2
Оглавление
Оглавление................................................................2
Введение..................................................................8
Глава 1. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА И РЕЙНОЛЬДСА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К СВЕРХЗВУКОВЫМ ТЕЧЕНИЯМ ГАЗА.....................................................................21
1.1. Постановка задачи...................................................21
1.1.1. Дифференциальные уравнения Навье-Стокса.......................22
1.1.2. Граничные и начальные условия.................................24
1.2. Осрсдненныс по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса....................26
1.3. Моделирование течений реального газа................................30
1.4. Аппроксимация уравнений.............................................35
1.5. Решение нелинейных сеточных уравнений...............................38
1.6. Решение систем линейных алгебраических уравнений....................40
1.6.1. Прямой метод решения систем линейных алгебраических уравнений.. 41
1.6.2. Итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.............................................................43
1.6.3. Ускорение сходимости с помощью переобусловливания.............47
1.7. Об эффективности численного решения сеточных уравнений..............49
1.8. Построение расчетной сетки..........................................51
з
1.9. Разработка комплекса универсальных программ...........................58
1.10. Исследование сходимости расчетных данных.............................62
Заключение.................................................................68
Глава И. КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР В ОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА....................................................................69
2.1. Круговой цилиндр в однородном потоке несжимаемой жидкости.............69
2.2. Влияние сжимаемости среды.............................................74
2.3. Верификация численного метода.........................................75
2.3.1. Структура поля течения .........................................78
2.3.2. Локальные характеристики........................................82
2.3.3. Интегральные характеристики................................... 85
2.4. Установление по времени...............................................86
2.5. Обтекание лобовой поверхности кругового цилиндра......................90
2.5.1. Передняя критическая точка......................................90
2.5.2. Лобовая поверхность цилиндра....................................93
2.6. Течение в кормовой части цилиндра.....................................96
2.6.1. Неединственность решения задачи.................................96
2.6.2. Структура поля течения.........................................101
2.6.3. Характеристики отрывной зоны................................. 104
2.7. Местные аэродинамические характеристики............................ 120
2.8. Суммарные аэродинамические характеристики............................124
Заключение
4
128
Глава III. ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ВЯЗКОГО
ГАЗА........................................................ 130
3.1. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных................130
3.1.1. Структура поля течения......................................131
3.1.2. Местные характеристики сферы................................134
3.1.3. Суммарные характеристики сферы.............................136
3.2. Установление по времени...........................................137
3.3. Влияние числа Рейнольдса на структу ру поля течения...............142
3.4. Местные аэродинамические характеристики..........................144
►
3.5. Суммарные аэродинамические характеристики.........................148
3.6. Влияние реальных свойств газа при гиперзвуковом обтекании сферы 151
Заключение............................................................156
Глава IV. ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЛА С УЗКОЙ ВЫЕМКОЙ
НА ИХ ПОВЕРХНОСТИ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ.....................158
4.1. Общие замечания...................................................158
4.2. О численном моделировании.........................................163
4.3. Плоская пластина с узкой выемкой в сверхзвуковом потоке...........164
4.3.1. О структуре поля течения в выемке......................... 166
5
4.3.2. О распределении давления в окрестности выемки и по ее стенкам .... 166
4.3.3. Температура (энтальпия) восстановления пластины и выемки 169
4.3.4. О коэффициенте теплопередачи на плоской пластине..................171
4.3.5. Моделирование теплопередачи на боковых стенках выемки.............178
4.3.6. Анализ законов подобия............................................182
4.4. Осесимметричное тело с узкой выемкой в гиперзвуковом потоке
(Mars Pathfinder)......................................................186
4.4.1. Верификация расчетной модели.................................... 188
4.4.2. О температуре восстановления затупленного тела с выемкой на лобовой поверхности......................................................192
4.4.3. О теплопередаче на изотермической поверхности.....................200
4.4.4. Температурный режим лобовой поверхности в условиях натурного
*
полета............................................................201
4.5. Осесимметричное тело с узкой выемкой в гиперзвуковом потоке
(Mars Express Probe)...................................................205
4.5.1. Местные аэродинамические характеристики на лобовой поверхности зонда....................................................................206
4.5.2. Температура восстановления узкой выемки...........................208
4.5.3. О теплообмене на изотермических стенках выемки....................213
Заключение
6
215
Глава V. ПРОСТЕЙШИЙ ГИПЕРЗВУКОВОЙ ВОЗДУХОЗАБОРНИК НА
РАСЧЕТНОМ И НЕРАСЧЕТНОМ РЕЖИМАХ РАБОТЫ........................218
5.1. Модель гиперзвукового воздухозаборника............................218
5.2. Аэродинамические характеристики воздухозаборника на расчетном
режиме при ламинарном течении....................................220
5.2.1. Структура поля течения.......................................221
5.2.2. Характеристики отрывных зон.................................225
5.2.3. Профили газодинамических переменных в выходном сечении 235
5.2.4. Коэффициент расхода..........................................242
