. Поэтому в разделе расчёты выполнены для обоих вариантов обобщённо-равновесной модели дисперсной среды. Отметим также, что в упомянутых выше работах вычисления проводились лишь до первой прошедшей за экран ударной волны, явление реверберации не рассматривалось. В работе [47] защитный эффект обратного пузырькового экрана связывался со снижением амплитуды первичной прошедшей за экран ударной волны. Однако, по этил! данным нельзя судить о действительной эффективности подобных экра-
17
нов. Полную информацию даёт численный эксперимент на основе общих уравнений движения дисперсной среды. 13 п. 3.2.1 приведено автомодельное решение для ступенчатой нагрузки. В п.п. 3.2.2-3.2.3 проведено численное моделирование падения протяженного, а также короткого импульсов на экран. В п.
3.2.4 исследовано действие ударной волны на экран, расположенный у преграды. Взаимодействие воздушной ударной волны со слоем пузырьковой жидкости рассмотрено в п. 3.2.5. Из анализа полученных в п. 3.2 данных следует, что наиболее эффективными, с точки зрения защиты от воздействия ударных волн, являются нормальные экраны, объемная доля газа в которых превышает концентрацию газа в окружающей двухфазной среде. Для длинных ударных волн, падающих на экран, защитный эффект связан со временной задержкой, которая обусловлена явлением реверберации ударной волны в экране. Для короткой ударной волны помимо задержки, также снижается амплитуда прошедшей за экран волны. В случае обратного экрана, напротив, импульс давления быстрее по времени попадает в область за экраном. Кроме того, для коротких импульсов давления амплитуда преломленной волны может быть не меньше, чем для варианта без экрана, хотя полная энергия преломлённого импульса и снижается, из-за наличия отраженной от экрана волны. В и. 3.2.6 приведено численное решение задачи о прохождении ударной волны экрана из пузырей, чьи размеры соизмеримы с толщиной экрана.
В разделе 3.3 исследуется явление удара капель из пузырьковой жидкости по жёстким или деформируемым преградам. В литературе описаны процессы при ударе лишь для капель без газовых включений [51, 124 - 126]. Представляет интерес изучить влияние концентрации газа в каплях на динамические характеристики при их взаимодействии с преградой. В п. 3.3.1 рассмотрена одномерная теория. Отмечено, что для пузырьковых жидкостей применение акустического приближения, широко используемого в однофазной теории гидроудара, не целесообразно, так как при определении параметров удара допускается значительная погрешность, которая обусловлена сильной нелинейной зависимостью свойств пузырьковой жидкости от концентрации газа в смеси. Изучено влияние типа газа в пузырях на параметры отражённой ударной волны. Показано, что наиболее чувствительным параметром является объёмная доля газа в смеси за
18
фронтом отражённой ударной волны. Другие характеристики, такие как скорость перемещения ударного скачка, давление за его фронтом слабо, особенно при небольших значениях ар, зависят от типа газа, заполняющего пузыри. При ударе наибольшему сжатию подвержены пузыри, рассчитанные по изотермической модели дисперсной среды, радиус которых при начальной концентрации до 0.3 уменьшаегся примерно на порядок. При использовании изотермической модели с несжимаемой несущей жидкостью пузыри за ударным фронтом исчезают полностью. В п.п. 3.3.2 - 3.3.3 изучены течения при ударе капель пузырьковой жидкости с выпуклой головной частью по жёстким или деформируемым преградам для режима с присоединённым к периметру пятна контакта скачком уплотнения. Для этого же режима течения исследован косой удар сферической капли пузырьковой жидкости по деформируемой преграде. Полученные результаты обобщают соответствующие данные из 1124 - 126], где рассматривался удар капель однофазной жидкости, на капли жидкости, содержащие пузырьки газа. Использованные в п.п. 3.3.2 - 3.3.3 подходы позволяют исследовать лишь начальную стадию взаимодействия, давая возможность оценить величины параметров в отдельных точках течения при ударе. Полную картину явления удара капли можно получить из вычислительного эксперимента, численно решая соответствующую систему дифференциальных уравнений обобщённо-равновесной модели, описывающую течение пузырьковой жидкости, что проделано в п.
3.3.4. Заметим, что в литературе моделирование удара капли проводилось для жидкостей без газовых включений и в пренебрежении окружающим каплю воздухом (51]. Показано, что в ряде случаев окружающий каплю воздух сильно влияет на процесс взаимодействия капли с преградой.
