Калибровочные модели неупругой деформации сред с дефектами

: ' • 2: ■ : . . • ' '. ■. . .
СОДЕРЖАНИЕ .
ВВЕДЕНИЕ...!.:.;...............!........... ...!............. .........4
1. ФОРМАЛИЗМ' КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ КАК ОСНОВА ПОСТРОЕНИЯ КОНТИНУАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА С ДЕФЕКТАМИ .............;........;..1...... ...................!........ 17
1.1. Лагранжиан упругого тела и минимальная замена;................. 18
1.2. Построение калибровочно-инвариантного.лагранжиана. ........... ..'.24
1.3. Уравнения движения. ; .......................................... ;................................. 26
1.4. Анализ полной деформации на основе положений континуальной теории
дефектов ..................! ...............‘ ................ .29
1.5. Описание неоднородных тел в рамках калибровочного подхода;. ......40
1.6. Заключение к разделу. .................................... .44
2. КАЛИБРОВОЧНЫЕ МОДЕЛИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ СРЕД С ДЕФЕКТАМИ..;. ........................................... ...46
2.1. Спектр нормальных колебании калибровочной модели среды........!.....46
2:2: Конфигурации нормальных колебаний и их дислокационная структура.:.......53
2.3. Изменение спектра нормальных колебаний при варьировании констант теории:.............. —. — ................................—.......... — 59*
2.4. Диссипативное.обобщение калибровочной модели. ............... ..;..63
2.5. Спектр нормальных колебаний в.среде с диссипацией. .............:. ..66-
2.6. Сравнение теоретических результатов, полученных на основе калибровочной модели, с экспериментальными данными по ударно-волновому нагружению. 74
2.7. Связь калибровочной модели с моделями механики обобщенных сред 77
2.8. Заключение, к раз делу....;..................... —..............85
3. КАЛИБРОВОЧНОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИКИ^КОНТИНУУМА
дислокаций:.:..........................................................87
3.1. Система динамических уравнений полевой теории дефектов. Определение внутренних напряжений и импульса поля дефектов. ;..................... 89
3.2. Теорсма живых сил .......................................... .92
3.3. Законы сохранения энергии и импульса..,...................... 95
3
3.4. О законе взаимодействия движущихся масс в средах с дефектами......97
3.5. Построение решений уравнений полевой теории дефектов в форме бегущей волны.................................................................105
3.6. Заключение к разделу.............................................115
4. ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОЛЕВОЙ ТЕОРИИ ДЕФЕКТОВ......................117
4.1. Описание ползучести при постоянном напряжении....................117
4.2. Анализ длительности ползучести при постоянном напряжении.........127
4.3. Описание ползучести.при напряжении, изменяющемся с постоянной скоростью.............................................................130
4.4. Исследование эволюции пластической деформации при циклическом нагружении............................................................135
4.5. Описание зависимости механического поведения материалов от скорости деформирования........................................................142
4.6. Пример использования соотношений калибровочной модели для построения динамической функция отклика в методе подвижных клеточных автоматов 148
4.7. Заключение к разделу.............................................153
5. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СРЕДАХ С ДЕФЕКТАМИ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ ПОЛЕВОЙ ТЕОРИИ ДЕФЕКТОВ..............................155
5.1. Волновые решения полевой теории дефектов в некоторых средах......155
5.2. Граничные условия на поверхностях раздела........................165
5.3. Распространение плоских волн поля дефектов через границу раздела вязкопластических сред................................................171
5.4. Прохождение волн поля дефектов через границу раздела вязкоупругих
сред..................................................................191
5.5. Заключение к разделу.............................................197
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные результаты и выводы..........................................200
ПРИЛОЖЕНИЯ............................................................203
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ......................................213
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность Создание новых материалов с заданными свойствами и прогнозирование их поведения при различных внешних воздействиях является основной задачей механики и физики деформируемого тела. Теоретическое решение этой задачи предполагает построение математических моделей, адекватно описывающих поведение реальных материалов при различных внешних воздействиях. Наиболее актуально построение моделей неупруго деформируемых тел. Это связано с тем. что область упругих деформаций в большинстве материалов весьма ограничена и мггогие процессы, важные с практической точки зрения, такие как упрочнение, накопление необратимых пластических деформаций, износ, разрушение, происходят за пределами упругой области деформирования. Теоретическгге подходы к описанию ггеупругой деформации можно разделить на две группы: феноменологические теории механики сплошной среды [1-7], направленные, прежде всего, на прикладные расчеты гг задачи моделирования, и теории, рассматривающие физические механизмы неупругой деформации. К числу известных механизмов необратимой деформации относятся мартенситная неупругость, механическое двойникование, дислокационная и дисклинационная пластичность, а также пластичность, обусловленная точечными дефектами [8-16].
