Влияние внутренней активности Земли на напряженно-деформированное состояние литосферных плит

Содержание
Введение............................................................... 6
Глава 1 О проблеме прогноза землетрясений.............................. 28
1.1 Современные подходы к проблеме прогноза землетрясений ... 28
1.2 Исследование проблемы оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит с позиции их блочно структурированного строения .......................... 34
1.3 Физические и механические механизмы воздействия верхней мантии на деформационные процессы в литосфере ................ 44
1.3.1 Основные механизмы тектонических движений и деформаций литосферы...................................... 46
1.3.2 Современные доказательства существования мантийной конвекции................................................. 50
1.3.3 О расслоенности свойств земной коры и верхней мантии.................................................... 53
1.4 Совместное исследование процессов, протекающих в литосфере, астеносфере и мантии: современное состояние проблемы...................................................... 56
Глава 2 ПОСТАНОВКА ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ПРОЦЕССОВ, ПРОТЕКАЮЩИХ В
геосферах Земли............................................... 61
2.1 Физические, механические, электромагнитные свойства пород земной коры и мантии.......................................... 62
2.2 Реологические свойства пород земной коры и мантии.......... 64
2.2.1 Зависимость между напряжениями и деформациями для некоторых реологических сред.............................. 65
2.2.2 Механизмы деформации пород в земной коре и мантии 68
2.2.3 Модель ньютоновской жидкости........................ 74
2.3 Анизотропия свойств и структуры геосфер Земли.............. 75
2.4 Динамические связанные задачи термоэлектроу пру гости для анизотропных и изотропных сред................................ 76
л
2.4.1 Постановка связанных краевых задач термоэлектроупругости для анизотропных сред.............. 77
2.4.2 Начальные и граничные условия...................... 80
2.4.3 Постановка краевых задач определения напряженно-деформированного состояния геологической среды 84
2.5 Исследование процессов в мантии с переменными параметрами, учетом сжимаемости и фазовых переходов 87
2.5.1 Основные уравнения тепловой конвекции.............. 87
2.5.2 Приближенные модели тепловой конвекции в мантии ... 90
2.5.3 Уравнения конвекции с фазовыми переходами.......... 92
2.6 Система уравнений переноса субстанций мантийных неоднородностей с учетом химических превращений............... 94
2.7 Задача гидромагнитного динамо Земли..................... 95
2.8 Определение температуры в геосферах Земли............... 96
Глава 3 Математический аппарат исследования напряженно-
деформированного состояния среды, в том числе, литосферных плит............................................. 97
3.1 Теория блочных структур................................. 97
3.2 Дифференциальный метод факторизации исследования и решения систем дифференциальных уравнений в частных
производных в сложных областях........................... 99
3.2.1 Применение дифференциального метода факторизации
к исследованию и решению систем дифференциальных уравнений в частных производных в одном блоке 99
3.2.2 Применение дифференциального метода факторизации к исследованию и решению систем дифференциальных уравнений в частных производных в блочной
структуре............................................... 106
3.3 Метод блочного элемента...................................... 115
3.4 Последовательность применения методов........................ 120
3
Глава 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ ЛЕГКИХ ФРАКЦИЙ МАНТИЙНЫХ
НЕОДНОРОДНОСТЕЙ на нижнем основании литосферной плиты .... 122
4.1 Об одном методе решения граничных задач.................. 123
4.2 Математическая модель переноса субстанций в блочно структурированной среде...................................... 127
4.3 Моделирование всплытия легких фракций мантийных неоднородностей к нижнему основанию литосферной плиты с учетом ее разнотипности...................................... 134
4.3.1 Сведение смешанных граничных задач к системам интегральных уравнений................................... 143
4.3.2 Построение приближенного решения систем интегральных уравнений................................... 144
4.4 Моделирование всплытия мантийных- неоднородностей к
нижней границе литосферной плиты в области контакта континентальной и океанической коры...................... 150
4.5 Моделирование переноса нескольких типов субстанций
мантийных неоднородностей в астеносферном слое........... 157
4.6 Моделирование всплытия мантийных неоднородностей к
нижней границе литосферной плиты при наличии пограничного распределенного источника................... 159
4.7 Численная реализация математических моделей плоскопараллельного переноса мантийных неоднородностей .. 163
Глава 5 ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕНОСА МАНТИЙНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ
КОНВЕКТИВНЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ в АСТЕНОСФЕРЕ ПРИ СУБДУКЦИИ
ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТ.............................................. 166
5.1 Применение преобразования Ханкеля в конечных пределах к решению граничных задач...................................... 170
5.2 Получение интегрального представления решения задачи о переносе субстанции мантийных неоднородностей при вынужденной конвекции астеносферы............................ 174
4
5.3 Выполнение численных расчетов........................... 176
Глава 6 Определение нлпряженно-деформировлниого состояния
ЛИТОСФЕРНОЙ плиты с учетом воздействия внутренней
активности Земли........................................... 180
6.1 Применение дифференциального метода факторизации к
динамическим задачам теории упругости................. 182
6.2 Исследование статических задач теории упругости....... 190
6.3 Исследование граничной задачи для блочной структуры... 199
6.4 Применение метода блочного элемента к определению
напряженно-деформированного состояния литосферной плиты................................................... 209
6.4.1 Построения трехмерного блочного элемента в форме прямоугольного параллелепипеда.......................... 210
6.4.2 Построение полубесконечного трехмерного блочного элемента................................................ 216
Заключение........................................................... 222
Список использованных источников..................................... 227
Приложение А. Физические, механические, электромагнитные свойства
пород земной коры и мантии........................................... 261
Приложение Б. Результаты расчета зон концентрации легких фракций мантийных неоднородностей на нижнем основании литосферной ПЛИТЫ 267 Приложение В. Численное исследование переноса мантийных неоднородностей конвективными движениями в астеносфере при субдукции ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТ........................................... 274
5
Введение
Каждый год на Земном шаре происходят несколько сотен тысяч землетрясений, и около ста из них имеют разрушительные последствия, связанные с нанесением ущерба экономике целых городов, экологической деградацией территорий и гибелью людей. В России более 50 процентов территории подвержены влиянию землетрясений, вызывающих
катастрофический или серьезный ущерб, в том числе, территория Краснодарского края, которая относится к первой группе по индексу сейсмического риска.
