Задачи трубопроводного транспорта с переменными граничными условиями

1
Введение.
Акту альность темы.
Современные магистральные трубопроводы для перекачки газа, нефти и нефтепродуктов проектируются для установившегося режима течения, однако часто работают при неустан овившихся режимах. Это связано с их значительной протяженностью, наличием большого количества насосных и компрессорных станций, плановым и случайным изменением расхода. Современный нефтепровод представляет собой сложную разветвленную систему с большим количеством присоединенных трубопроводов; кроме того, система работает в условиях переменного объемного расхода в очень широком диапазоне. Неустановившиеся процессы в магистральном трубопроводе, связанные с изменением режима перекачки (остановка или пуск насосных агрегатов, регулирование давления и расхода, отключение или подключение попутных сосредоточенных отборов и подкачек на участке трубопровода и т.д.), сопровождается распространением по системе труб волн повышенного и пониженного давления, которые могут привести к динамическим перегрузкам линейной части трубопровода, т.е. превысить предел прочности труб. В результате возможны опасные колебания давления и расхода, нарушение снабжения нефтью и газом потребителей, уменьшение надежности трубопроводных систем. Выход из строя оборудования, разрушение линейных участков труб могут привести не только к экономическому ущербу от недопоставки продукта, но и к авариям с тяжелыми последствиями для окружающей среды.
В связи с этим важное значение приобретает проблема управления работой трубопроводов при переходных режимах. Практика эксплуатации магистральных нефте- и газопроводов в условиях современной технологии перекачки и функционирования ставит новые гидродинамические задачи но расчету систем автоматического регулирования, решение которых служит обеспечению надежной эксплуатации систем трубопроводоводного транспорта при переходных гидравлических режимах.
Цель диссертации.
В настоящей работе рассматриваются задачи транспорта нефти и газа при постепенном изменении граничных условий: давления, расхода, включении и отключении попутных отборов и подкачек. Цель работы - исследование таких переходных процессов в сложной трубопроводной системе.
2
Основные задачи исследования.
1. Разработка метода исследования неустановившихся процессов в трубопроводе при постепенном изменении граничных данных.
2. Создание математической модели начальных условий для рассмотренного класса задач.
3. Исследование процессов постепенного включения и отключения попутных сосредоточенных отборов/подкачек как с использованием ^- функции Дирака, так и без нее.
4. Получение расчетных формул при различных темпах постепенного изменения граничных условий.
5. Исследование взаимодействия темпов постепенного изменения граничных условий и трения жидкости о стенки грубы.
6. Получение расчетных формул при различных темпах изменения попутных сосредоточенных отборов и подкачек.
7. Создание математической модели постепенной закупорки в трубопроводе.
История вопроса.
Начало исследований нестационарных процессов движения жидкости в трубах относится к последней четверти XIX века. Фундаментальный вклад в исследование этой проблемы внес Н.Е. Жуковский, чья классическая работа о гидравлическом ударе [24] в водопроводных трубах послужила начатом для создания большого числа работ по неустановившему ся одномерному движению жидкости. Н.Е. Жуковский рассматривал задачи для идеальной упругой жидкости, т.е. не учитывал силу трения о стенки трубы. При этом основное внимание было посвящено анализу процессов, возникающих при изменении расхода воды, протекающей через трубу. В результате
Н.Е. Жуковским были выведены дифференциальные уравнения одномерного движения капельной слабосжимаемой жидкости с учетом упругости стенок трубы, которые для некоторых случаев были проинтегрированы по методу Римана. Для определения приращения давления в случае прямого гидравлического удара при внезапной (мгновенной) остановке течения воды Н.Е. Жуковским получена формула
АР = cpw0 = j. (1)
Обозначение введено но первой букве фамилии Жуковского в ее латинской транскрипции. Эта формула, согласно которой приращение давления в трубе пропорционально скорости течения w0, потерянной при ударе, и скорости
3
распространения волны в трубе с, получила многочисленные опытные подтверждения для случая, когда потерями напора на преодоление гидравлических сопротивлений можно пренебречь. При этом им была получена формула для определения скорости с (скорости звука в капельной упругой жидкости, текущей в трубе с упругими стенками, которая не зависит существенно от силы удара, но зависит от материала трубы и отношения толщины ее стенок к диаметру грубы. Скорость ударной волны остается постоянной.
Позднее И. А. Чарный [53] вывел уравнения, учитывающие силу трения и получил основные законы, описывающие нсустановившсеся движение жидкости и газа в трубе.
