Собственные упругие и пластические состояния анизотропных сред

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 6
Раздел I. Векторные и скалярные свойства анизотропных сред. 14
Глава 1. Классификация анизотропных сред по реакции на воздействие гидростатического давления. 14
1.1. Напряженное состояние сплошного тела. 15
1.2. Закон Гука. 17
1.2.1. Тензорная форма записи закона Гука (триклиниая сингония). 17
1.2.2. Матричная форма записи обобщенного закона Гука (триклинная сингония) (шестимерное векторное пространство). 17
1.3. Воздействие гидростатического давления на упруго де формируемые среды. 22
1.3.1. Деформирование изотропного материала гидростати
ческим давлением. 22
1.3.2. Деформирование гидростатическим давлением материала с триклинным типом сингонии. 23
1.4. Выводы по первой главе. 29
Глава 2. Аффинные объемно-изотропные пространства в теории упругости анизотропных сред 30
2.1. Трансверсально-изотропная среда. 30
2.1.1. Представление трансверсально-изотропного материала в аффинных пространствах. 31
2.1.2. Влияние действия среднего давления на деформирование трансверсально-изотропного материала в аффинных пространствах. 33
2.1.3. Гипотеза о квазинесжимаемости трансверсально-изотропного материала в объемно-изотропных аффинных пространствах. 37
2.2. Ортотропная среда. 38
2.2.1. Представление ортотропного материала в аффинных пространствах.
2.2.2. Энергия изменения объема и формы ортотропного материала в объемно-изотропном аффинном пространстве. 40
2.2.3. Ортотропный материал не чувствительный в аффинном пространстве к действию виртуального гидростатического давления. 45
2.3. Триклинная сингония. 47
2.3.1. Представление триклинного материала в аффинных пространствах. . 48
2.3.2. Энергия изменения объема и формы триклинного материала в объемно-изотропном аффинном пространстве. 50
39
2
2.3.3. Триклинный материал не чувствительный в аффинном % пространстве к действию виртуального гидростатического давления. 55
2.4. Выводы по второй главе 57
Глава 3. Собственные состояния анизотропных сред в объемноизотропных аффинных пространствах. 59
3.1. Матричная запись обобщенного закона Гука. 62
3.2. Шестимерное пространство собственных векторов (собственных упругих состояний). 63
3.2.1. Изотропия. 66
3.2.2. Гексагональная сингония (трансверсальная изотропия). 68
3.2.3. Ромбическая сингония (ортотропия). 69
3.2.4. Моноклинная сингония. 70
3.2.5. Триклинная сингония. 72
Ь 3.3. Пятимерные объемно-изотропные аффинные пространства
собственных упругих состояний виртуальной энергии формоизменения анизотропных материалов. 72
3.3.1. Изотропия. 73
3.3.2. Гексагональная сингония. 78
3.3.3. Ромбическая сингония (ортотропное тело). 80
3.3.4. Моноклинная сингония. 82
3.3.5. Триклинная сингония. 84
3.4. Выводы по третьей главе. 86
Г лава 4. Г енезис упругопластических свойств. 87
4.1. Изотропная среда. 87
4.1.1. Собственные упругие состояния изотропной среды в пространстве главных напряжений. 87
4.1.2. Собственные пластические состояния изотропного тела. 88
4.1.3. Неполная и полная пластичность. 91
* 4.1.3.1. Идеально связная среда. 91
4.1.3.2. Среда с трением и сцеплением. 94
4.2. Ребро пластичности. 94
4.3. Ассоциированный закон пластического течения. 96
4.4. Условия предельных состояний анизотропных сред в объемно-изотропных аффинных пространствах. 96
4.4.1. Трансверсально-изотропная среда. 99
4.4.2. Ортотропная среда. 101
4.4.3. Триклинная сингония. 103
4.5. К построению теории малых упругопластических деформаций. 105
4.5.1. Деформационная теория пластичности. 105
4.5.2. Теория пластического течения с упрочнением (разупрочнением). 111
ф 4.6. О неоднозначности условия полной пластичности анизотропных сред. 112
з
4.7. О построении определяющих соотношений разносопротив-ляющихся сред.
4.7.1. Изотропная среда.
4.7.2. Анизотропная среда.
4.8. Выводы по четвертой главе.
Раздел II. Вариант построения теории идеальной пластичности анизотропных сред.
Глава 5. Идеально-пластичные анизотропные среды.
5.1. Состояние вопроса и задачи исследования.
5.1.1. Условия предельных состояний анизотропных сред.
5.2. Основные соотношения.
5.2.1. Квадратичное условие пластичности.
5.2.2. Теорема о множественности представлений анизотропного жесткопластического материала в аффинных пространствах.
5.2.3. Гипотеза о квазинесжимаемости пластического течения анизотропного материала.
5.3. Обобщенное пластическое кручение анизотропной среды.
5.4. Плоская деформация моноклинной среды.
5.5. Основные уравнения теории идеальной пластичности орто-тропных материалов (квадратичное условие пластичности).
5.5.1. Модификация Мизеса-Хилла.
5.5.2. Модификация Толоконникова - Матченко.
5.6. Теорема о множественности представлений ортотропного жесткопластического материала в аффинных пространствах.
5.7. Гипотеза о квазинесжимаемости пластического течения ортотропного материала.
5.8. Обобщение закона пластического течения АЛО. Ишлинского на ортотропные среды.
5.9. Плоская деформация.
5.9.1. Основные соотношения теории плоской деформации ортотропного материала.
5.9.2. Вариант соотношений плоской задачи.
5.9.3. Задача Прандтля.
5.9.4. Сжатие полосы слабошероховатыми плитами.
5.9.5. Сжатие полосы вполне шероховатыми плитами.
5.9.6. Сжатие короткой полосы и сжатие полосы штампом.
5.10. Предельные задачи несущей способности оснований
5.10.1. Минимальное давление.
