Динамика многофазных многокомпонентных жидкостей с элементами внешнего управления

2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 5
1. Динамика неизотермических многофазных многокомпонентных
сред 26
1.1. Тепловая конвекция в двухфазной среде, несущей мелкодисперсную примесь, в статическом и переменном силовом поле............................ 26
1.2. Динамика хемо-конвективных структур........................42
1.3. Динамика реагирующих многокомпонентных сред с зашумленной.
и запаздывающей обратной связью.............................. 51
1.4. Вопросы управления тепло и массопереносом.................. 59
2. Динамика конвективных течений в вертикальном слое жидкости, подогреваемом сбоку 67
2.1. Постановка задачи.......................................... 67
2.2. Определяющие уравнения и граничные условия................. 70*
2.3. Численный метод............................................ 72
2.4. Конечно-амплитудные режимы плоской конвекции............... 74
2.5. Конечно-амплитудные режимы трехмерной конвекции............ 81
2.6. Экспериментальное исследование: конвективная камера,
методика измерений и обработки данных........................ 88
2.7. Структура течений: численное моделирование
против эксперимента............................................94
2.8. Обсуждение результатов..................................... 102
3. Тепловая конвекция жидкости в присутствии
мелких твердых частиц 104
3.1. Модель многоскоростнон монодисперсной среды................ 104
3.2. Вывод обобщенных уравнений Буссинеека для мелкодисперсной двухфазной среды........................................... 113
3.3. Конвекция в запыленной среде, заполняющей плоский вертикальный слой.......................................... 118
3.4. Метод Галеркина для спектрально-амплитудной задачи......... 122
3.5. Влияние оседающей примеси на устойчивость течения.......... 124
3.6. Сравнение результатов с другими работами................... 130
3
4. Влияние вибраций на конвективную устойчивость течения, несущего мелкие твердые частицы 139
4.1. Вибрации конечной частоты..................................... 139
4.1.1. Обсуждение принципов построения модели................... 139
4.1.2. Вывод обобщенных уравнений Буссинеска.................... 144
4.1.3. Основное течение в плоском слое, подогреваемом сбоку:
точное решения уравнения Навьс-Стокса...................... 148
4.1.4. Спектрально-амплитудная задача........................... 153
4.1.5. Сходимость метод Галеркина для спектрально-амплитудной задачи...........................................................156
4.1.6. Влияние симметрии 0(2) на тип решений.................... 161
4.1.7. Параметрический резонанс................................. 167
4.1.8. Сравнение с экспериментальными данными................... 168
4.2: Влияние нестационарных сил на устойчивость пульсационного
течения...................................................*......174
4.2:1. Нестационарные силы сопротивления........................ 174
4.2.2. Вывод определяющих уравнений............................. 179
4.2.3. Спектрально-амплитудная задача.......................... 187
4.2.4. Влияние нестационарных сил на устойчивость течения 192
4.2.5. Сравнение с экспериментом................................ 194
4.3. Вибрации высокой частоты...................................... 196
4.3.1. Принципы построения асимптотической модели............... 196
4.3.2. Пульсациоиные компоненты величин......................... 199
4.3.3. Осредненные уравнения.................................... 202
5. Динамика хемо-конвективных движений- 206
5.1. Обзор экспериментальных данных................................ 206
5.2. Модель однослойной системы с фиксированным градиентом реагента на границе................................................ 213
5.2.1. Модельные уравнения...................................... 213
5.2.2. Основное состояние........................................216
5.2.3. Аналитическое решение для неустойчивости Мараигони 219
5.2.4. Гравитационные типы неустойчивости....................... 221
5.3. Модель двухслойной системы в приближении плоского
реактора Хеле-Шоу.............................................. 224
5.3.1. Вывод определяющих уравнений конвекции-реакции-диффузии в приближении ячейки Хеле-Шоу.......................... 224
5.3.2. Основные приближения двухслойной модели.................. 230
5.3.3. Динамика основного состояния: движение фронта реакции .... 237
4
5.3.4. Линейная теория устойчивости нестационарных процессов ... 246
5.3.5: Неустойчивость Марангони...................................252
5.3.6. Численный метод расчета надкритических движений........... 257
5.3.7. Нелинейная динамика: неустойчивость Марангони............. 263
5.3.8. Нелинейная динамика: гравитационные типы конвекции... 268
5.3.9. Обсуждение результатов.....................................275
5.4. Управление структурообразованием в плоском реакторе Хеле-Шоу 279
5.4.1. Механизм внешнего управления структурообразованием
в реакторе Хеле-Шоу........................................ 279
5.4.2. Сравнение с экспериментальными данными.................... 284
6. Стохастические колебания в многокомпонентных реагирующих средах
с запаздывающей обратной связью 286
6.1. Химические реакции с запаздыванием............................. 286
6.2. Стохастическое описание динамических систем.................... 289
6.3. Модификация метода Гиллеспи для химических реакций
с запаздыванием................................................. 292
6.4. Реакция деградации протеина с запаздыванием.................... 297
6.4.1. Детерминистское описание.................................. 297
6.4.2. Стохастическое описание.............................. 299
6.5. Модель с отрицательной обратной связью......................... 308
6.5.1. Детерминистское описание'................................. 308
6.5.2. Численный анализ стохастической системы................... 313
6.6. Обсуждение полученных результатов.............................. 316
7. Активное управление равновесием жидкости в термосифоне 317
7.1. Экспериментальное управление равновесием жидкости
в прямоугольном термосифоне..................................... 317
7.2. Модель одномерного течения в термосифоне....................... 322
7.2.1. Вывод модельных уравнений............................ 322
7.2.2. Линейный анализ устойчивости квазиравновссия жидкости ... 327
7.2.3. Нелинейная динамика в области неустойчивости.........•.... 331
7.2.4. Влияние шума на управление устойчивостью квазиравновесия..................................................336
7.2.5. Обсуждение................................................ 340
Заключение 342
Литература 350
5
ВВЕДЕНИЕ
Многофазные многокомпонентные среды широко представлены в различных природных процессах и областях человеческой деятельности. Можно уверено сказать, что с неоднофазными смесями приходится иметь дело гораздо чаще, чем с однофазными. Всё это делает задачу описания и изучения таких сред одной из актуальнейших и важнейших проблем механики вообще и механики сплошных сред в частности [1-3]. Несмотря на постоянно растущий поток публикаций на.эту тему, механика гетерогенных сред находится, без прсувели-чения, только в начале своего пути. Дело в том, что гетерогенные среды характеризует невероятное многообразие, взаимовлияние и сложность эффектов, возникающих благодаря неоднофазности. К таким эффектам можно отнести фазовые переходы, химические реакции, теплообмен, силовое взаимодействие между фазами, капиллярные эффекты, пульсационнос и хаотическое движение, деформация фаз, процессы,столкновений, дроблений, коагуляции частиц и т.д.