Поскольку природа сейсмического процесса крайне сложна, не до конца понята и недостаточно исследована, несмотря на несомненные и значительные достижения мировой и отечественной сейсмологии,
имеющиеся методы сейсмического прогноза являются недостаточно надежными. Кроме того, проблема усложняется в связи с крупномасштабной деятельностью человека (добыча ископаемых, строительство
гидротехнических сооружений, водохранилищ и т.д.), которая влияет на природу и человека как непосредственно, так и через провоцирование природных сейсмических событий на напряженных участках земной коры.
В настоящее время к числу в какой-то мере решенных можно отнести вопросы распространения сейсмических волн от очага землетрясения в глубинных и поверхностных зонах Земли, оценки последствий землетрясений и возможных разрушений. [192, 195, 249, 279]: Однако проблему прогноза землетрясений даже в малой степени нельзя назвать решенной. Она высветила множество сложнейших вопросов, исследование которых затрагивает широкий круг разделов современной математики, механики, геофизики, геодинамики, тектоиофизики.
Сейсмотектонический деформационный процесс является следствием развития сложной геодинамической системы. Проблема прогноза поведения такой системы не может рассматриваться только в долгосрочном аспекте, она
должна носить комплексный характер и подкрепляться среднесрочным и краткосрочным анализом ситуации.
В настоящее время существует несколько подходов в решении этой проблемы. Одни связаны с развитием и исследованием предвестников, которые фиксируются в системах мониторинга сейсмической обстановки. Другие базируются на статистическом анализе информации о сейсмических событиях и связи их с какими-либо природными или техногенными факторами. В ряде работ предложено решать вопросы о механизмах землетрясений и их прогнозе, исходя из представлений о Земле как о нелинейной открытой системе. Одно из активно развиваемых направлений основано на анализе напряженно-деформированного состояния литосферных плит и выделении на основе расчетов зон повышенной концентрации.
Различные аспекты проблемы оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит как сред с неоднородностями или твердых деформируемых плит с рельефными поверхностями исследовались в работах В.М. Александрова, Н.Х. Арутюняна, A.B. Белоконя, М.М. Вайнберга,
А.О. Ватульяна, A.C. Вольмира, И.И. Воровича, Е.В. Глушкова Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, А.Г. Горшкова, И.Г. Горячевой,
A.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.В. Еремеева, Л.М. Зубова, Д.В. Индейцева,
B.В. Калинчука, Л.П. Лебедева, Е.В. Ломакина, A.B. Манжирова, Н.Ф. Морозова, В.И. Моссаковского, С.М. Мхитаряна, В.В. Новожилова, В.В. Панасюка, В.З. Партона, Г.И. Петрашеня, Б.Е. Победри, Г.Я. Попова, О.Д. Пряхиной, B.C. Саркисяна, М.Г. Селезнева, А.В.Смирновой,
A.Л. Собисевича, В.А. Треногина, Д.В. Тарлаковского; Ю.А. Устинова,
B.И. Феодосьева, Л.А. Филынтинского, Г.П. Черепанова, Е.И. Шемякина, Ю.Г. Яновского. Некоторые результаты изложены в работах [7 - 14, 20, 22, 23,82-87, 95, 96-97, 105- 114, 119- 126,135- 137,140- 149, 180- 185, 209 - 216, 221, 222, 228, 229; 232 - 235, 272 - 274, 299, 300, 302 - 304].
