Исследование некоторых вопросов теории пластического тела

Содержание
Введение 4
Глава 1. Статически определимые соотношения теории пластичности
§1.1. Статически определимые соотношения в случае условия полной пластичности 14
§ 1.2. Общий случай статически определимых соотношений теории идеальной пластичности 22
§ 1.3. Диссипативная функция. Статически определимые соотношения идеального пластического анизотропного тела 27
§ 1.4. Статически определимые соотношения в случае условия полной пластичности для сжимаемого материала 34
§ 1.5. Диссипативная функция. Статически определимые соотношения идеального пластического анизотропного сжимаемого материала 38 § 1.6. Определение параметров п1,л2^з 45
§ 1.7. Определение констант анизотропии 49
§ 1.8. Статически определимые соотношения идеальнопластического анизотропного тела. Плоская задача 52
§ 1.9. Задача о штампе 59
§ 1.10. Осесимметричная задача 62
§ 1.11. Статически определимые соотношения идеальнопласгичсского анизотропного тела. Характеристическая поверхность 67
§ 1.12. Характеристическая поверхность. Частный случай 70
§ 1.13. Линеаризированные соотношения 75
§ 1.14. Растяжение анизотропного идсальнопласгичсского цилиндрического стержня 81
§ 1.15. Растяжение анизотропного идеальнопластического прямоугольного бруса при условии полной пластичности 85
§ 1.16. Растяжение анизотропного идеальнопластического прямоугольного бруса при условии пластичности Мизсса 92
Глава 2. Течение пространственного пластического слоя, сжатого искривленными и наклонными жесткими шероховатыми плитами
§ 2.1. Пространственное течение идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами 102
§ 2.2. Сдавливание пластического слоя искривленными и наклонными шероховатыми плитами 108
§ 2.3. Сдавливание сжимаемого пластического слоя искривленными и наклонными шероховатыми плитами 133
§ 2.4. Сжатие идеалыюпластического слоя между шероховатыми цилиндрическими поверхностями 160
§ 2.5. Поле скоростей перемещений 165
Глава 3. Пространственное упругопластическое состояние пространства с полостью
§ 3.1. Упругопластическое состояние пространства, ослабленного цилиндрической полостью, при совместном действии давления, растягивающих и крутящих усилий 174
§ 3.2. О двуосном растяжении упруго-идеальноиластичсской пластины с круговым отверстием с учетом касательных усилий 181
Глава 4. Линеаризированные задачи упругопластического анализа § 4.1. Полиномиальные решения линеаризированных уравнений теории малых упругопластических деформаций в декартовой системе координат 198
§ 4.2. Полиномиальные решения линеаризированных уравнений теории малых упругопластических деформаций в полярных координатах 209 Заключение 222
Литература 224
3
Введение
Работа посвящена исследованию некоторых вопросов теории пластического тела.
В первой главе ставится задача определения систем статически определимых соотношении, отличных от случая полной пластичности.
С’ен-Венан [90.911 предложил соотношения, описывающие идеальное пластическое течение для случая плоской задачи: уравнения равновесия:
сх су ох ду
условие пластичности:
(2)
Система уравнений (1), (2) замкнута относительно компонент напряжений <5у. Таким образом, плоская пластическая задача является статически определимой.
Компоненты скорости пластической деформации ц и скоростей перемещении и,у определяются из условия несжимаемости:
£*+£,.= 0, (3)
условия изотропии
(4)
°х Хху
соотношений Коши
Прандтль [81, 82] установил гиперболический характер уравнений плоской задачи теории идеальной пластичности и дат классические решения задач о вдавливании жестких штампов в идеальнопластическую среду.
Леви [59] рассмотрел пространственную задачу теории пластичности. Он исходил из условия пластичности
<7,-СЬ
=*. (6)
2
Система уравнений, включающая условие (6) и три уравнения равновесия
3°, I **>■ , &,, 0< !!21+^>1+£Ь1=о,
дх ду дг ’ дх ду дг
* О)
дх ду дг
не является замкнутой относительно компонент напряжении, то есть не является статически определимой.