Основная проблема математического моделирования-многофазных смесей заключается в построении замкнутых уравнений движения смеси при заданных физико-химических свойствах каждой фазы, в отдельности и заданной исходной структуре смеси. Описание реальных гетерогенных смесей осложняется по двум причинам. Во-первых, осложняется описание процессов в отдельных фазах (таких, как сжимаемость, вязкость, теплопроводность и др.), имеющих место и в однофазных средах. Во-вторых, возникает проблема описания эффектов межфазного взаимодействия (таких, как фазовые переходы, химические реакции, капиллярные эффекты, обмен импульсом и энергией на межфаз-ной границе). Таким образом, число явлений, которые должны найти свое отражение в уравнениях многократно возрастает. Всё это приводит к следующему: не смотря на то, что общие принципы построения таких моделей сформулированы более 30 лет назад [1-3], теперь уже понятно, что надежды на полу-
6
ченис универсального уравнения движения для произвольной многофазной среды, как эго удалось сделать для однородной жидкости (уравнение Навье-Стокса), иллюзорны. Определенное сочетание фаз и их структуры, способов взаимодействия и взаимопревращений в каждой конкретной задаче требует усилий по получению модельных уравнений, специфических именно для этой системы. Более того, даже в рамках одной четко сформулированной задачи для различных диапазонов значений параметров приходится выводит!, разные системы определяющих уравнений [4, 15]. Оценивая разнообразие типов гетерогенных сред (суспензии, эмульсии, газовзвеси, пузырьковые среды), а также невероятное разнообразие явлений, которые мсиут в них происходить, можно сказать, что построение таких локальных моделей может занять несколько десятилетий. Данная работа в определенной степени восполняет этот пробел в части вывода модельных уравнений тепловой конвекции в двухфазной среде, состоящей из жидкости и мелких тяжелых частиц, в статическом и переменном поле тяжести [244-266,283].
Необходимо отметить, что исторически изучение свойств неоднородных гетерогенных сред было сконцентрировано в рамках нескольких мировых центров, каждый из которых имел свою специализацию. В рамках своей специализации каждый центр добился значительных успехов, но в силу определенной инертности, попытки выйти за пределы, очерченные для своей школы, были робкими и эпизодическими. Можно привести следующий пример, с которым автору пришлось столкнуться лично. В мире хорошо известна Брюссельская школа, успешно занимающаяся изучением нелинейной динамики процессов реакции-диффузии в многокомпонентных средах [5-6]. При всем многообразии явлений, возникающих при химических реакциях, исследователи из этой школы долгое время практически игнорировали изучение процессов протекания реакций в условиях тепло и массопсреноса. С другой стороны существует Пермская гидродинамическая школа, известная в мире своими исследованиями в области тепловой конвекции [7-8]. Не смотря на многообразие задач, рассмотрен-
7
ных в Перми, вопросы конвективной устойчивости многофазных, многокомпонентных сред рассматривались не часто и в весьма упрощенной постановке (бинарная смесь без реакции, реакция с фиксированной концентрацией реагента, искусственно навязанным законом Аррениуса и т.д.) [7-8]. При этом совершенно очевидно, что в случае, например, экзотермической реакции интенсивно выделяется тепло, которое приводит к возникновению свободной конвекции. Конвективное движение, в свою очередь, приводит к перемешиванию реагентов и интенсификации реакции. Таким образом, эти два феномена нелинейно взаимодействуют друг с другом в динамике. Такое взаимодействие может, очевидно, привести к совершенно новым перекрестным явлениям. Эти явления наблюдаются экспериментально [76-79], но большинство из них остаются необъ-ясненными, так как в полной постановке задачу о хемо-конвективных движениях не рассматривали ни в Брюсселе, ни в Перми.
Таким образом, актуальной задачей является организация междисциплинарных исследований, выходящих за пределы замкнутых специализаций, сформировавшихся на поле механики гетерогенных сред. Такие вопросы, как нелинейная динамика и структурообразование многофазных систем^ формирующиеся под воздействием синергетического взаимодействия фаз и компонент среды является новым направлением исследований. В этой же связи-значительный интерес, подпитываемый технологическими приложениями, вызывают вопросы о влиянии на процессы самоорганизации в гетерогенных системах всевозможных усложняющих факторов - таких, как периодическое изменение внешнего силового поля, химические превращения между фазами, запаздывающая сила трения между фазами, наличие поверхности раздела и т.д. Такого рода работы постепенно появляются в литературе, но общее их количество пока совершенно не достаточно. Представленная работа содержит результаты, полученные как раз на пересечении интересов нелинейной химии и теории конвективной устойчивости [268-269, 277,279].
8
Отдельный интерес представляют вопросы управления неравновесными процессами в неоднородных средах. Наличие различных по своей физической природе механизмов развития возмущений делает гетерогенные конвективные течения чувствительными к воздействию всякого рода внешних и внутренних факторов. Изучение механизмов и характеристик неустойчивости в разных ситуациях интересно не только с точки зрения фундаментальных представлений современной гидродинамики многофазных сред, но и в связи с практически важной задачей управления устойчивостью различных состояний, возникающих в этих средах.
Существует два основных способа управления: без обратной связи-и с обратной связью [9]. Первый способ можно назвать «подавлением» нежелательного пространственно-временного динамического режима. К этому способу можно отнести любое внешнее воздействие на систему, которое производит нужный эффект. Например, параметрическое воздействие на жидкость посредством вибраций может приводить к стабилизации конвективных движений или к их динамическому возбуждению (при определенном соотношении между амплитудой и частотой модуляции силового поля) [4,7-8]. Второй способ, «контролирование», - является более интеллектуальным. Обратная связь в теории управления - это процесс, приводящий к тому, что результат функционирования какой-либо системы влияет на параметры, от которых зависит функционирование этой системы [9].
Как правило, по типу воздействия на параметры системы обратную связь разделяют на отрицательную и положительную [10]. О грицатсльная обратная связь широко используется в замкнутых автоматических системах с целью повышения устойчивости, улучшения переходных процессов, понижения чувствительности и т.п. Положительная обратная связь усиливает выходное воздействие звена (или системы), приводит к повышению чувствительности и, как правило, к понижению устойчивости (часто к незатухающим и расходящимся колебаниям), ухудшению переходных процессов и динамических свойств и т.п.
9
Управление с обратной связью можно использовать во многих технологических приложениях: получение чистых композиционных материалов, выращивание кристаллов с заданной структурой, подавление шумов и вибраций, температурных пульсаций, ведущих к нарушению безопасного функционирования теплообменных систем и замедлению течения жидкости [9-10]. Актуальность автоматического регулирования и управления с обратной связью подтверждается тем, что данные системы все больше и больше используются в промышленных системах, системах мониторинга и контроля, системах автоматизации эксперимента и других областях науки и техники. Не смотря на популярность данной темы в физике, вопросам управления конвекцией в литературе было уделено недостаточное внимание. Данная работа содержит новые результаты по управлению конвективными течениями как первого типа (подавление), так и второго типа (контролирование) [245-246, 250-251, 253-256, 269, 273-279]. Кроме того, впервые рассмотрен вопрос о влиянии шума на эффективность такого управления [270-271].
Исследования, представленные в диссертационной работе, выполнялись при поддержке грантов INTAS (№93-2492, 1994-95 гг.), Правительства Российской Федерации (Приказ №1513 от 9.11.1995 г.), Международного научного фонда TSSEP (а96-2188, 1996 г.), французского министерства Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherché (1993-94 гг., 1995-96 гг.), Международного центра фундаментальной физике в Москве ICFFM (1995-96 гг.), Федеральной целевой программы «Интеграция» (№97-03, 1997-98 гг.), Североамериканского космического агентства NASA (Project ТМ-18, 1995-97 гг.), Российско-европейской сети по параллельным вычислениям (Project ITDC-203, 1995-97 гг.), Европейского космического Агентства ESA (Prodex 14556/00/NL/ Sfe(IC), 2001-02 гг.; Project АО-99-083, 2002-03 гг.), бельгийского министерства Office for Scientific, Technical and Cultural Affairs (2002-03 гг.), Североамериканским национальным институтом здоровья National Institute of Health (NIH R01 GM69811-01, 2004-06 гг.), Российского фонда фундаментальных исследований
10
(№96-01-00932, №97-01-00559, №00-01-00334, №06-08-00754-3, №07-01-96043-р_урал_а, №Ю7-01-97612-р_офи, 1995-2009 гг.).
