ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОС1ЮВЫ. 30
§ 1.1.1. Разрешающее уравнение динамики МКЭ 30
§ 1.1.2. Расчёт на собственные колебания: особенности задачи и 32
метод её решения
§ 1.1.3. Пошаговое интегрирование уравнений движения 36
§1.1.4. Описание программных комплексов 39
§ 1.2. Трёхузловой изопараметрический конечный элемент 47
бруса
§ 1.2.1. Построение матрицы жёсткости изопараметрического 47
КЭ бруса
§ 1.2.2. Построение матрицы масс изопараметрического КЭ 54
бруса
§ 1.3. Девятиузловой изопараметрический конечный элемент 60
оболочек малой и средней толщин § 1.3.1. Построение матрицы жёсткости изопараметрического 60
КЭ оболочек малой и средней толщин § 1.3.2. Построение матрицы масс изопараметрического КЭ 69
оболочек малой и средней толщин.
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕ11ИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ 71
ХАРАКТЕРИСТИК СТЕРЖНЕВЫХ И ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ §2.1. Определение динамических характеристик стержневых 71
конструкций
§ 2.2. Определение динамических характеристик при 79
свободных колебаниях оболочек § 2.3. Решение задач на вынужденные колебания оболочек 96
2
§ 2.4. Сравнение расчётов МКЭ для КЭ бруса и оболочечного КЭ на примере свободных колебаний тонкой узкой полосы прямоугольного поперечного сечения § 2.5. Приложение к расчёту реальных конструкций § 2.5.1. Определение динамических характеристик рекламного щита на основе оболочечного КЭ § 2.5.2. Расчёт на собственные колебания рекламного щита по стержневой модели § 2.5.3. Расчёт на собственные колебания башни Шухова по стержневой модели
ГЛАВА 3. ВЫПУЧИВАНИЕ УПРУГИХ СТЕРЖ1ШЙ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА СИЛЫ §3.1. Постановка задачи.
§3.2. Аналитическое решение уравнения продольных колебаний.
§ 3.3. Применение численного метода к исследованию поведения упругих стержней под действием осевого прямоугольного импульса силы.
§ 3.4. Применение численно-аналитического метода к
исследованию поведения упругих стержней под действием осевого прямоугольного импульса силы.
§ 3.5. Применение численно-аналитического метода к исследованию осесимметричного выпучивания защемлённой цилиндрической оболочки под действием продольного прямоугольного импульса силы.
§ 3.6. Применение численного метода к исследованию осесимметричного выпучивания защемлённой цилиндрической оболочки под действием продольного прямоугольного импульса силы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Интерес к разработке проблем моделирования нестационарного деформирования и прочности тонкостенных и стержневых конструкций непрерывно возрастает, так как пластины, оболочки и стержневые элементы являясь основными несущими элементами конструкций авиационной и космической техники, трубопроводов, современных конструкций подвергаются при различных аварийных ситуациях действию интенсивных динамических нагрузок. Учёт всех факторов, возникающих в этих ситуациях приводит к сложным начально-краевым задачам, решение которых аналитическими методами невозможно. Поэтому в этой ситуации используются численные методы, обладающие возможностью получать решения практически для любых задач с некоторой заданной точностью.
Исследования по расчёту оболочек опубликованы в работах Саченкова A.B., Андреева JI.B., Дышко А.Л., Павленко И.Д., Александрова A.B., Лащеникова Б.Я., Шапошникова H.H., Бублика Б.Н., Вайнберга Д.Б., Вольмира A.C., Воробьёва Ю.С., Голованова А.И., М.С.Корнишина, ЯкуповаН.М., Серазутдинова М.H., Богдановича А.Е., Григолюка Э.И., Шалашилина В.И., Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Мукоеда А.П., Зенкевича О., Крысько В.А., Постнова В.А., Мяченкова В.И., Григорьева И.В., Образцова И.Ф., Онанова P.M., Савельева Л.М., Хазанова Х.С., Победри Б.E., Рикардса Р.Б., Савулы Я.Г., Флейшмана Н.П., Сахарова A.C., Филиппова А.П., Кохманюка А.П., ЯнютинаЕ.Г., посвящённых вопросам расчёта статики и динамики тонкостенных конструкций.