Экспериментальные и натурные наблюдения свидетельствуют, что тектонические деформации реализуются путем разнообразных динамических
7
перестроек исходной структуры геологической среды. Такие перестройки зависят не от осредненных полей напряжений, а от концентраторов напряжений, распределение и перестройка которых, в свою очередь, определяются неоднородностями структуры среды, а не ее осредненными свойствами.
Согласно представлениям, сложившимся в тектонофизике, неоднородное иоле напряжений продуцируется перманентными перемещениями иерархической системы взаимодействующих тектонических плит и блоков, участвующих в упорядоченной системе разномасштабных и длительных циклов тектонических течений в литосфере в целом и земной коре в частности. Линейные размеры блоков подчиняются определенной иерархии. Наиболее популярными являются модели: иерархически
вложенных блоков среды академика РАН М.А. Садовского [265 - 271] и модель не вложенных блоков академика РАН A.B. Пейве [223 - 226]. В любом случае, блоки разделены иерархической сеткой плоских разломов, на которых, как предполагается, и должны располагаться гипоцентры землетрясений.
Математическое моделирование нестационарных процессов в средах блочного строения встречает ряд естественных трудностей. Попытки их преодоления приводили к упрощениям, либо среды, либо используемых моделей. Расчет поля напряжений в разломно-блоковой структуре производился, как правило, с применением простейших моделей линейной теории упругости. Использование более сложных моделей механики сплошных сред оказывалось возможным только в континуальных средах, ограниченных рядом жестких гипотез (периодичность, линейность, пониженная размерность модельных задач и т.д.).
Современная теория распространения сейсмических волн, основанная на линейно-упругой модели, изложена в классической монографии К. Аки и П. Ричардса [6]; работах Г.А. Гамбурцева [115, 116], A.C..Алексеева [15-17], H.H. Пузырева [236, 237], С.В; Гольдина [133, 134], Б.Г. Михайленко [208],
f
I
A.Л. Собисевича [274], Е.А. Рогожина [251 - 254]. Неупругая модель
9
/
волнового сейсмического процесса рассматривается в работах A.B. Николаева, И.А. Береснева, F.M. Шалашова, Б.Я. Гуревича, Т.З. Вербицкого [88-90, 99, 149, 203].
Исследование напряженности и деформационных процессов в литосферных плитах является сложной многоуровневой проблемой. Концептуальные вопросы изложены в работах М.А. Садовского,
B.Ф. Писаренко [270 - 271], Ю.С. Геншафта [118], В.В. Адушкина [2 - 4],
В.И. Родионова [255 ~ 258].
Структурная схема блокового строения земной коры служит необходимым основанием для изучения процессов взаимодействия блоков, локализации концентраторов напряжений, исследования их поведения, прогноза медленных и быстрых движений по границам блоков.
Для оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит необходимо руководствоваться положениями геомеханики [2] и учитывать, что на уровень и распределение напряжений в земной коре оказывают влияние ряд экзогенных и эндогенных факторов.
По мнению Ю.М: Пущаровского, B.JT. Новикова, A.A. Савельева,
В.Е. Фадеева [238 - 244], среди вышеперечисленных- экзогенных и эндогенных факторов самый существенный вклад в общее поле напряжений вносят внутренние процессы, происходящие в земной коре и в мантии Земли, которые формируют поля напряжений разных рангов, генерируют как
>
\ глобальное поле напряжений Земли, так и тектонические движения- в земной
\
коре. Этот постулат получил экспериментальное подтверждение. Результаты реконструкции природных напряжений, выполненные Ю.Л. Ребецким [247], показали существенную роль внутрикоровых и внутримантийных неоднородностей в формировании напряжений в верхней и средней коре, фактически определяющих ведущую роль В1 этих областях плотностных неоднородностей в сравнении с напряжениями, вызываемыми горизонтальными движениями плит.
9
Исследование напряженности и деформационных процессов в литосферных плитах показали необходимость учета в математических моделях, предназначенных для геомеханики и сейсмики, блочного строения горных пород.
В рамках модели блочной структуры литосферных плит появляется возможность исследования реакции геологической среды на внешнее или внутреннее воздействие.
Области концентрации напряжений формируются в неоднородном поле напряжений, которое продуцируется взаимодействием блочных (тектонических) элементов.
Исследования, проводимые как в России, так и за рубежом, показали, что имеющихся математических средств и вычислительных возможностей недостаточно, чтобы решить проблему оценки концентрации напряженности литосферных ПЛИТ. *1
В связи с этим разработаны новые методы исследования и решения граничных задач механики деформированного твердоф тела, дифференциальный и интегральный методы факторизации, а также метод блочного элемента, которые сделали доступным анализ литосферных плит как блочных структур в рамках механической концепции прогноза землетрясений.