* * *
Целью работы является построение замкнутых систем уравнений конвективного движения для нескольких типов многофазных многокомпонентных сред в условиях статического и переменного внешнего силового поля; изучение механизмов конвективной неустойчивости и сложных динамических режимов поведения, свойственных этим системам; поиск и исследование способов управления динамикой и структурообразованием как с обратной-связью, так и без нее; изучение влияния на эффективность управления шума и запаздывания в управляющей подсистеме.
В работе исследуются:
- нелинейные динамические режимы и пространственное структурообразо-вание в вертикальном слое жидкости, обогреваемом сбоку;
- конвективная устойчивость двухфазной мелкодисперсной среды под действием статического поля тяжести;
- параметрическая неустойчивость двухфазной мелкодисперсной средьг под действием вибраций конечной частоты;
- влияние сил нестационарного трения между фазами на устойчивость двухфазной мелкодисперсной среды в переменном силовом поле;
- конвективная устойчивость двухфазной мелкодисперсной среды под действием высокочастотных вибраций;
- конвективные и химические механизмы неустойчивости и их взаимодействие в двухслойной многокомпонентной системе с объемной экзотермической реакцией;
- возможности управления структурообразованием в двухслойной многокомпонентной среде;
11
- механизмы неустойчивости и их взаимодействие с шумом в многокомпонентных реагирующих средах с запаздывающей обратной связью;
- эффективность активного управления равновесием жидкости в термосифоне с запаздывающей зашумленной обратной связью.
Научная новизна работы заключается в том, в ней впервые:
- определена последовательность бифуркаций, исследованы нелинейные динамические режимы и описаны характерные пространственные конвективные структуры, возникающие в классической задаче о вертикальном слое однородной жидкости, обогреваемом сбоку;
- развита последовательная теория конвективной устойчивости двухфазной среды жидкость - мелкие тяжелые частицы в статическом поле тяжести, в рамках которой
• получена замкнутая система модельных уравнений в приближении Буссинсска;
• построена карта устойчивости основного течения в обогреваемом сбоку вертикальном слое двухфазной среды;
• дано объяснение резкой дестабилизации двухфазного течения в области средних значений числа Прандтля;
- развита последовательная теория конвективной устойчивости двухфазной среды жидкость - мелкие тяжелые частицы в переменном поле тяжести, в рамках которой
• получена замкнутая система модельных уравнений в приближении Буссинсска для случая вибраций конечной частоты и стационарного трения между фазами;
• дано объяснение наблюдавшейся в эксперименте новой конвективной моде; найдены области резонансного возбуждения вторичных течений в обогреваемом сбоку вертикальном слое, совершающем продольные горизонтальные вибрации конечной частоты;
12
• дано объяснение существование только синхронных движений, параметрически возбуждаемых в системе в случае отсутствия примеси;
• получена замкнутая система модельных уравнений в приближении Буссинеска для случая вибраций конечной частоты и сил нестационарного трения между фазами;
• выяснено влияние наследственной силы Бассэ на порог устойчивости основного течения в обогреваемом сбоку вертикальном слое, совершающем продольные горизонтальные вибрации конечной частоты; получено количественное согласие с экспериментом;
• обнаружен резонансный эффект стабилизации течения за счет подавления возмущений вокруг частиц запаздывающим действием силы Бассэ;
• получена замкнутая система осредненных уравнений движения для случая высокочастотных вибраций;
изучены механизмы необычного структурообразования в двухслойной многокомпонентной системе, в объеме которой проходит экзотермическая реакция нейтрализации:
• построена модель однослойной реагирующей смеси с фиксированным значением градиента реагента на верхней свободной границе, в рамках которой получено аналитическое решение для неустойчивости Марангони;
• получена система замкнутых уравнений для двухслойной системы в приближении плоского реактора Хеле-Шоу;
• выявлена принципиальная роль в структурообразованнн нелинейной динамики фронта реакции; обнаружено, что скорость перемещения фронта зависит от начальных концентраций реагентов;
• развита теория линейной устойчивости для нестационарных процессов, в рамках которой определены области неустойчивости плоского фронта реакции;
13
• обнаружено, что время жизни тепловой и концентрационной конвекции Марангони конечно и эти типы неустойчивости не участвуют в структурообразоваиии;
• дано объяснение экспериментально наблюдавшейся упорядоченной системе пальчиковых структур, динамически растущих от поверхности раздела вглубь нижнего слоя; выявлена принципиальная роль гравитационных механизмов неустойчивости в их формировании;
• численно исследована нелинейная динамика и структурообразова-нис, выяснена последовательность бифуркаций в системе;
- предложен способ управления структурообразованием внутри плоского реактора Хеле-Шоу посредством локального изменения теплопроводности стенок этого реактора; численно изучены различные стратегии управления хемо-конвективными режимами;
- построена последовательная теория стохастических колебаний в многокомпонентных реагирующих средах с запаздывающей обратной связью:
• предложены модели реакции с запаздыванием для динамики протеина в процессах генной транскрипции - трансляции, объясняющие циркадные колебания в клетках;
• предложена модификация численного метода Гиллеспи на случай запаздывающих реакций;
• в рамках стохастического описания получено аналитическое выражение для корреляционной функции; произведено сравнение с численным решением Гиллеспи и произведена верификация предложенного алгоритма;
• обнаружен фундаментальный эффект возбуждения сложных квази-регулярных колебаний при взаимодействии шума и запаздывающей обратной связи;
• предложен метод определения точки бифуркации Хопфа в зашумленной системе;
14
- рассмотрена задача об активном управлении равновесием жидкости в прямоугольном термосифоне:
• построена трехмодовая модель одномерного течения в термосифоне с учетом управления посредством малых изменений пространственной ориентации термосифона в поле тяжести;
• построена карта устойчивости механического квазиравновссия жидкости в зависимости от коэффициента управления и числа Релея;
• дано объяснение наблюдавшемуся в эксперименте возбуждению периодических колебаний в области управления;
• показано, что, если управляющая подсистема с запаздыванием реагирует на изменение ситуации^ системе, то она вступает в сложное нелинейное взаимодействие с управляемой конвективной системой;
• проведено стохастическое исследование влияния зашумленности сигнала на эффективность управления: показано, что при наличии запаздывания в системе возникают квазирегулярные колебания;
Научная и практическая значимость результатов состоит в том, что ряд полученных новых результатов носят общий характер и могут быть использованы в других областях естествознания. К ним можно отнести обнаружение и объяснение, эффекта возбуждения колебаний за счет взаимодействия шума и запаздывания обратной связи. Этот феномен, как оказалось, может объяснить такие разные явления как возбуждение нерегулярных паразитных колебаний при активном внешнем управлении тепловой конвекцией в термосифоне, так и существование циркадных колебаний в живых клетках. Полученные теоретические результаты в области моделирования многофазных, многокомпонентных систем углубляют понимание явлений в гетерогенных средах, расширяют представления о присутствующих в них механизмах неустойчивости и структурооб-разования. Некоторые результаты стали заметным вкладом в методологию исследований. Например, предложенная автором модификация классического метода Гиллеспи для изучения стохастических дискретных систем с запаздывани-
15
ем быстро приобрела популярность и . вошла в «джентльменский набор» методов исследования десятков людей по всему миру, о чем свидетельствует высокий индекс цитируемости соответствующей* работы. Часть задач, представленных в диссертации, прямо инициирована разработчиками технологических и физических экспериментов, проводимых как в условиях орбитального полета, так и в лабораторных условиях. К ним относится, например, вопросы хемо-конвективного структурообразования и управление им в реакторе Хеле-Шоу, управление равновесием жидкости в термосифоне. Результаты теоретического анализа и численных расчетов автора применялись при планировании и интерпретации, экспериментов, проводимых в Пермском-государственном университете^’'(Россия); Брюссельском свободном университете (Бельгия), Дрезденском' технологическом университете (Германия), Калифорнийском университете в Gan Диего (США), а также использованы рядом научных организаций, в частности, Российским и Европейским космическими агентствами, Североамериканским институтом здоровья. Индекс цитирования десяти принципиальных работ автора диссертации на момент июня'2010 г. имеет вид (по данным «Publish or. Perish»)::
ь PNAS 2005 [272]! * 92'
2: ... Physica D?1995 [243]* • • * ' . . • • ’• • . • • * •• ‘ 16;
У Europhys: Lett. 2005 [269]' * 9
3: Int. J: Heat and Fluid Flow 2003 [267]? 9/
4: Phys. Fluids 2004 [268]< 8-\
5/ : Adv. Space Res.. 1998 [259] ■ • . 6'- .’