В разделе 3.4 в рамках обобщённо-равновесной модели исследуются процессы при взаимодействии воздушных ударных волн с каплями пузырьковой жидкости. В литературе для рассматриваемого класса задач известны работы лишь для капель без газовых включений [51, 127 - 130]. В процессе взаимодействия капли с ударной волной происходит насыщение газом жидкости, на что впервые было обращено внимание в работе [103]. Натичие же в капле пузырей оказывает сильное влияние на деформацию капли в потоке за ударной волной. В п. 3.4.1 изучена начальная стадия дифракции воздушной ударной волны на сфс-
19
рической капле пузырьковой жидкости (для регулярного режима отражения). Показано, что угол преломлённой ударной волны в области малых значений концентраций газа в жидкости существенно зависит от доли газа в смеси. Значения определяющих параметров взаимодействия слабо зависят от сорта газа, заполняющего пузыри. Вычислены зависимости критического угла, отделяющего регулярный режим отражения от маховского, от концентрации газа при различных числах Маха в падающей на каплю пузырьковой жидкости ударной волны. Показано, что с увеличением концентрации газа в капле критический угол слабо растёт, но в области, характерных для вспененных жидкостей, - резко возрастает. Для более полного представления о взаимодействии необходимо решить общую систему дифференциальных уравнений в частных производных, что возможно лишь численно. В п. 3.4.2 изучено взаимодействие ударных волн со сферическими, эллипсоидальными, тороидальными, а также каплями пузырьковой жидкости с вогнутой по отношению к набегающему потоку головной частью. Варьировалось число Маха в падающей ударной волне, концентрация газа в капле. Показано, что с увеличением доли газа в капле последняя становится более подвижной, смещаясь на большее расстояние, что связано с уменьшением её массы. С увеличением доли газа в капле растёт толщина погранслоя, формирующегося в приповерхностном слое с наветренной части капли, при этом максиматьный поперечный размер деформированной капли уменьшается. Последний также уменьшается с увеличением силы падающей ударной волны. Рассмотрено взаимодействие ударной волны с несколькими, расположенными рядом, каплями жидкости. Картина взаимодействия существенно отлична от той, которая имеет место при отсутствии в каплях газовых включений. В п.
3.4.3 исследуются процессы при взаимодействии воздушной ударной волны с ансамблями капель пузырьковой жидкости. Показано, что при падении ударной волны на экран, состоящий из капель вспененной жидкости, режим течения качественно отличается от того, что имеет место в случае экрана из капель без газовых включений.
Практическая ценность результатов работы состоит в разработанных математических моделях, полученных аналитических решениях, алгоритмах и вычислительных программах, а также результатах расчетов. Полученные в ра-
20
боте данные по воздействию ударных волн с ансамблями капель могут быть использованы, например, при проектировании устройств для подавления мощных ударных (детонационных) волн, распространяющихся, например, в шахтах при возникновении аварийных ситуаций. Сфера приложения развитых в диссертации методов исследования шире, чем описано в работе. Они могут быть непосредственно использованы для исследования процессов, происходящих, например при плазменном напылении металлических частиц, при высокоскоростном взаимодействии металлических тел. Полученные результаты могут быть востребованы при решении экологических проблем, в прикладных задачах геофизической гидродинамики. На основе материалов диссертации для студентов физического факультета ЧелГУ автором в течении ряда лет читается курс лекций: «Моделирование волновых процессов в односкоростных гетерогенных системах».
Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на IV Всесоюзной научной школе: «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 1989); на II, VI Забабахинских научных чтениях (Челябинск, 1990, 2001); на V Всесоюзной школе-семинаре: «Современные проблемы механики жидкости и газа» (Иркутск, 1990); на Всесоюзном семинаре: «Динамика пространственных и неравновесных течений жидкости и газа» (Миасс, 1991); на XI международной школе: «Модели в механике сплошной среды» (Владивосток, 1991); на Всесоюзном симпозиуме: «Газодинамика взрывных и ударных волн, детонации и сверхзвукового горения» (Алма-Ата, 1991); на совещании-семинаре по механике реаг ирующих сред (Томск, 1992); на Всероссийском семинаре: «Динамика пространственных и неравновесных течений жидкости и газа» (Миасс, 1993); на международном совещании-семинаре по сопряжённым задачам физической механики и экологии (Томск, 1994); на V международной конференции: «Лаврентьевские чтения но математике, механике и физике» (Новосибирск, 2000); на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); на семинарах в ИГ СО РАН, ИТПМ СО РАН, ЧелГУ.