5.2.5. Граничные линии............................*.................247
5.2.6. Местные и суммарные аэродинамические характеристики..........251
5.3. Аэродинамические характеристики воздухозаборника на нерасчетном режиме
при ламинарном течении...........................................258
5.3.1. Структура поля течения.......................................259
5.3.2. Характеристики отрывных зон.................................261
5.3.3. Аэродинамические характеристики..............................265
5.4. Аэродинамические характеристики воздухозаборника на расчетном
режиме при ламинарно-турбулентном течении........................268
5.4.1. Структура поля течения.......................................268
5.4.2. Профили газодинамических переменных в выходном сечении 274
7
5.4.3. Местные и суммарные аэродинамические характеристики.........277
5.5. Аэродинамические характеристики воздухозаборника на нерасчетном
режиме при ламинарно-турбулентном течении........................279
5.5.1. О структуре поля течения....................................279
5.5.2. Местные аэродинамические характеристики.....................282
5.6. Сравнение расчетных и экспериментальных данных....................287
Заключение.............................................................289
Глава VI. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ
ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ ПОД УГЛОМ АТАКИ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА...................................291
6.1. Острые конуса в сверхзвуковом потоке...........!..................291
6.2. Острый круговой конус с углом полураствора0к=15° при числе
Маха Мсо=10.4......................................................294
6.3. Тонкий острый конус с углом полураствора0к~4° при числе Маха Мед=4 ... 301
6.3.1. О структуре поля течения....................................302
6.3.2. Местные аэродинамические характеристики.....................306
6.3.3. Суммарные аэродинамические характеристики...................316
Заключение.............................................................321
Выводы.................................................................323
Литература.............................................................325
8
Введение
При движении тел в несжимаемой и сжимаемой жидкостях или при течении несжимаемой и сжимаемой жидкости в различных технических устройствах реализуется сложная структура поля течения. При этом в большинстве случаев течение сплошной среды сопровождается отрывом и присоединением потока, которые оказывают огромное влияние на аэродинамические характеристики движущегося тела или технического устройства. Явления отрыва и присоединения потока имеют сложную природу, зависят от множества факторов, и изучение закономерностей их развития представляет собой одну из важнейших фундаментальных проблем современной аэрогидродинамики.
Для изучения этих сложных фундаментальных проблем имеются два пути - экспериментальный и теоретический.
Экспериментальный подход к изучению закономерностей движения жидкостей и газов зародился на заре человечества и прошел большой путь развития вместе с эволюцией человеческого общества. Сначала это был натурный эксперимент, затем стати создаваться специальные аэрогидродинамические установки и соответствующая измерительная техника. С развитием техники и возрастанием скоростей движения жидких и газообразных сред усложняется экспериментальная база, возрастают материальные затраты на получение требуемой информации и, следовательно, происходит значительное удорожание каждой экспериментальной точки.
9
Теоретическое научно обоснованное направление начало формироваться в XVII веке, когда благодаря трудам Галилея Г., Ньютона И. и других ученых были сформулированы основные законы механики.
В XVIII в. в работах Эйлера Л., 1755 в рамках механики сплошной среды были получены уравнения динамики идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости, получившие название уравнений Эйлера, а в XIX в. в работах Навье, 1826, Пуассона, 1831, Сен-Венана, 1843 и Стокса, 1847 - уравнения динамики вязкой несжимаемой и сжимаемой жидкости, которые получили название уравнений Навье - Стокса. В конце XIX в. Рейнольдс О. доказал экспериментально существование турбулентного режима течения жидкости (1883) и предложил подход к изучению этих сложных течений (1895), основанный на разложение гидродинамических переменных на осрсдиенную и пульсационную составляющие; для описания осредненного течения им были получены уравнения, названные его именем - уравнения Рейнольдса или осредненные но Рейнольдсу уравнения Навье - Стокса.
Как экспериментальный, так и теоретический пути исследования являются основой нашег о понимания закономерностей течения жидкой и газообразной среды и особенностей теплообмена и, взаимодействуя друг с другом, позволяют успешно решать прикладные задачи.
Во-первых, в аэродинамическом эксперименте добываегся очень важный, но ограниченный объем данных по распределению газодинамических переменных по обтекаемым поверхностям модели (преимущественно распределения коэффициентов давления и теплопередачи) и в некоторых сечениях поля течения (например, профили полного давления в выходном сечении канала), а также некоторая информация по ви-
10
зуализации картины течения (теплеровские снимки, спектры предельных линий тока), которая дает общее представление о структуре поля течения. Этой информации часто бывает недостаточно для выявления “тонкой” структуры поля течения, связанной с полями газодинамических переменных. Вычислительная аэродинамика поставляет подобного рода информацию, содействуя анализу экспериментального материала и пониманию аэродинамики исследуемого течения.
Во-вторых, в аэродинамическом эксперименте проводится частичное моделирование натурных условий, преимущественно по числам Маха и Рейнольдса, другие же параметры набегающего потока не моделируются, например, такой важный параметр как степень турбулентности, который оказывает сильное влияние на положение точки ламинарно-турбулентного перехода и, следовательно, на структуру поля течения и аэродинамические характеристики исследуемого тела. Это частичное моделирование обуславливает проблему переноса экспериментальных трубных данных на натурные условия. Здесь на помощь приходит вычислительная аэродинамика, которая позволяет проанализировать роль немоделируемых параметров и осуществить рациональную процедуру переноса данных трубного эксперимента на натурные условия.