5.10.2. Максимальное давление
5.10.3. Устойчивость анизотропных откосов.
5.11. Выводы по пятой главе.
Глава 6. Основные уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности трансверсально-изотропной среды.
6.1. Общие соотношения.
6.2. Моделирующая среда. Обобщенные напряжения и скорости пластических деформаций. Изотропное изображающее пространство. 191
6.3. Формулировка условия полной пластичности в изотропном изображающем пространстве. 192
6.4. Уравнения характеристик и соотношений вдоль них. 199
6.5. Решение частных задач осесимметричного пластического течения. 201
6.5.1. Истечение ортотропного материала из цилиндрической втулки. 202
6.5.2. Задача Р. Хилла. 203
6.5.3. Вдавливание круглого штампа с плоским основание в трансверсально-изотропное полупространство. 205
6.6. Выводы по шестой главе. 208
Глава 7. Экспериментальная проверка закона пластического течения. 209
7.1. Анизотропия механических характеристик прокатных материалов (общее состояние проблемы). 209
7.2. Экспериментальное определение характеристик пластической анизотропии листового материала. 216
7.2.1. Методика экспериментального определение характеристик пластической анизотропии в листовых прокатных металлах. 216
7.3. Вычисление характеристик пластичности. 220
7.4. Экспериментальная проверка гипотезы о несжимаемости пластического течения. 226
7.5. Определение компонент преобразующего тензора. 227
7.6. Выводы по седьмой главе. 228
8. Выводы по диссертации. 229
9. Список литературы. 231
10. Приложения. 255
Приложения к главе 2. 256
Приложения к главе 5. 266
Приложения к главе 6. 278
Приложения к главе 7. 281
*
5
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривая многообразие конструкционных материалов, можно заметить, что подавляющее большинство из них проявляют анизотропию механических характеристик.
Разработка формализованных подходов к построению определяющих соотношений для таких материалов является актуальной задачей.
Таким образом, далее будем рассматривать материалы, которые в не-деформироваином состоянии обладают некоторой симметрией структуры. Изотропные материалы являются частным случаем анизотропных материалов, проявляющих полную симметрию свойств.
Свойства симметрии играют фундаментальную роль в описании механических свойств анизотропных материалов. Сводку основных данных можно найти в книге Дж. Ная [228]. В этой книге даны подробные ссылки на работы, посвященные описанию симметрии свойств.
При описании симметрии сплошной среды будем основываться на классических работах A.B. Шубникова [311,312], Ю.И. Сиротина [264, 265], А. Грина и Дж. Адкинса [60], Э. Спенсера [267, 343-346], В.В. Лохина [168-170] и других.
Построению общей теории описания полиномиальных свойств компонент тензоров и векторов скалярных инвариантов относительно конечных групп преобразований, характеризующих симметрию анизотропного материала, посвящено значительное количество публикаций. Например, построение целого рационального базиса для текстур и кристаллических классов приводится в работах В. Деринга [323], Г. Смита, Р. Ривлина и А. Пипкина [361-364], Ю. Сиротина [268-271].
Построению скаляров и тензоров с заданной симметрией можно найти в работах Г. Смита, Р. Ривлина и А. Пипкина [339-341], А. Шубникова [311, 312], Ю.Сиротина [262, 264], в книге С. Ёагавантама и Т. Венкатурайуду [14].
Например, если тензоры, являющиеся функциями тензорных аргументов, относятся к тензорам второго ранга, то функциональные связи между
ними приводят к функциональным соотношениям между квадратичными матрицами и поэтому основные результаты сводятся к формуле Гамильтона -Кэли и к ее обобщению на случай нескольких матричных аргументов [288,373-376].
Вопросам построения нелинейных тензорных функций от нескольких тензорных аргументов посвящена статья JI. Седова и В. Лохина [170].
Наиболее важным физическим принципом, положенным в основу изучения симметрии свойств, является принцип Неймана [228]. В соответствии с этим принципом, «элементы симметрии любого физического свойства кристалла включают в себя все элементы симметрии точечной группы (кристаллографического класса) этого кристалла, или точечная группа симметрии кристалла есть подгруппа симметрии любого его физического свойства».
Проблемам симметрии упругих свойств анизотропных материалов и структуры закона Гука посвящены труды П. Бехтерева [20], Н.Г. Ченцова [299], С.Г. Лехницкого [162], Е.К. Ашкенази [13] и других авторов.
Общая теория определяющих соотношений механики сплошных сред предложена в работах A.A. Ильюшина [105, 108], Л.И. Седова [261], В.В. Новожилова [230], К. Трусдела [293],А. Грина и Дж. Адкинса [64], В.Н. Кукуд-жанова, К. Сантойя [159], И.Г. Терегулова [281], В.А. Пальмова [242], A.C. Кравчука [148], A.A. Маркина [183], В.И. Левитаса [166], Н.Г. Бураго [28], Е.З. Короля [143] и других авторов.
Имеются многочисленные работы, в которых рассматриваются определяющие соотношения и постановки краевых задач в нелинейно-упругих и упругопластических анизотропных средах: П.П. Петрищев [244], И.И. Голь-денблат [52], В.А. Ломакин [171, 172], P.M. Мансуров [182], Б.И. Ковальчук [136-137], Н.Б. Алфутова [6, 7], A.A. Ильюшин [ИЗ, 117], A.C.Кравчук [147], Б.Е. Победря [246-249], A.A. Маркин и М*Ю. Соколова [184] и другие.
Основной проблемой при построении определяющих соотношений является выбор базиса, инвариантного по отношению к точечной группе
симметрии, характеризующей анизотропный материал. Фундаментальных идей в этом направлении не так уж много.
Изучение групп ортогональных преобразований ведется с целью построения целых рациональных базисов полиномиальных инвариантов, образованных компонентами тензоров и векторов. Для текстур и различных классов кристаллов построение таких базисов приведено в работах Э. Спенсера [361-364], Ю.И. Сиротина [273-276], А. Грина и Дж. Адкинса [64], В.В. Jlo-хина и Л.И. Седова [178] и др.