Цель диссертационной работы: проведение исследований по
реализации новой концепции прогноза сейсмичности, основанной на оценке напряженно-деформированного состояния литосферных плит; развитие математического аппарата исследования напряженно-деформированного состояния блочно структурированных сред; выявление закономерностей влияния внутренней активности Земли на напряженно-деформированное состояние литосферных плит путем моделирования зон концентрации всплывающих легких фракций астеносферы и мантии на нижнем основании коры Земли; анализ напряженно-деформированного- состояния блочно
10
структурированных литосферных плит, вызванного внутренней активностью Земли.
Задачи исследования:
1) развитие нового- математического аппарата, специально приспособленного для решения граничных задач для систем: дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих при исследовании процессов, протекающих в блочно структурированных средах;
2) применение развитого математического аппарата к исследованию и решению граничных задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих при совместном исследовании процессов, протекающих в литосфере, астеносфере и мантии;
3) применение развитого математического аппарата к исследованию процессов, протекающих в блочно структурированной астеносфере: перенос легких фракций мантийных неоднородностей горизонтальным: плоскопараллельным движением и вынужденным конвективным движением среды; получение условий на границе контакта астеносферы с нижним основанием литосферной плиты;
4) постановка- и исследование граничных задач для определения напряженно-деформированного состояния блочно: структурированной литосферной плиты при разных условиях взаимодействия в зоне контакта нижнего основания литосферной плиты и астеносферы;
5) применение развитого математического аппарата к конкретным граничным-задачам и получение представлений решений для напряженно-деформированного состояния блочно структурированиой: среды, в частности, литосферных плит.
Научная новизна результатов работы
Научная новизна работы состоит в развитии новой концепции прогноза нарастания сейсмичности путем изучения напряженно-деформированного состояния литосферных плит. Для этих целей созданы специальные факторизаций!шые методы, позволяющие даже в условиях неопределенности
II .
ставить и исследовать проблему оценки напряженности литосферньтх плит, аппроксимируя плиты и возможные неоднородности соответствующими блочными структурами и блочными элементами.
Исследование напряженности литосферных плит впервые проводится с учетом внутренней активности глубинных слоев Земли. При этом принята модель активности глубинных слоев, связанной с конвективным движением. С учетом движения глубинных слоев Земли предполагается, что давление на нижнее основание литосферной плиты осуществляется в результате воздействия на него более легких фракций, подчиненных определенным закономерностям.
Развиваемый математический аппарат блочных структур и блочного элемента является новым, удобным математическим инструментом для получения, как разрешающих уравнений, так и представлений решений граничных задач.
В диссертационной работе ранее развитый математический аппарат, включающий в себя теорию блочных структур, дифференциальный метод факторизации, интегральный метод факторизации, метод блочного элемента, впервые применяется к совместному исследованию процессов, протекающих в литосфере, астеносфере и мантии.
Впервые изучено поведение внутримантийных плотиостных неоднородностей и получены условия на границе контакта литосферной плиты и верхней мантии как главного фактора, влияющего на формирование напряжений в верхней и средней коре.
В работе впервые показана возможность использования модели изотропного линейно деформируемого тела для описания напряженно-деформированного состояния блочно структурированной,
термоэлектроупругой, предварительно напряженной, анизотропной литосферной плиты путем применения метода блочного элемента.
Научная новизна полученных результатов подтверждена свидетельствами и патентами.
12
Научное и практическое значение результатов работы
Научное значение результатов работы состоит в том, что исследована еще одна значительная часть проблем, возникающих при оценке напряженности литосферных плит в целом и отдельных территорий, связанной с внутренней активностью Земли. Работа выявила необходимый круг экспериментальных исследований, которые могут после реализации приблизить решение проблемы прогноза мест и времени сейсмического события - землетрясения.
Другая, не менее важная научно-практическая роль исследования состоит в возможности прогноза активизации вулканической деятельности в реликтовых зонах. Образующиеся легкие фракции субстанции глубинных материалов способны стать причиной роста давлений в подкратерных зонах вулканов и вызывать извержение.
Теоретическая значимость работы заключается в разработке методологии применения теории блочных структур, дифференциального метода факторизации, метода блочного элемента для исследования и получения решений граничных задач, описывающих процессы в блочно структурированных средах сложного строения, в том числе в структурированной геофизической среде.
Практическая значимость работы состоит в возможности применения полученных результатов в системах мониторинга сейсмичности территории. Также развитые методы могут применяться для решения проблем прогноза и снижения риска возникновения аномальных экзогенных и эндогенных процессов, в частности, решения пространственных задач механики деформированного твердого тела для сред различной реологии при моделировании оползней, грязевого вулканизма, боковой и донной эрозии.
Разрабатываемые математические методы могут найти применение в машиностроении, строительстве, материаловедении, экологии и других отраслях науки и техники, где встает проблема исследования сложных систем.
13
Достоверность результатов
Достоверность результатов обеспечивается строгостью математических постановок задач, применением современных математических методов и классических подходов, согласованностью результатов, полученными другими методами.
