Контактное взаимодействие накладок с упругими телами, нагруженными на бесконечности

Введение
Контакт — один из основных способов приложения нагрузки к деформируемому телу, поэтому задачи механики контактных взаимодействий занимают центральное место в механике деформируемого твердого тела. Величина контактных давлений имеет важное значение для определения напряжений и перемещений. Методы, развиваемые в теории контактных задач, позволяют найти распределение давлений в местах контакта, и таким образом ответить на многие важные вопросы о местах концентрации напряжений, износостойкости и о других факторах контактной прочности и жесткости.
Основополагающими в теории механики контактных взаимодействий являются монографии И. Я. Штаермана [93], Л. А. Галина [70], К. Джонсона [75], В. М. Александрова и М. И. Чебакова [51]. Обзорная монография [88] освещает (до 1975 г.) фундаментальные результаты и методы в теории контактных задач; полный обзор методов решения задач механики контактных взаимодействий и основные достижения за последние годы в этой области механики деформируемого твердого тела представлен в книге [82].
Теория контактных задач находит широкое применение в машиностроении. Ведь, как известно, передача усилий в машинах происходит вследствие контактирования деталей, которые в большинстве случаев можно рассматривать как упругие тела. Немалое значение имеют вопросы разрушения материалов в области контакта и долговечность конструкций. Расчет прочности фундаментных сооружений, определение напряжений, возникающих под основаниями и фундаментами, также приводят к задачам об определении контактных давлений между основанием и фундаментной плитой и о нахождении осадок плиты. Достаточно часто используется модель изотропного упругого полупространства или модель многослойного упругого полупространства для описания основания. Появление конструктивных материалов, в состав которых входят полимеры, привело к рассмотрению контактных задач для вязкоупругих тел. Контактные задачи имеют важные приложения и в других областях прикладной механики.
V*
Контактный задачи относят к так называемому классу задач механики сплошной среды со смешанными граничными условиями. Под смешанными задачами понимают те, в которых граница тел разбита на конечное число областей и на каждой из них заданы свои граничные условия. Классическая постановка контактной задачи подразумевает ряд упрощающих предположений: пренебрежение шероховатостью поверхностных слоев и их особыми физико механическими свойствами и предположение о малости зоны контакта по сравнению с характерными размерами тел. Таким образом, задача в классической постановке сводится к решению некоторой задачи теории упругости со смешанными граничными условиями для изотропных однородных полупространства или полуплоскости. Методы теории функций комплексных переменных, развитые Н. И. Мусхелишвили и его учениками и основанные на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений, оказались весьма эффективными и нашли широкое применение в работах таких классиков, как Л. А. Галин, А. И. Каландия, С. Г. Михлин и др. Теория пространственных смешанных задач была исследована А. И. Лурье, И. Я. Штаерманом, Л. А. Галиным и др. Результаты работ, посвященных решению классических контактных задач, представлены в монографиях И. Я. Штаермана [93], А. И. Лурье [81], Я. С. Уфлянда [91], Н. И. Мусхелишвили [84], Л. А. Галина [70) и др.
Проблемы, возникающие в инженерной практике середины прошлого столетия, подводят к решению неклассических контактных задач, то ость к тем задачам контактного взаимодействия, где необходимо принимать во внимание микроструктуру контактирующих поверхностей, а также контактные задачи для неоднородных анизотропных сред. Можно выделить несколько направлений и методов решения в разработке неклассических смешанных задач.