К настоящему времени наиболее значительные успехи достигнуты в изучении дислокационной пластичности, которая является наиболее распространенным механизмом неупругости и почти всегда сопутствует другим механизмам необратимого формоизменения. Исследование пластичности, обусловленной дефектами материала, происходило в двух направлениях: микроскопическом и макроскопическом. В работах первого направления рассматривались отдельные дефекты, простейшие ансамбли дефектов и их взаимодействия со средой, что позволяло выяснить механизмы элементарных актов пластичности и дать их качественное объяснение [17-20]. Описание дислокационной пластичности на макро-уровне может быть статистическим [21-23] или континуальным [24-29]. При континуальном описании рассматривается сплошная среда с непрерывным распределением дефектов, которые вводятся как нарушения условий совместности среды и являются источниками внутренних напряжений. Начиная с 50-х годов прошлого века, в континуальной теории
дефектов эффективно используется аппарат дифференциальной геометрии, который соответствует физическим представлениям об упругой среде с непрерывным распределением дефектов [30-35]. С точки зрения этого подхода, исходный, идеальный кристалл без дефектов описывается обычным евклидовым пространством, а деформированный бездефектный кристалл представляет собой искривленное пространство с римановой геометрией, где тензор деформации является малым отклонением от ортогональной евклидовой метрики gik-St|{+г^k [I]. Рассматривая среду с непрерывно распределенными дефектами, необходимо ввести новые дополнительные степени свободы, используя, в общем случае, представления нериманова пространство с кручением и кривизной [30-33]. При этом физическое пространство несовершенного кристалла, имеющего дефекты, представляется в виде бесконечного множества евклидовых пространств, между которыми устанавливаются соотношения с помощью коэффициентов связности. Иначе говоря, пластически деформируемое тело представляет собой нериманово пространство с евклидовой связностью. Элементами пространства являются тензоры кручения и кривизны Римана-Кристофеля, выражаемые через коэффициенты связности. Физический смысл этих величин определяется на основе невязок условий интегрируемости н соответствует скачку вектора смещений и вектора поворота при обходе по замкнутому контуру элементарной площадки [33]. Это позволило отождествить плотность дефектов с геометрическими характеристиками пространства, но не предоставляло возможности для развития динамики, что предполагает' получение уравнений движения, баланса энергии-имнульса и т.п. Недостающие динамические уравнения удалось записать в рамках калибровочного формализма - универсального метода теоретической физики, устанавливающего взаимодействие полей. Электродинамика, теория ядерных сил Янга-Миллса, объединение слабого и электромагнитного взаимодействия были развиты и поняты как калибровочные теории [35]. В работах Голембевской-Лясоты
А. А. и Эделена Д. [36-38] формализм калибровочных теорий впервые был использован для описания деформируемого твердого тела с дефектами. В монографии Кадич А., Эделена Д. [39] и работах других авторов [35,40, 41] многие вопросы, касающиеся описания поведения деформируемых тел с дефектами на основе калибровочного подхода, обсуждались болсс подробно. В указанных
работах не исследовалось значение потенциалов моделей, не рассматривались особенности построения моделей в потенциалах и напряженностях калибровочного ноля, их содержание и приложения. Проведенные исследования показали, что калибровочные модели, записанные в потенциалах, представляют динамические модели упругопластической деформации твердых тел с дефектами [42-43]. Наряду с этим, динамические уравнения калибровочной теории дефектов, записанные в напряженностях калибровочного поля, совместно с кинематическими тождествами континуальной теории дефектов образуют систему уравнений полевой теории дефектов, которая определяет динамику поля дефектов в процессе деформации [44-46]. Существенным является то, что в обоих случаях калибровочные модели, наряду с механическим состоянием, традиционно рассматриваемым в механике сплошной среды, учитывают структурное состояние, обусловленное дефектами материала, что определяет актуальность данного исследования. Особую роль взаимосвязи структурной организации деформируемых тел и их механических свойств подчеркивает концепция структурных уровней деформации и разрушения твердых тел, сформулированная и развиваемая в последние десятилетия XX века в научной школе академика В.Е. Панина, и возникшее на се основе новое научное направление - физическая мезомеханика материалов [47-50].