Группы симметрии свойств анизотропного материала могут быть заданы перечислением образующих их ортогональных преобразований [64, 312, 361, 362], или заданием тензорного базиса, инвариантного относительно преобразований групп [38, 176, 247, 272].
В работах [176, 279. 293] для различных кристаллографических систем указаны порождающие элементы групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств среды.
В монографии А. Грина и Дж. Адкинса [64], исходя из предположения, что функция энергии деформации является инвариантной по отношению к точечной группе характеризующей симметрию, для различных кристаллических классов построены полиномиальные тензорные базисы.
Известны базисы, предложенные В.В. Новожиловым [288], К. Ф. Черных [300-307], A.A. Маркиным и М.Ю. Соколовой [178].
В работах Б.Е. Победри [239-243] в качестве инвариантных разложений тензора деформации используются спектральные разложения. Следует заметить, что полученное Б.Е. Победрей спектральное разложение не формализовано и является в некотором роде искусством. Спектральное разложение реализовано им для трансверсально-изотропного материала.
В работах Я. Рыхлевского [256-258] тензоры упругости четвертого ранга представляются разложениями по .«собственным упругим состояниям». В качестве примеров рассмотрены изотропные и трансверсально-
изотропные упругие тела. Показано, что чисто объемное деформирование не является собственным упругим состоянием анизотропной среды.
Разложение тензора четвертого ранга по собственным состояниям, предложенное Я. Рыхлевским [256-258], содержит наименьшее число констант упругости (истинных модулей упругости). Отыскание собственных упругих состояний и истинных модулей упругости для анизотропных материалов различных типов сводится к решению задачи об определении главных векторов и главных значений тензора упругости. Эта задача достаточно формализована и легко реализуется на персональных компьютерах.
Рассмотренные выше подходы не позволяют в общем случае разложить энергию деформирования линейно упругого анизотропног тела на шаровую часть и девиаторную.
.Ниже показана возможность получения такого разложения путем введения аффинных преобразований координат, компонент вектора перемещения (вектора скорости перемещения), компонент тензора напряжения и тензора дефорхмации (тензора скорости деформации) и, как следствие, показан вариант построения теории малых упругопластических деформаций, теории идеальной пластичности начально-анизотропных сред.
В первой главе исследуется воздействие гидростатического давления на линейно-упругую анизотропную среду. Отмечается, что в анизотропной среде под воздействием гидростатического давления возникает деформация изменения объема и деформация изменения формы. Еще Я. Рыхлевский в статье [256, 257] указал на возможность существования таких анизотропных материалов, у которых при деформировании их гидростатическим давлением, может отсутствовать формоизменение. Он назвал такие материалы объемно изотропными. Нами показано, что свойство объемной изотропии приводит энергию деформирования анизотропной среды, так же как и в изотропных материалах, к разделению на шаровую часть и девиаторную. Выписаны условия совместности механических характеристик для анизотропного материала, обладающего свойством объемной изотропии.
Во второй главе, используя идею Лоджа [330], вводятся аффинные преобразования координат, компонент вектора перемещения, компонент тензора напряжения и деформации. Аффинные преобразования вводятся посредством симметричного тензора второго ранга а у. Поскольку компоненты
преобразующего тензора произвольны, то анизотропному материалу в физическом пространстве с тензором анизотропии А»тп, в аффинных пространствах соответствует бесчисленное множество анизотропных материалов с тензорами анизотропии С^тп.
Все эти материала аффинно подобны. Энергия деформации анизотропной среды во всех пространствах одинакова. Мы предлагаем, аффинные преобразования вводить таким образом, что бы класс симметрии материала при преобразованиях не изменялся. Последнее требование приводит к тому, что для трансверсально-изотропного материала преобразующий тензор содержит только две компоненты, а для ортотропного материала - три. Для материала с триклинной сингонией преобразующий тензор содержит шесть компонент.
По существу посредством аффинных преобразований анизотропному материалу придаются дополнительные внутренние степени свободы.
Этими степенями свободы предлагается распорядится таким образом, чтобы выделить среди бесконечного множества аффинных пространств объемно-изотропные пространства.
Показана возможность вычисления компонент преобразующего тензора для различных типов сингонии. Приведены соотношения закона Гука для квазинесжимаемых материалов. Перевод анизотропного материала из физического пространства в аффинное пространство с объемноизотропными свойствами не накладывает никаких ограничений на механические характеристики материала.
В третьей главе рассмотрена проблема определения собственных упругих состояний и собственных значений анизотропных сред в шестимерном
объемно-изотропном векторном пространстве. Поскольку в объемноизотропном аффинном пространстве энергия формоизменения анизотропной среды выражается через девиаторные компоненты тензора обобщенных напряжений, то осуществлен переход к пятимерному девиаторному пространству.
Получены базисы пятимерного векторного пространства для изотропной среды и основных типов кристаллографической симметрии, исходя из представления энергии формоизменения в объемно-изотропном аффинном пространстве как энергии суммы собственных упругих состояний.
В четвертой главе рассмотрена возможность использования параметров собственных упругих и пластических состояний для исследования перехода упругого материала в пластическое состояние. Показано, что в пространстве главных напряжений собственные упругие состояния изотропной среды с точностью до числовых множителей совпадают с инвариантами Ше-мякина-Христиановича [295, 296, 308-310].
Упруго пластические свойства анизотропных материалов предлагается описывать через параметры собственных состояний, принимая их в качестве базисов векторного пространства.
Предложена формализация понятий полной и неполной пластичности.
Исследуется генезис упругопластических свойств изотропных материалов. Показано, что гладкие поверхности предельных состояний представляют собой проявление бесконечного множества ребер пластичности А.Ю. Ишлинского [114, 120]. Затронута проблема статической определимости.