Весьма эффективными методами являются методы расчётов, основанные на модификациях метода конечных разностей. Имеются многочисленные публикации и фундаментальные издания по этой теме. Это работы Абросимова
H.A., Баженова В.Г., Вайнберга Д.П., Вольмира A.C., Гордиенко Б.А., Кибеца
А.И., Кибеца Ю.И., Корнишина М.С., Крысько В.А., Ломунова В.К.,
5
Д.Т.Чекмарёва, и др. [37, 63, 64, 96]. Расчёту динамического поведения композитных оболочек методом конечных разностей посвящена работа [150].
Благодаря физической наглядности, высокой алгоритмичности и удобству применения в конструкциях сложной геометрии, МКЭ получил широкое распространение. По МКЭ опубликовано множество фундаментальных исследований. Среди них можно выделить монографии Бате К., Вилсона Е. [8], Галлагера Р; [45], Голованова А.И., Корнишина М.С. [51], Голованова А.И., Бережного Д.В. [50], Зенкевича О. [81], Зенкевича О., Моргана К. [82], Норри Д., Ж. Де Фриза [116], Образцова И.Ф., Савельева Л.М., Хазаиова Х.С. [117], Одена Дж. [118], Постнова В.А.[129], Розина Л.А. [133, 134], Рикардса К. [132], Сахарова A.C. [143], Сегерлинда Л. [147], Стренга Г., Фикса Дж. [158]. По расчёту конструкций МКЭ выполнены работы [17, 68, 69, 149, 124, 125].
Популярность МКЭ способствовала созданию коммерческих пакетов программ, среди которых можно отметить следующие часто используемые: в механике: NASTRAN, ASKA в теплотехнике: TITUS
в электромгнетизме: FLUX, MAGNET 11, PE2D другие: MICROFLUX, GE2D, ANSYS.
Пакеты NASTRAN, TITUS, MODULEF обладают очень высокой универсальностью и априорно обеспечивают решение любой задачи, не содержащей особых сложностей. Основные созданные в мире комплексы программ метода конечных элементов описаны в справочнике под редакцией Бреббиа В.
Кратко остановимся на связях и сравнении МКЭ с методом конечных разностей, этих наиболее распространенных и эффективных численных методов. Построение конечно-разностных схем обычно требует небольшого объема вычислений, как правило, меньшего, чем, в МКЭ. Однако, достоинствами МКЭ являются гибкость и разнообразие сеток, стандартные приемы построения дискретных задач для произвольных областей, простота учета естественных краевых условий и т. д. Кроме того, математический анализ
6
МКЭ является более простым, его методы применимы к более широкому классу исходных задач, а оценки погрешностей приближенных решений, как правило, получаются при менее жестких ограничениях, чем в методе конечных разностей. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что основу для исследования МКЭ создали фундаментальные результаты, связанные с исследованием сходимости и устойчивости конечно-разностных схем, проекционных методов, обобщенных решений.
Методы решения задач динамического выпучивания тонкостенных конструкций тесно связаны с используемыми моделями теории оболочек. По теории оболочек созданы фундаментальные работы, в том числе монографии Абовского Н.П., Андреева Н.П., Деруги А.П., Аксельрада Э.Л., Болотина В.В., Новичкова Ю.Н., Власова В.З., Вольмира A.C., Галимова К.З., В.Н.Паймушина, Гольденвейзера А.Л., Григолюка Э.И., Чулкова. П.П., В.И. Гуляева, БаженоваВ.А, Гузя А.Н., Муштари Х.М., Пикуля В.В., Новожилова В.В., Пелеха П.Л., Рекача В.Г., Кривошапко С.Н., Терегулова И.Г., Тимошенко С.П., Войновского-Кригера С., Филина А.П., Черных К. Ф.