Работа выполнялась в рамках основного научного направления Института физики прочности и материаловедения СО РАН «Физическая мезомеханика материалов» в соответствии с тематическими планами НИР лаборатории механики структурно-неоднородных сред ИФПМ СО РАН на 1989-2003гг. Результаты работы являются составной частью комплексного проекта НИР ИФПМ СО РАН
8.1.1. «Основы физической мезомеханики конструкционных, инструментальных и функциональных материалов с наноструктурными и градиентными поверхностными слоями и внутренними границами раздела» на 2004-2006гг., проекта 3.6.1.1. «Разработка принципов физической мезомеханики многоуровневых систем и создание на их основе конструкционных и функциональных материалов с наноструктурой во всем объеме, только в поверхностных слоях, с наноструктурными покрытиями или модифицированными наноструктурными наполнителями, а также тонких пленок и многослойных систем» на 2007-2009гг. Часть результатов диссертационной работы получена при
7
выполнении инициативных научных проектов РФФИ № 02-01-01188-а, № 05-01-00303-а, № 06-08-96917-р_офи, № 09-01-00264-а, интеграционных
проектов СО РАН № 45 «Мезомеханика границ раздела в структурно-неоднородных средах и системах материал-покрытие» 1997-1998гг, №90 «Разработка принципов мезомеханики поверхности и внугренних границ раздела и конструирование на их основе новых градиентных конструкционных материалов и многослойных тонкопленочных структур для электроники» 1999-2002г г., Междисциплинарного интеграционного проекта' СО РАН' № 93 «Разработка принципов и технологий создания наноструктурных состояний в поверхностных слоях и на внутренних границах раздела высокоресурсных конструкционных и функциональных материалов» 2003-2005гг.
Целью диссертационной работы является построение математических моделей динамического деформирования сред с дефектами на основе калибровочного подхода, определение возможностей моделей и их применение для описания закономерностей неупругого поведения* материалов при различных внешних воздействиях.
1
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
- на основе математического формализма калибровочного подхода записать лагранжиан, получить динамические уравнения калибровочной теории дефектов и сформулировать развиваемые модели;
- провести анализ структуры полной деформации в рамках континуальной теории дефектов и установить значение потенциалов калибровочной модели среды с дислокациями;
- определить спектры нормальных колебаний среды с дислокациями, в калибровочной модели и со свойства при разных калибровочных условиях;
- построить диссипативное обобщение модели;
*
- записать систему уравнений полевой теории дефектов в терминах напряженностей полей дефектов и получить выражения законов сохранения;
- выразить внутренние напряжения и импульс, обусловленные дефектами, через напряженности поля дефектов и записать систему нелинейных
8
уравнений дислокационного ансамбля, на основе которой рассмотреть некоторые приложения модели;
- определить волновые решения в различных средах с дефектами, позволяющие исследовать макроскопические особенности неупругой деформации.
Объектом исследования настоящей работы является механическое поведение материалов и сред в процессах упругопластического деформирования, определяемого динамикой дефектов.
Предметом исследования является построение математических моделей континуального описания деформаций сред с дефектами на основе калибровочного подхода.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
1. Показано, что в линейном приближении полная деформация сред с дефектами может быть представлена в виде суммы трех слагаемых: обратимой упругой, совместной упругопластической, обусловленной дефектами материала, и совместной пластической, определяющей необратимые формоизменения при отсутствии напряжений. Выяснен физический смысл потенциалов калибровочной модели среды с дислокациями и содержание калибровочноинвариантного лагранжиана модели.
2. На основе калибровочно-инвариантного лагранжиана получена замкнутая система динамических уравнений при нулевом значении временной компоненты потенциала калибровочного поля и условии «пластической несжимаемости», представляющая модель деформирования
упругопластической среды. Рассчитаны и исследованы дисперсионные соотношения и конфигурации нормальных колебаний, позволившие определить свойства среды, описываемой предложенной моделью. Рассмотрена применимость калибровочного подхода к описанию неоднородных сред.
3. В рамках феноменологического подхода впервые предложено диссипативное обобщение калибровочной модели. Рассчитаны и проанализированы спектры нормальных колебаний среды с диссипацией. Рассмотрена связь калибровочной модели с моделями механики обобщенных сред, показывающая возможность описания сред со структурой в рамках калибровочного подхода.
4. На основе системы уравнении полевой теории дефектов, включающей динамические уравнения калибровочной теории и кинематические тождества континуальной теории, получен ряд новых результатов, к числу которых относятся: теорема о кинетической энергии, законы сохранения тензора энергии-импульса и выражение для силы взаимодействия движущихся масс и систем напряжений в средах с дефектами.