Диссертационная работа, состоящая из введения, трех глав текста и выводов, изложена на 291 страницах, содержит 197 иллюстраций. Список используемой литературы имеет 194 наименования. Основные результаты диссертации опубликованы в 35 печатных работах, приведённых в списке используемой литературы.
21
ГЛАВА I
ОБОБЩЁННО-РАВНОВЕСНАЯ МОДЕЛЬ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СРЕДЫ
1.1 ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МОДЕЛИ
В рамках существующих односкоростных моделей дисперсных сред не удаётся адекватно описать ряд явлений во вспененных, а также пузырьковых жидкостях, поэтому была разработана так называемая обобщённо-равновесная модель гетерогенной среды. В рассматриваемой модели наряду с уравнениями, выражающими законы сохранения массы, импульса и энергии для смеси в целом, используются соответствующие уравнения для индивидуальных составляющих, поэтому общее число уравнений модели пропорционально количеству фракций в смеси. Системы уравнений оказываются существенно более сложными по сравнению с традиционно используемыми в рамках равновесных моделей. В предлагаемой модели учтена поправка Рахматулина [115], связанная с необратимостью ударного сжатия компонентов смеси. Использование для описания гермодинамических свойств индивидуальных фракций двучленного уравнения состояния никоим образом не ограничивает общность изложения, так как основные выводы не зависят от вида уравнения состояния. Коэффициенты двучленного уравнения состояния для ряда конкретных веществ приведены в [121], где также изложена методика подбора этих коэффициентов по известным экс-периментальным данным.
1.1.1 Изоэнтропа и ударная адиабата многокомпонентной смеси
Рассмотрим односкоростную многокомпонентную смесь. Выделим в ней малый индивидуальный объём среды У (рис. 1.1.1. 1). Пусть каждый компонент среды в рассматриваемом фрагменте смеси занимает объёмы У1, У2. ... , Уп соответственно, причём
и
Рис. 1.1.1.1. Малый объём V, У =
занятый «-компонентной гетерогенной смесью.
Учитывая, что масса /-й компоненты среды равна т, = , выражение для средней плотности смеси, относящейся к объёму У,
можно переписать в виде
2/'
1=1
22
Р=у^т- = = X А°7=X ’
»»/ ««/ >•] Ы1
(1.1.1)
где р° и а, = У,/У - истинная (физическая) плотность и объёмная доля (пористость) нго компонента смеси. Заметим, что
2>-£Н2>7- <|,2>
|в/ Г»/ /а/
Введём приведённую плотность /-го компонента смеси (/>,.), определяя её из соотношения -т^У. Таким образом, выражение (1.1.1) можно переписать в виде
/=у
Отметим, что объёмную долю /-й составляющей смеси можно вычислить через отношение приведённой плотности к истинной
(1.1.3)
~ V р° V р°У р°-
(1.1.4)
а)
Ь)
Рис* 1.1.1. 2. Индивидуальный объем дисперсной среды в от-счетный (а) и текущий (Ь) моменты времени.
Пусть в отсчётный момент времени / = произвольный малый объём У0 среды имел вид, представленный на рис. 1.1.1. 2, а, который к текущему времени / трансформировался в объём V (рис. 1.1.1. 2, Ь). Введём параметр Я., характеризующий степень изменения с течением времени объёма Уг0, занятого /-м компонентом
1
Р?о
г=_
Ко Р? (т,о/Р"о) Р°, '
(1.1.5)
В (1.1.5) учтено, что = т10, так как рассматривается индивидуальный объём среды, следовательно, масса /-го компонента среды, заключённого в объёме У,,
23
с течением времени не меняется. Если предположить, что истинная плотность /-го компонента зависит только от давления р, то есть рх = <р£р), то соотношение
(1.1.5) можно переписать в виде
л=/йМо>). (1.1.6)
Выразим объёмную долю /-го компонента среды в текущий момент времени / через начальную. Для этого запишем
_ _У,_У,У,»У,_У,ш К У,..а , 1
‘ У У Ко Ус К Ко У (У/КЇ
п гг п
у у Уі0
С другой стороны, — = / ^ т/ - х/ = / . Таким образом,
у° ТҐУ‘° 0 ТҐ
<*, = «,д/У«/Д - (1 1-7)
/ /=/
Учитывая (1.1.7), формулу (1.1.1) можно переписать в виде
И о п
X 1 о Р\ о X 1 о
п / -Рі аі0 0 / аіоРіО
»=7
»-/ »-і
п
Следователь но, — =
М >» о
“ ------------
Если компоненты с индексами т+/, ... , л несжимаемы, то последнее выражение принимает вид
7-Гтг*!»- (|Л'8>
^ 7=7 * /=«+7
Будем считать, что термодинамические параметры /-го сжимаемого индивидуального вещества подчиняются двучленному уравнению состояния
= с2ЛР° ~ Р.,))/((/, - Пр! ), (1.1.9)
где г,,А, А! - константы, определяющие его свойства. В частности, для воды:
Г =5.59, р. = 1000 кг/м3, с. = 1515 м/с [121]. Скорость звука в /-м сжимаемом компоненте подсчитывается из соотношения
с*=^ГЛР + Р.*)/р?, (1.1.10).