Рассмотрены примеры формулирования предельных состояний анизотропных сред.
Намечены подходы к построению малых упругопластических деформаций анизотропных сред.
Указано на проблему неоднозначности условия полной пластичности для анизотропных сред.
Рассмотрен вариант построения определяющих соотношений разномодульных сред, основанный на выборе в качестве векторного базиса собственные упругие состояния анизотропной среды в объемно-изотропном аффинном пространстве.
Во втором разделе диссертации в качестве примера использования разработок, выполненных в первом разделе, изложен вариант построения теории идеальной пластичности жесткопластических анизотропных сред.
В пятой главе обсуждаются возможности построения теории идеальной пластичности анизотропных сред при квадратичном условии пластичности.
При этом существенным является использование объемноизотропных аффинных пространств.
Подробно рассмотрены уравнения пластического течения ортотроп-ной среды.
Сформулирована гипотеза о квазинесжимаемости идеальнопластического течения ортотропного материала.
Дано обобщение закона пластического течения А.Ю. Ишлинского на ортотропные материалы.
Получены дифференциальные уравнения поля напряжений и поля скоростей в случае плоской деформации. Показано, что эти уравнения принадлежат к гиперболическому типу, а характеристики поля напряжений и поля скоростей совпадают.
На примере решения частных задач показана возможность использования полученных уравнений.
В шестой главе рассмотрена осесимметричная задача теории идеальной пластичности трансверсально изотропного тела. Задача сформулирована в объемно-изотропном аффинном пространстве. Используя метод аффинного подобия, постулируется условие полной пластичности. В качестве примера использования предложенных соотношений, решена задача Р. Хилла о выдавливании трансверсально-изотропного материала из жесткой втулки. Дано
численное решение задачи о вдавливании круглого штампа с плоским основанием в полубесконечное трансверсально-изотропное жесткопластическое пространство.
В седьмой главе приведены результаты экспериментальных данных автора по изучению пластического течения листовых прокатных материалов. Обработка экспериментальных результатов показала, что предложенные в диссертации соотношения позволяют удовлетворительно описывать данные экспериментов.
Вывод: изложенный в диссертации материал показывает, что использование для исследования процессов деформирования и формулировки определяющих соотношений собственных упругих и пластических состояний анизотропных сред в аффинных объемно-изотропных пространствах является рациональным.
*
#
13
РАЗДЕЛ I.
СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Глава 1. КЛАССИФИКАЦИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД ПО РЕАКЦИИ НА ВОЗДЕЙСТВИЕ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ.
В этой главе выписаны основные соотношения теории упругости анизотропных сред. Для триклинной сингонии закон Гука представлен в тензорной и матричной форме.
В связи с тем, что в изотропных материалах энергию деформирования можно представить, как сумму энергии изменения объема и энергию изменения формы, исследовано влияние воздействия гидростатического давления на упругие анизотропные материалы.
Отмечается, что при воздействии гидростатического давления на анизотропный материал в нем возникают деформации изменения объема и формы, в отличие от изотропного материала в котором возникает лишь деформация изменения объема.
В соответствии с реакцией упругого анизотропного материала на действие гидростатического давления предложена новая классификация анизотропных сред.
Выделяется три частных класса анизотропных материалов:
1. Несжимаемые анизотропные материалы - материалы, воздействие на которые гидростатического давления приводит только к деформациям изменения формы, а деформации изменения объема равны нулю;
2. Объемно-изотропные материалы. Воздействие гидростатического давления на этот класс анизотропных материалов приводит только к изменению объема, а изменение формы отсутствует;
3. Анизотропные материалы нечувствительные к воздействию гидростатического давления. Воздействие гидростатического давления на этот класс анизотропных материалов не вызывает в них ни деформации изменения объема, ни деформации изменения формы.
Термин объмно-изотропного материала нами заимствован у Я. Рых-левского [258].
Анализ выделенных классов анизотропных материалов показал:
1. Свойство несжимаемости анизотропного материала не приводит к разделению удельной энергии деформации на шаровую и девиаторную часть;
2. Только в анизотропных материалах, обладающих свойством объемной изотропии, энергия упругого деформирования разделяется на энергию изменения объема (шаровая часть) и энергию изменения формы (де-виаторная часть).
Показано, что в физическом пространстве требование объемной изотропии накладывает ограничения на характеристики упругости анизотропного материала.
1.1. Напряженное состояние сплошного тела.
Рассматривая анизотропную среду, отнесем ее к прямоугольной декартовой системе координат эс,- (7 = 1,2,3). Наряду с обозначениями координат Х( далее будут использоваться обозначения х/ = х, х^ = у у х$-2.
В соответствии с классической механикой сплошных сред [261, 263], напряжения на всевозможных площадках, проведенных через выбранную точку, определяются симметричным тензором напряжения, который можно задать в виде тензора напряжения
<У;] = <Уу„(1 = 1.2.г), (1.1)
или матрицы компонент тензора напряжения
15
а*» аХ2
Су ауг
<?гх °2
Проекции напряжений Хп, Уп, 2п на
(1.2)
п выражаются через компоненты тензора напряжения:
х1=сгрП], (| = 1,2,3), (1.3)
где «у - направляющие косинусы, или в координатной форме
Хп = С7Х СОБ( п, х) + Оху СОЭ( п,у) + Ох2 СОБ( П,2),
Уп = &ху с°я( п>х) + °у 003 (п>у) + ауг с°8( п>2)»
2п = ох2 соб(п,х) + оу2 соз(п,у) + о2 соз(п,г). (1.4)
Составляющие напряжений в сплошном теле, на которое действуют только поверхностные усилия, удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия
=0> 0 = (1.5)
где о у у = до у /дх^, или в координатной форме
до у .......
= 0,
= 0,
+ дх ду + дг
да^ доу дау2
дх ду дг
д°хг дОу2 до2
= 0.