5. Получены выражения для внутренних напряжений и импульса через напряженности ноля дефектов, записана система нелинейных' динамических уравнений дислокационного- ансамбля, на основе которой в приближении однородного поля рассмотрены некоторые особенности деформаций при различных способах нагружения.
6. Построены и проанализированы решения уравнений полевой теории, дефектов в виде плоских гармонических волн, определяющие макроскопические особенности неупругой деформации, обусловленные динамикой, дислокаций, в различных однородных-средах и при наличии границ раздела.
Научная н практическая значимость результатов работы заключается в том, что проведенные исследования представляют существенный’вклад в развитие методов описания деформируемых сред на основе калибровочных теорий, раскрывают возможности калибровочного' подхода при построении динамических моделей.. неупругой деформации сред с дефектами, а также формируют новые представления о структуре полной деформации за пределом упругости. Значимость результатов работы определяется дальнейшим развитием калибровочного метода описания деформируемых сред, позволившим учесть диссипацию энергии и самодепствие дефектов.
Модели, построенные в рамках развиваемого подхода, расширяют возможности исследования процессов деформации и разрушения твердых тел и могут быть использованы при компьютерном конструировании новых материалов, изучении напряженно-деформированного состояния и прогнозе разрушений реальных конструкций.
Результаты, представленные в диссертационной работе, использовались при выполнении ряда программ фундаментальных исследований, интеграционных проектов, проектов СО РАМ и грантов РФФИ. В настоящее время результаты
10
используются при выполнении проекта фундаментальных исследований СО РАН на 2007-2009 гг. № 3.6.1.1. «Разработка принципов физической мезомеханики многоуровневых систем и создание на их основе конструкционных и функциональных материалов с наноструктурой во всем объеме, только в поверхностных слоях, с наноструктурными покрытиями или модифицированными наноструктурными наполнителями, а также тонких пленок и многослойных систем», проекта РФФИ №09-01-00264а, а также в курсе лекций «Континуальная теория дефектов», читаемом для студентов направления 150300 - “Прикладная механика“ и специальности 150301 — “Динамика и прочность машин” на физико-техническом факультете Томского государственного университета.
На защиту выносятся:
1. Обобщение положений континуальной теории дефектов, на основе которых полная деформация может быть представлена в виде суммы обратимой упругой, совместной упругопластической, обусловленной дефектами материала, и совместной пластической, определяющей необратимое формоизменение.
2. Построение на основе калибровочного подхода динамической модели деформации сред с дислокациями, определение ее физического содержания и свойств моделируемой среды.
3. Феноменологическое обобщение калибровочной теории, позволившее учесть диссипацию энергии при пластических деформациях среды.
4. Установление связи калибровочной модели упругопластической среды с моделями механики обобщенных сред, из которой следует возможность описания сред со структурой в рамках калибровочного подхода.
5. Определение закона сохранения тензора энергии-импульса и выражения для силы взаимодействия материальных точек в средах с дефектами с заданными распределениями напряжений и импульсов.
6. Развитие нолевой теории дефектов, позволившее установить связь внутренних напряжений и импульса с напряженностями поля дефектов, и записать систему нелинейных динамических уравнений дислокационного ансамбля.
7. Результаты анализа процессов деформирования на основе нелинейных уравнений полевой теории дефектов в приближении однородного ноля при
11
постоянном напряжении; напряжении, изменяющемся с постоянной скоростью и по циклическому закону; при постоянной скорости деформирования.
8. Волновые решения полевой теории дефектов в различных средах и установленные на их основе выражения скоростей распространения волн, их структура, особенности взаимодействия упругих волн и волн ноля дефектов, а также закономерности распространения неупругой деформации через границы раздела.
Достоверность результатов и обоснованность выводов обеспечиваются универсальностью используемого калибровочного подхода и вариационного принципа, физической обоснованностью лагранжиана модели, математической корректностью формулировок задач, что подтверждается качественным описанием ряда экспериментальных данных на основе полученных моделей, и их согласованность с ранее известными моделями, представляющими частный случай калибровочных теорий.
