-2-
Содержание
Введение..................................................................4
1. Предпосылки метода граничных состояний.................................8
1.1. Известные решения для сред........................................8
1.1.1. Обзор по общим решениям.....................................8
1.1.2. Обзор по фундаментальным решениям...........................9
1.2. Обзор энергетических методов механики............................10
1.3. Обзор по теоремам взаимности.....................................14
1.4. Обзор по задачам для корпусных тел...............................16
2. Обоснование метода граничных состояний................................20
2.1. Пространство внутренних состояний среды..........................20
2.2. Пространство граничных состояний среды...........................21
2.3. Методология выбора базиса пространства внутренних состояний 23
2.3.1. Плоские задачи изотропной упругости...............................25
2.3.2. Плоские задачи анизотропной упругости......................30
2.3.3. Пространственные задачи изотропной упругости...............32
2.4. Выводы по разделу................................................34
3. Основные задачи для линейного континуума..............................36
3.1. Метод решения основных задач.....................................36
3.1.1. Первая основная задача.....................................36
3.1.2. Вторая основная задача........*......................".....37
3.2. Обоснование сходимости............................................7.........................................38
3.3. Базис пространства состояний для односвязной плоской области 40
3.4. Решение задач для односвязной плоской области....................42
3.5. Решение задачи о сдавливании ролика..............................42
3.5.1. Первая основная задача.....................................42
-3-
3.5.2. Вторая основная задача...................................46
3.6. Базис пространства состояний для односвязной трехмерной области . 47
3.7. Решение задач для односвязной трехмерной области................49
3.7.1. Тестирование метода граничных состояний для односвязной трехмерной области........................................49
3.7.2. Решение задач об изгибе балки прямоугольного сечения и изгибе пластин............................................51
3.7.3. Упругое состояние тел сложной конфигурации и вопросы точности решения..........................................55
3.8. Выводы по разделу...............................................61
4. Смешанная задача линейной механики................................ 62
4.1. Постановка основной смешанной задачи............................62
4.2. Обоснование разрешимости........................................65
4.3. Построение решения.................................. ;.........70
4.4. Выводы по разделу...............................................71
Заключение........................................................... 72
Библиографический список...............................................74
Приложения ............................................................83
Приложение 1. Плоские задачи теории упругости........................83
Приложение 2. Пространственные задачи линейной теории упругости.... 84
Приложение 2.1. Решения тестовых задач..........................86
Приложение 2.2. Результаты решения задач об изгибе балок
прямоугольного сечения и изгибе пластин.........................87
Приложение 2.3. Результаты решения задачи о нагружении тела сложной формы...................................................94
-4-
Введение
Все разработанные к настоящему времени методы решения задач МДТТ имеют свои достоинства и недостатки. Так, метод Ритца, минимизирующий квадратичный функционал (вместе со всеми модификациями, включая основное оружие инженера-расчетчика — метод конечных элементов (МКЭ)), сводит проблему к системе линейных алгебраических уравнений, точность решения которой зависит не только от ее порядка, но и от ее обусловленности. МКЭ, кроме этого, имеет еще одну «инструментальную» причину для формирования ошибки вычислений — необходимость дискретизации области, занимаемой телом. Метод Бубнова — Галеркина сводит к системе линейных алгебраических уравнений непосредственно само операторное уравнение. Метод наименьших квадратов минимизирует среднеквадратичную невязку граничных условий с решением и также приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Метод Канторовича реализует минимизацию квадратичного функционала градиентным методом (в функциональном пространстве) и здесь ошибка формируется за счет самого итерационного процесса. Метод М. М. Филоненко-Бородича (П. Ф. Пагжовича, В. Н. Ионова, П. М. Огибалова), как показал С. Г. Михлин, эквивалентен методу Ритца. Метод граничных интегральных уравнений (вместе с его дискретным вариантом — методом граничных элементов) также приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Таким образом, все общие методы решения даже самых простых — основных задач МДТТ, формируют погрешность метода.
Разработка метода, лишенног о этог& недостатка хотя бы на классах основных задач, является назревшей и актуальной задачей. Метод граничных состояний (МТС) обеспечивает возможность построения решения основных задач механики для тел разнообразных конфигураций простыми средствами. Кроме этой особенности МТС имеет достоинство, присущее всем перечисленным методам — он также является общим. Поэтому ею можно положить
-5-
в основу разработки специальных методов решения новых классов задач, таких, как задачи об оптимизации формы тел, задач с подвижными границами и др. Эта возможность также свидетельствует об актуальности темы.