(1.6)
дх ду дх
Деформированное состояние в окрестности точки определяется симметричным тензором деформации
є у = £у/» (і= 1>2,3), (1.7)
который в декартовой системе координат можно представить с помощью его компонент в виде матрицы
ех еху ЄХ2
еух еу еуг (1.8)
Є2Х егу *2
16
Относительные удлинения ец = ех, в22 = еу, е^з и относитель-
ные сдвиги в]2 =^хуу ^23 - еуг > е13=ехг в случае малых деформаций связаны с компонентами и/ = их, и2=иу, из=и2 вектора перемещения следующими формулами:
2еу =
Ґ \
, О = 1,2,3), (1.9)
дх] дхі
или
ди
е =Г1х_ 2е дх 1
е А 2е
У ду 9 У2
ди.
дг
_дих диу
ду дх
_ ди1 диу
ду дг
_ дих
дг дх
Формулы и уравнения (1.1) - (1.10) можно найти в курсах теории упругости и монографиях [60, 92, 96, 105, 120, 122, 162, 230, 240, 261, 273].
1.2. Закон Гука.
1.2.1. Тензорная форма записи закона Гука (триклинная синго-
ния).
В общем случае линейную связь между напряжениями и деформациями в произвольно анизотропном материале (триклинный тип симметрии) можно представить в виде
еу = Аутп<Утп > (1.11)
где Аутп = А^тп - ЛуПт = Атпу - симметричные тензоры четвертого ранга
- коэффициенты упругой податливости. Тензор четвертого ранга содержит 36 компонент, но в силу симметрии в общем случае анизотропии (триклинная сингония) в формуле (1.11) содержится только 21 коэффициент податливости и эти коэффициенты можно записать в виде матрицы
17
АП23 А1131 А1112
а2223 А2231 А2212
А3323 А3331 А3312
А2323 А2331 А2312
А3131 А3112
Л1212
здесь выписана только верхняя часть матрицы, нижняя часть симметрична верхней относительно главной диагонали.
Решая уравнения (1.11) относительно компонент тензора напряжения, запишем
(1.12)
1 при / = j
(Ту — Вутпетп
причем АурдВрятп - 8у8тп, где 8у - ^
Далее будем предполагать, что деформации в упругом теле происходят изотермически. В этом случае существует упругий потенциал, равный потенциальной энергии деформации, отнесенной к единице объема. Упругий потенциал РУ связан с компонентами напряжения и деформации зависимостями:
или
еи
дРУ
дУУ
да
а0' =
V
дУУ
дву
(1.13)
2е
да у д\У
дРУ
да
7 е2
дРУ да2 ’
,2в
XI
У
дРУ „ дРУ , 2еху =
°х =
уг
дУУ
да
Х2
да
ху
дРУ
дРУ
де.
’ дву, де*
У
дУУ дРУ дРУ
» ~~ Т Г_ » &XV ~
де,
(1.14)
У* де 9 х2 де *У ^
Жух ^ у
Как следствие зависимостей (1.13) и (1.14), вытекает симметрия ко-
эффициентов податливости и модулей упругости:
18
Лутп - А]1тп ~ Ау пт ~ ^тпу »•
Вутп = Вртп ~ В у пт ~ Втпу» (7,...,./ = №>*) • (1-15)
Таким образом, оказывается, что в самом общем случае анизотропии число различных коэффициентов Аутп или, соответственно, Вутп при
фиксированных осях равно 21.
Из формул (1.10), (1.12), (1.13) и (1.14) следует, что упругий потенциал является однородной квадратичной функцией компонент тензора напряжения
2\У = Аутпсгусгтп, (1-16)
или, соответственно, тензора деформации
2\У — Вутпеуетп • (1-17)
Справедлива и билинейная форма записи упругого потенциала
2Ж = <гиеи. (1.18)
Следуя В.В. Новожилову [305], рассмотрим деформацию изменения
объема
еср - еуду /3 (1.19)
и соответствующий ей тензор напряжений
°у = ^утп^тпеср = Куеср • (1.20)
Величины
= Щтт • (1.21)
можно рассматривать как компоненты тензора объемных модулей. В силу
симметричности тензора Вутп симметричным будет и тензор К у-.
Главные оси тензора объемных модулей называют главными осями анизотропии.
Из выражения (1.21) следует
К12=0, В12Ц + В1222 + В1222 = 0,
К]3=0, В13ц + В1222 + &1333 = 0>
К22=0’ В2311 + В2222 + В2233 =°- (1 *22)
Таким образом, среди 21-го коэффициента податливости, содержится только 18 констант, характеризующх механические свойства мате-
19
*
риала, а три коэффициента (типа тех углов Эйлера) связаны с выбором лабораторной системы координат и не являются константами.
1.2.2. Матричная форма записи обобщенного закона Гука (триклинная сингония) (шестимерное векторное пространство).
При переходе от тензорных обозначений к матричным обозначениям часто используются неравноправные соотношения для компонент тензоров и деформаций, т. е.
eU ~>eh е22 е2 » е33 е3 >
2е23 -» е4, 2e/j -> еу, 2е12 -» ,
GU~¥Gh G22~*G2> g33 ~*g3’
G23 ~*g4> G13~^G5> G12-*G6- (1-23)
При таком переходе матрица |l'4a/?j (а,/3 = ) образуется из
компонент тензора четвертого ранга Aÿjm по общепринятым правилам сокращения индексов: (i,j)y (lm) <г* (а,р)
/7—>7, 22-* 2, 33->3, 23-+4, /3->5, /2->б, (1.24)
т.е. А#р = -A(jj)(lm) без числовых множителей. Но за счет неравноправности тензоров напряжений и деформаций в выражениях для Аар появляются множители, например: А44 = 4А2323> А-м ~ 2Ai 123.