По расчёту стержней и стержневых систем опубликованы исследования Бычкова Д.В., Воробьёва Ю.С., Розина Л.А., Светлицкого В.А., Филина А.П., Шулькина Ю.Б. и других учёных [25, 40, 41, 135, 71, 144, 145, 146, 166, 170, 192].
Несмотря на то, что многие разделы теории тонкостенных и стержневых конструкций достаточно хорошо изучены, появляются новые методы расчёта, имеют место также недостаточно исследованные проблемы теории. Поэтому к задачам о поведении упругих и упругопластических конструкций при динамических и ударных нагрузках обращается всё большее число исследователей. Число- публикаций по этой теме с каждым годом всё увеличивается. Замечательные обзоры некоторых из них можно найти в работах [9, 12, 31, 37, 38, 35, 66, 94, 108]. Здесь содержатся результаты, полученные рядом советских и зарубежных авторов.
7
В [202] Huffington N. решал задачу о продольном ударе по свободному упругому стержню. Время приложения нагрузки принималось значительно меньшим чем время, за которое продольная волна пробегает длину стержня. Основное внимание уделено сравнению двух возможных подходов к решению задачи: применение нелинейной системы трех уравнений типа С.П. Тимошенко и системы двух уравнений, не учитывающих сдвиг и инерцию вращения.
В [108] Мовсисян JI.A. рассмотрел потерю устойчивости конечного шарнирно опертого стержня при продольном ударном сжатии. Система уравнений движения состояла из волнового уравнения продольных движений и параболического уравнения поперечных колебаний. Функции разлагались в ряды Фурье. Критическая сила определяется из условия равенства нулю частоты свободных колебаний стержня.
Цикл работ по устойчивости стержней, пластин и цилиндрических оболочек был выполнен Малым В.И.. В [105] определялись критические длины полуволн потери устойчивости, обладающие наибольшим темпом возрастания амплитуды. Критерий вытекает из выводов известной работы академиков Лаврентьева М.А., Ишлинского А.Ю. [99], которая дала мощный толчок развитию исследований по устойчивости упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе.
Гордиенко Б.А., используя МКР, в ряде работ рассмотрел выпучивание стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе абсолютно твердым телом. В работах [63, 64] обсуждаются особенности применения метода в указанных задачах.
В работах [162, 185] И.Г. Терегуловым, Ф.Г. Шигабутдиновым предложен критерий для определения критической длины потери устойчивости при продольном приложении импульса силы и определены критические длины для упругопластических стержней с учетом неоднородности напряженного состояния по длине. Под критической длиной понималась наименьшая длина, на которую должна распространиться продольная волна нагружения для того, чтобы появились полуволны с наибольшим темпом роста амплитуды.
8
Выпучивание упругих изотропных и ортотропных стержней и цилиндрических оболочек переменной толщины рассмотрены Шигабутдиновым Ф.Г., Муртазиным Р.З., Петуховым Н.П. в работах [187-190]. В частности, в [188] с использованием МКР для ортотропных цилиндрических оболочек переменной толщины, подвергнутых продольному удару абсолютно твердым телом, получена полная картина поперечного волнообразования для больших промежутков времени.
Многие исследователи обращались к экспериментальным методам определения статических и динамических характеристик конструкций. К работам этого направления относятся исследования Волошановского Ю.П., Коноплёва Ю.Г., Кухто В.А., Смирнова В.А., Шалабанова А.К., Шишкина А.Г., Lashari М., Weingarten V.J.[92, 93,98, 152, 173, 191, 204].
В статье [173] развивается экспериментальный метод определения частот и форм свободных колебаний цилиндрических панелей. С помощью эксперимента удаётся построить простые формулы для расчёта оболочек, имеющих произвольные граничные условия на краях и различного очертания в плане.