Апробация работы. Основные результаты проведенных исследований докладывались и обсуждались на Х-ом Международном конгрессе по математической физике (ФРГ, Лейпциг, 1991г.); Международной конференции «Новые методы в физике и механике деформируемого твердого тела» (Терскол ,1990г.); 4-ой Международной конференции “Компьютерное конструирование материалов и технологий” (Томск, 1995г.); Международной конференции “Математические модели и численные методы механики сплошных сред” (Новосибирск, 1996г.); V International Conference “Computer Aided Design of Advanced Materials and Technologies” (Baikal Lake, Russia, 1997г.); VI International Conference: “Computer- Aided Design of Advanced Materials and Technologies” ( Tomsk, 2001 г.); Sixth International Conference for Mesomcchanics “Multiscaling in applied science and emerging tcchnologiv. Fundamentals and Applications in Mesomechanics” (Patras, Greece, 2004r.); «Mesomech’2006. Физическая мезомеханика, компьютерное конструирование и разработка новых материалов», (Томск, 2006 г.); XIV, XV, XVI Международной конференции по вычислительной механике п современным прикладным программным системам (ВМСППС-2005, ВМСГШС-2007, ВМСГ1Г1С-2009) (Алушта, Крым, 2005г., 2007г. и 2009г.); Первом международном семинаре-выставке “Компьютерное конструирование
12
перспективных материалов и технологий” (Томск, 1992 г.); VIII и IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001г. и Нижний Новгород, 2006г); International Workshop Mesomechnics: fundamentals and applications” (Tomsk, Russia, 2003г.); XXXI Summer School-Conference ‘‘Advanced Problems in Mechanics” (St. Petersburg (Repino), 2003г., 2008г.); XIX всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Бийск, 2005г.).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 58 печатных работах, в том числе, в 2 коллективных монографиях, 34 статьях в российских рецензируемых журналах из перечня ВАК, 5 статьях в зарубежных рецензируемых журналах и 3 статьях в сборниках международных и всероссийских конференций. Личный вклад автора состоит в выборе направления исследований, постановке и решении конкретных задач диссертации, анализе и интерпретации их результатов, написании статей и докладов по теме диссертации, а также формулировке цели, задач, основных результатов и выводов диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы и приложений. Содержание диссертации изложено на 231 странице, включая 66 рисунков, 8 таблиц и список литературы, который содержит 218 наименований библиографических ссылок.
Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель и задачи работы, приведены новые результаты, раскрыта их научная и практическая значимость, представлены положения, выносимые на защит}', и описана структура диссертации.
В первом разделе диссертационной работы изложены общие принципы калибровочного подхода, в рамках которого на основе лагранжиана нелинейной теории упругости, обладающего глобальной симметрией группы G0 = SO(3) > Г(3), построен новый калибровочно-инвариантный лагранжиан, описывающий деформируемое тело с дефектами трансляционного и ротационного типа. Проводится теоретико-групповое обоснование калибровочно-инвариантного лагранжиана. Подробно рассматриваются калибровочные модели деформируемого тела с дефектами трансляционного типа. Из условия стационарности интеграла действия с плотностью лагранжиана, инвариантной относительно локальных
13
преобразований Т(3), определяются динамические уравнения системы (уравнения Эйлера-Лтранжа) и граничные условия. Рассматривается линейное приближение калибровочной модели, позволившее на основе предложенной схемы полной деформации, определить значение потенциалов модели, ее содержание и физически интерпретировать калибровочно-инвариантный лагранжиан среды с дислокациями. Анализируется применимость калибровочного подхода к описанию деформаций неоднородных сред с дефектами, и определяются модели, которые можно формулировать на основе динамических уравнений калибровочных теорий.
Во втором разделе диссертации рассматривается калибровочная модель в потенциалах, описывающая динамику упругопластических деформаций тел с дефектами трансляционного типа. Исследуются свойства среды, описываемой предложенной калибровочной моделью, на основе анализа плоских волн, распространяющихся в моделируемой среде. Вычисляются дисперсионные соотношения и конфигурации нормальных колебаний. Полученные зависимости анализируются в пределах больших и малых длин волн. Для каждой моды колебаний определяются ненулевые компоненты тензора плотности и тензора плотности потока дислокаций. Поскольку дисперсионные соотношения содержат неизвестные константы теории в качестве параметров среды, исследуются изменения спектра нормальных колебаний при варьировании констант. В калибровочной модели, полученной на основе лагранжева формализма, не учитываются процессы диссипации, связанные с превращением механической энергии в тепловую энергию, что является недостатком теории и одной из причин, затрудняющих физическую интерпретацию модели и сравнение ее результатов с экспериментом. Феноменологически в рамках предложенной модели может быть рассмотрена диссипация энергии, связанная с внешними и внутренними степенями свободы. Поскольку диссипация энергии, обусловленная движением дефектов, определяемых внутренними степенями свободы, значительно превосходит диссипацию при упругих движениях, то последняя в работе не учитываегся. Диссипация энергии, обусловленная внутренними степенями свободы, вводится явно путем включения диссипативных сил или сил зрения в уравнения движения. Вычисляются дисперсионные соотношения и конфигурации нормальных колебаний при учете диссипации. Вводится безразмерный параметр диссипации и
14
анализируется перестройка спектра нормальных колебаний по мере его увеличения. В последних частях раздела рассматривается связь калибровочной модели с моделями механики обобщенных сред, неявно учитывающими структуру материала, и проводится качественное сравнение полученных результатов с известными расчетами для слоистых и композитных материалов и с результатами экспериментов по ударно-волновому нагружению.