6 Eur: Phys. J. AP 2000 [264]. 5
7 nMTO 2001 [265] 3
9 Proc. of SPIE 2005 [270] 2
10 XCTO 2008 [276] 2
16
Автор защищает:
. - результаты расчетов надкритических движений в плоском вертикальном слое однородной жидкости, обогреваемом сбоку;
- вывод замкнутой системы модельных уравнений двухфазной среды жидкость - мелкие тяжелые частицы для случая статического и переменного силового поля с учетом как вязкого трения между фазами, так и нестационарных сил трения;
- результаты расчетов порогов конвективной устойчивости двухфазной среды, заполняющей обогреваемый сбоку вертикальный слой;
;■ - результата, исследования нелинейной динамики и структурообразования; в-двухслойной^ многокомпонентной среде с экзотермическойреакцией;
- идею- управления структурообразованием внутри плоского реактора-. Хе-ле-Шоу посредством локального изменения теплопроводности стенок; .
- результаты исследования стохастических колебаний: в- многокомпонентных реагирующих средах с запаздывающей обратной связью;;:
- идею модификации метода Гиллеспи на случай запаздывающих реакций;:
- результаты исследования возможности активного управления равновесием, жидкости в прямоугольном термосифоне при. различных осложняю-
• щих.факторах;: ...V ' . ;.
Достоверность результатов диссертационной работы« обеспечивается сравнением теоретических предсказаний с экспериментальными данными, с точными решениями в предельных случаях, с известными теориями:в области их применимости и прямыми численными расчетами, а также обоснованностью физических представлений, положенных в* основание предлагаемых моделей, использованием апробированных методов исследований.
Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [242-283] и докладывались на Международной Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995-2001); С08РАК.-1996
17
(Birminham, 1996), Joint Xth European and Vith Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity (St.Peterburg, 1997), Third International Conference on Multiphase Flow (Lyon, 1998), V Международном семинаре по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (Новосибирск, 1998), УШ-ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" АРМ 2001 (St.Peterburg, 2001), March Meeting of American Physical Society (Los Angeles, 2005), SPIE conference «Noise in Complex Systems and Stochastic Dynamics» (Bellingham, 2005), 5th International Aerospace Congress (Moscow, 2006), 3-я Всероссийская научно-практической конференции ИММОД-2007 (С.-Петербург, 2007), Ш Всероссийская научная конференция ЭКОМОД-2008 «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий» (Киров, 2008). Результаты исследования были представлены на семинарах доктора К.Эккерт (TUD, Дрезден, 2003), проф. Г.Николиса (ULB, Брюссель, 2003), проф. Д. Хасти (UCSD, Сан Диего, 2005), проф. В.И. Полежаева (ИПМ, Москва, 1997), а также в Европейском Космическом Агентстве ESA (Нордвийк, 2003). Кроме того, результаты работ по теме диссертации регу лярно докладывались и обсуждались на Пермском городском гидродинамическом семинаре проф. Г.З.Гершуни:
• №802 (15.05.1992) «Динамические свойства конвекции в пористой среде»;
• №873 (09.12.1994) «Околокритичсская и надкритическая конвекция в пористой среде»;
• №908 (22.03.1996) «Конвекция в запыленной среде»;
• №923 (25.10.1996) «Нестационарные надкритические конвективные движения в вертикальном слое»;
• №931 (21.02.1997) «Динамические свойства конвекции в двухфазной среде»;
• №949 (10.10.1997) «Трехмерные конвективные движения в пористой среде, подогреваемой снизу»;
18
• №995 (26.03.1999) «Параметрическое возбуждение вторичного течения с присутствием твердой тяжелой примеси частиц»;
• №1034 (26.05.2000) «Нестационарные силы в запыленной среде»;
• №1095 (20.12.2002) «О неустойчивости Марангони в двухслойной системе с экзотермической реакцией на поверхности раздела»;
• №1259 (14.05.2010) «Динамика многофазных многокомпонентных сред».
Личным вклад автора. Работы [254, 279, 283] выполнены без соавторов; работа [282] выполнена совместно со студентом под руководством автора; в работах [247, 249, 252, 257-258, 260-262, 267, 273-274, 276, 278] , выполненных совместно с экспериментаторами, автору принадлежат все теоретические результаты, а в экспериментальной части этих работ автору принадлежат некоторые методики обработки данных (спектральный анализ сигнала и метод восстановления фазового портрета), кроме того, автор принимал участие в обсуждении и интерпретации данных экспериментов. В ранних работах по запыленной среде [242-244, 250, 259] автору принадлежит участие в выводе модельных уравнений; выбор и реализация численного метода, интерпретация полученных результатов. В работах по запыленной среде в высокочастотном приближении [245-246, 248, 251, 253, 255-256], автору принадлежит участие в постановке задачи, совместный вывод модельных уравнений с одним из соавторов, численные расчеты. В работах [263-265] по конечно-частотным вибрациям в запыленной среде автору принадлежит постановка задачи и все численные расчеты; вывод модельных уравнений и интерпретация полученных результатов проведены совместно с соавтором. В работе [268] автору принадлежит постановка задачи, получение модели, выбор и реализация численного метода, обсуждение и интерпретация полученных результатов проведена совместно с соавтором. В важных для диссертации работах [269] и [277] автору в теоретической части принадлежит постановка задачи об управлении, получение модели, выбор и реализация численного метода, участие в интерпретации полученных результатов; физический эксперимент был поставлен по просьбе автора. В наиболее значи-
19
мых работах по стохастическим колебаниям в многокомпонентных системах [270-272] автору принадлежат все аналитические расчеты, численные результаты, а также разработка алгоритма модифицированного метода Гиллеспи; обсуждение и интерпретация полученных результатов была проведена совместно с соавторами. В работах [275, 280-281] автору принадлежит постановка задачи, выбор численного метода и его реализация; вывод модели и интерпретация полученных результатов проведены совместно с соавторами.
Структура работы, и объем. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка цитированной литературы, включающего 286 наименований. Общий объем работы 375 страниц, включая 93 рисунка и 2 таблицы.. '• • . •
Во введении показана актуальность проблемы и дана общая характеристика работы, обсуждается новизна и достоверность результатов.