В работе [191] рассматриваются свободные колебания замкнутых цилиндрических оболочек, оболочек с отверстиями и цилиндрических панелей с круглым центральным вырезом при различных условиях. С помощью эксперимента получены приближённые, удобные для практического использования, формулы частот колебаний гладких цилиндрических оболочек. Установлено, что влияние на частоты колебаний отверстий, площади которых не превосходят 15 % всей поверхности цилиндрической оболочки, является незначительным.
Методом, сочетающим теоретическое исследование и эксперимент, является теоретико-экспериментальный метод, предложенный СаченковымА.В. [141]. Его использовали Коноплёв Ю.Г., Шалабанов А.К., Шишкин А.Г. и многие другие. По результатам исследований опубликованы многочисленные работы, в том числе: [140], [142].
В работе Акуленко Л.Д., Нестерова С.В., Попова A.JI. [2] получены высокоточные аналитические оценки частот и форм низших мод колебаний для эллиптической пластины, защемлённой по краю, на основе модифицированного метода Релея-Ритца. Установлена связь спектров эллиптической и круговой пластин. Проведено сравнение полученных оценок с численными результатами других авторов и экспериментальными данными. В работе, для высокоточного вычисления частот и форм низших мод колебаний эллиптической пластины предлагается модифицированный метод типа метода Релея-Ритца. Он основан на введении обобщённых полярных координат и задании осцилирующей зависимости функции поперечного перемещения' (прогиба) пластины от полярного угла с фиксированным числом радиальных узловых линий (не для круговой пластины).
В работах Жигалко Ю.П. [72, 73] на основе единого и достаточно общего подхода исследован широкий класс новых актуальных задач динамики оболочек при локальных воздействиях. На основе общей операторной модели динамики упругих систем с применением метода разложения по собственным формам колебаний построены фундаментальные решения стационарных и нестационарных задач , проанализирована их структура. В общей постановке рассмотрена задача о колебаниях тонкой оболочки произвольной формы с присоединённым твёрдым телом. Рассмотрены вопросы внешнего и внутреннего демпфирования колебаний оболочек и пластин при локальных воздействиях.
Задачи по определению собственных частот и форм колебаний пологой оболочки с частично повреждённым защитным слоем и цилиндрической оболочки, дискретно подкреплённой системой стрингеров, были рассмотрены в работах Антуфьева Б.А., Сергеева В.Н. [4, 5].
В работе Артюхина Ю.П., Серазутдинова М.Н., Недорезова O.A. [6] методика расчёта напряжённо-деформированного состояния упруго и жёстко закреплённых пластин сложной формы [7, 148] применяется для определения частот и форм свободных колебаний. Основная особенность этой методики
ю
заключается в том, что формы собственных колебаний упруго закреплённых пластин находятся в виде ряда по координатным функциям, каждая из которых может не удовлетворять граничным условиям. Для решения обобщённой проблемы собственных значений был выбран метод Релея-Ритца. Результаты сравнения полученных результатов с данными других авторов иллюстрируют возможности применяемой методики решения.
Большой вклад в развитие численных методов изучения напряжённо-деформированного состояния статики и динамики конструкций внесли представители нижегородской школы механики. Нелинейные динамические процессы в ортотропных оболочках рассматривались Баженовым В.Г., Игоничевой Е.В. в [11]. В этой же работе можно найти обширную библиографию по указанной теме. В работе Баженова В.Г., Кибеца А.И., Кибеца Ю.И., Самыгина А.И. [10] дано численное решение трёхмерных нелинейных задач нестационарного деформирования тонкостенных конструкций, включающих стержневые элементы. В качестве уравнений состояния используются соотношения теории течения с кинематическим и изотропным упрочнением. Уравнения движения конструкции выводятся из вариационного принципа Журдена. Гипотезы, принятые в теории тонкостенных элементов конструкций (стержней, пластин и оболочек), выводятся на этапе дискретизации определяющей системы уравнений. Решение задачи основано на МКЭ и явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа “крест”. Для расчёта напряжённо-деформированного состояния массивных тел и оболочек реализован 8-узловой изопараметрический элемент с полилинейными функциями формы. Для дискретизации криволинейных стержней применяются двухузловые конечные элементы с линейными функциями'формы. В статье [89] Кибец А.И., Кибец Ю.И. рассматривают трёхмерные задачи упругопластического деформирования конструкций при ударных и импульсных воздействиях. Приводится схема, в которой геометрия оболочек моделируется 4-х узловыми плоскими конечными элементами.