В третьем разделе диссертации рассматривается система уравнений полевой теории трансляционных дефектов, включающая динамические уравнения калибровочной модели, записанные через напряженности калибровочного поля, и кинематические тождества континуальной теории дефектов. Данная система уравнений определяет динамику континуума дислокаций, характеризуемого тензором плотности н тензором плотности потока (а, /), в зависимости от эффективных напряжений и импульсов, возникающих в среде под действием внешних нагрузок и полей дефектов. На основе уравнения динамического равновесия, представляющего условие совместности уравнений полевой теории дефектов, рассмотрена теорема живых сил для упругого континуума с дислокациями, выражающая закон сохранения механической энергии. Используя лагранжиан модели, определены компоненты тензора энергии-импульса и записаны выражения законов сохранения энергии и импульса, из которых следуют динамические уравнения калибровочной модели. Известное выражение для силы Пича-Кслера в совокупности с уравнениями полевой теории дефектов позволило определить внутренние (полевые) напряжения и импульс, обусловленные самодействием дефектов. На основе соотношения для силы Пича-Кслсра и статического решения уравнений полевой теории дефектов было найдено выражение, описывающее взаимодействие выделенных индивидуальных объемов с заданным распределением напряжения и импульса в средах с дефектами. Это соотношение при отсутствии напряжений в выделенных областях определяет взаимодействие движущихся масс в неидеальных средах и имеет наиболее простой вид в случае взаимодействия точечных масс. Существование эффекта взаимодействия движущихся масс в неидеальиых средах подтверждено результатами компьютерного моделирования на основе метода подвижных клеточных автоматов, которые качественно согласуются с аналитическим
15
выражением закона взаимодействия движущихся частиц. Учитывая полевые выражения для напряжений и импульса в уравнениях полевой теории дефектов, получена нелинейная система уравнений, описывающих динамику ансамбля дислокаций. Рассмотрены автомодельные решения нелинейной системы уравнений в виде бегущей волны.
В четвертом разделе диссертационной работы рассмотрены приложения динамической модели полевой теории дефектов к описанию процессов деформирования твердых тел при различных способах нагружения. В приближении инженерных теорий, где рассматривается лишь временная зависимость величин, соответствующая однородному распределению дефектов, получено соотношение, описывающее эволюцию компонент тензора плотности потока дефектов под действием внешнего напряжения. Это уравнение, определяющее эволюцию скорости пластической дисторсин при заданном напряжении с учетом диссипации энергии и самодействия дефектов, использовано для анализа процессов деформации при постоянном напряжении, напряжении, изменяющемся с постоянной скоростью и по циклическому закону в случае одноосного нагружения. Несложные преобразования модели позволяют получить соотношение, описывающее изменение упругой деформации при деформировании с постоянной скоростью. В результате численного интегрирования соответствующей динамической системы и качественного анализа ее фазового портрета были построены кривые деформации и рассмотрена зависимость механического поведения материалов от скорости деформирования. Приведен пример использования аналитической зависимости особой точки динамической системы, имеющей значение предела текучести, от скорости деформации для поегроения динамической функции отклика в методе подвижных клеточных автоматов.
В пятом разделе диссертации рассматриваются макроскопические особенности неупругой деформации в различных средах, обусловленные динамикой дислокаций. Исследование проводится на основе анализа решений в виде плоских гармонических волн уравнений полевой теории дефектов, описывающих динамику дислокаций. Как отмечалось, динамические уравнения дислокационного ансамбля содержат эффективный импульс среды и тензор
16
эффективных напряжений в качестве источников поля дефектов. В моделях настоящей главы тензор эффективных напряжений задается материальным соотношением, определяющим свойства среды, что позволяет исследовать динамику ансамбля дислокаций в различных средах. Рассмотрены вязкоупругие, вязкопластические и упруго-вязкопл логические среды. Для каждой из перечисленных сред получены волновые решения, позволяющие определить выражения скорости распространения волн, показатели преломления и поглощения. Проанализирована структура волн и особенности взаимодействия волн упругих смещений и волн поля дефектов, определяющих пластическую деформацию. Приведены результаты исследований распространения волн неупругой деформации через границу раздела двух сред, которые играет важную роль в процессах деформирования. Наиболее подробно рассмотрено прохождение волн через границу раздела вязкопластических сред, для которых получены законы отражения и преломления, коэффициенты отражения и преломления, проанализированные в случае слабого и произвольного затухания волн. Записаны и исследованы соотношения, определяющие отношение потоков энергии на границе раздела. В последней-части раздела рассмотрено прохождение волн через границу раздела двух вязкоупругих сред.