И первом направлении, разрабатываемом И. Н. Лебедевым, Я. С. Уфлян-дом, И. И. Воровичем, Ю. А. Устиновым и др., задача сводится к некоторым парным интегральным или тройным функциональным уравнениям (рядам, интегральным уравнениям), которые преобразуются к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Его решение находится каким-либо приближенным методом. Второе направление, развиваемое Н. X. Арутюняном, Б. Л. Абрамяном, С. М. Мхитаряном и др., заключается в непосредственном сведении краевой задачи к некоторой бесконечно]! системе линейных алгебраических уравнений. Другой метод — А. И. Лурье, Г. Я. Попов, Н. А. Ростовцев,
3
В. М. Александров и др. — также связан со сведением к бесконечной системе алгебраических уравнений и основан на разложении решения в ряд по специально выбранной системе ортогональных полиномов. Многочлены выбираются таким образом, чтобы получающиеся бесконечные системы уравнений были почти диагональным. Следующее, четвертое, направление характеризуется применением метода коллокации: контактное давление аппроксимируется конечным числом параметров, которые определяются из условия связи, накладываемого на перемещения в конечном числе точек области контакта. Развитие этого направления связано с работами И. Я. Штасрмана, А. И. Ка-ландия, И. И. Воровича, В. М. Александрова, В. М. Фридмана и др. Обзоры работ но всем четырем направлениям были сделаны в свое время Г. Я. Поповым и Н. А. Ростовцевым [87], Б. Л. Абрамяном и А. Я. Александровым [1].
Стоит особо отметить асимптотические методы в механике контактных взаимодействий. Идея о применении последних возникает достаточно часто при решении сложных смешанных задач теории упругости, в которых, как правило, имеется несколько безразмерных геометрических или механических параметров, полностью определяющих задачу. Преимущества асимптотических методов состоят в их универсальности (могут быть использованы в случае плоских задач, пространственных, линейных и нелинейных) и в возможности получения решения смешанной задачи в простой аналитической форме, удобной для последующего качественного и количественного исследований. Асимптотические методы в механике контактных взаимодействий позволяют найти основные характеристики одной и той же задачи в нескольких формах, каждая из которых эффективна в своей области изменения параметров. Как правило, облаетн эффективного применения таких решений перекрывают в общей сложности весь возможный диапазон изменения параметров.
Выделим некоторые из широко применяемых асимптотических методов. Первый из подходов основан на построении асимптотических рядов при больших значениях характерных параметров задачи. Этот метод получил название метода «больших Л». Метод «больших Л» был применен к решению осесимметричной задачи о вдавливании штампа в упругий изотропный слой, лежащий без треиия на жестком основании [68], был использован при решении неосесимметричных контактных задач для слоя [22] и задачи о кручении двухслойной упругой среды штампом [74], где решение ищется в виде ряда но параметру, характерезующему отношение толщины одного из слоев к радиусу штампа . Вообще, метод «больших Л» и различные его модифи-
4
кации применялись при решении ряда плоских и пространственных задач, например, в работах [69], [5], [9], [34], [77], [80]. Построение В. М. Александровым [11] логарнфмически-степеипой асимптотики позволило использовать метод «больших Л» для решения целого ряда новых задач [19], [45], [44], [64], [89] и др.
Но несмотря на свою эффективность, метод «больших Л» не может быть применен при малых значениях характерных параметров задачи. В этом случае В. М. Александровым [б] и несколько позже В. Т. Койтером [98] был построен метод «малых А». Этот асимптотический подход основан на использовании метода Винера-Хоифа [85] и идеи приближенной факторизации Койтера [97]. При помощи метода «малых А» был получен главный член асимптотики решения ряда смешанных задач [11], [9], [21], [42], [45], [67] и др.
В работах В. А. Бабешко [62], [С3| предложен общий способ построения полной асимптотики при малых А интегральных уравнений для некоторых контактных задач для слоя с полосовой и круговой линиями раздела граничных условий. Этот метод заключается в сведении интегральных уравнений к некоторым бесконечным системам линейных алгебраических уравнений и был применен в ряде работ.
