Теория и задачи предельных напряженных состояний неоднородных анизотропных тел

Содержание
Общая характеристика работы......................................5
Глава I. Прочность и пластичность неоднородных и анизотропных тел.............................................................10
1.1. Анизотропия и неоднородность материалов. Обзор существующих теорий предельных напряженных состояний для анизотропных и неоднородных материалов.........................................10
1.2. Анизотропия и неоднородность грунтов, горных пород и других тел.............................................................23
1.3. Основные выводы, цели и задачи исследования................31
Глава 2. Задачи плоского предельного равновесия анизотропнонеоднородной сыпучей среды......................................33
2.1. Условие предельного равновесия сыпучей среды, характеристики прочности которой являются функциями направления и координат.............................................................33
2.2. Разрешающие уравнения предельного равновесия неоднородно анизотропной сыпучей среды......................................35
2.3. Предельное равновесие неоднородно анизотропных оснований сооружений......................................................39
2.4. Несущая способность оснований при действии наклонной нагрузки..........................................................63
2.5. Предельное напряженное состояние анизотропной сыпучей среды, угол внутреннего трения которой является функцией координат.............................................................74
2
Глава 3. Теория предельных напряженных состояний однородно анизотропных массивов.............................................81
3.1. Условие предельного равновесия однородно анизотропной сыпучей среды с постоянным углом внутреннего трения................81
3.2. Уравнения плоского предельного равновесия однородно анизотропной сыпучей среды с постоянным углом внутреннего трения............................................................85
3.3. Расчет несущей способности однородно анизотропных оснований сооружений.....................................................92
3.4. Предельное равновесие анизотропного несимметричного сыпучего клина, нагруженного двухсторонним давлением................107
Глава 4. Задачи прочности и пластичности неоднородных анизотропных сред......................................................116
4.1. Плоская деформация идеально пластического анизотропнонеоднородного тела............................................116
4.2. Задача о действии равномерно распределенной нагрузки на идеально пластическую анизотропно-неоднородную среду.............120
4.3. Задача о предельном напряженном состоянии идеально пластического анизотропно-неоднородного массива.....................124
4.4. Критерий прочности однородно анизотропных конструкционных
материалов....................................................129
Глава 5. Осесимметричная задача теории предельного равновесия анизотропной сыпучей среды....................................145
5.1. Разрешающие уравнения предельного равновесия.............145
5.2. Решение уравнений предельного равновесия.................152
з
5.3. Предельное давление круглого фундамента на анизотропное основание........................................................156
5.4. Предельное давление настенки цилиндрической выемки 164
5.5. Определение пассивного и активного давления на ограждение цилиндрической выемки..........................................165
5.6. Уравнения предельного равновесия при уточненном законе изменения с - с{ц/)................................................168
Глава 6. Устойчивость массивов и незакрепленных подземных сооружений...................................................... 171
6.1. Устойчивость откосов......................................171
6.2. Устойчивость сводов и определение горного давления на подземное сооружение.................................................180
6.3. Устойчивость стенки незакрепленных скважин с учетом неоднородности горных пород..........................................188
Основные выводы...............................................201
Литература.....................................................203
4
Общая характеристика работы.
Актуальность работы.
Вновь созданные конструкционные материалы, детали машин и приборов, изготовленные путем штамповки, прессования, которые подвергаются термообработке, закалке, нейтронному облучению, грунты и горные породы в естественном нетронутом состоянии, а также структурно измененные человеческой деятельностью (консолидация) обладают свойством анизотропии и неоднородности прочностных, пластических и других механических характеристик.
Теория предельных напряженных состояний неоднородных анизотропных тел в настоящее время разработана для решения простейших задач. Отсутствует строго выстроенная теория пластичности или теория предельного равновесия, которые разработаны в работах В.В. Соколовского для изотропной пластической и сыпучей сред. Причиной тому, очевидно, является сложность одновременного учета анизотропии и неоднородности механических характеристик вследствие почти полного отсутствия экспериментально подтвержденных теорий предельных напряженных состояний.