Пластическое течение Леви рассмотрел при предположении о несжимаемости материала
ел+еу+е.=0 (8)
и пропорциональности компонент дсвиаторов напряжений и скорости деформаций
с*-ау =<*1-<Ух =т*у =*а (9)
Бд;-Бг ег-едг еху е>7 ехг
Хааром и Карманом [ 1031 было предложено условие полной пластичности
о,=а2, <т3 —СУ| =2Лг. (10)
Условие пластичности (10) соответствует ребру призмы Треска, интерпретирующей условие пластичности Треска в пространстве главных напряжений о,,а2,сг3.
5
Хаар и Карман отметили, что при условии полной пластичности (10) пространственная задача является статически определимой.
Ишлинский А.Ю. [48] предложил соотношения пространственного состояния идеальнопластического тела в предположении, что условие текучести определяется не одним, а двумя соотношениями:
/2(о,ду)=0, (11)
где с,</,г - инварианты тензора напряжений.
Для определения пластического течения он предложил рассматривать условия совпадения главных осей тензора напряжений и скоростей деформации (условие изотропии) в виде
су*Б.г»'+тя-е>'+тггБ.гг =тдс>>ех+<1.уБ*>,+Т>7ежг’ ху^х.Г 2БДЧ * 0
^ех+Х>ге;д,+Огев=Ох8Лг+Т;о,е>в+Тхг82, условие несжимаемости
л ди 5т <лг . ....
8,+Е +8.=0, -+—+—=0, (13)
* ох ду дх
где
ди су дп
^лг = яГ’ ~ ’
дх ду дг
ху
2
ди ду'1 1 ( ди ЗиЛ 1 с — г ду дм' ^
кду дх, ' 6”=2 -2 кдг ду,
Девять уравнении (7), (11)-(13) образуют замкнутую систему уравнений относительно девяти неизвестных: шести компонент напряжений
и трех компонент перемещений М,У,И\
Д.Ю. Ишлинский [48] непосредственно обобщил соотношения Сеи-Венана (4) и отказался от условий пропорциональности Леви (9).
Чтобы задача была статически определимой наряду с уравнениями (7) должны иметь место три уравнения
6
/КИлкК/эКН- (14)
Система шести уравнений (7), (14) относительно шести неизвестных компонент напряжений ау является статически определимой.
Три соотношения (14) при условии полной пластичности (9) получены Д.Д. Ивлевым [38]:
(од-а+2^/3)т,с=тд>.тхг,
<(су-с+2кГЗ)ххг=тхуху., (15)
(а. -а+2А/3)т ху=хх.ту2,
ИЛИ
(ах -о+2к/3$ру. -а+2к/з)=т£,.,
(ау -ст+2А/з)(а; -а+2к/3)=х%, (16)
(а, -а+2А73)(<тх -<у+2к/3)=х \2,
ИЛИ
(от-а-*/3)2+т|.+т^=А2,
• (о^-о-А/З^к^к^А2, (17)
(а, -а-А/3)2+т2. +т2, =А2,
»
ИЛИ
(аг -о У )2 =[4А/3-(аг -о)]2,
(о, -а. У +4т22 =[4А/3-(о, -о)]2, (18)
К- -°х )2 +4*5= =[4А/3-(аг-о)р.
В этом случае система статически определимых уравнений принадлежит к гиперболическому типу. Уравнение для определения характеристических многообразий имеет вид
{п-ХгасП'У^п-хгшН')2 -^гасМ? }=0, (19)
где Ч'(х,у,г)=0 - характеристическая поверхность, пЦсоябрСояС^сояб;).