В-третьих, в аэродинамическом эксперименте в большинстве случаев не фиксируется процесс выхода на стационарный режим течения. В то же время он важен для понимания процесса запуска, хотя он и краткотечен, связанного с перестройкой поля течения и перераспределением газодинамических переменных. Вычислительная аэродинамика позволяет смоделировать этот нестационарный процесс и исследовать все аэродинамические особенности этого нестационарного течения.
11
В-четвертых, при моделировании исследуемого течения методами вычислительной аэродинамики используется некоторая математическая модель с рядом параметров. Сопоставление расчетных данных с экспериментальными позволяет судить об адекватности используемой модели физической реальности. Если наблюдаются заметные расхождение между ними, то анализ причин этого расхождения позволяет, с одной стороны, уточнить параметры математической модели, а с другой стороны, установить качество экспериментального материала.
В-пятых, предварительная оценка готовящегося эксперимента методами вычислительной аэродинамики позволяет рационально выбрать геометрические размеры модели и условия проведения эксперимента. Это понижает вероятность брака в эксперименте и содействует снижению материальных затрат при проведении эксперимента.
Таким образом, вычислительное сопровождение аэродинамического эксперимента должно быть обязательным элементом в процессе подготовки, проведения и анализа результатов аэродинамического эксперимента. Эго взаимно обогащающий процесс, который служит обоснованию достоверности получаемого материала, расширению и углублению наших знаний в области внешней и внутренней аэродинамики.
Из-за сложной математической природы уравнений динамики вязкой несжимаемой и сжимаемой жидкости для исследования отрывных течений при сверх- и гипер-звуковых скоростях применяются различные подходы, которые можно подразделить на три группы: приближенные, асимптотические и численные. Выбор подхода к решению задачи во многом определяется уровнем развития вычислительной техники.
Приближенные подходы разрабатывались преимущественно к течениям газа при больших числах Рейнольдса. Они, как правило, являются полуэмпирическими и вюпо-
12
включают в себя методы, основанные на использовании двухслойной схемы течения и уравнений пограничного слоя в интегральной форме, моделировании течения в отрывной зоне с использованием различных упрощающих предположений и т.п. Эти методы позволяют проводить инженерные оценки аэродинамических и геометрических характеристик замкнутых отрывных зон и тем самым помогают решать прикладные задачи. Одним из недостатков приближенных методов, как отмечалось Ней-ландом В.Я. [1974], является то, что в них не предполагается какой-либо процесс уточнения результата или какого-либо предельного перехода, при совершении которого результат стремится к точному решению. При этом остается неясной их связь с решениями уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса. Различные приближенные подходы, а также результаты расчетных и экспериментальных исследований отрывных течения обсуждаются в монографиях | Чжен /7., 1972; Гогиш Л.В, Степанов Г.Ю, 1979]
Для изучения предельной (число Ле -> со) структуры поля течения как при наличии отрыва, так и при его отсутствии широко используются различные асимптотические методы (см. например [Ван-Дайк М, 1967]). В частности, в аэрогидродинамике при исследовании вязких течений большое распространение получил метод сращиваемых внешних и внутренних асимптотических разложений. Согласно этому методу' в областях с различными масштабами координат и хазодинамических переменных строятся дополнительные асимптотические разложения, которые затем асимптотически сращиваются между' собой на основе того или иного принципа сращивания. При этом во всех случаях исходной является краевая задача для уравнений Павье-Стокса с «естественными» граничными условиями на поверхности тела и в набегающем потоке
13
в предположении, что стационарное решение задачи существует. Отметим, что классическая теория Прандтля, которая была предложена им на основе физических соображений, является ярким примером применения асимптотического подхода. На основе этого подхода разными авторами исследованы самые разнообразные аэрогидроди-намические задачи; изложение некоторых из них можно найти в монографиях [Ней-ланд В.Я., 1974; Сычев В В., Сычев Вик.В., Рубан А.И., Королев Г.Н., 1987; Башкин В.А., Дудин Г.Н., 2000]. Асимптотические подходы используются также для анализа турбулентных течений жидкости и газа.
Методы численного интегрирования полных уравнений Навье-Стокса или уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях в принципе позволяют рассматривать сверхзвуковые течения вязкого газа в самом широком диапазоне изменения определяющих параметров задачи и в этом смысле являются универсальным инструментом исследования. Вместе с тем для получения результатов высокого качества и относительно дешевых по стоимости необходимо преодолеть ряд трудностей, связанных с разработкой эффективного численного алгоритма, построением расчетной сетки и т.п. В частности, большие затруднения имеют место при изучении течений при больших числах Рейнольдса, когда происходит разделение поля течения на ряд характерных областей различного масштаба. Здесь для успешного решения задачи очень полезной оказывается информация, следуемая как из эксперимента, так и асимптотического анализа газодинамических задач.