Очевидным является тот факт, что разработка теории предельных напряженных состояний, пригодной для вышеперечисленных материалов, твердых деформированных тел и массивов является важной и актуальной работ ой.
Однако, разработать единую феноменологическую теорию, (прочности, условий пластичности) охватывающую все неоднородные анизотропные тела практически невозможно, гак как единой теории не существует даже дтя изотропного тела.
В диссерт ации предложена т еория предельных напряженных состояний для некоторых видов таких тел. Предтоженная теория справедлива для неоднородной анизотропной идеально пластической, неоднородной анизотропной сыпучей среды и для слоистых конструкционных материалов.
Цедыо работы является:
- разработать теорию предельных напряженных состояний (в виде критерия прочности, условия текучести и условия предельного равновесия) для ма-
5
териалов и твердых деформируемых тел, механические характеристики которых обладают свойством неоднородности и анизотропии.
- решение важных с теоретической и практической точки зрения задач т еории пластичности и теории предельного равновесия, которые имеют приложение в различных областях механики твердых деформируемых тел.
Научная новизна работы.
Разработаны критерий прочности, условие текучести и условие предельного равновесия для неоднородных анизотропных идеально пластических, сыпучих тел и конструкционных материалов на основе обобщения закономерности Кулона- Мора.
Впервые удалось получить условие предельного равновесия для связных сыпучих сред, угол внутреннего трения и сцепление которых, являются функциями направления и координат одновременно. Разработан метод вычисления предельной нагрузки в безразмерных величинах.
Впервые доказано, что критерий прочности Г.Л. Гениева для сред работающих на отрыв может быть применен для анизотропных металлов и слоистых пластиков, а разработанный в диссертации критерий может быть применен в областях смешанных напряжений.
Показано, что предложенный критерий учитывает изменение касательных напряжений, т.е. выполняется главное требование, предъявляемое к критериями прочности для расширенного класса анизотропных материалов.
На основе разработанных критериев (условий) решены различные прикладные задачи, в частности задачи теории неоднородных анизотропных сыпучих тел, теории идеальной пластичности и задачи устойчивости незакрепленных горных массивов.
Практическая значимость работы.
Полученные в диссертации результаты могут быть применены для: расчета неоднородных анизотропных оснований сооружений;
определения устойчивости откосов и склонов, сложенных из слоистых горных пород;
расчета на прочность конструкций из композиционных материалов; расчета осесимметрично загруженных массивов (в частности толстостенных труб), материал которых обладает свойством неоднородности и анизотропии -предела текучести.
определения несущей способности слоистых оснований, деформируемых в пространстве осесимметрично.
определения горного давления на подземное сооружение, строящееся в неоднородных анизотропных горных породах, определения устойчивости стенок незакрепленных скважин.
Апробация работы. Основные положения работы были доложены и обсуждены на:
1. научно-практической конференции «Проблемы разработки нефтяных месторождений и подготовки специалистов в вузе», Альметьевск 1996 г.;
2. научно-техническом семинаре; «Вопросы инженерно-геологических, инженерно-экологических и инженерно-геодезических изысканий в Уральском регионе», Екатеринбург, 1999 г.;
3. всероссийской научно-технической конференции «Большая нефть: реаши, проблемы, перспективы», Альметьевск, 2001 г.;
4. межотраслевом семинаре «прочность и надежность нефтегазового оборудования», Москва, 2001 г.;
5. межвузовском семинаре по механике под руководством член.-кор. АН РТ В.Н. Паймушина. КАИ -КГТУ, Казань, 2002 г.;
6. научном семинаре под руководством академика АН РТ И.Г. Терегуло-ва, КГ АСА, Казань, март, 2002 г.
Диссертация состоит из шести глав.