Исследования, направленные на изучение блочного строения коры Земли, опирались на установленные и экспериментально подтвержденные результаты академика РАН М.А. Садовского по блочному строению Земли, а также результаты профессора Р. Вильямса (Университет Теннесси, Ноксвилл, США), впервые построившего методом вибросейсморазведки горизонты в штате Огайо по всей толщине литосферных плит.
На защиту выносятся:
1) новые усовершенствованные факторизационные методы
исследования и решения граничных задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных;
2) методы исследования процессов, протекающих в блочно
структурированных средах;
3) методы исследования процессов, протекающих в блочно
структурированной астеносфере: перенос легких фракций плотностных мантийных неоднородностей горизонтальным плоскоиараллельным движением и вынужденным конвективным движением среды;
4) методы расчета зон концентрации легких фракций мантийных неоднородностей на нижнем основании литосферных плит;
5) методы исследования напряженно-деформированного- состояния блочно структурированной литосфериой плиты при различных условиях взаимодействия в зоне контакта с верхней мантией;
6) представление решений для напряженно-деформированного состояния блочно структурированной среды, в частности, литосферной плиты..
14
Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, приложения, списка использованной литературы.
Во введении дается- обзор основных проблем сейсмологии и результатов исследований проводившихся в этой области российскими и зарубежными учеными. Обосновывается необходимость применения к исследованию напряженно-деформированного состояния литосферных плит математического аппарата, специально приспособленного для решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в контактирующих блоках.
В первой главе диссертационной работы приводится обзор существующих методов прогноза землетрясений, степень их проработки, достоинства и недостатки.
В параграфе 1.1 проведено исследование проблемы прогноза землетрясений, оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит и выделения на основе расчетов зон повышенной концентрации напряжений в рамках теории блочного строения геофизической и геологической среды.
В параграфе 1.2 приводятся результаты анализа физических и механических механизмов воздействия верхней мантии на деформационные процессы в литосферной плите.
В параграфе 1.3 представлен обзор работ, в которых проведено исследование процессов, протекающих в литосфере, астеносфере и мантии. Принимая основное положение современной геотектоники о конвективных процессах В'мантии, как главной движущей силе перемещения-литосферных плит, авторы существующих разработанных моделей не ставят задачу совместного исследования процессов, протекающих в литосфере, астеносфере и мантии. Исследования конвективных движений в мантии развиваются на основе гидродинамической теории тепловой1 конвекции в жидкости. В исследованиях В.П. Трубицына и В.В. Рыкова показывается существенное влияние континентов на характер тепловой конвекции в
15
мантии. Континенты представлены как твердые толстые пластины, плавающие по поверхности мантии.
Определение напряжений и деформаций внутри литосферной плиты возможно только при совместном решении уравнений для литосферной плиты и мантии, что позволяет определить силы, действующие со стороны мантии на подошву литосферы. При этом могут быть использованы реологические модели любой сложности.
Во второй главе выполнена постановка граничных задач процессов, протекающих в геосферах Земли. Для описания процессов в земной коре и мантии используются различные модели механики деформируемого твердого тела и механики сплошных сред.
В недрах Земли протекают механические, гидромеханические, температурные, электромагнитные, радиационные, диффузионные, химические процессы, охватывающие практически все физические законы. Среды земной коры и мантии обладают механическими, физическими, электромагнитными характеристиками, которые взаимосвязаны, существенно зависят от глубины и обладают анизотропией свойств и структуры.
В параграфе 2.1 показано, что для моделирования процессов, протекающих в геосферах Земли, необходимо иметь данные о механических и электромагнитных свойствах пород, распределении плотности вещества, давления и температуры. Горные породы обладают сложным химическим и минералогическим составом, электромагнитными свойствами. В земной коре и мантии также имеют место фазовые переходы* в. минеральных ассоциациях вещества.
В параграфе 2.2 предложены различные зависимости между напряжениями и деформациями для некоторых реологических сред, в том числе для пород земной коры и мантии, которые можно получить, исходя из характера конкретных физических процессов и общих термодинамических соображений. Показано, что для-построения качественной картины течения в
16
мантии нет необходимости различать реологические уравнения, так как течения в мантии лишь количественно отличаются от течения ньютоновской жидкости.
В параграфе 2.3 рассмотрена анизотропия горных пород, которая, как правило, связана с тонкой слоистостью, глинистостью или трещиноватостью пород, то есть блокообразующими факторами. Трещиноватость горных пород в поле естественных напряжений приводит к анизотропии геологических свойств и, следовательно, к анизотропии упругих свойств.
В параграфе 2.4 приводятся основные соотношения и уравнения граничных задач динамики упругого анизотропного тела, обладающего пьезо- и пироэлектрическими свойствами.
Волновые процессы в литосферных плитах описываются динамическими связанными задачами, в которых учитывается взаимодействие механических, тепловых, электромагнитных полей в деформируемых средах - моделями изотропной и анизотропной теории термоэлектроупругости, частными случаями которых являются модели для термоупругих анизотропных и изотропных сред, модели для электроупругих и пироэлектрических тел без пьезоэффекта.