7
Из (19) следует, что направление третьего главного напряжения п является характеристическим, а также, что характеристические направления
образуют конус с углом раствора % вокруг направления п. Характеристические поверхности совпадают с поверхностями действия максимальных касательных напряжении.
Характеристические многообразия для уравнений, определяющих кинематику пластического течения, совпадают с характеристическими многообразиями для поля напряжений.
В работе [38] показано, что вдоль характеристических поверхностей возможны разрывы скорости перемещений, определяющих скольжение пластически деформированного тела вдоль границ жесткою состояния материала.
В данной работе непосредственно из (14) получен общий вид статически определимых соотношений для сжимаемого и несжимаемою анизотропного материалов.
В настоящей работе применяется метод построение соотношений теории идеальной пластичности из определения диссипативной функции:
0=0 (20)
и ассоциированного закона нагружения
<21>
аер
предложенный в [15].
Исходя из вида диссипативной функции (20), получены различные виды статически определимых систем, которые в предельном случае принимают вид условия полной пластичности для изотропного материала. Рассмотрены общая плоская задача, осесимметричная задача, задача Прандтля о штампе для статически определимых соотношений, отличных от условия полной пластичности. Получено уравнение для определения
8
характеристической поверхности. Показано, что в предельных случаях данное уравнение имеет три действительных корня. Для общего случая статически определимых систем, применяя метод малого параметра, получены волновые уравнения для определения компонент напряжений для задачи одноосного растяжения и плоской задачи. Определены в первом приближении компоненты напряжений, скоростей деформаций и скоростей перемещений при растяжении анизотропного цилиндра и анизотропного прямоугольного бруса, имеющих переменное поперечное сечение.
Вторая глава посвящена пространственному течению идеальнопластического материала, сжатого параллельными, искривленными и наклонными шероховатыми плитами.
Прандтль [82] предложил асимптотическое решение плоской задачи о сжатии слоя из идеального жесткопластического материала шероховатыми плитами (рис. 1). Это решение явилось основой теоретического анализа прикладных задач обработки металлов давлением.
Надай [73] обобщил решение Прандтля на случай сжатия слоя наклонными шероховатыми плитами, а также плитами, изогнутыми в виде концентрических окружностей. Ряд обобщений задачи Прандтля принадлежит В.В. Гартману [74], который обобщил решения Прандтля на случай линейной зависимости максимального касательного напряжения от среднего давления.
Многочисленные обобщения решение Прандтля получило в работах прикладного характера, изложенных в монографиях А.Д. Томленова [100],
Рис. 1
X
Дополнение решения Прандтля полем скоростей перемещений было предложено А. Падай (73, 74, 104], а численные решения задачи о сжатии полосы при различных соотношениях длины и толщины были выполнены В.В. Соколовским [93].
9
В .Л. Колмогорова [56), И .Я. Тарновского (96), П.М. Михина [69], М.Я. Бровмана [14], Н.П. Громова [25], С.И. Губкина [26], Л.Л. Королева [57], И.М. Павлова [77]. М.В. Сторожева и O.A. Попова [95], Е.П. Унксова [102],
Э. Томсона, Ч. Янга и Ш. Кобаяши [122J, А.И. Целикова [107], И.Л. Пер-лина [78].
Перечисленные результаты относятся к случаю плоской задачи. Хилл [104] предложил решение задачи о вдавливании стержня из сжимающейся шероховатой втулки. Ряд обобщений решения Прандтля на случай осе-симмстрического и пространственного течения приведен в работах Ивлева Д.Д. [38], Ершова JT.B., Романова A.B. [31], Григорьева И.П. [24], Максимовой JI.A. |64, 65], Целистовой Е.А. (109], Цслистовой A.A. [108], Третьякова Е.М., Еленева С.А. [101], также в монографии М.А. Задояна [33].