Перваяглава‘содержит обзор литературы по теме диссертации:
Вторая глава посвящена исследованию нелинейной динамики и струк-турообразования в вертикальном слое однородной жидкости, подогреваемом сбоку и находящемся в статическом поле тяжести. В п. 2.1: обсуждаются основные трудности теоретического и экспериментального исследования колебательной. псустойчивости, возникающей при больших числах Прандтля.'Получено выражение для минимальной высоты слоя экспериментальной установки, при которой возмущения во встречных потоках успевают развиться до состояния взаимодействия между собой, и есть возможность произвести сравнение с теоретическими результатами; полученными в приближении бесконечного слоя. Определяющие уравнения, граничные условия, и свойства симметрии уравнений приводятся в п. 2.2. Подробности численного метода для исследования динамики как плоских, так и трехмерных и течений обсуждаются в п. 2.3. В следующем п. 2.4 приводятся результаты, полученные, для конечно-амплитудных режимов плоской конвекции: обсуждается характер первичной бифуркации Хопфа, строится бифуркационная диаграмма, исследуется вопрос о
20
пространственно-временной эволюции течения при увеличении числа Грасго-фа. Демонстрируется переход к хаотическому поведению через цепочку бифуркаций Хопфа. Результаты численного исследования конечно-амплитудных режимов трехмерной конвекции приводятся в п. 2.5 - выясняются особенности временной динамики и пространственного структурообразования в системе. Детали экспериментального исследования той же системы приводятся в разделе
2.6. Среди них упор сделан на методиках измерения и обработки данных. Подробно излагается метод восстановления фазового портрета. Раздел 2.7 посвящен сравнению результатов численных расчетов и экспериментальных данных. Выявляется как качественное, так и количественное согласие между теорией и экспериментом. В п. 2.8 отмечаются основные факторы, которые позволили достичь такого согласия, подводятся итоги проведенного исследования.
Третья главапосвящена исследованию тепловой конвекции в двухфазной среде, состоящей из жидкости (газа) и мелких тяжелых частиц в статическом поле тяжести. В п. 3.1 обсуждаются общие принципы построения, асимптотических моделей в многофазных средах, приводятся основные приближения, закладываемые в модель. Вывод замкнутой системы определяющих уравнений для мелкодисперсной* двухфазной» среды- в приближении Буссииеска производится в разделе 3.2. В следующем п. 3.3 в рамках полученных уравнений рассматривается конкретная задача об устойчивости плоскопараллельного течения запыленной среды в вертикальном слое, подогреваемом сбоку и находящемся в статическом поле тяжести: производятся координатные преобразования, и формулируется спектрально-амплитудная задача. Детали метода Га-леркина, использованного для решения этой задачи, приводятся в п. 3.4. Результаты численного исследования задачи устойчивости излагаются в п. 3.5: приводится карта устойчивости основного течения и выясняется влияние оседающей в поле тяжести примеси на устойчивость этого течения. Сравнение с экспериментальными данными и результатами других авторов, полученными в рамках других моделей, производится в заключительном параграфе 3.6.
21
В четвертой главе исследуется вопрос о влиянии переменного инерционного поля на устойчивость течения двухфазной среды, состоящей из жидкости (газа) и мелких тяжелых частиц. В разделе 4.1. рассматриваются вибрации конечной частоты. Основные принципы построения асимптотической модели обсуждаются в м. 4.1.1. Вывод замкнутой системы определяющих уравнений производится в п. 4.1.2. В п. 4.1.3. выводится аналитическое выражение для плоскопараллельною пространственного пульсационного течения, возникающего в вертикальном слое жидкости, подогреваемом сбоку и совершающем продольные горизонтальные вибрации; Приводятся профили скорости для этого течения. Спектрально-амплитудная- задача для бесконечно малых возмущений формулируется в п. 4.1.4. Детали численного-метода и особенности применения метода Флоке обсуждаются в п. 4.1.5. Следующий п. 4.1.6 посвящен изучению влияния симметрии 0(2) на возможной тип решения. Доказывается, что в случае отсутствия примеси возможны только синхронные решения. Результаты решения спектрально-амплитудной задачи и особенности параметрически возбуждаемых вторичных течений обсуждаются в п. 4.1.7. В заключительном п. 4.1.8 производится сравнение с существующими экспериментальными данными, выясняется качественное согласие, но существенное количественное расхождение с экспериментом.
Раздел 4.2 главы 4 посвящен изучению влияния нестационарных сил трения, таких как сила Бассэ и сила присоединенных масс, которые при определенных условиях могут возникать между фазами. В п. 4.2.1 приводятся сведения о нестационарных силах трения между фазами, даются классические результаты, полученные для них. Вывод замкнутой системы определяющих уравнений для эволюции неизотермической двухфазной среды, состоящей, из жидкости и мелкодисперсной примеси, в приближении Буссинеска производится в п. 4.2.2. Конкретная задача об устойчивости течения в вертикальном слое запыленной среды, подогреваемой сбоку и совершающей горизонтальные продольные вибрации конечной частоты, решается в п. 4.2.3: выводится основное пуль-
22
опционное течение, формулируется спектрально-амплитудная задача для возмущений. Результаты расчетов областей резонансного возбуждения конвекции приводятся в п. 4.2.4, обсуждается влияние наследственной силы Бассэ на устойчивость течения. В п. 4.2.5 производится сравнение с экспериментальными данными и выявляегся как качественное, так и количественное согласие.
В заключительном разделе 4.3 главы 4 рассматривается случай вибраций высокой частоты. Принципы осреднения уравнений и построения асимптотических моделей обсуждаются в п. 4.3.1. Процедура разложения и получение пуль-сацнонных компонент величин производится в п. 4.3.2. Замкнутая система ос-редненных уравнений выводится в п. 4.3.3, обсуждается структура новых уравнений.
Пятая глава посвящена изучению диссипативных структур, спонтанно возникающих в многофазной двухслойной системе реагирующих жидкостей, помещенных в узкий зазор между двумя твердыми пластинами. Краткое описание эксперимента, в котором впервые наблюдалась необычно регулярная периодическая система хемо-конвективных пальчиковых структур, равномерно удлиняющихся в сторону от поверхности раздела, дано в разделе 5.1. В следующем разделе 5.2 строится простая однослойная модель реагирующей в объеме жидкости с фиксированным градиентом реагента на свободной поверхности. Модельные уравнения выводятся в п. 5.2.1, основное реакционно-диффузионное состояние выделяется в п. 5.2.2. Для такой простой модели оказывается возможным получить аналитическое решение для неустойчивости Марангоии (п. 5.2.3). Численный анализ устойчивости основного состояния по отношению к гравитационным механизмам неустойчивости приводится в п.
5.2.4. Выясняется, что неустойчивость Релея-Тейлора наиболее опасна.
В разделе 5.3 главы 5 строится максимально приближенная к эксперименту- модель двухслойной многокомпонентной среды с объемной реакцией нейтрализации в нижнем слое. Вывод определяющих уравнений конвекцин-реакции-диффузии в приближении ячейки Хеле-Шоу производится в п. 5.3.1, а
основные приближения, закладываемые в модель, обсуждаются в п. 5.3.2. Здесь же приводится полный список безразмерных параметров системы. Основное состояние системы, которое включает в себя механическое равновесие жидкости и одновременно нестационарное перемещение фронта реакции-диффузии, выделяется в п. 5.3.3. Здесь же показывается, что динамика фронта реакции всецело зависит от отношения начальных концентраций реагентов и рассматриваются два случая - квазистационарного и бегущего от свободной поверхности фронта реакции. Вопросы теории устойчивости нестационарных процессов и применение этой теории к рассматриваемой системе обсуждается в п. 5.3.4. Следующие разделы посвящены рассмотрению отдельных механизмов, неустойчивости в системе. Результаты расчетов в рамках линейной теории для тепловой и концентрационной капиллярных механизмов неустойчивости приведены в п. 5.3.5. Детали численного метода.для расчета конечно-амплитудных режимов конвекции-реакции-диффузии обсуждаются в п. 5.3.6. Нелинейная динамика и структурообразование, когда ведущим механизмом является неустойчивость Марангони, исследована в п. 5.3.7. Здесь же приводится временная эволюция функции тока, теплового поля и концентрации реагентов. Пространственно-временная самоорганизация в системе, когда действуют только гравитационные типы неустойчивости (Релея-Бенара и Релея-Тейлора) подробно обсуждается в п. 5.3.8. Выясняется механизм аномальной регуляризации периодической системы фингер-структур за счет выделения в ходе реакции тепла. Обсуждение полученных результатов и сравнение с экспериментальными данными производится в п. 5.3.9. Констатируется, что большинство экспериментально наблюдаемых эффектов нашли в работе свое объяснение.