Последующие работы, посвященные этой проблеме, выполненные
З.Т. Галиуллиным [4], Д.М. Волковым, Г.Д. Розенбергом [44, 45, 46 и др.], Б.Л. Кривошеиным [28, 29] и др. рассматривают, в основном, линейную часть трубопровода.
Для сложной трубопроводной системы основные расчетные формулы получены М.А. Гусейнзаде [15, 16, 17, 20 и др.], С.А. Бобровским, С.Г. Щербаковым, В.А. Юфиным [2, 21, 22, 58 и др.].
Пеустановившееся движение газа характеризуется изменением во времени основных параметров потока: скоростей, давлений, плотностей, температур. Поскольку длина прямолинейных участков труб значительно больше диаметра, а диаметр намного меньше длины волны, движение газа в трубопроводной системе можно считать одномерным. Одномерное пеустановившееся движение газа в цилиндрической горизонтальной трубе постоянного сечения описывается системой уравнений газовой динамики:
Здесь Р09 и>0, р0У Г0 - статистические составляющие давления, скорости,
плотности и температуры газа, у - показатель адиабаты; х - координата вдоль оси
трубы; t- время; И - диаметр трубы; Я - коэффициент гидравлического сопротивления в формуле Дарси-Вейсбаха; /? - газовая постоянная. Воспользуемся
с д1 дх
(2)
(3)
с2 ~уЯТ0 = у^-
(4)
Ро
4
гипотезой квазистационарности, впервые принятой С. А. Христиановичем для расчета неустановившегося течения в открытых руслах, в соответствии с которой Я(Ле) = ЯС7.(Ке), т.е. величина Я при неустановившемся движении зависит от числа
Рейнольдса так же, как и при установившемся течении Л^ .
Система (2)—С4) оказывается нелинейной и получить се решение в явном аналитическом виде практически невозможно;, кроме того, в пользу разумного упрощения математического описания процесса свидетельствует значительный элемент неопределенности исходных данных и, в частности, некоторая условность в формулировании граничных условий. Поэтому предпочтительнее сначала получить аналитическое, пусть приближенное решение, демонстрирующее качественную картину процесса.
При скоростях потока газа в трубе 10-25 м/с влиянием конвективного члена можно пренебречь, и, считая процесс изотермическим, выпишем систему, полученную И.А.Чарным [531:
1 ЭР д , ч Л
7а^М=в <2'
<я
С2 = ят = ~ (6)
Р
Нелинейность системы (2)-(5)-{6) связана с наличием в уравнении (5) члена, отражающего влияние трения. Замена соответствующей квадратичной зависимости линейной приводит к линейным уравнениям, допускающим запись решения в виде рядов. Такой подход, основы которого заложены И.А. Чарным [45, 46, 53 и др.], получил широкое развитие [2, 13, 14, 37, 38, 39, 40, 56, 58 и др.].
Лр , ,
Предложенная И.А. Чарным линеаризация сводится к замене члена
линейным относительно массовой скорости () = р\\’ членом 2арм у в результате чего система уравнений (2)-{5)-(6) принимает вид:
дх 6/ Пл
1 дР _д0_ К )
с2 д( дх
Для вычисления параметра 2а в работе И.А. Чарного [53] приведена формула:
где w;/, \vB - соответственно нижняя и верхняя границы интервала изменения скорости, на котором осуществляется линеаризация. Некоторое уточнение процедуры применения критерия [28, 29J равенства площадей, ограниченных кривой
у = w|w| ‘ (9)
и искомой прямой 4 aD
У = ~гw (10)
А»
дает выражение [wf] > 0):
A wl + WnWu + w„
2 а =-----------*----------^-У- (И)
ID wB + wH
В работе Панкратова B.C. и др. [37] предложен более естественный при определении параметров апироксимационных зависимостей критерий минимума среднего квадратического отклонения; в этом случае параметр а должен обеспечивать наименьшее значение интегралу:
10(а) = £ ” (w\w\ - w dw (12)
Wff \ А
После необходимых вычислений получаем
Mwl\wB\-w3H\wH\
2 а =---------; г-------------- (13)
8£> Wg - w3H
Более точную аппроксимацию кривой (9), также приводящую к линейной модели, можно ожидать, рассматривая более общий по сравнению с (10) класс прямых
у = Aw+В
В этом случае аналог первого уравнения системы (7) имеет вид
— ^Щ + aQ+PP 04)
OX Gt
где а = А, р = ——j В (15)
& а П ^
— А, Р~---------
3D У 2D&
Критерий равенства площадей при wH ^ 0 дает значения коэффициентов:
6
а условие наилучшего среднего квадратического приближения, сводящееся к минимизации интеграла
(w\w\ - Aw-В ~
>wH
/,(Л,£) = J rf(w|w|- Aw- B)'dw
приводит к выражениям
_ waKI~ W*K1 + 2уудн>„(и>„|м>„|- м>д[и>д|) (*в-*н)
. ” Н\" Н\ ' В” Н\” И\” п\ - В\” B\f
А - ; — (17)
1 К + ^//)КК1-^//К1-8м;л(К|--К|))
В = -- 7з О«)
6
Приведенные формулы позволяют построить линейную модель нестационарного течения газа. Однако, обратим внимание на следующие обстоятельства:
Во-первых, используемые для получения оценок критерии обеспечивают
равномерное приближение функций на отрезке [vrw,we], в то время, как наиболее
существенной с точки зрения влияния на результаты расчета может оказаться ошибка аппроксимации на некотором подынтервале.