Первая глава посвящена аналитическому обзору работ в области пластической анизотропии и неоднородности. Также рассматриваются работы по-
священные анизотропии и неоднородности сыпучей среды, моделирующие
7
грунты и горные породы. В конце главы излагаются основные выводы следуемые из обзора и назначаются цели и задачи исследования.
Во второй главе разработана теория предельных напряженных состояний анизотропной неоднородной среды. Предложенная теория справедлива для однородно-анизотропной, неоднородно-изотропной и однородно-изотропной среды. Закономерности изменения прочностных характеристик среды учитывают непрерывное изменение последних как от направления гак и от координат.
Рассматриваются классические задачи статики сыпучей среды, в частности решена задача но определению несущей способности неоднородно-анизотропных оснований сооружений при действии вертикальных и наклонно направленных давлений.
В третьей главе рассматривается однородная сыпучая среда, угол внутреннего трения которой постоянный, а сцепление изменяется в зависимости от направления. Такая модель приводит к более простым разрешающим уравнениям и может быть применена для тех тел, анизотропия которых, в сравнении со степенью неоднородности, является преобладающей.
Решены классические задачи о сыпучем клине, о несущей способности оснований сооружений.
В четвертой главе исследуются задачи теории предельного напряженного состояния анизотропно-неоднородных пластических тел и задачи теории прочности однородных консгрукционных материалов типа стеклопластиков. Рассматриваются задачи о действии распределенной нагрузки на идеальнопластическую среду (аналог задачи Прандтля), плоская осесимметрическая задача о неограниченном массиве и о трубе.
Пятая глава посвящена осесимметричным задачам предельного равновесия анизотропно-однородной сыпучей среды. Обобщается ряд задач В.Г. Бере-занцева [11] для принятой модели сыпучей среды.
В шестой главе рассматриваются вопросы устойчивости массивов и вопросы по определению горного давления на подземное сооружение для случая
8
более сложной структуры окружающей сооружение горных пород. В частности учет арочного эффекта позволяет известное решение В.В. Соколовского обобщить для определения горного давления в зависимости от глубины заложения сооружения.
Работа выполнена в Альметьевском нефтяном институте в 1980-20021’.
я
Глава 1
Прочность и пластичность неоднородных и анизотропных тел.
1.1 Состояние вопроса. Существующие критерии прочности и условия пластичности неоднородной и анизотропной среды.
В естественном виде почти все материалы и массивные тела обладают неоднородными и анизотропными свойствами прочностных показателей.
В отношении пластических свойств материалы всегда являются в какой-то мере неоднородными, вызванными различными причинами. В частности зависимостью предела текучести от температурного поля, переменным упрочнением пластического деформирования, влиянием нейронного облучения деталей и т.д.
Первоначально анизотропный материал после приобретения неоднородности становится неоднородно-анизотропным. В машиностроении, например, часто применяется обработка поверхности готовых деталей, которые при изготовлении приобретают деформационную анизотропию. Такая обработка приводи!' к неоднородности по глубине, а анизотропный материал детали становится анизотропно-неоднородным.
Металлические листовые элементы, заготовки и изделия из разных конструкционных материалов во многих случаях обладают слабо выраженной анизотропией. Синтетические композиционные материалы, состоящие из некоторого монолитного связующего и высокопрочных армирующих волокон, стенок и прослоек, стеклопластики, древесина и другие материалы, наоборот, обладают ярко выраженной анизотропией механических характеристик.
Для слабо анизотропных пластических материалов условие предельного
напряженного состояния (условие начала текучести) выводится, обычно, как
обобщение классических условий Генки - Губера - Мизеса или же условия
Треска - Сен - Венана. Такой подход считается наиболее приемлемым, гак как
слабо анизотропные материалы могут быть рассмотрены как переходящие из
!0
изотропного состояния в чуть-чуть анизотропное, поскольку характер деформирования и изотропных и слабо анизотропных пластических материалов идентичен.