В разделе 5.4 главы 5 предлагается способ управления структурообразо-ванием внутри плоского реактора Хеле-Шоу посредством локального изменения теплопроводности стенок этого реактора. Механизм такого управления подробно излагается в п. 5.4.1, приводятся результаты численных расчетов для различных сценариев управления. Сравнение с экспериментальными данными
24
производится в п. 5.4.2. Подчеркивается энергосберегающий характер такого управления.
Шестая глава посвящена исследованию стохастических колебаний в многокомпонентных реагирующих средах с запаздывающей обратной связью. В п. 6.1 дается общее представление об областях приложения химических реакций с запаздыванием, подчеркивается важность этих систем не только для физики или химии, но и математической генетике и генной инженерии. В п. 6.2 обсуждается стохастическое описание эволюции динамических систем, подчеркивается важность этого подхода в сравнении с детерминистским описанием. В разделе 6.3 предлагается модификация метода Гиллеспи; предназначенного для численного исследования стохастических дискретных систем, на случай систем с запаздыванием. Формулируется новый' алгоритм метода, проводится сравнение с классическим методом. В п. 6.4 рассматривается тестовая задача о динамике протеина в цепочке реакций, сопровождающих транскрипцию гена. В п. 6.4.1 излагаются результаты исследования, детерминистских уравнений, а п.
6.4.2 представляет результаты стохастического анализа. Получено точное выражение для корреляционной функции сигнала, которое сравнивается с результатами, численного моделирования с помощью модифицированного метода Гиллеспи. Констатируется отличное согласие между аналитикой и численным решением. В следующем п. 6.5 рассматривается более сложная модель с нелинейной обратной связью. Исследование модельных уравнений в рамках детерминистского описания производится в п. 6.5.1, стохастическое исследование - в п. 6.5.2. Обнаружено явления возбуждения сложных квазирегулярных колебаний за счет взаимодействия шума и запаздывания. Предлагается метод определения точки бифуркации Хопфа в зашумленной системе. Раздел 6.6 подводит итоги проведенного исследования.
В седьмой главе рассматривается задача об автоматическом поддержании механического равновесия неоднородно нагретой жидкости в конвективной петле прямоугольной формы. В разделе 7.1 кратко излагаются результата
25
экспериментального исследовании; обсуждается явления, которые требуют своего теоретического объяснения. В разделе 7.2 строится модель одномерного течения в прямоугольной петле с учетом запаздывающего характера активного управления, исследуются ее свойства. В п. 7.2.1 производится усреднение уравнений гидродинамики для неодносвязного одномерного течения в термосифоне, и методом Галеркина выводится трехмодовая динамическая модель. В п.
7.2.2 исследуется линейная устойчивость механического квазиравиовссия жидкости, дается объяснения основным явлениям, наблюдавшимся в эксперименте. Раздел 7.2.3 посвящен исследованию нелинейной динамики определяющих уравнений. Приводятся фазовые портреты и характеристики сложных динамических режимов, которые возникают при нелинейном взаимодействии управляющей подсистемы с управляемой конвективной системой. В п. 7.2.4 рассматривается вопрос о влиянии зашумления сигнала на эффективность управления термосифоном. Выясняется, что взаимодействие шума и запаздывания приводит к точно таким же колебаниям, которые наблюдались в модели динамики протеина при транскрипции гена. Обсуждение полученных результатов и некоторых перспектив их практического использования производится в заключительном параграфе 7.2.5.
В заключении перечислены основные результаты исследований, изложенных в диссертации. Приводится список литературы.
26
Г. ДИНАМИКА НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ МНОГОФАЗНЫХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СРЕД
1.1 Тепловая конвекция в двухфазной среде, несущей мелкодисперсную примесь,: в статическом и переменном силовом поле
Теория гидродинамической устойчивости в многофазных средах является, в настоящее время наиболее интересной и бурно развивающейся областью механики сплошных сред. Это объясняется весьма широкими приложениями результатов даннойтеории к исследованиям природных процессов и к различным задачам техники .и технологии. К таким задачам относятся, в частности разработка систем охлаждения, атомных реакторов [11],. управление морфогенезом-живых существ [12],изготовление микро-жидкостных систем для нужд генной инженерии [13], способов разделения газовых смесей [14]'и т.д..
В теоретическом отношении, особое место здесь занимают вопросы конвективной устойчивости. Обладая более богатым по сравнению с изотермическими течениями спектром характеристических возмущений, конвективные.течения обнаруживают широкое разнообразие механизмов неустойчивости. Наличие различных по своей физической природе механизмов развития возмущений, количество которых только увеличивается при рассмотрении.процессов в многофазных средах, делает конвективные течения чувствительными к воздействию всякого рода внешних и внутренних факторов. Так, например, продольная прокачка, движение границ, вибрация кроме существенного влияния на
27
границы устойчивости и характеристики критических возмущений приводят к появлению новых механизмов неустойчивости [7-8]. Однако, как показано в [15], попытки учесть влияние этих факторов на базе уравнений, выведенных в рамках «обьгчных» приближений Буссинеска и учитывающих зависимость плотности от температуры лишь в массовых силах, в ряде работ приводят к неправильным результатам. Как оказалось, при наличии высокочастотных вибраций полости, заполненной жидкостью, пользоваться традиционными уравнениями в приближении Буссинеска можно лишь в тех специальных случаях, когда изотермическое пульсационное поле скорости оказывается однородным. Так, например, обстоит дело в случае поступательных вибраций сосуда с жидкостью: здесь неоднородность пульсационного поля сама обусловлена неизо-термнчностью. В'ситуациях же общего положения, когда пульсационное. поле скорости неоднородно (это могут быть непоступатсльные, например вращательные вибрации, неоднородный нагрев, наличие примеси), необходим учет переменности плотности в инерционных слагаемых, поскольку ускорения элементов жидкости оказываются того же порядка, что и вибрационные ускорения. В этом случае, как показано в[15], действуют два механизма генерации осрсд-ненного течения. Первый - виброконвективный объемный эффект, обусловленный взаимодействием неоднородного поля пульсационной скорости и неоднородности плотности, связанной с неизотермичностыо. Второй - шлихтингов-ский изотермический механизм, связанный с взаимодействием пульсаций скорости и завихренности в вязких скин-слоях около твердых поверхностей.
Еще сложнее обстоит дело, когда рассматривается случаи среды, состоящей из двух или нескольких фаз, .среди которых есть песущая дисперсионная фаза и несколько дисперсных - капли, пузырьки или твердые частицы. Здесь, даже в случае отсутствия вибрационных ускорений, система уравнений, полученная в рамках традиционных приближений Буссинеска [16-18], содержит асимптотически малые и асимптотически большие параметры.