В монографии К.Ф. Черных [305] вводится симметричный переход:
ell~*eh е22 е2 » е33~+е3>
2езз е4 > 2е 13 -> es, 2е/2 -> е6 ,
Gll ~*Gh G22-*G2’ G33~^G3^
2о2з -> о*, 2aj3 -> <75, 2(7j2 -+C76. ( 1.25)
Однако если вычислить в шестимерном векторном пространстве
напряжений модуль вектора напряжений, то его величина не будет совпадать с модулем главного вектора напряжений на октаэдрической площадке.
20
В монографии Ф.И. Федорова [290] рассматривается возможность более последовательного способа перехода, при котором тензоры еу и <ту
оказываются равноправными и для любого из них (0у -еу или <ту) выполняются следующие правила перехода
9ц -> ej, 622 ^2 у @33 е3>
J2&23 е41 -> е$, л/2^/2 -> еб. (1.26]
О возможности такого перехода писал еще П. Бехтерев [20].
Если переход к матричной записи провести с помощью формул
(1.26), ТО для компонент тензоров упругой податливости Ajjim и модулей
упругости Bjjim будет выполняться одно и тоже правило перехода
где р - количество индексов, содержащихся в заданном Вар, больших, чем три. Преобразование (у), (1т) (а/3) производится по старой схе-
ме (1.24). Вместе с тем, в шестимерном векторном пространстве напряжений модуль вектора напряжений должен совпадать с модулем главного вектора напряжений на октаэдрической площадке. Однако Ф.И. Федоров отказывается от этой возможности перехода и оперирует в своей работе
[290] только с матрицей Ыар\ в обычной записи.
Далее при переходе от тензорной записи к матричной записи будем пользоваться переходом (1.26).
В шестимерном пространстве векторов напряжений и деформаций обобщенный закон Гука принимает вид
(1.27)
(1.28)
(1.29)
4 Напомним, что здесь и далее повторяющиеся греческие индексы
означают суммирование от 1 до 6.
Соотношениям (1.28) соответствуют квадратичные потенциалы
21У = Аарсга<тр, (1.30)
Ж = вареаер- (1.31)
Справедлива билинейная форма записи потенциала упругих деформаций
2№ = сгаеа (а-1,...,6). (1.32)
Соотношения закона Гука (1.28) можно расписать в форме
♦ еу = Аис1 + А12ст2 + А13сг3 4- А14а4 + А15о5 + А1баб,
е2 - Л12(У1 + А22а2 + А23&3 + А24и4 + А25а5 + А26а6»
е3 = ^13^1 + *23*2 + *33*3 + *34*4 + *35*5 + *36*6 » е4 = А]4сГ] + А24<т2 + А34о3 + Л44(т4 + А43сг3 + А4ь<Уб>
е5 = *15*1 + *25*2 + *35*3 + *45*4 + *55*5 + *56*6>
еб = *16*1 + *26*2 + *36*3 + *46*4 + *56*5 + *66*6 • (1-33)
1.3. Воздействие гидростатического давления на упруго деформируемые среды.
1.3.1. Деформирование изотропного материала гидростатическим давлением.
^ Для того чтобы обнаружить сходство и отличие реакции изотропно-
го и анизотропного материала на воздействие гидростатического давления, приведем некоторые сведения из теории упругости изотропных сред.
Пусть на изотропный материал действует гидростатическое давление
*11 = *22 =*33 ~ *ср> *12 =*23 = *13 ~ 0 • (1-34)
Из закона Гука (1.33) для изотропного материала следует
е11 = е22 ~ е33 = (*11 +.2*12)*ср- (1.35)
Отсюда объемная (средняя) деформация будет определяться соотношением
4
22
♦
еср ~ (в11 е22 + е333 — РфО"сру (1.36)
где Рф = Ац + 2А12 —(1-2у)/Е.
Из условия, что при действии гидростатического давления должно происходить уменьшение объема следует
Рф>0, 1-2у>0, (1.37)
или
у<-2- (1.38)
Из соотношений (1.35) видно, что гидростатическое давление в изотропной среде вызывает только деформацию изменения объема.
Для изотропного материала упругий потенциал можно записать в
виде
2П' = ЗРфСГСр2 +-^[(<уц -сг22)2 +(сг22-сгзз)2 +
+ (<733-0и)2 +б(сг$з+ о2п + а22 )]. (1 -39)
Таким образом, как следует из записи (1.39), особенностью деформирования изотропного материала является разделение удельной энергии деформации на энергию изменения объема (шаровая часть) и энергию изменения формы (девиаторная часть).
1.3.2. Деформирование гидростатическим давлением материала с триклинным типом сингонии.
Пусть на триклинный материал действует гидростатическое давление сгср. Из закона Гука (1.33) следует
е1=(АП + Л12 + Ац )аср, е4 = (А]4 + А24 + А34 )аср, е2=( А12 + А22 + А23 )0ср у е5 = (А15 + А25 + А35 )аср» е3 ~ (А13 + А23 + А3з)°ср у еб ~ (А16 + А26 + А3б )0ср • (1-40)
Вычислим объемную (среднюю) деформацию
еср —(е1 + е2 +ез)2 2 = РфОСру (1.41)
где ЗРф = Ац + А22 + А33 +2(А[2 + Ац + Л2з). „
23
Из условия, что при действии гидростатического давления должно
происходить уменьшение объема следует
Рф>0, Ац + А22 + Аз3 + 2(А12 + А]3 + А23)^0, (1.42)
или в терминах технических характеристик»
111 .
+— +-2
Ех Еу Е2
Уух | Угу | Ухг
Ех Еу Ег
гО, (1.43)
где Ех,Еу,Е2 - модули упругости в направлении осей х,у,г; уух>угу>ух2 "
коэффициенты Пуассона.