Задача об анизотропной пластической среде впервые поставлена Р. Ми-зесом 176], а первые работы пластически неоднородных материалов появились в тридцатые годы, автором которых является В. Ольшак [42].
Условие пластичности Мизеса [76] было сформулировано им как условие постоянства некоторой квадратичной формы напряжений, содержащее в общем виде 15 констант.
Частный случай анизотропии, содержащий 6 констант и выраженные через пределы текучести при растяжении в направлениях главных осей изучен Р. Хиллом [58].
Известно, что кусочно-линейные условия предельных напряженных состояний (условия текучести) зачастую приводят к более простым краевым задачам. Однако сложность расширения таких условий на случай анизотропных материалов привела к тому, что разработанные в настоящее время кусочнолинейные условия редко применяются и потому более предпочтительными являются квадратичные условия типа Мизеса-Хилла, на основе которых решены многочисленные задачи теории пластичности и технологические задачи машиностроения [37,38,39,40,51,52,53,54.55.58].
Среди кусочно-линейных условий обобщенное условие Треска - Сен -Венана предложено Ху - Мерином [68] в виде простых инженерных критериев. Применительно к плоскому напряженному состоянию предельные линии в системе координат <J\<J2 записываются в виде шести уравнений.
В работах [29,30] Д.Д. Ивлевым предложено кусочно-линейное условие пластичности для материалов с различными пределами текучести Fia растяжение и сжатие.
Для плоского напряженного состояния в координатной системе главных напряжений условие представляет собой неправильный шестиугольник.
II
В работах [46,47] это условие применено для расчета анизотропных оболочек В.И. Себекиной.
В условиях плоской деформации условие пластичности Д.Д. Ивлева имеет вид:
ст] - <72 = 2к(а), или же в компонентах напряжения на произвольной площадке
(ах-ау)2+ 4т2ху=4к\а), (1.1)
где а - угол между ст{ и осыо х . Оси х и у ориентированы но главным направлениям анизотропии.
Условие (1.1) вводится на предположении, что если образец анизотропного материала испытывать на чистый сдвиг в условиях плоской деформации, то для каждого изменения направления главных нормальных напряжений относительно главного направления анизотропии (рис. 1.1) величина предельного напряжения изменится.
Физический смысл условия (1.1) сформулирован Г.И. Быковцевым [12]: "Для любого анизотропного идеально пластического тела существует некоторая замкнутая линия предельного касательного напряжения, такая, что как только четырехлистник касательных напряжений касается этой линии в геле происходит сдвиг”.
Проведя ряд испытаний можно построить диаграмму изменения гтах от
к(а). Максимальное значение предельного напряжения получи гея, если образец испытать по схеме рис. к/, а минимальное - по схеме рис. 16.
При других значениях угла а величина предельного напряжения <т"/)ед
будет находиться между сг'пред и &”пред , (рис. 1 в).
Применение условия (1.1) ограничивается тем, что вид к(а) устанавливается из экспериментов на чистый сдвиг в условиях плоской деформации, методика проведения которых недостаточно разработана в сравнении с экспериментами в условиях плоского напряженного состояния.
12
рис. І. і
Обобщенное условие Треска - Сен - Венана или Губера - Мизеса в ортогональной криволинейной системе координат Б2 для неоднородных идеально пластических материалов предложено В. Олынаком [42] в виде
где к($ ,5 ) - предел текучести материала при чистом сдвиге, зависящий от ко-
ординат точки отбора образца материала.
В частном случае, в декартовой системе координат условие (2) было применено А.И. Кузнецовым [33], в дальнейшем Б.А. Друяновым [271 для решения задач теории пластичности в условиях плоской деформации. Условие записываюсь в обычной координатной системе х,у в следующем виде
Условие Мизеса-Хилла, а также другие упомянутые условия не учитывают влияние шарового тензора напряжений, материал считается несжимаемым, а также не упрочняющимся. Такими материалами являются изотропные металлы, которые, деформируясь пластически, приобрели свойства ортогональной анизотропии.