Численное решение газодинамических задач на основе полных уравнений Навье -Стокса или Рейнольдса является одним из основных направлений развития вычислительной аэродинамики. Однако широкое применение подобных расчетов в научных и
14
промышленных целях до сих пор сдерживается высокой стоимостью, связанной с необходимыми для их выполнения огромными затратами вычислительных ресурсов. По этой причине поиск экономичных численных методов наряду с совершенствованием вычислительной техники является необходимым условием развития вычислительной аэродинамики. Различные проблемы численного анализа рассмотрены в монографиях [Белоцерковский О.М., 1984; Марчук Г.И., 1980 и другие].
К настоящему времени разработано много различных подходов к численном}' решению уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса. Среди них - метод, основанный на неявной конечно-разностной схеме Бима и Ворминга [Beam R., Warming R.F., 1978] и его дальнейшая модификация [Steger J.L., 1978; Hollanders H., Devezeaux de Lavergne D., 1987]. В этой схеме вводятся нефизические сглаживающие члены, содержащие вторые и четвертые производные от зависимых переменных и служащие для подавления осцилляций сеточных функций. Оригинальный подход к аппроксимации уравнений Навье - Стокса предложен в работах Толстыха А.И. [см., например, Толстых А.И., 1981]. Он основан на применении разностной схемы третьего порядка точности на компактном шаблоне. Однако эти и многие другие методы не гарантируют от осцилляций сеточных функций в областях резкого изменения i-азодинамических величин.
К наиболее надежном}' классу разностных схем для решения уравнений Эйлера методом сквозного счета относится монотонная схема Годунова С.К., 1959. Применение ее для решения уравнений Павье - Стокса долго сдерживалось невысокой точностью (первым порядком аппроксимации). В 80-е годы были созданы эффективные разностные схемы, сохраняющие свойство монотонности при повышении порядка
15
аппроксимации [Федоренко Р.П., 1962; Колган В.П., 1972; Гущин В.А., Щенников В.В., 1974; Чакраварти СР., Жем К.Й., 1987] и получившие название TVD [Chakravarthy S.R., Osher S., 1983; Harten A1983]. Эго позволило существенно расширить класс решаемых задач в рамках уравнений Эйлера, а также распространить их на решение задач газовой динамики с учетом вязкости и теплопроводности. Например, в работе [Иванов М.Я., Крупа В.Г., Нигматуллт Р.З., 1989] с применением такой схемы получены результаты численного моделирования околозвуковых режимов обтекания в рамках уравнений Навье-Стокса, в [Копченое В.И, Ласкин И.H., 1996] предлагается дальнейшее развитее этой схемы для решения параболизованных уравнений Навье -Стокса, в [Fedorova N.N., Fedorchenko I.A., Schulein E., 2001] подобная разностная схема использована для решения задачи взаимодействия ударной волны с турбулентным пограничным слоем.
В большинстве работ по численному решению уравнений Павье-Стокса основное внимание уделяется построению разностных схем и изучению их свойств. Меньше внимания уделяется методам решения сеточных уравнений, получаемых в результате аппроксимации дифференциальных уравнений. С вычислительной точки зрения наиболее трудоемкой частью алгоритмов решения полных уравнений газовой динамики является итерационный процесс получения стационарного решения. Эта трудоемкость в явных методах установления связана с ограничением на временной шаг по числу Куранта, в неявных методах - с выполнением матричных операций. Для неявных методов чаще других используются различные варианты метода приближенной факторизации и метод Гаусса - Зейделя, опирающийся на диагональное доминирование линейного оператора. Большое распространение получили неявные схемы перемен-
ных направлений [Douglas J, Gunn J.E., 1964]. Дальнейшим развитием этого направления явились неявные разностные схемы, основанные на линеаризации уравнений для приращений искомых функций и приближенной факторизации (расщепления) [Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В., 1975; Ковеня В.М., Яненко H.H., 1981; Толстых А.И., 1981]. Наиболее законченным в математическом смысле можно считать применение неявных разностных схем с последующей линеаризацией и решением системы сеточных уравнений по методу- Ньютона [Егоров И.В., Зайцев О.Л., 1991].
При исследовании сверх- и гиперзвуковых течений в ряде случаев необходимо учитывать влияние реальных свойств газа на аэродинамические характеристики. К таким задачам, в частности, относится расчет поля течения около летательного аппарата, движущегося в атмосфере Земли с гиперзвуковой скоростью. Отличительной особенностью численною моделирования течения газа с неравновесными физикохимическими процессами является повышенная жесткость системы уравнений. Поэтому для ее решения необходимо применять неявные разностные схемы. В работе [Park С., Yoon S., 1991], например, предлагается вариант неявной разностной схемы, для которой вязкие члены и источник в уравнениях движения аппроксимируются по неявному слою, а конвективные - с использованием явного слоя. Использование такого подхода может привести к замедлению сходимости итерационного процесса. С этой точки зрения близкой к оптимальной можно считать методику неявных разностных схем с последующей линеаризацией и совместным решением нелинейных сеточных уравнений методом Ньютона [Егоров И.В., Иванов Д.В., 1997].