Кроме перечисленных граничных задач термоэлектроупругости для определения ряда физических параметров применяются граничные задачи, базирующиеся на иных реологических моделях. Эти модели, положенные в основу описания процессов мантийной конвекции; теплопроводности, определения электрических характеристик сред в геосферах Земли, переноса мантийных плотностных неоднородностей, рассматриваются в параграфах 2.5-2.8.
В третьей главе представлен математический аппарат, применяемый для исследования напряженно-деформированного состояния среды, в том числе, литосферных плит.
Структурная схема блокового строения земной коры служит необходимым основанием для изучения процессов взаимодействия блоков,
17
г
локализации концентраторов напряжений, исследования их поведения, прогноза медленных и быстрых движений по границам блоков. Для исследования процессов, протекающих в контактирующих блоках, смешанных и контактных задач для термоэлектроупругих тел сложной формы разработана теория блочных структур. Она позволяет строить представления решений граничных задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных в произвольных областях в аналитическом виде.
Под блочными структурами понимаются среды, занимающие ограниченные, полуограниченные или неограниченные области, называемые контактирующими блоками, каждый обладает своими специфическими физико-механическими свойствами и собственным поведением при воздействиях различной природы. В каждом блоке, ограниченном или неограниченном, могут протекать связанные процессы механики деформируемого твердого тела, механики сплошных сред и др.
Для исследования и решения граничных задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в. блочной структуре разработан дифференциальный метод факторизации.
Граничные условия в общем виде описывают случай контакта блоков, когда на общих границах принимаются условия совпадения необходимых компонент физических полей, продиктованные соответствующими физическими законами.
При наличии трещин, разломов или включений меньших размерностей последние надо рассматривать как границы блоков. В результате получается однотипный алгоритм исследования блочных структур с указанными неоднородностями.
Исследование контактных задач для блочно структурированных материалов, вид построенных систем псевдодифференциальных уравнений показали сложность решения поставленной проблемы. Это оказывается
18
особенно понятным, когда блоки имеют произвольную форму, и не подчиняются каким-либо закономерностям, которые позволяют упростить постановку задачи и выполнение исследований. Задача оказывается более доступной для исследования, если блоки имеют плоские границы. Отсюда возникла идея о расщеплении блоков сложного строения на блоки с плоскими границами. К таким блокам, набор которых способен описать область сложного строения в трехмерном случае, относятся прямоугольные параллелепипеды, прямоугольные пирамиды, произвольные треугольные пирамиды, многогранники.
Блочные элементы строятся по определенному алгоритму однотипно для систем дифференциальных уравнений в частных производных любого конечного порядка. Они имеют представление в форме интеграла по границе области носителя.
В методе блочного элемента факторизация оставляет в представлении решения только нужные составляющие, а получаемые псевдодифференциальные уравнения не только достаточно просто регуляризуются, но даже исследуются аналитически и допускают различные варианты приближенных решений.
. В качестве примера в диссертационной работе рассмотрен двумерный блочный элемент в форме прямоугольника, наиболее удобный в приложениях для плоских задач, так как упрощается представление псевдодифференциальных уравнений и просто достигается разбиение области на элементы прямоугольной сеткой. Он построен для задачи, являющейся модельной, но отражающей все особенности интегральных уравнений порождаемых граничными задачами более общего типа. Для него выведены псевдодифференциальные уравнения и представление функции формы, точно удовлетворяющей дифференциальному уравнению краевой задачи.
Метод блочного элемента позволяет существенно упростить исследование процессов, протекающих в геосферах Земли, которые
характеризуются анизотропией свойств и структуры, сложными физикомеханическими свойствами. Разбиение области сеткой на элементы, в которых физические, механические, электромагнитные свойства породы однородны и изотропны, позволяет перейти от моделей анизотропной теории термоэлектроупругости к модели изотропного, линейно деформируемого тела, которая и будет рассмотрена далее.
В четвертой главе исследованы процессы переноса легких фракций внутримантийных неоднородностей и получены условия на границе контакта литосферной плиты и верхней мантии.
В параграфе 4.1 рассмотрена граничная задача общего вида для ограниченной или полуограниченной выпуклой односвязной области. Применение дифференциального метода факторизации позволило получить интегральное представление решения, дальнейшее исследование которого проводится с использованием методов классической и обобщенной факторизации и теории многомерных вычетов. В результате применения этого подхода граничная задача сводится к решению системы двумерных интегральных уравнений-.
В параграфе 4.2 проведено исследование задачи переноса субстанций (СБ) в блочно структурированной среде в общем виде. Вертикальные профили физико-механических характеристик среды характеризуются стратификацией с квазиоднородными слоями. Для описания процессов переноса СБ в такой среде вводится блочная структура, где каждый блок является слоем-. Применение дифференциального- метода факторизации позволяет получить интегральное представление решения в каждом блоке.