Проблема течения пластического слоя между шероховатыми поверхностями исследовалась A.A. Ильюшиным [46. 47]. В основе исходных предположений лежит решение Прандтля, а также некоторые упрощения, носящие кинематический характер. Предполагается, что осредненные скорости перемещений постоянны по толщине слоя, а также предполагается, что в плоскости, касательной к любой эквидистантной поверхности, касательные напряжения равны нулю, главные напряжения равны между собой (условие полной пластичности), нормальное напряжение вдоль толщины слоя постоянно. В этом случае для определения давления, действующего со стороны сжимающих плит, имеет место уравнение постоянного ската и, следовательно, справедлива песчаная аналогия.
Численное решение задачи о сжатии диска между параллельными плитами дано Р.И. Непершиным [75], это решение обсуждается в монографии Б.А. Друянова и Р.И. Непершнна [27]. Установлено, что распределение осевого давления близко к линейному, тем не менее, нелинейный характер распределения выражен.
10
В настоящей работе исследуется пространственное течение идеальнопластического слоя между параллельными, искривленными и наклонными шероховатыми плитами. Покатано, что в случае параллельных плит характер распределения напряжений, скоростей деформаций и скоростей перемещений, полученный Д.Д. Ивлевым [38, 49], не зависит от выбора условия пластичности. Единственное ограничение - функция должна зависеть от компонент девиатора тензора напряжений. Решение задач для случая искривленных или наклонных плит получено методом малого параметра до второго приближения включительно как для несжимаемого, так и сжимаемого материалов. В качестве малого параметра используется величина, обратная радиусу кривизны плит.
Третья глава посвящена упругопластическому состоянию пространства. ослабленного цилиндрической полостью.
Уируго-идеальнопластическое состояние пластины с круговым отверстием при двуосном растяжении в случае плоской деформации рассмотрено Л.А. Галиным [18]. Было показано, что границей пластической области является эллипс. Результаты Л.А. Галина нашли обобщение в исследованиях Савина Г.Н. [88], Аннина Б.Д. и Черепанова Г.П. [1]. В работе Ивлева Д.Д., Ершова Л.В. [37] задача Л.А. Галина была решена методом малого параметра.
В настоящей работе в упругой зоне получены во втором и третьем приближениях компоненты напряжения при упругопластическом состоянии пространства, ослабленном цилиндрической полостью, при совестном действии внутреннего давления, растягивающих на бесконечности в поперечном сечении взаимноперпендикулярных усилий, при наличии либо сдвигающих, либо крутящих усилий, либо и тех и других одновременно. Показано, что при наличии касательных и крутящих усилий форма унру-юпластической границы приближается к окружности.
II
Четвертая глава посвящена полиномиальным решениям линеаризированных соотношений теории малых упругопластических деформаций.
11олиномиальные решения ряда задач в теории упругости рассматривались Тимошенко С.П. [98], в теории пластичности - в работах Ивлева Д.Д.. Ершова Л.В. [37].
В настоящей работе получен алгоритм построения полиномиальных решений линеризированных уравнений теории малых упругопластических деформаций в декартовых и полярных координатах. Используются соотношения теории малых упругопластических деформаций, данные A.A. Илыошииым. Отмечено, что полиномиальные решения не являются периодическими. Приложение развитого алгоритма используется на примерах решенных задач.
Результаты диссертации опубликованы в работах [123-147].
Отдельные результаты и работа в целом докладывались:
- на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);
- на семинаре по механике твердого тела при Институте проблем механики РАН под руководством академика РАН А.Ю. Ишлинско-го, академика РАН Д.М. Климова (Москва, ИПМ РАН, 2001);
- на школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2000);
- на Международной конференции «Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике» (Минск, 2001);
- на Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2000);
12
- на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 1996-2002);
- на ежегодных итоговых конференциях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2000-2001);
- на ежегодных итоговых конференциях преподавателей ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 1997-1999, 2002);
- на итоговой научной конференции «Естественные науки: сегодня и завтра» (Чебоксары, ЧТУ, 1997).
13
Глава 1.