В последше годы возрос интерес к механике композиционных материалов, которые искусственно создаются анизотропными и неоднородными. Некоторые механические свойства таких материалов имеют подобие свойств древесины. Влияние первого инварианта тензора напряжений было экспериментально доказано С.Б.Айбиндером [1] при испытании деревянных шаров.
Возможность использования условия пластичности Мизеса-Хилла для древесины и слоистых пластиков исследовалась Е.К.Ашкенази [7], которая установила, что для материалов с “сильной” анизотропией условие Мизеса-Хилла приводит к противоречию с экспериментальными данными.
Ориентированные стеклопластики в общем случае являются неоднородными анизотропными материалами, ортогропными или трансверсально-изотропными.
(1.2)
1 2
(<т, -<7уУ + 4тху = 4к2{х,у).
(1.3)
14
Лишь при загружении вдоль осей анизотропии их можно рассматривать как однородно анизотропные.
Особенности прочностных характеристик стеклопластиков рассматривались в работах И.И.Гольденблата и В.А.Копнова [23,24,25], которыми предложен обобщенный критерий кратковременной прочности для анизотропных материалов зила стеклопластиков.
При выводе критерия ими учтены такие особенности анизотропных материалов как различие показателей (пределов) прочности на растяжение и сжатие по различным направлениям, зависимость сопротивления сдвигу от знака касательных напряжений, а также различие сопротивления на растяжение и сжатие в одном и том же направлении, что связано с разным механизмом разрушения.
В самом общем виде критерий Гольденблата-Копнова включает в себя все тензоры напряжений, а также их сочетания
(хп,^)2 + (хп
рцтп ®рц ^тп ^гМ/тп ^гб^11 ^тп ) "Ь 0*4)
где /,к,р,с/...= 1,2, П^,П^тп... - компоненты тензоров прочности раз-
личных рангов, не зависящих от поля напряжений, о1к, О ... - компоненты
тензора напряжений.
Для плоской задачи условие прочности (1.4) имеет вид
1П,.^ + /£П
рутп^рд^тп ~ ^ * 0-5)
Для случая, когда оси главных напряжений совпадают с осями упругой симметрии (1.5) записывается следующим образом
а](7] + а2сг2 + \а\о] + а\о\ 4- (а\ +а\- а\)сг]<т2 ]2 = 1, (1.6)
где
а, =
1
1
уКрх
с /
;а2 =
1
1
1
^РУ
=
1
1 1
+
я
V Рх
а4=-
Г \
1 1
1-------------------
К^ру
Я
5 = -
\ 1
—I— у-
V 45 45 У
15
т;5 ,/45 - предел прочности при чистом сдвиге в главных направлениях анизотропии.
Области применимости критерия ограничены следующим условием совместности а{=а2+а5.
В соответствии с критерием Гольденблата-Копнова предел прочности анизотропных материалов на растяжение под углом 45° не ниже чем предел прочности под большим углом.
Однако при изучении анизотропии прочности на плоских образцах, вырезанных под различными углами к основным направлениям анизотропии обнаруживается резкое падение прочности материалов в направлениях, составляющих угол 45° к главным направлениям анизотропии [8,9].
При такой методике изучения прочности стеклопластиков, а также фанеры [8], наименьшее значение предела прочности имеет место при а = 45°.
По мнению И.И. Гольденблата и В.А. Коннова [9] при плоском изготовлении образцов несущие волокна перерезываются, и тем самым наполнитель стеклопластик выключается из работы, что приводит к уменьшению прочностных показателей материала. Поэтому для изучения механических свойств анизотропного материала необходимо испытывать на растяжение, сжатие, кручение элементы конструкций, например гонкостенной трубы, представляющей собой цилиндрическую оболочку, изготовляя их методом намотки под разными углами к оси.