В заключение диссертации приведены основные результаты и выводы.
Автор искренне признателен и благодарен Ю. В. Гриняеву за научное руководство,
В. Е. Панину и С. Г. Псахье за постоянное внимание и поддержку данной работы; выражает глубокую благодарность В. Л. Попову, М. А. Чертову, А. 10. Смолину, А. И. Дмитриеву, с которыми были получены некоторые результаты работы, и сотрудникам лаборатории МСНС ИФГ1М за доброе, заинтересованное отношение к работе.
I
I
1. ФОРМАЛИЗМ КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ КАК ОСНОВА ПОСТРОЕНИЯ КОНТИНУАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА С ДЕФЕКТАМИ
Механика деформируемого тела изучаетпроцессы, при которых изменяются ' расстояния между материальными точками среды. Изменение расстояний между точками,, а также, усилия, обусловленные этими* изменениями; определяются параметрами механического состояния, которыми являются тензор деформаций и тензор напряжений. В< упругой ' области • данные параметры, однозначно характеризуют механическое состояние деформируемого тела при постоянной' температуре или энтропии.- За. пределами упругости взаимно однозначного соответствия между механическими параметрами не существует, поскольку одному значению напряжения может соответствовать, бесконечно много значений деформаций, в зависимости от истории нагружения. Это. является следствием локальных структурных превращений, приводящих к- появлению дефектов; определяющих, пластическую деформацию и необратимость полной деформации при разгрузке. При наличии дефектов структуры описания процесса деформации, ограниченного параметрами механического состояния- - напряжением и деформацией; не достаточно,, поскольку оно не отражает физических механизмов пластичности, .определяемых, например, динамикой дефектов, и не учитывает соответствующих структурных состояний материала.
. . \ В : последние десятилетия для: описания динамики деформируемых тел . с дефектами активно используется конструкция калибровочных теорий Янга-Миллса [37-46, 51-59], разработанная в квантовой теории поля [60-63]/Математический-формализм этого подхода предполагает, что глобальные группы симметрии исходного лагранжиана рассматриваемой . системы заменяются локальными калибровочными группами, преобразования- которых являются функциями координат и времени. Это нарушает инвариантность лагранжиана. Операция восстановления калибровочной инвариантности, основанная на конструкции минимальной замены и концепции минимальной: связи,- позволяет построить лагранжиан инвариантный относительно неоднородного действия калибровочной группы. При построении нового ла!ранжиана обычное дифференцирование
заменяется ковариантным, тем самым вводятся калибровочные или компенсирующие поля, и записывается дополнительный лагранжиан, определяющий энергию калибровочных полей. Этот лагранжиан также должен быть инвариантен относительно неоднородного действия калибровочных групп. Техника построения калибровочно-инвариантного лагранжиана подробно описана в работах [64-66]. Основная трудность заключается в обосновании лагранжиана модели, физической постановке задач и интерпретации результатов, получаемых при описании деформируемого гела в рамках калибровочного подхода.
1.1 Лагранжиан упругого тела и минимальная замена [57]
Применим общую схему калибровочного подхода к построению динамических моделей деформируемого твердого тела. В качестве исходного лагранжиана рассмотрим функцию Лагранжа однородного изотропного, упругого тела
р дЯ* дЯ^
Ьп =
^ _______________________
0 “ 2 д( де V 4
ЛЕтв5'вЧ +2?В1вЕь*1в*8Г
і(і
(1.1)
Первый член (1.1) описывает кинетическую энергию упругого тела, выражение в квадратных скобках представляет потенциальную энергию. Потенциальная энергия является функцией тензора деформаций Грина, компоненты которого задаются в виде:
дК‘ дН-
5;!-5
(1.2)
д£т д*в У тв
. - => У
Функция Лагранжа (1.1), зависящая от плотности среды р и коэффициентов Ламэ Л, р, инвариантна относительно глобальной группы симметрии Оа = 50(3) > Г(3). Действие этой группы на вектор состояния Я осуществляется по формулам
Я — ЛЯ + Ь, ЛеЯОС 3), ЬеТ( 3), (1.3)
где А - ортогональная матрица констант, Ь - вектор-столбец констант. Инвариантность лагранжиана относительно сдвигов на вектор Ь очевидна, поскольку в выражение (1.1) входят только производные полей векторов Я.