и
Точность предложенной методики иллюстрируется результатами тестовых расчётов.
В работе Бахтиевой Л.У., Жигалко Ю.П., Коноплёва Ю.Г., Митряйкина
В.И., Саченкова A.B., Филиппова Е.Б. [13] на основе подхода, предложенного в [139], получены решения задач динамической устойчивости цилиндрических и конических оболочек при внешнем давлении, линейно меняющемся во времени. Константы, входящие в расчётные формулы для критического давления, уточняются экспериментальным путем. Дано краткое описание экспериментальной установки. Рассмотрены прямые и обратные линейные задачи о вынужденных колебаниях оболочек при импульсивном нагружении.
Цикл исследований по конечноэлементному анализу пьезоэлектрическх устройств проводится представителями Ростовской-на-Дону школы механики [15, 112]. В работе Белоконя A.B., Наседкина A.B., Соловьёва А.Н. [15] предлагаются новые конечно-элементные схемы исследования гармонических и нестационарных задач для составных упругих и пьезоэлектрических сред. Для прямого интегрирования по времени КЭ уравнений нестационарных задач применена схема Ньюмарка в удобной формулировке, не использующей явно скоростей и ускорений узловых степеней свободы. Приведены результаты численных экспериментов, иллюстрирующих эффективность предлагаемой методики и их реализаций в КЭ-пакете ACELAN.
В работе Белого М.В. [16] рассматривается вариант метода суперэлементов для численного решения нестационарных динамических задач. В работе [157] для расчёта колебаний пластин сложной формы используется МКЭ.
В работе Богомолова С.И., Лущенко С.С., Назаренко С.А. [20] изложен алгоритм расчёта собственных колебаний лопаток турбомашин методом конечных элементов. Применён суперпараметрический оболочечный элемент с 40 степенями свободы, полученный из полной трёхмерной изопараметрической формы введением гипотез, характерных для математической модели оболочек
Тимошенко. Приведены результаты расчёта цилиндрической консоли и реальной лопатки.
В статье Борискина О.Ф., Барышниковой О.О. [22] предложена методика конечноэлементного анализа геометрически нелинейных колебаний оболочек переменной толщины и достаточно сложной геометрической формы в поле центробежных сил. Методика позволяет на базе смешанной аппроксимации перемещений в трёхмерных конечных элементах получить с достаточной точностью и высокой достоверностью низшие собственные частоты и соответствующие им формы колебаний.
В работе Бочарова Н.В. [23] исследовано влияние дефектов геометрической формы упругого стержня на его динамическое напряжённо-деформированное состояние при импульсном нагружении через присоединённую сосредоточенную массу. Задача решена численно методом начальных параметров при использовании метода численного интегрирования Рунге-Кутта. Дискретизация стержневого элемента проводилась методом конечных элементов. Для определения полного динамического решения параметров НДС использовано разложение по формам собственных колебаний. Решение задачи динамики упругого стержня осуществляется в линейной постановке, при этом вводятся допущения: гипотеза прямых
недеформированных нормалей, учитывается сдвиг в поперечном сечении стержня, учитываются силы инерции, связанные как со смещением, так и с вращением элемента нормали.