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
§1.1. Статически определимые соотношения в случае условия полной пластичности
Условие полной пластичности имеет вид [103]
Оі=а2, а3=0)+2к, к-сом.
где а, - главные напряжения, величина 2к - предел текучести на растяжение сжатие и может принимать либо положительное, либо отрицательное значение.
Согласно (1.1.1) тензору напряжений можно поставить в соответствие эллипсоид вращения (рис. 1.1.1). полуоси которого полностью определяются величиной среднего давления
Ориентация рассматриваемого эллипсоида напряжений в системе координат хуг полностью определяется ориентацией напряжения третьей главной полуоси.
2 к 4 к
(1.1.2)
з
У
х
Рис. 1.1.1
14
Связи между компонентами напряжений а;/ в декартовой системе координат и главными напряжениями определяются по формулам [37]
Ох =С\1? +<Ь'”|2 +сгз”12» Хху =с]1\12 +<*2т\т2 +°3Л1Л2»
Л Л Л
ау =а,/£+а2Ш2+о3Я2 , т^ =а1/1/з+ст2ті,,,з+стз/7і,,з* (1-1.3)
а. =а,/|+ст2/Мз+СТ3П3, т4_ =<з]12Іі+<з2п12п1}+<:*зп2пі>
где - направляющие косинусы, связанные условиями ортогональ-
ности
/2 +Ш|2 +Я|2 =1, /|/2 +т, т2 +«] п2 = 10,
/|+Ш2+Л2 =1 * 121з+т2т2+п2п2-^у (1-І-4)
/2+/и|+л3 =1, /,/з+т1/Мз+я,и3=0.
Из (1.1.2)-( 1.1.4) получим
2к .. у -м
сгг=су—1Ху=2кп\П2,
а,,=а-^+2Ал2> т,,г=2Ли2«з* (1.1.5)
2к . 2 Л.
о2 =а—~+2лл3 э =2аг/7,«3,
л,2+«2+«з=1, (1.1.6)
где л,,л2,л3 - направляющие косинусы углов между осью 3 и осями дг,у,г соответственно.
Согласно (1.1.5) а(у= а0(с,Л|,и21из>)> гДе среди п, только две величины независимы.
Исключая в соотношениях (1.1.5) направляющие косинусы, можно получить три соотношения между компонентами напряжений [38. 39]:
15
или
ИЛИ
ИЛИ
или
К-о+гА/з)^^*«,
(стд-а+2А/з)ггг=х;9.т^,
(а,-а+2*/3)с^*тях^,
(стх -а+Ік/З'Жр у -а+2А/з)=т^., (а^ -ст+2А/з)(ст. -а+2А/3)=х ^, (а. -ст+2А/ЗХох -о+2А/3)=т2г,
(стх-ст-*/3)2+т^+т^=Л;2,
(а -ст-А/з)2 +х^,+т ^ =А2,
(ст. -ст-А/3)2 +х^+х^ =А2,
(стї-ст>1)2+4х^=[4А/3-(ст;-ст)]2, (сту-ст, )* -Их2. = [4*/3-(ст, -а)]2, К -Ох)2 +4т^=[4А/3-(ст> .-ст)]2,
-ст-4А/3)тх.т>2=0, *уг (х^+хі ко, -ст-4А/3>х>.ххг =0, хя (х£ + х*, ^ (ст у -ст- Дг/З)г ^ -0.
Согласно ассоциированному закону пластического течения
ч=\,%-+х & ■’ ^
у л ’ "2 -ч ™3 -» >
СОа ГХТ.. (7СТ.
(1.1.7)
(1.1.8)
(1.1.9)
(1.1.10)
(1.1.11)
(1.1.12)
+\3-г—, Х,>0,
ч — у ОСТ»/
где в качестве системы трех условий пластичности /,=0 можно взять одну из систем (1.1.7)-(1.1.11).