Прибавление к Я любой константы Я1 => Я1 +Ь1 не изменяет тензора дисторсии-
19
скорости В[ = дЯ! 1д£т = дЯг /д£т. Здесь для ірадиентов деформаций и скорости введено единое обозначение
В[=дяЧд£\ (1.4)
предполагающее, что принимает значение координат при т=1,2, 3 и времени при х=0. Совокупность векторов Ь\ не зависящих от координат и времени, образует однородную абелеву группу трансляции Т(3). Инвариантность лагранжиана (1.1) относительно поворотов с учетом ААГ=1 также достаточно очевидна, поскольку
дая‘ дрй = даКгА1 АдрЯ = даЯтдрЯ. (1.5)
Ортогональные матрицы АА1 = АтАп* - д1*, с независящими от координат компонентами, образуют однородную групп)' вращений 30(3). Полная группа С?0 =30(3) > Г(3), представляющая полупрямое произведение групп трансляции Т(3) и вращения 80(3), соответствует сдвигу и повороту деформируемого тела как целого.
Относительно локализованной группы (1.3), когда А и Ь являются функциями координат, плотность лагранжиана (1.1) не инвариантна, поскольку появятся добавки, связанные с дифференцированием групповых элементов
дТ(АЯ + Ь) = АдтЯ + (дтА)Я + дтЬ. (1.6)
Для восстановления инвариантности (1.1) при неоднородных преобразованиях (1.3) необходимо определить оператор дифференцирования, для которого групповые элементы оставались бы «константами». Ограничимся калибровочной группой вращения 80(3) и предположим, что такой оператор От существует, то есть
От(АЯ) = АП>ТЯ = АдтЯ + (дт А)Я. (1.7)
Если в правой части равенства (1.7) вынести матрицу А
А£>ТЯ = А(дтЯ + (дтА)А~'Я), (1.8)
то можно определить новый оператор дифференцирования £>г, который коммутирует с локализованной матрицей А
£>г =дт + (дтЛ)А~' =дт +ГТ. (1.9)
Оператор Г>т содержит обычное дифференцирование дг и величины Гг, которые называются калибровочными или компенсирующими полями. Название
20
компенсирующих полей отражает факт', что они компенсируют добавки, связанные с производной от групповых элементов. Сравнивая два последних равенства, можно получить выражение для калибровочных полей
Гт=(дтА)А-', . (1.10)
которое в дифференциальной геометрии определяет некоторый объект связности аффинного пространсгва [32-34]. Следовательно, Вг является оператором
ковариантиого дифференцирования. Калибровочные поля Гг преобразуются. по закону
ГТ=АГТА-' +(дтА)А'', (1.11)
который обеспечивает равенство
Вт(АЯ) = АОтЯ. (1.12)
Если в лагранжиане (1.1) обычное дифференцирование заменить ковариантным (1.9), то измененный лагранжиан будет инвариантен относительно локализованной группы 5(9(3). Выражение для дпсторсии (1.4) в случае неоднородной группы
ч
вращения примет вид
В\ = дтЯ1 + ГТЯ* = £>ТЯ1. (1.13)
Группа трансляций Т(3) действует аддитивно в отличие от мультипликативного действия 80(3), поэтому локализация Т(3) приведет к аддитивной добавке дисторсии-скорости
В\ ш £>ГД' +<4^ ЭГЛ' + ГГЛ' + <р\. (1.14)
Формула (1.14) может быть получена непосредственно при построении
минимальной замены для группы О0 = 50(3) > Г(3).
Прежде чем перейти к теоретико-групповому обоснованию конструкции минимальной замены (1.14), рассмотрим к чему приводит локализация группы симметрии упругого лагранжиана (1.3), которая заключается в том, что А(<О, /) становятся функциями координат. Мысленно проведем в теле разрез и на две ранее соприкасающиеся точки (т.с. имеющие одинаковый радиус-вектор Я) подействуем различными элементами группы (1.3). Для точек левой и правой сторон разреза можно записать
Я^ — А^Я + ЬI, Яг = АГЯ + Ьу-.