В параграфе 4.3 полученные результаты для общей граничной задачи переноса СБ в блочно структурированной среде применяются для получения представлений решений задачи о переносе субстанции мантийных неоднородностей в астеносфере. Астеносфера моделируется трехслойной средой. Источниками поступления мантийных неоднородностей могут быть приток субстанции со стороны верхней мантии, приток субстанции,
20
являющийся результатом естественного разложения более крупных неоднородностей, которые приближенного можем считать точечными источниками, и некоторый приток субстанции в астеносферу со стороны литосферы. Применяя к поставленной граничной задаче алгоритм решения, изложенный в параграфе 4.2, получается система интегральных уравнений первого рода.
Приближенные решения интегральных уравнений получены двумя способами. Первый метод специально развит для решения смешанных задач теории упругости. Он применяется при исследовании краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа, если символ ядра полученного интегрального уравнения имеет только комплексные нули и полюса. Кроме того, рассматриваемые системы интегральных уравнений обладают специфическими свойствами локальности их ядер, которые экспоненциально затухают при увеличении аргументов.
Второй метод построения решения системы интегральных уравнений состоит в следующем. Решения интегральных уравнений в каждой области можно разбить на две составляющие: внутреннюю, удаленную от границ, и погранслойную, примыкающую к границам области. В работе показано, что вырожденная составляющая решения получается; после проектирования в область решения, отвечающего случаю краевой задачи о
распространении субстанции мантийных неоднородностей и осаждения их на подстилающую поверхность при граничном условии Ьт(р = 0; -со<х>у<со.
Погранслойпая составляющая решения имеет вклад вблизи границы и уменьшается экспоненциально при движении вглубь области. Таким образом, для получения качественной картины распределения субстанции мантийных неоднородностей достаточно учитывать вырожденную составляющую и для каждого участка подстилающей поверхности получать решение граничной задачи об осаждении на однородную бесконечную подстилающую поверхность.
21
В параграфе 4.4 проведено моделирование всплытия мантийных неоднородностей к нижней границе литосферной плиты в области контакта континентальной и океанической коры. Зоны оседания субстанций являются полупространствами, в каждом из которых задано свое граничное условие. Для данного случая системы интегральных уравнений сводятся к форме интегрального уравнения Винера - Хопфа и для их решения применяется интегральный метод факторизации.
В параграфе 4.5 рассматривается астеносфсрный слой, в котором одновременно может находиться несколько типов субстанций мантийных неоднородностей. Субстанции находятся как в свободном, так и в конденсированном состоянии. При рассмотрении ламинарного движения таких комплексных субстанций построена система дифференциальных уравнений в частных производных до второго порядка и соответствующие граничные условия, к которым могут быть применены изложенные методы решения.
В параграфе 4.6 исследована частная ситуация, когда мантийные
неоднородности, перенесенные в процессе конвективного движения в мантии к ее границе, имеют большой фактор плавучести. Очевидно, что такие субстанции будут выталкиваться в астеносферу и переноситься дальше к основанию литосферной плиты горизонтальным течением и турбулентными процессами. Концентрация субстанций мантийных неоднородностей па границе мантии определяется либо численным решением уравнений Навье -Стокса и переноса, либо соответствующей интерпретацией данных сейсмической томографии.
В параграфе 4.7 представлена численная реализация математических , моделей плоскопараллельного переноса мантийных неоднородностей в астеносфере и результаты расчетов некоторых конкретных ситуаций.
В пятой главе исследован перенос мантийных неоднородностей конвективными движениями в астеносфере при субдукции литосферных плит.
22
Для определения скоростей цилиндрического движения среды получены решения уравнений движения вязкой жидкости в форме Навье - Стокса в цилиндрической системе координат.
Поставленная краевая задача решена методом интегральных преобразований при последовательном применении преобразования Фурье и Ханкеля в конечных пределах. Получено интегральное представление решения и выполнены численные расчеты.
В шестой главе проведены исследования по определению напряженно-деформированного состояния литосферной плиты с учетом воздействия внутренней активности Земли.
Для решения задачи определения напряжений и деформаций в литосферной плите с учетом воздействия астеносферных потоков и мантийных плотностных неоднородностей используется теория блочных структур.
В общем случае литосферная плита является линейной анизотропной, термоэлектроупругой средой. Применение теории блочных структур позволяет перейти к динамическим задачам теории упругости.
Задача по определению напряженно-деформированного состояния решалась в несколько этапов.
В параграфе 6.1 рассматривается выпуклая область О, занятая изотропным, линейно деформируемым телом, с гладкой границей 5П, которая не требует разбиения на блоки. Для него строится касательное расслоение и в каждой локальной системе координат вводятся внешние формы. Строятся функциональные уравнения, к которым сводятся краевые задачи.
В параграфе 6.2 исследованы статические задачи теории упругости. Область О, занятая изотропным, линейно деформируемым телом, является выпуклой, а граница 80 - гладкой. Для статической задачи построены функциональные и псевдодифференциальные уравнения, даются различные
г
формы представления решений - перемещений и напряжений в области, занятой телом.