Во-вторых, поиск коэффициентов линеаризации осуществляется не из условия наилучшей аппроксимации члена уравнения, отражающего влияние силы трения, а лишь его составляющей, зависящей от скорости.
В-третьих, имеется очевидный произвол при выборе параметров wtn wB, существенно влияющих на значения коэффициенте линеаризации и, следовательно, на решение.
И наконец, трудно оценить, в какой степени сказывается ошибка аппроксимации "квадратичного" трения "линейным" на решении различных классов технологических задач. Таким образом, как справедливо отмечает М.Г. Сухарев [49], проблема разработки процедур выбора коэффициентов линеаризации в зависимости от особенностей задачи и, в частности, от граничных условий, остается акту альной.
Вопрос о том, насколько правомерна и какую точность решений обеспечивает такая линеаризация, рассматривался многими авторами [2, 4, 30, 35, 37, 38, 40, 46, 50, 53, 56, 58].
В работе Панкратова B.C. и др. [37] решатся, в частности, вопрос о том, какую точность приближения решения нелинейной системы дают различные варианты линеаризации. Рассмотрена следующая задача: пусковой режим простого трубопровода
7
моделируется но изменению массового расхода скачком до некоторого значения О0 на правом конце трубы и по поддержанию на левом конце давления Р0, равного
первоначальному давлению газа на данном участке длины L, соответствующие начальные и граничные условия имеют вид:
Р(х,0) = Р0, Q(x,0) = 0; f > 0, P(0,t) = P0, Q(L,t) = Q0
Применительно к этой задаче был рассмотрен вопрос о точности различных способов линеаризации. Расчеты производились для следующих условий: D = 1,4m;
L = 150 км; Р0 = 7,36 Mua; Q0 —103,93 млн. м3/сут; с = 315 м/с; Л = 0,01. Решение линеаризованных уравнений осуществлялось аналитически, не
линеаризованных - на компьютере методом прогонки. Относительная погрешность расчета давления для задачи пускового режима для линейного участка трубопровода не превышает 7-8 %.
Согласование начального условия по времени t и граничных условий но координате х приводит к необходимости ввести зависимость граничных условий от времени и, как правило, осложняет как получение решений задачи, так и расчеты по ним. Для решения конкретных практических задач необходимо создание новой математической модели, соответствующей построенным граничным условиям, зависящим от времени и объяснимой с физической точки зрения.
В работе Тарко Л.М. [51] изучались изменения граничных условий (скорости) на начальном сечении трубопровода, линейно зависящие от времени. При этом рассматривались волновые процессы в трубопроводах, без учета сил трения.
В работе Чугаевой А.Н. [56] изучалось изменение граничных условий по синусоидальному закону7; при помощи численных методов показано, что использование линеаризованных уравнений неустановившегося движения газа для задачи с граничными условиями
w(0,/) = \v0 + w* sin tut — f (/), P(L, t) = P^= const = /2 (20)
приводит к ошибкам в определении амплитуд давления менее 20 %.