Соотношения (1.40) перепишем в форме
= еСр 4- Р]<УСр 1 £4 ~ ( А14 А24 А34 )^ср > е2 = еср + Р2аср» е5~( А15 + А25 + А35 )аср > е3 = еср Р3^ср > е6 = (А/6 + А26 + А36 )°ср у (1.44)
здесь введены обозначения
р1 = А11+А12 + А13~Рфу Р2 = А12 + А22 + А23 ~ Рф
Р3 = А13+А23 + А33~Рф' (1.45)
В отличие от изотропного материала, в котором гидростатическое
давление вызывает только изменение объема, в материалах с триклинным
типом симметрии гидростатическое давление вызывает, как это следует из
формул (1.44), не только изменение объема (1.41) но и изменение формы
Г1=е1~ еср ~ Р1°ср у е4 ~ (А14 А24 А34 )&ср >
У2 = е2 ~ еср = Р2°ср у е5 = (А15 + А25 + А35 )°ср >
УЗ =е3~ еср = Р3(Тср у еб = ( А16 4" А26 А3б )&ср • (1.46)
В зависимости от реакции материала триклинной сингонии на воздействие гидростатического давления выделим три частных класса трик-линных материалов:
a) Несжимаемые триклинные материалы;
*
b) Триклинные материалы, обладающие свойством объемной изотропии;
24
с) Триклинные материалы нечувствительные к воздействию гидростатического давления.
Триклинную среду, воздействие гидростатического давления на которую не вызывает в ней изменение объема, будем называть несжимаемой.
Выделим класс триклинных материалов, в которых при действии гидростатического давления деформация изменения объема не возникает, т.е. еСр = 0. Из (1.41) видно, что это возможно в том случае если Р = 0, т.е.
на коэффициенты податливости накладывается ограничение
АИ + А22 + А33 + 2(А12 + А23 + Аи)-0- О-47)
или в терминах «технических характеристик»
Ех Еу Е2
Уух , Уту [ УХ2 Ех Еу Е2 у
(1.48)
Закон Гука для несжимаемого триклинного материала можно записать в виде
в] = Ацсгі + Аі2&2 + А]з<7з + Аі4а4 + Л/505 + А^&б > е2 = А12а1 + А22а2 + А23°3 + А24<74 + А25а5 + А26а6 >
• е3 = ^3^1 + А23^2 ~ [ Ац + А22 + 2( А12 + А23 + А]з)](Тз +
+ А34СГ4 + А33Сг5 + А3б(тб, е4 = Аі4СУі + А24&2 + А34а3 + А44а4 + А43СГ3 + е5 = А15а1 + А25а2 + А35с73 + А45°4 + А33СТ3 + А5бСГб, еб = А16°1 + А2ба2 + А36°3 + А46а4 + А56СГ5 + А6ба6 . (149)
Из (1.45) видно, что требование несжимаемости триклинного
материала не приводит к девиаторной форме записи закона Гука.
Триклинными материалами, обладающими свойством объемной изотропии, будем называть триклинные материалы, в которых при деформировании гидростатическим давлением, как и в изотропных материалах, не возникает изменение формы, т.е. У1 ~У2~У3 >
е4 ~е5 ~е6 ~0.
25
Такая реакция триклинного материала на воздействие гидростатического давления возможна в том случае если
А11 + А12 + А13 ~ Рф> А12 + л22 + Л23 = Рф>
А13 + А23 + А33 = Рф > А14 + А24 + А34 =0>
а15 + А25 + А35 =0* А16 +А2б + А3б =0- (1.50)
Условия (1.50) накладывают на коэффициенты податливости триклинного материала пять условий совместности
А11 + А12 + А13 = А12 + А22 + А23 = А13 + А23 + А33>
А14 + А24 + А34 А15 + А25 + А35 = 0> А16 + А2б + А36 =0- О-5О
Ограничение (1-51) можно записать через «технические характеристики» [299]
^г(3-УуХ-Угх)^-~-(1-УХу-Угу) = -^г(1-УХ2-Уу2)у ЬX &у
Рх + ———-я, Е2
Л2Х.Х , Чгх.у . Чгх.г
Рх *> Ег
Чху.х . Ч*У.У . Чхул
Рх Ег
(1.52)
где 7]ху ХУт]у2 2 - коэффициенты Ченцова.
Для объемно-изотропного триклинного материала закон Гука можно записать в виде
е1 = Рфаср + А11&1 + А12а2 + ^З^З + А14°'4 + А15&5 + А1бС76> е2 ~ Рфаср + А12а1 + А22а2 + А23а3 + А24°’4 + А25а5 + А26°6 > в3 = Рфаср + А13°1 + А23а2 + А33а3 + А34а4 + А35а5 + А36а6 » е4 ~ А14(с71^стз) + А24((Т2~С73)Л’ А44^4 + А45а5 + А4баб > е5=А15(&1~&з) + А23(&2 -аз) + А45а4 + А55а5 + ^б&б’ еб = А1б(а1~аз) + А2б(С72~(Тз) + А4б0'4 + А5бс5 + ^б&б* (153)
где введены обозначения
А11 = А11 - Рф/ 3, а12 ~ а12 ~ Рф/ 3 > А/з~ А13~ Рф/ 3 у
26
А22 = А22 ~ Рф / 3, А2з = А2з-Рф/3, А33 = А33 - Рф / 3. (1.54)
Учитывая, что
А11 + ^/2 + Д/2 “ 0» Д/2 + Д?2 + Д?2 = 0 > А13 + А22 + Д?2 = 0 • (1.55)
и, исключая из соотношений (1.53), с помощью зависимостей (1.55), пара-
<• а л
метры Л//, /*22 и А33> получим
= Рф^ср »
л
е1=Рфсгср~ АЫ<?1 -&2) + А13(03-01)+ А14а4 + А15а5 + А^СТ^у
а л
е2 = Рф0ср + А12(01 ~ 02) ~ А23(а2 - °з) + А2404 + Л25°5 + А2ба6 >
» л
е3 = “ ^/2^03 -01) + А23(а2 -03)+ А34а4 + А35а5 + А36а6 »
е4 ~ А14(01 -03) + А24(02 ~аз)+ А44а4 + А45а5 + А46а6-> е5 = Л15(01 ~0з) + А23(02 ~03) + А45а4 + А55а5 + А5606 > е6 = А1б(01~0з) + А2б(02~0з) + Л46°4 + А56а5 + 4*ба6 • (I -56)
Для триклинного материала, обладающего свойством объемной
изотропии, упругий потенциал можно записать в виде
2\У = ЗРфОСр -А12(сГ1-а2)2 - А23(°2 ~°з)2 ~ А13(<*3 ~ )2 +
+ 2[А14(а,-сг3)+А24(а2-сг3) + А45<т4 + Л46а6 ]а4 + 2[А1}(сг,--сг3)+А25(а2 -&}) + А4$а4 +А}6сгб]сг} +2[ А^(ег/ -сг3)+
+ А26(сг2-а3) + А45<75 ]а6 + А44а4 + А55а25 + /%б (157)
Таким образом, как следует из записи потенциала (1.57), особенностью материала с триклинной сингонией, обладающего свойством объемной изотропии, является разделение энергии деформирования на шаровую часть и девиаторную.