Дтя сжимаемого анизотропного материала
16
з)- (1.1.13)
В этом случае задача является статически определимой. Соотношения (1.1.1), (1.1.7)-( 1.1.11) будут определять свойства сжимаемого, анизотропного. идеальнопластического тела.
Обозначим
И=а0е0, (1.1.14)
где N - скорость рассеяния механической работы деформирования. Диссипацией или диссипативной функцией называется величина
о=0Ы. <||15>
равная скорости рассеяния механической работы.
Согласно (1.1.14), (1.1.15) будем иметь
Лг-0=0. (1.2.16)
Соотношения связи между напряжениями и скоростями деформации находятся из экстремума функционала (1.1.16) при варьировании компонент скорости деформации. К условию (1.1.16) могут быть присоединены связи, налагаемые предположениями о характере деформирования. Величина скорости рассеяния механической работы имеет вид
Лг=о,Е1+а2е2+аз8з, (1.1.17)
где о^сь,о3 - главные напряжения, е^^з - скорости деформации удлинения вдоль главных напряжений.
Предположим, что имеет место условие несжимаемости
Ех+е^+е^О. (1.1.18)
Согласно (1.1.1), (1.1.16), (1.1.18) из (1.1.17) получим
£>=2*е3. (1.1.19)
В декартовой системе координат
8з =ехп{ +гуп\ +е. +2гхуп[п1+28х_.Я|Нз+2е у,п2пъ» (1 ■ 1.20)
2 2 2 •
И[+и;+м| = 1.
17
Функционал (1.1.16) согласно (1Л. 14), (1.1.19), (1.1.20) имеет вид
+огєг +2тл?,є ху+2тх,єх, +2т„є„ -—2/г(єл/7,2 +£^2 +^2пз 42єх>,н,п2 +2єх.П|«з +2є>гм2и3)- (1.1.21)
-^(єу+Єд, +£. )+м(и,2 +/?; +п2 -і)=0,
іде ?.иу- неопределенные множители Лагранжа.
Согласно (1.1.21) имеют место
А
ах=2Аи1 +А, хХ}Г=2кпуП2,
ау=2кп1+Х, хза=2кпхпг, (1.1.22)
о,=2£«з+Л, Ху.=2кп2п3.
Из (1.1.22), (1.1.20) получим
1=а~к. (1.1.23)
Согласно (1.1.23) соотношения (1.1.22) принимают вид (1.1.5).
Из экстремума функционала (1.1.21) по п1 получим
/Ь /Ь Лі Лі /§ . .
+Є« —=єу +є^'—+єтг —=є-- +є« “+єз* ~ • СІ-1.24)
"і "| «2 я2 "з "з
Система трех уравнений (1.1.18), (1.1.24) представляют собой замкнутую систему для определения компонент скоростей перемещения иу,и\ Для анизотропного несжимаемого материала
Я=2*(л„и2,л3)є3, (1.1.25)
где є3 - нормальная компонента скорости деформации вдоль оси 3.
В этом случае выражения (1.1.5) сохраняются. Из (1.1.5) имеют место
V« ох-о 1
2 к 3’
_ххухуг сг^-а 1
ХХ.г 2 к 3’
а.-ст 1
2к 3
^ (1.1.26)
18
Из экстремума функционала (1.1.21) по «, получим
2а(є*Лі
/ \ +Т-(сж«Г +Єуя2 +Є -И? +2е ^и,л2 +2е >?и2и3 )=#!, V,
дп.
2*(є>,и2+єхки,+є^«з)*-
+^-(ехи,2 +єуи2 +£-и| ч-Зе^./?]//, +2ех./;,«з +2£>гп2и3 )=Л2У»
(1.1.27)
2*(е.
+ ^~(єі"|2 +є уп 2 +єі"3 +2єх>і«|Л2+2€х.И|Лз +2еухП2Пі )=«3У.