В современной технике самое широкое применение нашли композиционные материалы, а также различные конструкции, усиленные или армированные тонкостенными элементами. Кроме того, возникла необходимость решать вопросы тензометриронания. Вес это привело к постановке контактных задач и поиску их решений для тел с тонкими покрытиями и прослойками. Этот класс задач является большой областью исследования теории контактных и смешанных задач механики деформируемого твердого тела и непосредственно связан с важными вопросами инженерной практики. К контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками относят как задачи о контакте тел, армированных тонкими покрытиями или прослойками, так и задачи о взаимодействии стрингеров (тонкостенные элементы типа накладок) и включений различных геометрических форм с массивными деформируемыми телами. Стрингеры и включения, также как разрезы и штампы, являются концентраторами напряжений, поэтому нахождение распределения напряжений в таких задачах и разработка методов, направленных на снижение концентрации напряжений, имеют большое теоретическое и практическое значение.
В работе В. М. Александрова, С. М. Мхитаряна [30] представлены воедино
5
результаты многих исследований по контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками. В [36] были выведены основные уравнения тонких покрытий и прослоек, при этом использовались строгие математические методы теории упругости и учитывалась тон костей ность покрытий и накладок. Также было проведено сравнение полученных уравнений с уравнениями известных механических моделей тонкостенных элементов и определены границы применения последних. Используя полученные результаты, контактные задачи, рассматриваемые в книге, сведены к сингулярным интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям, которые содержат характерные геометрические и физические параметры контактирующих тел. Исследована структура решений и применены асимптотические методы для нахождения приближенного решения уравнений. В книге исследуются и контактные задачи вязкоупругости для неоднородно-стареющих и нелинейно-стареющих тел.
Вообще, контактные задачи для тонкостенных элементов и массивных деформируемых тел можно разделить на два класса. К первому относятся задачи об изгибе тонкостенных элементов типа балок и плит на деформируемом основании; задачи о взаимодействии тонкостенных элементов, изгибной жесткостью которых можно пренебречь, с массивными телами относят ко второму классу.
Первые исследования по изучению задач второго класса были в работах
Э. Мелана (1890-1963), Э. Рейсснера (1913-1996) и В. Т. Койтера (1914—1997) и советских ученых [88).
Важно отметить, что при решении контактных задач для абсолютно гибких тонкостенных элементов и массивных тел широкое применение находят аналитические методы, асимптотические методы и алгоритмы вычислительной математики, приводящие к численной реализации конечных результатов.
Отметим некоторые работы, посвященные изучению задач как первого класса, так и второго.
В работе [54] рассматривается контактная задача изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании общего вида. Задача нахождения прогиба у(х) и неизвестного контактного давления д(х) сводится к совместному решению дифференциального уравнения для прогиба плиты и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. Для решения задачи строится специальная система ор-тонормированных полиномов Qn(x), и приближенное решение дифференци-
6
ального уравнения ищется в виде линейной комбинации по этим полиномам У(х) = о В силу линейности задачи контактное давление также
представляется в виде подобного ряда д(х) = ^2п~{)АцЯп(х). После подстановки разложений функции прогиба плиты и контактного давления в исходное интегральное уравнение и приравнивая выражения при Лп, можем получить интегральные уравнения относительно функции разложения дп(я)- Была исследована структура ядер полученных уравнений и выражена логарифмическая особенность. Решение интегральных уравнений в классе абсолютно суммируемых функций ищется В форме д»(х) = (й/Дт) +.т’2(т))(\/1 — х2)~\ где функции щ(х) — четные и но крайней мере непрерывные. При достаточно большом значении характерного геометрического параметра задачи для приближенного определения Ш{(х) предложено два способа сведения интегрального уравнения к линейной алгебраической системе. Один из них основан на представлении неизвестных функций сог(х) в виде интерполяционных многочленов Лагранжа по чебышевским узлам; второй способ — с помощью ортогональных полиномов Чебышева [65]. Подобным методом была рассмотрена осесимметричная контактная задача изгиба круглых плит на линейно-деформируемом основании [37]. Также задача об изгибе круглой изотропной пластины, лежащей на линейно-деформируемом основании, исследовалась в [92]. В дайной работе задача была сведена к изучению парных интегральных уравнений, для решения которых используется метод однократной и двойной ортогонализации, и в качестве элементов разложения берутся формы собственных неосесимметричных колебаний круглой пластины со свободным краем. В |73] задача изгиба круглой плиты на упругом слое приводится к исследованию интегрального уравнению Фредгольма второго рода. Далее, заменяя ядро уравнения вырожденным с помощью разложения по полиномам Лежандра, задача сводится к решению алгебраической системы двух уравнений с двумя неизвестными. Также, задача изгиба симметрично нагруженной круглой упругой пластины на упругом слое, лежащем на жестком неподвижном основании была решена в [86]. Проблема была сведена к исследованию парного инте!рального уравнения относительно неизвестной функции, определяющей контактное давление и прогиб пластинки.