28
Так как вопрос об обобщении приближения Буссинескадля данной диссертации принципиален, то рассмотрим его более подробно. Когда в литературе по тепловой конвекции вводят понятие «приближение Буссинеска», то; как правило, отмечают некоторую непоследовательность этого подхода. Например, Г.З.Гсршуни в своей классической монографии [7] пишет па стр.11: «Возвращаясь к допущениям, сделанным при выводе уравнений, отметим ... такой подход означает некоторую непоследовательность приближения Буссинеска. Однако, сравнение результатов решения уравнений конвекции с обширными экспериментальным материалом с определенностью свидетельствует о том, что эти уравнения достаточно хорошо отражают вес важнейшие особенности теп-ловойконвекции».
На самом деле эта непоследовательность только кажущаяся. История вопроса состоит в следующем. В 1903 году была опубликована работа Буссинеска [19], посвященная упрощению уравнения Навье-Стокса на случай тепловой конвекции. Метод Буссинеска прост - он постулировал три предположения:
(1) движение неизотермической жидкости подобно несжимаемой изотермической жидкости, однако в членах с массовыми силами в-уравнениях ко- -личества движения изменения плотности учитываются;
(2) изменения, плотности вызываются'изменениями температуры и концентрации, но не давления;
(3) градиенты скорости достаточно малы для-того, чтобьь можно было не учитывать влияние на температуру перехода работы в тепло.
Затем, опираясь на них, Буссинеск волевым образом получил уравнения, которые сейчас носят его имя. Таким образом, в этой интерпретации кажется почти невероятным, что так плохо обоснованные уравнения корректно описывают большинство наблюдающихся конвективных явлений.
Работа Буссинеска, однако, не была пионерской. Задолго до работы француза, в 1879 году, вышла статья немца Обербека [20], в которой обсуждаемая система уравнений получена как приближение низшего порядка при разложе-
29
ним решения уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости в степенные ряды по коэффициенту расширения Д Обербек не только получил уравнения, по и рассмотрел конкретную задачу о тепловой конвекции, вызываемой неравномерным нагревом концентрических сфер [20]. Таким образом, никакой противоречивости в системе Буссинеска нет, а сами уравнения есть результат стандартного метода математического анализа - теории возмущений. Не говоря о приоритете, трактовка Обсрбека оказалась гораздо глубже подхода Буссинеска, так как он дал ключ к обобщению уравнений конвекции на случай любого осложняющего фактора. К сожалению Обербеку не удалось математически строго обосновать сделанные приближения, так как кроме процедуры асимптотического разложения анализ требует проведения доказательства того, что метод возмущений может быть проведен до конца и результат разложения сходится к нелинейному решению уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости [21]. Попытку сделать такое обоснование сделал Мнхалян [22], Файф [23] и другие авторы, хотя до конца эта проблема не решена. Как отмечает Джозеф [21], традиция приписывать «уравнения Буссинеска» Буссинеску, по-видимому, восходит к самому Рэлею, который возможно не был осведомлен о работах Обсрбека. Авторитет Рэлея был настолько велик, что эта традиция прижилась. Чтобы не нарушать сложившейся терминологии, в работе мы будем придерживаться термина «приближение Буссинеска».
Необходимо отметить, что алгоритм получения новых уравнений, который был задан Обербеком, требует, чтобы ни один из асимптотических параметров, например, такой как число Галилея Єа или параметр неоднородности среды РО, не оставался в конечных уравнениях. Именно это условие нарушается в работах [16-18] и система уравнений, использованная там, не может быть признана буссинссковской. Таким образом, стоит проблема получения обобщенного приближения Буссинеска (в духе Обербека) уравнений конвекции двухфазной среды, состоящей из жидкости (газа) и твердой примеси.
30
Уравнения многоскоростной сплошной среды для описания различного рода многофазных изотермических систем использовались давно. В пятидесятые годы гидродинамические модели гетерогенных сред обсуждались в работах
H.A. Слезкина (движение пульпы) [24], Г.И. Баренблатта (движение взвешенных частиц в турбулизованном потоке) [25]. Получение гидродинамических уравнений двухфазной среды методами осреднения было произведено в работах Ф.И. Франкля [26]. В 1956 г. Х.А. Рахматулин предложил замкнутую систем)- уравнений [27] взаимопроникающего движения многофазной смеси сжимаемых фаз. Эта система включала уравнения массы и импульса каждой фазы, давления которых полагались одинаковыми (условие совместного деформиро-вания). А.Н. Крайко и Л‘.Е. Стернин обобщили уравнения.Х.А. Рахмагулина на случай нереагирующей смеси газа с несжимаемыми частицами, когда в* общем случае нельзя пользоваться условиями.баротронии [28]. Р:И. Нигматулин в [29] предложил систему гидромеханических уравнений, обобщающую результаты [28] для двухфазной дисперсной смеси, в которой могут происходить фазовые переходы.
Перейдем к обзору работ, посвященных устойчивости. По-видимому, впервые внимание к этой проблеме привлек Сэфмен [30]. Он поставил линейную задачу устойчивости для сильно разреженной газовзвеси. Движение такой смеси описывалось в рамках двухжидкостной гидродинамики, где газ описывается обычным уравнением Навье-Стокса с дополнительной стоксовой силой межфазного взаимодействия, а частицы - уравнением, в котором отсутствует тензор напряжений и градиент давления, но также присутствует сила межфазного взаимодействия. Было показано, что в случае однородного распределения плотности частиц задача сводится, как и для однородной жидкости, к уравнению Орра - Зоммсрфельда, правда, с некоторым эффективным комплексным профилем скорости. Проведенный в [30] качественный анализ показал, что и здесь наиболее опасными являются плоские возмущения. При этом добавление в газ мелких частиц дестабилизирует течение, а очень крупных — оказывает
31
стабилизирующее действие, что хорошо согласуется с физическими соображениями: увеличение размеров частиц приводит к дополнительной диссипации энергии возмущений при взаимодействии инертных частиц с пульсирующей жидкостью вокруг них. В серии работ Дрю [31-33] исследовалось влияние частиц на устойчивость течений Куэтта и Стокса. При этом для описания среды использовалась модель, выведенная ранее феноменологически самим автором [34]. Эта модель существенно отличается от модели Сэфмена. Наиболее интересным результатом, полученным Дрю, является зафиксированная дестабилизация течения Куэтта в дисперсной среде при определенных условиях.
В серии работ Рудяка с соавторами [35-38] исследуется линейная устойчивость течения Пуазейля гетерогенной среды. Рассматриваются- простейшие типы такой среды: газовзвсси и суспензии. Причем, используются уравнения гидродинамики, выведенные авторами строго из первых принципов. Как показано, получающиеся законы переноса оказываются в общем случае нелокальными и запаздывающими. Однако, для слабо неравновесных течений,эти законы становятся локальными и согласуются с феноменологическими соотношениями. В этих же работах обсуждаются уравнения гидродинамики подобных сред н границы применимости используемых моделей. Формулируются задачи линейной теории устойчивости дисперсной среды для случаев однородного [35,36] и неоднородного [37,38] распределения частиц. Полученные результаты нашли свое подтверждение в эксперименте [39].
Влияние небольшого количества взвешенных частиц на устойчивость изотермического течения жидкости исследовалось также в работах [40,41]. В1 основу положено представление об облаке частиц как сплошной среде. При этом несущая среда и облако частиц рассматриваются как две взаимопроникающие, взаимодействующие системы. Постановка задачи об устойчивости течения среды с примесью на основе этих представлений впервые была сделана в работах [16,40], в которой проведено исследование устойчивости плоского изотермического течения жидкости, содержащей частицы, в вертикальном канале.