Материалы с триклинным типом симметрии, при деформировании которых гидростатическим давлением в них, так же как и в несжимаемых изотропных материалах, не возникают ни объемные деформации еср -0, ни деформации изменения формы у] = у2 = уз = ув = 0 будем называть нечувствительными к действию гидростатического давления.
Для таких материалов коэффициенты податливости должны быть ограничены зависимостями
АІ1 + А12 + АІЗ=0, АІ2 + А22 + Л23 =0, АІЗ + А23 + А33=0
А/4 + А24 + А34 =0,Аі5 + А23 + А33 =0, Л/6 + А2<$ + А3(3 =0. (1.58)
Условия (1.58), записанные через «технические характеристики»,
имеют вид
''ух+''гх=1> ^ху + ^гу=]^хг + *>=У»
Чуг.х ( Зуг.у | Чуг.г Ех Еу Е2
Лгх.х { Чгх.у | Чгх.г _ ^
Ех Еу Ег
^+^+^і=0 (159)
ьх Ьу ь2
Закон Гука для триклинного материала нечувствительного к воздействию гидростатического давления можно представить в форме
л *
е1 =~А]2(<У] -ст2) + А13(сг3 -&[) + А/4сг4 + А/5а3 4-АІбсгбі
л *
е2 = л12( &1-0’2)-А23((т2-(73)+ А24<у 4 + А25ст5 + Л2ба6,
е3 ~~А1з(“°7 ) + А2з(&2~С7з) + А34с74 + А35°5 + Л?б°6 »
Є4 = А]4(сг/ -сг3) + А24(о2 -сг3) + А44СТ4 + А43а3 + А^ст^,
е5 ~ А15(<?1-&з) + А25((72-(7з)+А45сг4 + А55а5 + А56°6>
Ч =А1б(°1-°з) + А2б(°2-<?з)+ А46°4 + А56°5 + *66*6 • (1-60)
Упругий потенциал материала с триклинным типом симметрии нечувствительного к действию гидростатического давления принимает вид
= -А12(ст] -<у2)2 - А23( сг2 -сг3)2 -А13( (т3 — сг і )2 +
+ 2[А14(о-1-а3)+А24(сг2-сг3) + А45<у4 + Л4баб ]ст4 + 2[ А15( а1 -~сг3)+ А25(а2 -ст3) + А45<74 + А56а6]ст5 + 2[А1б(аі~сг3) +
+ А2б(сг2-сгз) + А45ст5 ] а6 + А44о4 + А55ог5 +А66ст5 (1-61)
Как видно из (1.60), (1.61), для триклинного материала, нечувствительного к воздействию гидростатического давления, соотношения закона Гука и упругого потенциала содержат только девиаторные компоненты напряжения.
4
28
Следовательно, только свойство объемной изотропии анизотропного материала позволяет энергию формоизменения выражать через де-виаторные компоненты тензора напряжения.
1.4. Выводы по первой главе.
1. Предложена новая классификация анизотропных сред, связанная с реакцией анизотропного материала на деформирование его гидростатическим давлением.
Выделяются:
- несжимаемые анизотропные среды;
- анизотропные среды, проявляющие свойства объемной изотропии;
- среды не чувствительные к действию гидростатического давления.
3. Подробно описаны свойства анизотропных сред с объемноизотропными свойствами.
4. Показано, что гипотеза об объемной изотропии анизотропных сред, приводит к записи энергии формоизменения через компоненты тен-зора-девиатора напряжения, накладывая ограничения на механические характеристики материала.
*
29
Глава 2. АФФИННЫЕ ОБЪЕМНО-ИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД.
Исследуя возможности переноса изотропных решений на анизотропные среды, Лодж [330] использовал аффинные преобразования уравнений теории упругости анизотропных сред.
В работах Н.М. Матченко и его учеников, аффинные преобразования применялись для формулировки условий пластичности анизотропных сред и решения задач теории идеальной пластичности.
В этой главе аффинные преобразования используются для введения объемно-изотропных пространств анизотропных материалов, позволяющих разделить обобщенную энергию деформирования на энергию изменения объема и энергию изменения формы.
Показано, что требование объемной изотропии для анизотропного материала аффинных пространствах, в отличие от физического пространства, не содержит каких либо ограничений на упругие механические характеристики.
2.1. Трансверсально изотропная среда.
Пусть трансверсально изотропная среда отнесена к прямоугольной декартовой системой координат хуг. Направим ось г нормально к плоскости изотропии, а оси х и у - в этой плоскости произвольно. Уравнения закона Гука имеют вид
ех = Ацах + А12^у + А]за2, 2ву2 — А44ау2, еу = А12ах + АИау + А13аг, 2ехг = А44аХ2, е* = А13(ах + ау) + А33а2, 2еху =2(Аи- А12)аху. (2.1)
Трансверсально изотропное тело обладает упругим потенциалом, записанным в билинейной форме