В работе [38], также как и в [37], рассматривался изгиб круглой плиты на линейно-деформируемом основании, но уже с учетом деформации сдвига. Подобно подходу, приведенному в [37], для решения данной задачи строится специальная система ортонормироваиных многочленов и используется метод
7
сведения интегрального уравнения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений путем разложения в ряды по собственным функциям главной части интегрального оператора.
Задачи цилиндрического изгиба пластин на неоднородном слое, причем закон изменения неоднородности но глубине в слое произволен, исследуются в [3]. Задача сводится к совместному решению дифференциального уравнения изгиба пластины и парного интегрального уравнения, связывающего контактные напряжения под пластиной и прогиб. Используется представление функции прогиба пластинки в виде ряда но формам собственных колебаний пластины при соответствующих граничных условиях, и задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.
Работа [8] посвящена контактной задаче о вдавливании гладкого симметричного (осесимметричного) жесткого штампа в балку бесконечной длины (в бесконечную пластину), лежащую на основании Фусса-Винклера. Из дифференциального уравнения изгиба балки (пластины) при соответствующих граничных условиях находятся функция изгиба балки (пластины), нормальное давление под штампом, сосредоточенная реакция, возникающая на границе зоны контакта, и связь между поступательным перемещением штампа и размером области контакта от величины прижимающей силы. В [40] рассматриваются задачи о вдавливании в бесконечную пластину Кирхгофа-Лява, лежащую на основании Фусса-Винклера, одного или двух ребер жесткости. В обоих случаях задачи были сведены к интегральным уравнениям первого рода относительно неизвестного контактного усилия. Исследуется структура ядра полученных уравнений, и приближенное решение ищется с помощью
а — полудлнна линии контакта, с/, 5 — жесткость пластины и основания соответственно.
В [23] рассматривается задача о цилиндрическом изгибе произвольной пластинки конечной ширины, лежащей без трения на упругом полупространстве. Считается, что в области контакта осуществлено полное сцепление. Задача описывается системой из дифференциального уравнения изгиба пластины и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. Путем интегрирования дифференциального уравнения при соответствующих граничных условиях, подстановки полученного выражения для прогиба в интегральное уравнение и обращения логариф-
метода «больших Л» в виде ряда по степеням А21пА, где А = ■
8
мической части интегрального оператора, задача сводится к интегральному уравнению второго рода относительно контактного давления. Полученное уравнение предлагается решать методом последовательных приближений [65]. Другой подход к решению задачи заключается в сведении первоначальной системы из дифференциального уравнения и интегрального к интегро-дифференциальному уравнению относительно прогиба пластинки, и приближенное решение ищется с помощью специальных ортонормированных полиномов. Также, задача о цилиндрическом изгибе произвольной нормальной нагрузкой пластинки конечной ширины, лежащей на упругом полупространство была рассмотрена в [47] с помощью метода «малых Л».