где а, = Р.(с1{/у, • Формула (1.1.10) следует из следующих соображений. Воспользовавшись выражением (1.1.9), имеем
24
<ір°
= (г,- і)£і + (у> - Ор!
№
+ С‘ -
Р-сІАРі ~ Р.і) р°і
+ (У<-1)Р°
<*с,
ар*
+ с2.{.
(1.1.11)
г5,
С другой стороны, из первого закона термодинамики имеем
с1е1+рс1{11р,:)=Т<181.
Для изоэнтропического процесса (а31 = 0), поэтому справедливо равенст во
йеі ) _ р
0\2
№ к (А*)
(1.1.12)
Подставив (1.1.12) в (1.1.1 IX получим (1.1.10). Из (1.1.10), в частности, следует
Ф уАр+р.,) а(р+Р") гар* соотношение -^Т = о ШИ : о» интегрируя которое, полу-
Р + Рч
А
чим
(Ро + Рч )/(Р + Рч ) = (р!/Р?оТ • Из последнего выражения имеем р°, =
(1.1.13)
Р + Рч [Ро + Рч
ИгI
, подставив которое в со-
отношение (1.1.8), получим изоэнтропу смеси
,'/у. /г
Ы1
Ро+Рч
Р+Рч
+
(1.1.14)
і*т+і
Дифференцируя (1.1.14) по плотности р и учитывая, что с2=(ф/ф>)?, найдем скорость звука в смеси
с =
і
Ро_
„2
т
У—
1=1
уАр+Рч)
/ \ чпЛ
Ро + Р.І
[р+а, ;
-1
(1.1.15)
В част ном случае двухфазной смеси идеального газа с одним несжимаемым компонентом выражения для изоэнтропы смеси (1.1.14) и скорости звука (1.1.15) приводятся к виду
р = р„(а0р/(р„-и-а0)р)У, (1.1.16)
(1.1.17)
с = ^оРо_
<ХоР
{р0-(1-а0)р
соответственно. Здесь а0 - газосодержание в смеси, с0 = у]ур0/(р0ао) - скорость звука, относящаяся к начальному состоянию.
25
Как и в [115] примем, что при ударном сжатии каждая фракция смеси сжимается по индивидуальной ударной адиабате. Для двучленного уравнения состояния (1.1.9) соответствующая адиабата /-го компонента имеет вид
Р°г = р\
Х!(Ро+Р.<) + Р+Р.!
Х^Р + Р.г) + Р0 + Р^
Формула (1.1.18) следует из соотношений Ренкина-Гюгонио на ударном скачке \р:\о-\р>\=о, (1.1.19),
[лЧМр+ />>']=О, (1.1.19)2
\р*{в,,+и212)]р-\р!и{8, + иг/2) + ри}=0, (1.1.19)з
где квадратными скобками обозначены разности значений стоящих внутри скобок величин по обе стороны разрыва. Из (1.1.19)1 следует выражение для скорости перемещения фронта У В в виде
о = {р%и2 -л>,)М-р*), (1.1.20)
где индексами «/» и «2» отмечены значения параметров перед и за ударным фронтом. После подстановки (1.1.20) в (1.1.19)2 и некоторых преобразований получим соотношение для разницы скоростей
"2-«,=^Р2-Р,М'-Г,',). 0-1.21)
где введено обозначение V? = У//?,0. Из (1.1.19)з, с учётом (1.1.20) и (1.1.21), нетрудно получить соотношение
Ъг -*,/ + (Р, + Р2Ж -К)/2 = 0. (1.1.22)
С другой стороны, учитывая уравнение состояния (1.1.9), справедливо равенство
Ь*2 ЬИ , 0 / 0 *
(Г,-1)Рп
Соотношение (1.1.18) следует из сопоставления выражений (1.1.22) и (1.1.23). Ударная адиабата многокомпонентной смеси, с учётом (1.1.8) и (1.1.18), принимает вид
р р-г Х<Г'„‘Г.ЛЧ’-Г'.,\
Отметим, что выражение (1.1.14) удовлетворяет следующей системе неравенств и предельных соотношений
26
с>р(У,5)Іс>У<0, д2р(У,5)/дУ2 >0, Р-+СО При V -> Уж.