В работе Булычёва Г.Г., Пшеничнова С.Г. [28] исследуется реакция цилиндрических и конических оболочек на резкое торцевое воздействие.
В работе [30] Бурман Я.З., Зархин Б .Я. рассмотрели задачу определения динамической реакции упругих конструкций (конечно-элементных моделей) при гармоническом нагружении на основе разложения по ортогональному базису, состоящему из собственных форм и векторов Ланцоша. Приведены некоторые числовые результаты.
*
В работе [33] Вестяк A.B., Зайцев В.Н. определяют собственные частоты колебаний композитной оболочки с помощью метода конечных элементов. Для определения основных, низших тонов колебаний конструкций используется метод одновременных итераций в подпространстве. При использовании этого метода получается “усечённая” система алгебраических уравнений, для которой необходимо решать полную проблему собственных значений. В качестве примера были определены три низшие формы колебаний и соответствующие им частоты для композитной оболочки двоякой кривизны.
Цикл работ по исследованию свободных колебаний оболочек методом конечных элементов был проведён Головановым А.И., Кузнецовым Ю.М. [49, 52-55]. В работе [49] на основе конечного элемента непологой оболочки произвольной геометрии, построенного с помощью теории оболочек с учётом гипотез Кирхгофа-Лява приводятся результаты исследования задачи о свободных колебаниях искривлённых оболочек. Работа [55] посвящена численному исследованию частот и форм, свободных колебаний тонких цилиндрических оболочек кругового и некругового профиля с системой прямоугольных отверстий. Методика расчёта основана на методе конечных элементов с использованием специальных прямоугольных элементов тонких цилиндрических оболочек с 20 степенями свободы [53]. Для решения обобщённой задачи на собственные значения применяется один из методов итераций подпространств [52, 208, 209]. Был решён ряд задач как тестовых, так и практических.
В работе Гузя А.Н., Лугового П.З., Мукоида В.П. [67] в рамках модели теории пластин типа Тимошенко исследуется задача о колебаниях упругих пластин сложной формы. Определяющие соотношения записаны в виде системы интегральных уравнений в косоугольной системе координат. Система интегральных уравнений служит исходной для построения разностных соотношений. Приведён численный расчёт. Проведён анализ закономерностей и особенностей волновых движений пластины в зависимости от амплитуды прилагаемого усилия и учёта геометрической нелинейности.
14
Джонсон и Гриф в своей работе [70] исследуют движение цилиндрической оболочки под действием произвольного нестационарного распределения нагрузки. Исследование проводится в рамках линейной теории тонких упругих оболочек. Используется два метода численного интегрирования: явная и неявная (метод Хуболта) разностные схемы. При использовании обоих методов искомые переменные раскладываются в ряды Фурье по окружной координате, а получающиеся дифференциальные уравнения представляются в конечно-разностной форме. Обсуждается эффективность каждого из двух численных методов применительно к решению практических задач.
В работе Зайцева В.Н., Рабиновского Л.И. [79] была рассмотрена задача нестационарной динамики для изотропной оболочки вращения, близкой к усечённому конусу. Оболочка имеет переменную толщину, защемлена по малому основанию при свободном большом основании. Была построена конечно-элементная модель оболочки с 4-х угольным тонким конечным элементом, работающим на растяжение-сжатие и на изгиб, с шестью степенями свободы в узле.
Цель статьи Заргами М., Робинзона А. [80] - разработка эффективного и точного численного метода определения собственных частот и форм свободных колебаний упругих сферических оболочек. Метод Хольцера, разработанный для определения частот крутильных колебаний валов, обобщён на случай линейных свободных колебаний сферических оболочек.