17
Значительные проблемы при численном решении задач внутренней и внешней аэродинамики обусловлены необходимостью построения расчетной сетки в сложных областях. Большинство известных в настоящее время методов построения регулярных расчетных сеток можно отнести к трем основным группам: алгебраические, дифференциальные и интегральные методы [Лисейкин В.Д., 1996]. Все эти методы имеют свои достоинства и недостатки. В частности, алгебраические методы обладают высокой производительностью и простотой в реализации, но содержат большое число свободных параметров, что затрудняет формализацию алгоритма. Дифференциальные методы, основанные на решении уравнений в частных производных или минимизации некоторых функционалов, легче формализуются, но не обладают уже такой скоростью счета из-за необходимости решения больших систем нелинейных конечно-разностных уравнений. К третьей группе относятся методы, основанные на решении интегрального уравнения для некоторой функции, область определения ‘которой имеет размерность на единицу меньшую, чем размерность расчетной области. Полученные с помощью этих алгоритмов сетки также обладают достаточной степенью гладкости и ортогональностью.
Диссертационная работа связана с актуальным направлением вычислительной аэродинамики - численным моделированием на основе уравнений динамики вязкого газа - и ставит следующие цели:
• Разработка нового эффективного подхода к численному' моделированию задач внешней и внутренней аэродинамики на основе нестационарных двух- и трехмерных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса;
18
• Реализация численного метода в комплексе универсальных программ, позволяющих осуществлять:
- быструю постановку задачи на ЭВМ,
- перенастройку различных этапов численного алгоритма,
- эффективное использование программ исследователями, не имеющими специальной подготовки в области численных методов;
• Исследование структуры поля течения с замкнутыми отрывными зонами и аэродинамических характеристик некоторых тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком вязкого газа, применительно к задачам внешней и внутренней аэродинамики.
Она состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, включающего 121 наименование.
Во введении освещена роль вычисленной аэродинамики на современном этапе на-
0I
учных исследований, сформулирована цель диссертационной работы и приведена краткая аннотация ее глав.
Первая глава посвящена описанию постановки задачи по трехмерным течениям вязкого газа и численному моделированию на основе уравнений Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях с использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности.
Во второй главе изложенный метод численного анализа применен для исследования сверхзвукового обтекания кругового цилиндра. Проведена верификация численного моделирования путем сопоставления результатов расчетов с экспериментальными данными. Проанализирован расчетный материал, полученный в широком диапазоне определяющих параметров задачи. В частности, установлено, что при малых и
19
умеренных числах Рейнольдса решение задачи не единственно. Изучено зарождение и развитие отрывного течения в ближнем следе за цилиндром по мере увеличения числа Рейнольдса, а также поведение местных и суммарных аэродинамических характеристик цилиндра в зависимости от определяющих парамегров подобия. ' /
Третья глава посвящена изучению обтекания сферы сверхзвуковым потоком газа в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса, сопоставлению расчетных и экспериментальных данных по коэффициенту' аэродинамического сопротивления при транс- и сверхзвуковых скоростях. На основании систематических расчетов установлено влияние пространственности течения (явления растекания) на зарождение и развитие отрывного течения в ближнем следе, на теплообмен и на поведение местных и суммарных аэродинамических характеристик.
В четвертой главе рассмотрено обтекание сверхзвуковым потоком плоских (пластина) и осесимметричных (сферически затупленные круговые конуса) тел с узкой выемкой на лобовой поверхности, обтекание которых происходит с отрывом потока. Рассмотрены параметры подобия исследуемой задачи. На частных примерах проведено сопоставление расчетных и экспериментальных данных по теплообмену. Выполнены расчеты в некотором диапазоне изменения параметров подобия, которые позволяют изучить особенности обтекания узкой выемки и закономерности теплообмена на обтекаемых поверхностях. В частности показано, что характер квазиневязкого течения над узкой выемкой оказывает существенное влияние на температуру восстановления в ней.
В пятой главе изучаются структура поля течения и аэродинамические характеристики простейшего нерегулируемого гиперзвукового воздухозаборника в зависимости
20
от определяющих параметров подобия. При этом на расчетом режиме работы воздухозаборника исследовано влияние числа Рейнольдса, а влияние нерасчетности по числу Маха изучено при фиксированных числах Рейнольдса.
Шестая глава посвящена моделированию обтекания острых круговых конусов, установленных в сверхзвуковом потоке под малыми и умеренными углами атаки. Результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными.
В заключении кратко сформулированы основные выводы, вытекающие из опыта практического применения разработанного метода численного моделирования вязких сверхзвуковых отрывных течений.
*
21
Глава I. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА И РЕЙНОЛЬДСА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К СВЕРХЗВУКОВЫМ ТЕЧЕНИЯМ ГАЗА
При теоретическом анализе газодинамических задач все большую роль играет численное моделирование на основе интегрирования уравнений Навье-Стокса (ламинарное течение) или осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (ламинарное, ламинарно-турбулентное и развитое турбулентное течение).