(1.1.25)
(1.1.26) (1.1.27)
Здесь V = 1/р - удельный объём смеси. При наличии в смеси несжимаемых компонентов при уменьшении удельного обьсма последний, в отличие от однофазной среды, имеет некоторое предельное, отличное от нуля, значение К. Первое условие (1.1.25) свидетельствует о термодинамической устойчивости среды, а второе (1.1.26) исключает возможность формирования ударных волн разрежения, допуская ударные волны сжат ия.
Заметим, что для бинарной смеси с одним несжимаемым компонентом выполнение неравенст в (1.1.25) - (1.1.26) проверяется непосредственно. В самом деле, дифференцируя выражение
Отсюда видно, что неравенства (1.1.25) и (1.1.26) выполняются. Третье условие
(1.1.27) также справедливо, в чём нетрудно убедиться непосредственно, учитывая, что в рассматриваемом случае У,-(1-а0)!р0. При рассмотрении общего случая я-компоненгной смеси, первые т фракций которой сжимаемые, иереии-шем выражение (1.1.14) в виде
Из приведённых соотношений непосредствешю следует выполнение соответствующих неравенств (1.1.25) - (1.1.26), а также предельною соотношения
(1.1.27), для которого справедливо выражение
Р = Ро{ао1(РоУ + ао~1))\
(1.1.28)
по V, получим
р р/рV = ~(ур0р0/а0\а0/{р0У + а0~ 1)УЧ,
Р2р/рУ2 = у{у + 1)р0 (р0/а0У(а0/(р0У + а0-1))7*2.
(1.1.29)
После дифференцирования соотношения (1.1.29) по У, получим
27
(1.1.30)
Приведём соотношения для расчёта прямых скачков уплотнения в дисперсной среде. Пусть имеется неподвижная однородная смесь с плотностью р0, находящаяся под давлением р0, по которой движется ударная волна. Параметры среды за её фронтом (с индексом «5») связаны с начальными соотношениями Ренкина-Гюгонио
{р,-Ро')° = и,р,, р1и1й= р,+р,и; ~р0, (1.1.31)
которые необходимо рассматривать совместно с выражением ударной адиабаты смеси (1.1.24). Бели известно давление за ударным фронтом, то остальные параметры, в соответствии с (1.1.24) и (1.1.31), рассчитываются из соотношений
и. =
Р,~Ро
Ро
I
т
Ы1
( Ро+Р„+Х1(.Р, + Р.,) Р,+Р., + ХЛРо+Р
1-2>-*'V Ыт*1
Р,=Ро
у РО^Р^ЩРГ^ +у 4- IР.+Р.1*х,(Р, + Р.1)) 4-
Рв+р.1+хЛр.+р.,)
р-т+] п
-I
-л-1
(1.1.32)
. V [ Ро+р.,+хлря+р.{) |
. "5 Лрлр^хЛРо + р^У^0.
При рассмотрении газожидкостной смеси с одним несжимаемым компонентом удается выразить искомые параметры через число Маха
Ро
у + 1
у + 1
2а,
— = /-А Г + ^
1-
1 ') М2
му
сс0(Г-1)
(1.1.33)
у + 1-2а0 +2(1 -а0)1 М2 5 где М = О/с0, О - скорость перемещения фронта У В, с0 = ^ур0/(аоро). В самом деле, комбинируя соотношения (1.1.31) с уравнением ударной адиабаты смеси Ро/а = <*о(ХРх+Ро)/(XРо + А)■+7- ао> получим
Рш ~ Ро~ аоРо°:((Х -1)Ро-(Х- ])Рх)/(ХРо + а), .
откуда непосредственно следует первая формула (1.1.33). Остальные соотношения следуют из (1.1.31) и (1.1.7). Заметим, что при а0-> 1 соотношения (1.1.33) стремятся к соответствующим выражениям для идеального газа.
28