оп^
Согласно (1.1.26), (1.1.27) имеет место
2 к
V
>'
*х+**Т-+Ъ*гГ-
Ьг Чу,
1 С**
и, дп}
+г 1^+Е і£.+е х —у --г *1 , +БП 1.
ч т>г т*г Хху А * * ,
е,У£+5,!Лн V*
=2Л
V V
»4« »
V Ч* Чи /
1 ск
хза . „ Т>*
«2 Зя2
Ххуххг хг»хуг Ч«Ххг Хлгу
Єх^1—+еу-2^-+Ех-г——+8>г
ч туг Ххг ху л * К ,
(1.1.28)
=2/1
*>•
є.-+£*г —•+є>*7^
т>.
1 дк
/?2 дп-
Ххуххг ххухуг Хугтхг Хлу Т^ . 4«
£ х -і—+8, -ЗІЛ+в -2-----------------------+С —+Б,, —+«„
V т* V * к > к У
у: хг -лу
где л, определяются ИЗ (1.1.26).
Соотношения (1.1.28) и условие несжимаемости (1.1.18) представляют
собой условие течения анизотропного материала.
Предположим, что для анизотропною материала выполняется условие
19
+в(°у-°= У +фг )2 +б[^+Сг% *Нх1а Ц*?,(1.1.29)
где А,В,СМ,СМЛо~сою1.
Уравнение предельной поверхности (1.1.29) используется для определения значения предела текучести на одноосное растяжение по направлению вектора п(л!,и2,«з).
Подставляя выражения (1.1.5) в условие (1.1.29), получим
В рассматриваемом случае соотношение (1.1.30) определяет единственное значение 2Лг(л,,я2^з)* являющееся пределом текучести на растяжение.
Соотношения (1.1.5) при условии (1.1.30) определяют статически определимое состояние материала, предел текучести на растяжение которого задается соотношениями (1.1.29), (1.1.30).
Обозначим
и соотношений (1.1.5), (1.1.31) в случае изотропною материала, то есть при к-сот1, имеет место система уравнений
4А-2 Г Л(л,2 -п})“ + в[п\ -л2)" +с(л2 - л,2)’ + б(гл2//2 +6’и|л| +Нп]п{ )|=6А,2,
откуда
к=
V
м,= собО, , /'=1,2,3.
(1.1.31)
Из уравнений равновесия
(1.1.32)
дх ду дг
20
—-4*СО80. 51П0| ~-2£сО802вШв. 2АсО80. вШ©* ^~
& & * “* (1.1.33)
лл лл ' '
—2Лгсоя0зб1пО| ^—2ЛгсозО| 81П03 —-^-=0, (123,*^)),
сг дг
СО82О,+СО8202+СО5203 =1. (1.1.34)
Система статически определимых уравнений (1.1.33), (1.1.34) принадлежит к гиперболическому типу [38,49].
Уравнение для определения характеристических многообразий имеет
вид
(п-&гасМ'}[2(п-&гас1Ч')2 -^ниИ')2\=0. (1.1.35)
где 4,(.т,у',г)=0 - характеристическая поверхность, Й=(со80],со802,со80з).
Из (1.1.34) следует, что направление третьего главного напряжения п является характеристическим. Характеристические поверхности совпадают с поверхностями действия максимальных касательных напряжений, так как характеристические направления образуют конус с углом раствора л/4 вокруг направления п.
Для плоской задачи вдоль линий скольжения имеют место соотношения Гейрингер, означающие отсутствие удлинения вдоль линий максимального касательного напряжения.
Для несжимаемою анизотропного материала
к=к(п1уп2 ^3). (1.1.36)
Из соотношений (1.1.5), (1.1.32), (1.1.36) получим систему уравнений гиперболического типа [38,49), аналогичную (1.1.33), (1.1.34).
Указанные результаты в дальнейшем обобщаются на случай общих статически определимых соотношений, не совпадающих с условием полной пластичности.
21