Работы [53], [52] рассматривают разные методы расчета изгиба цилиндрической оболочки на упругом цилиндре. Данная задача сводится к совместному решению дифференциального уравнения прогиба оболочки и интегрального уравнения первого рода с разностным ядром относительно контактного давления. В [53] после решения дифференциального уравнения при соответствующих граничных условиях найденная функция прогиба подставляется в интегральное уравнение, которое предлагается решать методом, подобным, что использовался для решения интегральных уравнений в [54] и описанным в [12]. Подход в [52] аналогичен описанному в работе [54], то есть приближенное решение дифференциального уравнения ищется с помощью специальной системы ортонормированных многочленов С^п(х) В виде у(х) = ]Сп = 0 АпЯп(х), тогда в силу линейности задачи контактное давление также представляется в виде ряда д(х) = У^^-^Лпди(х). Решение интегральных уравнений относительно дп(х) в классе абсолютно суммируемых функций ищется в форме дп{я) = шп(х)(у/1 — Ж2)“1, где для функций ип(х) строятся интерполяционные многочлены Лагранжа по чебышевским узлам.
Задача продольной устойчивости балочных плит, лежащих на упругом полупространстве без трения при наличии двухсторонних связей, была впервые рассмотрена в работе [49]. Она была сведена к интегро-дифференциальному уравнению относительно прогиба плиты, и приближенное решение для прогиба предлагается искать в виде линейной комбинации по специальным ор-тонормированным полиномам. В [13] был исследован вопрос устойчивости бесконечной пластины (покрытия) под действием продольного усилия, находящейся в условиях цилиндрического изгиба в двухстороннем контакте с упругим слоем, защемленным по основанию. Выло найдено критическое усилие потери устойчивости, причем при приближении свойств материала слоя к
9
несжимаемому установлено увеличение критического усилия в случае замены упругого слоя эквивалентным основанием Фусса Винклера. Эффект снижения величины критического усилия по сравнению с критическим усилием, рассчитанным с заменой упругого слоя эквивалентным основанием Фусса-Винклера при приближении свойств материала слоя к несжимаемому, также установлен в работе [25]. Подобно [13], данная работа посвящена вопросу устойчивости бесконечной пластины под действием продольного усилия, но уже в условиях осесимметричного изгиба, а не цилиндрического, в двухстороннем контакте с упругим слоем, защемленным по основанию.
В [39] при исследовании вопросов устойчивости в задаче для круглой пластины на линейно-деформируемом основании при наличии двухсторонних связей под действием продольных сжимающих усилий применяется аналогичный метод как и в работах [54], [37], [53], [52]. А именно, предлагается разложить по специальной системе ортонормированиых полиномов функцию прогиба, в силу линейности задачи представить контактное давление в виде соответствующего ряда, и полученные интегральные уравнения решать методом сведения к бесконечной алгебраической системе с помощью ортогональных многочленов Лежандра.
В плоской, осесимметричной и пространственной постановках в [26] была исследована задача об устойчивости бесконечной плиты под действием продольных сжимающих усилий, находящейся в двухстороннем контакте с упругим несжимаемым полупространством, преднаиряженным силами тяжести. В [27] рассматривался вопрос устойчивости в условиях двухстороннего контакта продольно сжатой бесконечной упругой плиты на двухслойном упругом основании, верхний слой которого описывается моделью изотропной сжима-емой упругой средой, нижним является изотропное несжимаемое преднапря-жеиное силами тяжести упругое полупространство. В [27] было показано, что значение критического усилия при полном сцеплении между плитой и основанием примерно в десять раз меньше в случае не учета сил трения между плитой и основанием.
В [35] была рассмотрена задача изгиба бесконечной тонкой пластинки, лежащей на гидравлическом основании, сосредоточенной силой. Считается, что материал пластинки несжимаем и описывается соотношениями, часто принимаемыми для описания напряженно-деформируемого состояния конструкций изо льда в условиях развитой установившейся ползучести, а именно, что интенсивности девиатора скоростей деформаций и девиатора иапряже-