Целью настоящей диссертации является разработка нового метода решения задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и построение решений конкретных задач.
Для достижения поставленных целей в данном исследовании необходимо решить следующие задачи:
-построить новый метод решения задач МДТТ, теоретически строго обосновав его основные положения;
-разработать новый способ построения базиса пространств;
-построить и обосновать новый метод решения основной смешанной задачи МДТТ.
Практическая ценность заключается не только в возможности использования нового метода для решения задач МДТТ, но и в снятии проблемы накопления ошибок метода при решении основных задач МДТТ.
Научная новизна раскрывается следующими положениями:
1. МТС является новым «энергетическим» методом механики, отличающимся от других «энергетических» методов, таких как метод Ритца (во всех модификациях, включая метод конечных элементов), метод Бубнова — Галеркина, метод наименьших квадратов, метод Канторовича и т.п. Принципиальное отличие заключено в понятии «состояние тела», которое трактуется как элемент гильбертова пространства.
2. Построен новый способ выделения базиса пространства состояний, использующий общие решения для среды.
3. Решения, построенные МТС, являются аналитическими по своей сути (в общем случае — аналитически приближенные в виде рядов).
Достоверность полученных результатов обеспечена, во-первых, строгим математическим обоснованием МГ’С, и, во-вторых, тестированием мето-
-6-
да на известных решениях (результаты тестирования показали абсолютное совпадение с известными точными решениями).
В первом разделе работы сделаны обзоры по известным общим и фундаментальным решениям для сред, обзор «энергетических» методов механики с анализом их достоинств и недостатков и определены точки их соприкосновения с МГС, обзор по соотношениям взаимности для различных сред и обзор по известным решениям для тел с различными классами границ и вариантами нагрузок.
Во втором разделе проводится обоснование метода граничных состояний. В первом и втором параграфах вводятся понятия внутреннего и граничного состояний среды, формируются гильбертовы пространства внутренних и граничных состояний с теоремой взаимности для среды как основой скалярного произведения в пространствах; показывается изоморфизм сформированных пространств. Третий параграф посвящен разработке методики выбора базиса пространства состояний. Здесь же строятся базисы для плоских задач изотропной (на основании общего решения в виде функций Колосова — Мусхелишвили) и анизотропной (на основании формул комплексного представления Лехницкого) упругости и пространственных задач изотропной упругости (на основании общего решения Папковича — Нейбера); построения приведены для тел с различными классами границы — ограниченными и неограниченными односвязными, двусвязными, многосвязными.
Третий раздел демонстрирует решения основных задач механики деформируемого твердого тела методом граничных состояний. В первом параграфе показана методика формирования решения первой и второй основных задач механики методом граничных состояний. Здесь сформулированы и доказаны две теоремы о решении основных задач. Второй параграф посвящен обоснованию сходимости решений, построенных методом граничных состояний; сформулированы и доказаны две теоремы о сходимости. В третьем, четвертом и пятом параграфах построен конкретный базис пространства со-
-7-
стояний для односвязной плоской области, развита методика решения соответствующих задач и решены первая и вторая основные задачи о сдавливании ролика поперечной нагрузкой. Шестой параграф показывает формирование базиса пространства состояний для односвязной трехмерной области, занятой изотропной линейно-упругой средой, на основании которого в следующем параграфе решается ряд конкретных задач о нагружении тел как простых (балка, пластина, параллелепипед), так и сложных (прямая призма с Ь-образным основанием) конфигураций; полученные результаты сравниваются с известными точными решениями или решениями, построенными на основе технических теорий. Кроме того, в седьмом параграфе проведен анализ точности построенных решений для тел сложной конфигурации, выявлены факторы, влияющие на точность получаемых решений и предложена методика повышения точности решения при необходимости.
В последнем, четвертом, разделе разрабатывается методика решения смешанных задач линейной механики. В первом параграфе приведена постановка смешанной задачи для метода граничных состояний. Второй посвящен вопросам разрешимости; здесь сформулированы и доказаны две леммы и теорема о решении основной смешанной задачи. Третий параграф показывает построение решения конкретной смешанной задачи.
Заключительная часть работы содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных исследований. Также обсуждены перспективы метода граничных состояний.
В приложениях приведены сопутствующие материалы по решению конкретных задач — базисы пространств, поля механических характеристик в аналитическом виде, эпюры.
- Київ+380960830922