Метод численного решения уравнений Навье-Стокса разрабатывался последовательно для исследования ламинарного сверхзвукового обтекания плоских и осесимметричных тел (двухмерная задача), а затем он был распространен на решение двухмерных уравнений Рейнольдса. В последующие годы этот подход был обобщен на изучение трехмерных сверхзвуковых ламинарных и ламинарно-ту-рбулентных течений газа.
Поскольку для решения всех указанных задач в идеологическом плане использован один и тот же подход, то ради сокращения объема работы изложим его применительно к численному анализу трехмерных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса.
1.1. Постановка задачи
В рамках механики сплошной среды движение газообразной среды в общем случае описывается нестационарными трехмерными уравнениями Навье-Стокса, которые служат основой для прямого численного моделирования турбулентного течения.
Для изучения прикладных задач широко применяются уравнения Рейнольдса, которые выводятся из уравнений Навье-Стокса, с использованием гипотезы Буссинеска
22
относительно напряжений Рейнольдса. Эти уравнения являются основой настоящего метода численного моделирования.
1.1.1. Дифференциальные уравнения Навье-Стокса Уравнения Навье-Стокса в произвольной криволинейной системе координат £,
Л> где х = х(%, Г|, £)= хЬ, у = г\,0> г** л, О - декартовы координаты, запи-
сываются в дивергентной форме
Л) до
н 1---------------1 = О
а дп %
(1.1)
Здесь Q - вектор консервативных зависимых переменных задачи, Е, Я - векторы потоков в криволинейной системе координат. Векторы Е, Є, Р связаны с соответствующими векторами Ес, Сс, Рс в декартовой системе координат формулами
* „ л* ^
<5=./0
с»
Е = і/(Е =а + с Г2. + Р
дх су ог
г_ #п ,г , р ^7-, р_ Яр ^ , г ^ , р
С-./(Ес- + Сс- + Ес-), Е-./(Ес- + Сс~ + Ес-),
где J=д{x,у ,г)/а£у л5 О ~ якобиан преобразования.
Декартовы компоненты векторов Ес, вс, Гс для трехмерных уравнений Навье-Стокса имеют вид
<?с=
р ри р»
ри ри2+р + рю> + тху рми + т^
> Ес рЧУ+Тху . Сс= Р»2+Р + Т„ М Ч О II рм>+туг
р\\’ рим> + та РМ + Гуг рп2 +Р+тЛ
ре риН + /х Р»Н + 1У рмН + Іг і
где р - плотность газа; и, V, к - декартовы компоненты вектора скорости V; р - давление; е=Н-р/р+(г^^2-\-м>7)!2 - полная энергия на единицу объема; Н=к+(и2+\>7+\у2)12
23
- полная энтальпия, к~с?Т - статическая энтальпия; Т - температура, Ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, т - симметричный тензор вязких напряжений, связанный с тензором скоростей деформаций я линейной зависимостью
Т = -|Дв.
Компоненты тензора скоростей деформаций в для сжимаемого газа имеют вид
ди Д> ди дм ш
=----1--> 8..т =---1--> в™ —---1--------------->
ду ск дг де ді ду
а вектор теплового потока I определяется выражением
1 = -?^гас1(7) + тУ, где и и \ - коэффициенты молекулярной вязкости и теплопроводности.
Система уравнений (1.1) замыкается уравнением состояния и зависимостями ко-.
и
эффициентов переноса от температуры и давления, вид которых зависит от модели движущейся среды. В случае модели совершенного газа с уравнением состояния
р=рКТ/М,
где Я - универсальная газовая постоянная, М - молярный вес газа, молекулярный коэффициент вязкости зависит только от температуры и вычисляется согласно степенному закон}' (р/р^СГ/Т^, 0.5^со£1), а число Прандтля Рг=рСр/А, принимается постоянным.
При обезразмеривании уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса декартовы координаты х-хЬ, у-уЬ, г=2Ь отнесены к характерному линейному размеру Ь, время - к характерном}' времени Ь!У^, компоненты вектора скорости и=иУМ)
~ к модулю вектора скорости набегающего потока V*» давление
р= р(рЛ) - к удвоенному скоростному напору набегающего потока, остальные газодинамические переменные - к их значениям в набегающем потоке. Верхняя черта над символом означает то, что данная переменная является безразмерной, а символ ос обозначает значение данной переменной в невозмущенном потоке.
При таком обезразмеривании в уравнениях Навье-Стокса и Рейнольдса появляются основные параметры подобия: у= ср/ с„ - показатель адиабаты, - число
Маха набегающего потока (а - скорость звука), ^ - число Рейнольдса,
Рг - число Прандтля. Обезразмеренные таким образом уравнения Навье-Стокса и Рейнольдса использовались при численном интегрировании.
Большая часть расчетных данных приводится в безразмерных переменных, а верхняя черта для простоты опускается.
1.1.2. Граничные и начальпые условия На границе расчетной области, совпадающей с твердой поверхностью, ставились граничные условия: условия прилипания и-0, у=0, мН); условие адиабатичности (дТ^'дп=0) или изотермичпости (Т=Т^=сот^ обтекаемой поверхности, либо какое-либо условие теплового баланса.