32
В работе [16] рассматривалась устойчивость вертикальных и горизонтальных изотермических слоев жидкости, содержащей тяжелые твердые частицы. При этом предполагалось, что в основном состоянии оседающие частицы распределены однородно по слою жидкости, и ее движения не вызывают, а приводят лишь к перенормировке гидростатического давления. Оказалось, что оседающие частицы порождают бегущие вдоль слоя возмущения. Вертикальные и горизонтальные слои жидкости, несущей тяжелые частицы, являются устойчивыми, как и слои чистой однородной жидкости. Далее в [41] задача обобщается на случай неравномерного распределения примеси, оседание которой и приводит к движению жидкости. Показано; что неустойчивость стационарного движения жидкости с примесью тяжелых частиц обусловлена взаимодействием встречных потоков: нисходящего центрального и двух пристеночных восходящих. Неустойчивость движения вызывается нижними модами гидродинамических возмущении, декременты нормальных возмущений оказываются комплексными (бегущие возмущения). Таким образом, оседающие частицы порождают колебательные возмущения и способствуют их переносу.
Рассмотрим теперь состояние дел в части моделирования неизотермических течений в многофазных средах. Интерес к тепло и массопереносу в неоднородной среде, состоящей из жидкости или газа, несущих небольшие твердые частицы, появился в середине 50-х годов в связи с многочисленными технологическими приложениями и идеей управления теплообменом в среде с помощью добавки твердой примеси. Одной из проблем, которая подробно изучалась как экспериментально [42], так и теоретически [43], был тсплоперенос в турбулентном потоке, несущем твердые частички. В рамках этой задачи внимание исследователей обычно было сконцентрировано на изучении влияния примеси на усредненные тепловые характеристики среды, их зависимость от размеров, объемной и массовой концентрации частичек, термофизических свойств неоднородной среды [44, 45].
33
В отличие ог изучения теллоперсноса в турбулентных двухфазных потоках, смежная задача о конвективной устойчивости течения, несущего твердую примесь, не привлекла достаточного внимание. Известно, однако, чго мелкие частицы алюминиевой пудры, табачного дыма и др. часто применяются для визуализации вторичных течений. Уже по этой причине естественно возникает вопрос о влиянии примеси на структуру и устойчивость конвективного течения. При этом, в литературе существует довольно большое количество работ, посвященных устойчивости изотермических течений, обсуждавшиеся выше.
Среди работ, посвященных конвекции в запыленной среде, выделяются работы О.Н. Дементьева [17,18,46]. Автор предложил для рассмотрения таких задач простейшую модель в рамках приближений Буссинеска. Уравнения свободной конвекции в этом приближении выводятся на основе того предположения, что тепловое расширение жидкости мало и учитывать его следует лишь в архимедовой силе, которая является причиной конвективного движения (см., например [7] и цитируемую там литературу). Согласно модели [46], рассматриваются две взаимопроникающие и обменивающиеся движением и теплом сплошные среды - несущая жидкость и облако частиц. Основным является предположение о малости объемной концентрации примеси; не учитывается вязкость и теплопроводность в системе частиц, а также пренебрсгается давлением в этой системе и архимедовой подъемной силой. Предполагается также, что взаимодействие частиц с жидкостью описывается законом Стокса, а теплообмен - законом Фурье. Записывая, с учетом сделанных предположений, уравнения баланса массы, импульса и энергии для каждой из компонент среды, автор [46] в рамках приближений Буссинеска получает уравнения «слабой» конвекции. В качестве основного состояния принято положение, в котором жидкость покоится, а частицы оседают с постоянной скоростью, определяемой законом Стокса, не вызывая при этом движения жидкости. Полагая далее, что плотности каждой из компонент среды мало отличаются от своих средних значений, уравнение состояния для них подставляются в исходную систему. Учи-
34
тывая изменения. плотности лишь в слагаемых с подъемной силой, автор приходит к системе определяющих уравнений, которые содержат асимптотически малые и асимптотически большие слагаемые. Полученная модель применяется автором для анализа устойчивости стационарного конвективного течения среды, содержащей твердую примесь, между вертикальными плоскостями, нагретыми до разных температур. При этом, если в работе [46] оседанием частиц пренсбрегается, то в [17] задача решается в полной постановке, т.е. учитывается влияние на конвективную устойчивость всех факторов, характеризующих частицы примеси: скорости оседания частиц, скоростного и температурного времени релаксации (или, что то же самое- их размеров, плотности и теплоемкости), а также их массовойжоицентрации. Интересным в данной.работе является отчетливо выраженный резонансный характер зависимости параметров-неустойчивости от степени дисперсности твердой примеси; В резонансной области достигается повышение устойчивости в 2 - 2,5 раза. Дополнительная диссипация и связанное с ней повышение устойчивости связывается автором.с тем обстоятельством, что в резонансной области эффективно работает стоксов релаксационный механизм обмена движением между частицами и несущей средой..
Вместе с тем, появление в уравнениях движения работы; [7], а таюке для-, случая-неравномерно распределенных поперек слоя частиц работы [44] асимптотических параметровуказывает на некоторую непоследовательность подхода, применяемого автором при выводе модельных уравнений. Как отмечено выше, этот подход похож .на подход самого Буссинеска, который волевым образом упростил уравнение Навье-Стокса и в результате угадал. Но результат,.полученный для двухфазной среды в [17-18, 46], противоречит духу асимптотического метода Обербека, который требует, чтобы только слагаемые одного порядка малости присутствовали в конечной*модели.
В работах [47,48] получена одножидкостная модель, описывающая аккумуляцию мелких твердых частиц в неизотермической жидкости или газе. В качестве исходных уравнений использовались уравнения Р.И. Нигматулина [1],
35
которые значительно упрощались. Состояние системы определяется соответствующими уравнениями переноса импульса и тепла несущей фазы и уравнением переноса концентрации частиц. При этом скорость твердой фазы, входящая в уравнение переноса концентрации частиц, складывается из скорости жидкости и ряда поправок, учитывающих возможность относительного движения фаз и седиментации. Решена задача об устойчивости пылевого облака в конвективном потоке в бесконечном вертикальном слое, находящемся в поле силы тяжести и нагреваемом сбоку. Показано, что ширина пылевого облака в стационарном состоянии зависит от теплового числа Грасгофа, аналога'концентрационного числа Грасгофа и безразмерной скорости оседания. Также в [47, 48] показано, что существует область параметров, в которой стационарное состояние с распределением частиц в форме пылевого облака является устойчивым. В диапазоне исследованных значений параметра седиментации наиболее опасными являются плоские ячеистые возмущения.
К другому важному классу относятся задачи конвективной устойчивости в условиях, когда один из параметров, характеризующих систему, зависит от времени. Такая ситуация возникает, например, если равновесная разность температур изменяется со временем или если полость, заполненная жидкостью совершает движение по вертикали с переменным ускорением. Наиболее интересен случай периодической модуляции параметра - равновесного градиента температуры или ускорения поля тяжести. Наличие модулируемого параметра, вообще говоря, значительно влияет на устойчивость. Кроме того, при определенных соотношениях между амплитудой и частотой модуляции появляются резонансные области динамической неустойчивости, связанные с параметрическим возбуждением.
Изучение влияния периодического изменения одного из параметров системы и а возникновение конвекции начато работой Г.З. Гершуни и Е.М. Жухо-вицкого [49], в которой был рассмотрен случай периодической модуляции равновесного градиента температуры. В этой работе показано, что модуляция мо-