8
Выпишем линеаризованную систему (7), полученную И.Л.Чарным в [53] и допускающую аналитическое решение:
.ÊH = Q0-+2aQ
дх dt т
J dP = çQ {)
с2 dt дх
Исключив из этой системы массовую скорость Q{x,t), полупим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных телеграфного типа:
д2Р 1 о2Р 2а дР
г* = —т г- H z (21 )
дх2 с2 dt2 с2 dt
В представленной работе впервые рассматриваются задачи, описывамые уравнениями телеграфного типа, где плавное согласование краевых условий
достигается за счет множителей (l - ехр(-А;/)) или ехр(-£г/), где - известные действительные и положительные постоянные, причем и к2 действуют на начальном и конечном сечениях соответственно. Таким образом, показатели к. имеют размерность 1jt и могут меняться от нуля до бесконечности. Значения kt = О означают, что в рассматриваемом процессе не происходит возмущения; значения к, —> оо будут означать мгновенное (не постепенное) изменение от одного граничного
условия к другому. Таким образом, показатель kt характеризует быстрот}' перехода от одного значения давления жидкости или газа (или их расхода) к другому; при больших численных ki время такого перехода не велико.
Диссертационная работа посвящена изучению и качественному анализу соотношений параметра к, отвечающего за быстроту перевода граничных условий из одного состояния в друг ое, и 2а, введенного И.А. Чарным для характеристики трения о стенки трубы.
Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:
1. Для записи постепенного изменения граничных данных использованы
выражения вида Оехру-к /), названные присоединенными скоростями.
2. Введение экспоненциальной зависимости граничных условий от времени обеспечивает согласование начальных и граничных данных.
3. Разработана математическая модель создания начальных условий для решения волновых задач.
4. Получены расчетные формулы для широкого класса задач с постепенными изменениями граничных данных.
5. Исследовано изменение давления до и после мест отбора и подкачки.
6. Рассмотрен вопрос об изменении давления жидкости в трубопроводе при постепенной закупорке.
7. Проведен качественный анализ соотношений параметра к, отвечающего за быстроту перевода граничных условий из одного состояния в другое, и 2а, введенного И.А. Чарным для характеристики трения о стенки трубы.
8. Разработан метод для суммирования тригонометрических рядов при наличии б -функции Дирака, используемой для решения задач при наличии попутных отборов и подкачек.
Достоверность исследований:
Полученные расчетные формулы при более общей постановке задач течения жидкости и газа в трубопроводе сопоставлялись с имеющимися в .литературе решениями для частных случаев. В частности, результаты сопоставлялись с имеющимися решениями для линейной части трубопровода. В каждом необходимом случае были показаны возможные гидроудары при резком (не постепенном) изменении граничных условий.
Практическая ценность результатов работы
Полученные автором результаты позволяют на стадии проектирования трубопровода указать предпочтительные и неблагоприятные режимы изменения граничных условий.
Проведенный качественный анализ соотношений между коэффициентами к и 2а может быть использован при проектировании и эксплуатации трубопроводов.
Полученные расчетные формулы позволяют в ряде случаев предсказать место закупорки трубопровода.
Положения, выносимые на защиту;
1. Создание математической модели волнового течения жидкости и газа в трубах при постепенном изменении граничных условий.
10
дР
2. Создание математической модели начального скачка давления — , ,, для
д1 ' = °
широкого класса задач, описываемых уравнениями гиперболического типа.
3. Взаимодействие трения жидкости о стенки трубы и постепенного изменения граничных условий.
4. Качественный анализ соотношений между коэффициентом к, отвечающего за теми перевода граничных условий из одного состояния в другое, и 2а, характеризующим силу трения жидкости и газа о стенки трубы.
5. Решение задач с постепенным включением, отключением, а также изменением количества попутных отборов и подкачек.
6. Общие решения для широкого класса задач с постепенными граничными данными.
Личный вклад соискателя:
Автором выполнены следующие работы:
- использованы экспоненты для записи постепенного изменения граничных данных в
целях их согласования с начальными условиями.
- разработана математическая модель создания начальных условий для решения
волновых задач транспорта нефти и газа.
получены общие решения для широкого класса задач с постепенными изменениями граничных данных.
- проведен качественный анализ соотношений между коэффициентом к, отвечающего за темп перевода граничных условий из одного состояния в другое, и 2а, характеристиующим силу трения жидкости и газа о стенки трубы.
- исследовано изменение давления до и после места отбора и подкачки.
рассмотрен вопрос об изменении давления жидкости в трубопроводе при постепенной закупорке.
- разработан метод суммирования для некоторого класса тригонометрических рядов для решения задач при наличии попутных отборов и подкачек.