В параграфе 6.3 дифференциальный метод факторизации применяется к блочно структурированной среде. Рассматривается совокупность трехмерных изотропных деформируемых тел с разными механическими характеристиками, динамически взаимодействующих между собой под действием поверхностных и объемных сил. Предполагается, что области контакта остаются неизменными.
Для каждого блока 6 = 1,2,В> имеющего свои механические характеристики, записываются определяющие уравнения изотропной теории упругости.
На неконтактирующих частях границы ставятся традиционные граничные условия теории упругости. На контактирующих частях, в частности, на д£2ы, ставятся условия равенства векторов напряжений и перемещений. Изложен метод построения функциональных и псевдодифференциальных уравнений для таких систем. Получены различные формы представления решений - перемещений и напряжений в блочной структуре:
Показано, что при построении псевдодифференциальных уравнений простой факторизацией в каждой прямоугольной декартовой локальной системе координат касательного расслоения границы тела возникает краевая задача для полупространства, на границе которого расположена локальная система координат.
Полученный результат открывает огромные возможности для^ быстрого получения псевдодифференциальных уравнений для тел из тех материалов, для которых граничные задачи исследовались ранее и где построены решения для полупространства. Для применения этих решений в дифференциальном методе с простой факторизацией необходимо вводить окрестности локальной системы, координат в решения для полупространства и получаемые соотношения между искомыми функциями на границе вносить
во внешние формы псевдодифференциальных уравнений. Псевдодифференциальные уравнения содержат все возможные неизвестные граничные функции краевой задачи. Псевдодифференциальные уравнения должны быть разрешены относительно искомых неизвестных, в то время как заданные граничными условиями параметры должны фигурировать в псевдодифференциальных уравнениях как известные значения. Решения псевдодифференциальных уравнений позволят описать решения исходных краевых задач для тел сложной формы.
В параграфе 6.4 проведено исследование напряженно-
деформированного состояния трехмерного изотропного линейно деформированного тела методом блочного элемента. Рассмотрены полубесконечный блочный элемент и элемент в виде прямоугольного параллелепипеда, наиболее востребованные в задачах сейсмологии и геоэкологии. Построены функциональные, псевдодифференциальные1-уравнения и представления решений в блочном элементе.
В приложении представлены результаты расчетов и иллюстративный л материал.
По теме диссертации опубликовано 23 работы, в том числе, 17 статей в . журналах, определенных ВАК России для публикаций содержания докторских диссертаций.
В работе [69] научному консультанту В.А. Бабешко принадлежит постановка задачи, Е.В. Кособуцкой - обоснование и выбор метода решения, получение решения.- для легких субстанций, М.В. Зарсцкой - получение решения для тяжелых субстанций и численная реализация модели.
В работе [51] научному консультанту В.А. Бабешко принадлежит обсуждение проблемы, постановка’ задачи, М.В. Зарсцкой - построение систем интегральных уравнений, остальным авторам - выбор методов решения, построение решений вспомогательных задач.
В работе [52] научному консультанту В.А. Бабешко принадлежит обсуждение проблемы и постановка задачи, М.В.Зарецкой - решение
25
поставленных граничных задач, остальным авторам - получение и визуализация численных результатов.
В работе [77] М.В. Зарецкой принадлежит постановка граничных задач, выбор метода решения и обобщение результатов, остальным авторам -получение и визуализация численных результатов.
В работах [76, 77] О.М. Бабешко принадлежит постановка задачи и обоснование метода решения, М.В. Зарецкой - вывод интегральных уравнений и получение решения.
В работе [81] О.М. Бабешко получила решение задачи переноса для конвективного движения среды, М.В. Зарецкая - для плоскопараллельного движения среды.
В работе [173] М.В. Зарецкой были получены решения интегральных уравнений, остальным авторам принадлежит описание проблемы, постановка краевых задач и вывод интегральных уравнений, численная реализация.
В работе [174] М.В. Зарецкой принадлежит описание проблемы, постановка краевых задач, выбор метода решения, получение решения, И.В. Рядчику принадлежит описание аппаратурного комплекса получения физических и механических характеристик среды.
В работах [63, 160] научному консультанту В.А. Бабешко принадлежит постановка задач и выбор метода исследования, М.В. Зарецкой — получение решения статической краевой задачи, остальным авторам - построение внешний форм и их исследование, получение решения динамической краевой задачи.
В работе [70] научному консультанту В.А. Бабешко принадлежит постановка задач, М.В. Зарецкой - выбор метода решения, решение задачи в общем случае, И.В. Рядчикову - решение задачи для частного случая.
В работе [172] научному консультанту В.А. Бабешко принадлежит обоснование выбора метода решения, С.В. Ратнер — описание процессов, М.В.Зарсцкой - постановка граничной задачи и реализация метода решения.
26