На внешней, по отношению к поверхности тела, границе задавались условия излучения, соответствующие расходящейся волне. Эти граничные условия, записанные в инвариантах Римана, имеют вид
При этом в каждой точке границы расчетной области при т=7тах анализировались
знаки собственных чисел
« <777 Щ дЧ\ 1 , дг} <9г} 1
/ц=(ы —+ у —+ и>—) — а, Л.2=(« —+ у~ + уу—) —,
Л.з=Я,2, ?ч=Х-2, А.5= (м ~ + V ~ + и' ~) — + я,
<яс 0' <3? Д
определяющих направление распространения возмущений относительно р=сопз1. При Я.1<0 (“входная граница”) соответствующий инвариант на входной границе вычислялся по значениям газодинамических переменных набегающего потока, при Х}>0 использовалась линейная экстраполяция а] по значениям газодинамических переменных, соответствующих внутренним точкам расчетной области.
В качестве начального приближения можно использовать условие однородного набегающего потока с последующим развитием поля течения в процессе решения нестационарной задачи. При этом по мере формирования картины поля течения шаг по времени постепенно увеличивался, что в итоге делало возможным решение стационарной задачи. Очень эффективным оказался метод расчета, при котором задача на первом этапе решалась описанным выше способом на достаточно грубой сетке (21x21x21), а затем это поле использовалось (после применения интерполяции) в качестве начального приближения для более мелкой сетки.
26
При проведении систематических расчетов но числам Маха и Рейнольдса в качестве начального приближения использовались ранее полученные варианты с наиболее близкими к необходимым значениями изменяющихся параметров.
1.2. Осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса
Осрсдненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса являются незамкнутыми, и для их замыкания используются различные модели турбулентности, как алгебраические, так и дифференциальные [Гиневский A.C., Иоселевич В.А., Колесников A.B. и др., 1978].
В алгебраических моделях недоедающие параметры определяются из алгебраических соотношений, как, например, в часто используемых двухслойных моделях Себе-си-Смита и Балдвина-Ломакса [Chang С.-С., Lei S.-Y., 1996]. Они просты, не требуют дополнительных дифференциальных уравнений и не приводят к неустойчивости чис-ленной процедуры при моделировании. Одним из основных недостатков алгебраических моделей является независимость характеристик турбулентности от предыстории течения.
Дифференциальные модели турбулентности, в которых для определения недостающих параметров используются дополнительные дифференциальные уравнения, лишены злого недостатка. Например, двухлараметрические модели турбулентности: к-€ модель, q-(o модель турбулентности [Marvin J.G., Coakley T.J., 1990]. Здесь к - кинетическая энергия турбулентных пульсаций, £ - скорость диссипации энергии турбулентных пу льсаций, q= \к и со-е/к. Модель турбулентности q-со разрабатывалась для сверхзвуковых течений сжимаемого газа. В частности в [Marvin J.G., Coakley T.J., 1990] приведены результаты тестирования этой модели на различных задачах в широ-
ком диапазоне определяющих параметров: Ке»=5-105+2-108, М^РЗ-ИО. С этой целью в ней использовано осреднение по Фавру (плотностное осреднение), суть которого состоит в представлении компонентов вектора скорости (также как и энтальпии) в виде
—— _ , /+г
и, =Ц+ и', % = /7(г,0 = — \р(г,
р 17 <-т
Осреднение по Фавру, а также некоторые другие отличительные особенности со модели турбулентности позволили значительно повысить устойчивость численного решения задачи в широком диапазоне чисел Рейнольдса.
Для численного анализа осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса с двухпараметрической #-со дифференциальной моделью турбулентности в произвольной криволинейной сисгеме координат где Х=х(|,Т1,0,У=у(4>т1»0? 2=^(^г\А) ~
декартовы координаты, записываются в дивер1снгной форме
— + — + — + — = в (1.2)
а ап я;
Здесь О - вектор консервативных зависимых переменных задачи, Е, О, Е - векторы потоков в криволинейной системе координат, 8 - вектор источника. Векторы О, Е, в, Г, Б связаны с соответствующими векторами (2С, Ес, Сс, Ес, 8С в декартовой системе координат по формулам
28
Декартовы компоненты векторов Ес, Сс, Гс, 8С для трехмерных осредненных по Рейнольдсу (с использованием осреднения по Фавру) уравнений Навье-Стокса имеют вид
ри
2 2 2 ри-+р + -(Щ +гхх|
риу + тху /*™+тх2
риІІ + |рм^2+/х
<2с=
р 0
ри 0
р\’ 0
/Ж 0 і
РІе + Ц2) , 8С— 0 , Ес=
РЯ Нлрщ
рсо I 1г2рсо2
рид +1*
риса + К
Сс=
РV
рш> + тху
9 Р»2 + Р + -РЯ2 +Туу
рун.’ + гуг 5 , Ке-
pvH + -pvq + /у
р^я+Ц
русо + /®
72
р\У
/ми + т^ рт’ + туг
о 2 2
ж>-+р + -рд
р*н + ^ руд2 +1г Р"’Я +1)
р\\’6) +
где т - симметричный тензор вязких напряжений, связанный с тензором скоростей деформаций линейной зависимостью
т=-(р+рт>,
а вектор теплового потока I вычисляегся но формуле
I = - (Х+Хт)^аа(Г) + тУ, ц и X - коэффициенты молекулярной вязкости и теплопроводности, Цт и Хт - коэффициенты турбулентной вязкости и теплопроводности, векторы самодиффузии I4 и Iе0
определяются соотношениями
29
14 = ~(М + ^gradC?), Г = ~(/i + ~)grad((»).