Используя гипотезу Бужинского о функциональной зависимости интенсивности напряжений от шарового тензора в виде
<7, = Л + В<т0 +С(Т^9
К.В. Захаров предложил критерий прочности для анизотропных материалов [28]. Применительно плоскому напряженному состоянию критерий записывается в виде
л л л
С7~ + Ж{<ТХ 4- Ж2<Тх<7у 4- Ж3ах 4- Ж4<Ту 4- Ж54- Ж6 =0 (1.7)
это условие не учитывает изменение знака касательных напряжений. ^
Большинство работ по разработке критериев прочности являются обобщениями энергетических критериев для изотропных материалов и включают первый инвариант тензора и второй инвариант девиатора напряжений.
У чет влияния третьего инварианта тензора напряжений может привести к определению области прочного сопротивления материалов с более сложной структурой. Часто сложная форма поверхности прочности при этом ограничивает их практическое применение. Однако это бывает не всегда так.
Влияние более высокого ранга тензора напряжений, например третьего инварианта девиатора напряжений было исследовано Г.А. Гениевым и В.Н. Киссюком [19], которые предложили условие прочности бетона. Было доказано, что введение трегьего инварианта обеспечивает лучшую сходимость экспериментальных и теоретических данных, не усложняет решение задач теории пластичности бетона, несмотря на относительно более громоздкую форму записи условия.
Учитывая особенность ориентированных стеклопластиков, Е.А. Ашкенази предложила полиномиальную модель чегвертой степени для условия равноопасных напряженных состояний в тензорной записи [8]
аЩтаЫ
КА
= 0.
(1.8)
Для случая плоского напряженного состояния в плоскости ху уравнение
(1.8) принимает следующий вид
< Уу +(та
— н н------------+ СГгО\,
п п т * У
кх Ку /0
1 1
1
V ^45 Кх
Ку Т0
А
= а2х+ог1у+(тхсгу+т2ху,
(1.9)
где Т0 - предел прочности при чистом сдвиге по площадкам симметрии материала, Я45 - предел прочности в диагональном направлении.
Критерий (1.9) одновременно применим и для «слабо» и для «сильно» анизотропных материалов.
17
В работах [16,17] Г.А.Гениевым предложена теория предельных напряженных состояний, применительно к сильно анизотропным материалам. Исходя из экспериментально обоснованной гипотезы о том, что разрушение одного и того же материала в зависимости от вида напряженного состояния может происходить как путем отрыва или смятия, так и путем сдвига, условие наступления предельного состояния согласно этой теории записывается отдельно для каждого случая. Например, в условиях двухосного напряженного состояния, приводящих к отрыву или смятию материала условие [17] имеет вид:
где сг = 0,5(сг1 +<т2), я(<р)- предельное нормальное напряжение растяжения (сжатия), которое приводит среду к отрыву (смятию) по площадке, нормаль к которой составляет угол (р с первым главным направлением анизотропии.
В случаях двухосного напряженного состояния, приводящих сдвигу материала по некоторой площадке, условие [16] имеет вид:
где с(ц/) - предельное касательное напряжение на площадке скольжения, нормаль к которой образует угол у с первым главным направлением анизотропии.
Отличительная особенность теории Г.А Г ениева состоит в том, что в её основе лежат классические гипотезы прочности. Это удалось осуществить благодаря введению в рассмотрение опасной площадки (отрыва, смятия или сдвига). Заранее зная свойства материала по любому направлению, выдвигаются гипотезы, на основе которых выводятся условия (1.10) и (1.11).
Например, условие (1.10) выводится на основании следующей гипотезы: “Если действующее на некоторой площадке нормальное напряжение равняется сопротивлению среды отрыву (смятию) по тому же направлению, то среда отрывается (сминается) по этой площадке. Или же ‘если действующее на некоторой площадке касательное напряжение равняется сопротивлению среды сдвигу по тому же направлению, то в срсдс происходит сдвиг по этой площадке''.
(ПО)
(1.11)
18