Асимптотический и численный анализ высокочастотных свободных колебаний прямоугольных пластин был осуществлён Ивановой Е.А. [84]. Исследуются свободные колебания прямоугольных пластин с частотами, принадлежащими высокочастотным спектрам. Приводится сравнение результатов, полученных по точной теории Рейсснера и по приближённой теории высокочастотных свободных колебаний, содержащей только медленно меняющиеся по пространственным координатам функции. Известно, что при решении некоторых задач динамики пластин, в частности при решении задач о
вынужденных колебаниях под действием ударных нагрузок, игнорировать высокочастотные колебания, обусловленные учётом инерции вращения и деформации поперечного сдвига нельзя. Указывается на то, что высокочастотные колебания в настоящее время изучены сравнительно мало и их дальнейшее исследование представляет интерес как с практической, так и с теоретической точки зрения.
В работе [85] Ившин И.В., Кочергин A.B., Кондратьев А.Е., Хабибуллин М.Г. предлагают для обсуждения результаты расчётов характеристик упругих колебаний исправных и дефектных лопаток турбины газотурбинного двигателя (ГТД) с использованием метода конечных элементов. Для решения задачи выбран метод конечных элементов (КЭ) в варианте метода перемещений, а в качестве объекта исследований - исправные и дефектные лопатки турбины ГТД. Результаты расчётов собственных колебаний лопаток турбины с использованием метода конечных элементов показали возможность определения частотного диапазона колебаний, наиболее чувствительного к дефектам.
В книге Богдановича А.Е. [19] рассмотрены задачи динамики ортотропных цилиндрических оболочек: собственные и параметрические колебания, осесимметричное и неосесимметричное деформирование при продольном ударе и при нестационарном внешнем давлении в геометрически нелинейной постановке. Исследуется применимость модели Кирхгофа-Лява в задачах динамики.
В монографии Бублика Б.Н. [27] исследуются собственные колебания, статическая и динамическая устойчивость пластин и пологих оболочек с областью в плане в виде треугольника, трапеции, параллелограмма, прямоугольника и с областью, составленной из прямоугольников. Для решения задачи автор проводит специальные аналитические преобразования конечноразностных систем, соответствующих краевым задачам или задачам о собственных значениях.
16
Применению метода граничных элементов к определению частот и форм свободных колебаний посвящена работа Буравлёва И.М., Игумнова JI.A., Конышевой В.М. [29]. Рассматривается задача об определении частот и форм колебаний трехмерных (массивных) тел. Решение задачи осуществляется на основе прямого варианта метода граничных элементов (МГЭ). В работе [212] Wen Р.Н., Aliabadi М.Н., Young А. рассматривается задача о динамическом изгибе тонкой пластины с набором прямолинейных коллинеарных трещин. Используется теория Кирхгофа. Решение строится МГЭ. Фундаментальные решения находятся с использованием преобразования Лапласа по времени. Численные решения получены для бесконечных пластин с трещинами при ударном воздействии.
Йонг и Ким [86] предлагают конечный элемент, применяемый для расчёта неосесимметричного изгиба и колебаний конической оболочки. Составлены матрицы жёсткостей и масс для трапецеидального конечного элемента конической оболочки. При составлении использовано интегрирование в сочетании с методом синтетического деления. Эффективность метода продемонстрирована на примерах решения задач о неосесимметричном изгибе и колебаниях конической оболочки.
В работе [88] Кварацхелия И.Н. и Попов Б.Г. на основе четырёхугольного девятиузлового суперэлемента (СЭ), составленного из четырёх треугольных конечных элементов смешанного типа проводят расчёт собственных частот изотропной квадратной пластины и сравнение с результатами расчётов других авторов.
Кук в работе [97] на основе плоского элемента, основанного на вариационном принципе Рейсснера, методами конечно-элементного анализа решает задачи на собственные колебания прямоугольных и квадратных пластинок.
В монографии Коноплёва Ю. Г., Тазюкова Ф. X. [91] рассмотрены вопросы динамической устойчивости оболочек и пластин. Использование критерия устойчивости, предложенного A.B. Саченковым, вариационных и
17
- Київ+380960830922