Pr, Pr2
Основные расчетные исследования проведены для модели совершенного газа.
В настоящей работе использована двухпараметрическая дифференциальная q-со модель турбулентности [Marvin J.G., Coakley T.J., 1990] с выражениями для турбулентной вязкости
Аг=С„/ —. / = 1-ехр(-«СМ)> а=0.02, 0,1=0.09,
• СО ц
h -Г (Г f S 2divV4 г и -г (С S г divV\ г
п\ 2 Л / Ь12» 2 2 23 /— 22>
6У 3 бУ СО (О
б^б б^> б^Г 2 2 2
^ = — ■**, + Х5» + + 4 + sv + V > С21=0.055+0.5Д9,г„,р,|1),
^ б^ OZ
где Cn=Ci2=0.5, С22Ю.8ЗЗ, С2з=2.4, Pri=2, Рг2=2, г* - расстояние от стенки.
Зависимость молекулярного коэффициента вязкости от температуры определялась по формуле /j/^ar(T/Tcf>, 0.5<со<1, а значения молекулярного и турбулентного чисел Прандтля принимались постоянными: Pr=pcp/A,=0.7, Рг-г=ртср/^т-0.9.
На границе расчетной области, совпадающей с твердой поверхностью, ставились граничные условия: условия прилипания ы=0, v=0, и,=0; условие адиабатичности (dTJdп=0) или изотермичности (7=7'w=const) обтекаемой поверхности; условия зату-ханис пульсаций (gw=0) и частотной непроницаемости (дсо*/Зп=0) на обтекаемой поверхности.
Па внешней, по отношению к поверхности тела, границе задавались условия излучения, соответствующие расходящейся волне. Эти граничные условия, записанные в инвариантах Римана, имеют вид
При этом в каждой точке границы расчетной области анализировались знаки собственных чисел
хг(3+3+3)±-в, х*-(3+3+3)1,
& ^ Д А Д
^3=^2> ^4=^2» ^5=(М~ + + + Я, Хб=А, 2, ^7=>.2,
<ЯС ££ Д
определяющих направление распространения возмущений относительно т|=соп51. При
^<0 (“входная граница'’) соответствующий инвариант на входной 1ранице вычислял-
*
ся по значениям газодинамических переменных набегающего потока, при ?ч>0 использовалась линейная экстраполяция <*| по значениям газодинамических переменных, соответствующих внутренним точкам расчетной области.
В случае, когда граница расчетной области совпадает с осыо симметрии, на ней ставятся условия четности и/или нечетности зависимых переменных задачи.
1.3. Моделирование течений реального газа При гиперзвуковых скоростях полета максимальные температуры воздуха в поле возмущенного течения достигают столь больших значений, что в полной мере проявляются эффекты реального газа, которые влияют как на локальные, так и на суммарные характеристики обтекаемого тела.
31
Для оценки влияния эффектов реального газа и каталитических свойств обтекаемой поверхности на аэродинамические характеристики тел различной геометрии используются различные математические модели движущейся неравновесной среды, которые отличаются составом газовой смсси и учитываемыми термохимическими процессами.
Постановка задачи численного моделирования неравновесного гиперзвукового течения вязкого газа описана в [Егоров И.В., Никольский B.C., 1997; Алферов В.И., Егоров И.В., 1998]. В рассматриваемой модели среды учитывались реакции диссоциации, обмена и ассоциативной ионизации; при этом значения скоростей химических реакций определялись согласно [KangS. W., Jones W.L., Dunn M.G., 1973].
Воздействие неравновесного возбуждения колебательных степеней свободы молекул на скорости реакций диссоциации учитывались через двухтемпературную зависимость константы равновесия. Для констант равновесия редакций диссоциации эта зависимость определялась на основе модели эффективного колебательного уровня, отстоящего от предела диссоциации на величину ßT (ß- модель диссоциации [Losev S.A., Makarov V.N., Pogosbekyan M.Ju, et al., 1994]). Для реакций обмена и ионизации использовалась однотемперату рная зависимость константы равновесия. Моделирование взаимодействия между' колебательными и поступательными степенями свободы осуществлялось на основе выражения Ландау-Тейлора. Учитывался также обмен энергией между колебательными степенями свободы молекул, а также изменение колебательной энергии за счет химических реакций.
При определении вязкости и теплопроводности смеси газов использованы полу-эмпирические формулы Wilke S., 1950 и Mason Е.А., Saxena S.C., 1958. Для вывода
- Київ+380960830922